Các Đề thi môn Giải tích 2 khóa 52
Đề số 1
Câu 1
Hàm ẩn z = z(x, y) xác định bởi hệ thức x
2
+2y
2
+3z
2
+ xy z 9=0. Tính các đạo hàm riêng

2
z
x
2
(M) và

2
z
y
2
(M) tại M(1, 2, 1).
Câu 2 Tìm cực trị hàm f(x, y)=2x
3
4y
3
6xy
2
21y
2
+9x

2x, mặt S đ-ợc định h-ớng xuống phía d-ới.
Câu 4 Giải các ph-ơng trình vi phân sau
a) e
y
dx (xe
y
2y)dy =0.
b) y

+4y = sin 3x, với điều kiện đầu y



x=0
=0,y




x=0
=0.
Đề số 2
Câu 1
Hàm ẩn z = z(x, y) xác định bởi hệ thức 2x
2
+ y
2
+2z
2
+ xy 3z 13 = 0. Tính các đạo hàm

=3z, M là miền không gian
hữu hạn giới hạn bởi hai mặt đó.
a) Tính tích phân đ-ờng loại hai

L
yz dx+ zx dy + xy dz trên L, h-ớng củaL ng-ợc chiều kim đồng hồ
nếu ta đứng dọc theo trục Oz nhìn xuống.
b) Tính thể tích của M.
c) Tính tích phân mặt

S
dydz +2dxdz 2 dxdy, với S là phần mặt parabôlôit x
2
+ y
2
=3z nằm trên
mặt nón z =

x
2
+ y
2
, mặt S đ-ợc định h-ớng xuống phía d-ới.
Câu 4 Giải các ph-ơng trình vi phân sau
a) (x y
2
)dx +2xy dy =0.
b) y

+ y = 4 sin x, với điều kiện đầu y

0 nếu y =0
a) Hàm f có liên tục tại O(0, 0) không? Tại sao?
b) Tính các đạo hàm riêng
f
x
(0, 0) và
f
y
(0, 0).
c) Hàm f có khả vi tại O(0, 0) không? Tại sao?
Câu 2 Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm f = x
2
+
x
3
3
xy
2
+ y
2
trên hình tròn x
2
+ y
2
1.
Câu 3 Tính tích phân

C
xdy ydx
x

3x
2
y
2
nằm trên mặt phẳng z =1, mặt S đ-ợc định h-ớng lên phía trên.
Câu 5 Giải các ph-ơng trình vi phân sau
a) (1 + x
2
)y

y 1=0.
b) y

+2y

3y = e
x
.
Đề số 4
Câu 1
Cho hàm số f(x, y)=




x
2
+ y
2
ãsin

Câu 3 Tính tích phân

C
xdy ydx
x
2
+ y
2
với C là đ-ờng tròn (x 1)
2
+ y
2
=4theo h-ớng ng-ợc chiều kim
đồng hồ.
Câu 4 Gọi V là miền không gian hữu hạn giới hạn bởi mặt cong z = e
2x
2
y
2
và mặt phẳng z =1.
a) Tính thể tích miền V .
b) Tính tích phân mặt

S
sin(y
2
+ ye
z
)dydz +



(M), biết f = u u.
Câu 2 Tìm cực trị hàm số u = x
2
+ y
2
+ z
2
với điều kiện x y +2z =6.
Câu 3 Gọi V là miền không gian hữu hạn trong góc phần tám thứ nhất (x 0,y 0,z 0) giới hạn bởi
các mặt z =0,x= y, x =

z, y =1. Kí hiệu L là cung thuộc giao của mặt trụ x =

z và mặt phẳng
x = y nối điểm O (0, 0, 0) với điểm A(1, 1, 1).
a) Tính thể tích miền V .
b) Tính tích phân đ-ờng loại hai

L
xy dx +2zdy+ ydz.
Câu 4 Tính tích phân mặt

S
dydz + dxdz +2dxdy, với S là phần mặt phẳng x + y + z =3nằm trong
hình cầu x
2
+ y
2
+ z


z, y =2. Kí hiệu L là cung thuộc giao của mặt trụ x =

z và mặt phẳng
x = y nối điểm O (0, 0, 0) với điểm A(2, 2, 4).
a) Tính thể tích miền V .
b) Tính tích phân đ-ờng loại hai

L
xy dx + zdy+ ydz.
Câu 4 Tính tích phân mặt

S
dydz dxdz +2dxdy, với S là phần mặt phẳng x + y + z =3nằm trong
hình cầu x
2
+ y
2
+ z
2
7, mặt S đ-ợc định h-ớng theo véc tơ pháp n(1, 1, 1) của mặt phẳng.
Câu 5 Giải các ph-ơng trình vi phân sau
a) (2y x)dx + xdy =0.
b) y

2y

+2y =2x.
Đề số 7
Câu 1


L
(x
2
+ y
2
)dx +(x
2
y
2
)dy với L là cung y =1|x 1|,x [0, 2] định h-ớng
theo chiều tăng của x.
Câu 5 Tính tích phân mặt

S
y dydz + z dxdz +2x dxdy, với S là phần mặt phẳng trong tam giác ABC
định h-ớng lên phía trên. Biết A(0, 1, 1),B(3, 2, 2),C(2, 1, 1).
Câu 6
a) Tìm hàm khả vi (x) để (2xye
x
)dx + (x)dy =0là ph-ơng trình vi phân toàn phần. Giải ph-ơng
trình với (x) tìm đ-ợc.
b) Giải ph-ơng trình vi phân y

+4y = cos 2x với điều kiện đầu y



x=0
=0,y

+ y
2
,z=0,xy=1,xy=2,y= x, y =2x và
trong góc phần tám thứ nhất (x>0,y>0).
Câu 4 Tính tích phân

L
(x
2
+ y
2
)dx +(x
2
y
2
)dy với L là cung y =1|x +1|,x [2, 0] định h-ớng
theo chiều tăng của x.
Câu 5 Tính tích phân mặt

S
x dydz y dxdz + z dxdy, với S là phần mặt phẳng trong tam giác ABC
định h-ớng lên phía trên. Biết A(1, 1, 1),B(2, 2, 1),C(2, 4, 3).
Câu 6
a) Tìm hàm khả vi (x) để (x) cos
2
ydx+(2y x
2
sin 2y)dy =0là ph-ơng trình vi phân toàn phần.
Giải ph-ơng trình với (x) tìm đ-ợc.
b) Giải ph-ơng trình vi phân y

.
Hàm u có khả vi tại (1, 0) không? Tại sao?
Câu 2 Tìm cực trị hàm số u =2x + y 2z với điều kiện x
2
+ y
2
+ z
2
=6
2
.
Câu 3 Tính tích phân kép

D
dxdy
xy
với D là miền phẳng hữu hạn giới hạn bởi các đ-ờng y =2x, y =3x
x
2
+2y
2
=1,x
2
+2y
2
=4 (x>0).
Câu 4 Tính tích phân

L
(3x

=
x
2
+ x +1
x +1
là 2 nghiệm riêng của ph-ơng trình.
Đề số 10
Câu 1
Cho hàm số u(x, y)=
4

x
4
+(y 1)
4
. Tính các đạo hàm riêng
u
x
(x, y),
u
y
(x, y) (x, y) R
2
.
Hàm u có khả vi tại (0, 1) không? Tại sao?
Câu 2 Tìm cực trị hàm số u = x +2y 2z với điều kiện x
2
+ y
2
+ z

2
3y
3
)dx +(4x
3
y 9xy
2
)dy với L là cung trơn bất kì nối điểm A(2, 3)
với điểm B(1, 2).
Câu 5 Tính tích phân mặt

S
x dydz +2y dxdz z dxdy, với S là phần mặt phẳng trong tam giác ABC
định h-ớng lên phía trên. Biết A(a, 0, 0),B(0,a,0),C(0, 0,a) với (a>0).
Câu 6 Giải các ph-ơng trình vi phân sau
a) (x +2y
3
)y

= y.
b) xy

+2y

xy = e
x
, biết y
1
=
1

Câu 2 Tìm cực trị hàm số u = x
2
+ y
3
z
2
+6xy +2z.
Câu 3 Tính diện tích miền D hữu hạn trong mặt phẳng xOy, biết D giới hạn bởi các đ-ờng x
2
+1y =0,
x
2
2(y 1)=0,x 2(y 1)
2
=0,x3(y 1)
2
=0.
Câu 4 Tính tích phân

L
(3x
2
y
2
2y
3
)dx +(2x
3
y 6xy
2

(x, y) với
mọi
(x, y) R
2
. Hàm f có khả vi tại (0, 0) không? Tại sao?
Câu 2 Tìm cực trị hàm số u = x
2
y
3
z
2
6xy +2z.
Câu 3 Tính diện tích miền D hữu hạn trong mặt phẳng xOy, biết D giới hạn bởi các đ-ờng x
2
+1y =0,
x
2
+ 2(1 y)=0, 2(y 1)
2
+ x =0, 3(y 1)
2
+ x =0.
Câu 4 Tính tích phân

L
(3x
2
y
2
3y)dx +(2x