CHUYÊN ĐỀ 1
TỌA ĐỘ PHẲNG
Trong các bài toán về tọa độ trong mặt phẳng thường gặp các yêu cầu như tìm tọa độ
một điểm, một vectơ, tính độ dài một đoạn thẳng, số đo góc giữa hai vectơ, quan hệ cùng
phương hoặc vuông góc giữa hai vectơ, 3 điểm thẳng hàng.
Ta vận dụng các kiến thức cơ bản sau đây:
Cho
a
=
(
, = ta có:
G
b
G
)
G
G
G
G
)
1 2
a, a
(
1 2
b, b

a
=
G
b

G
1
a
2
a
∈
R)

α
+ = ( +
a
G
β
b
G
α
1
a
β
1
b ,
α
2
a +
β
2
b )

a
. = +

BB
A x, y
Bx, y
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
⇒
AB
JJJG
= ( – , – )
B
x
A
x
B
y
A
y
và AB =
()()
22
BA BA
x - x y - y+

. Với quan hệ cùng phương hoặc vuông góc ta có:

a
+ = 0

1
1
a
b
=
2
2
a
b
( ,
1
b
2
b
≠
0)
A, B, C thẳng hàng ⇔
AB
JJJG
cùng phương
AC
JJJG

⇔
BABA
CACA
x - x y - y
x - x y - y
= 0
. Với việc tìm góc của hai vectơ ta có:

sin( a, b) =
12 1
G
G
2
a b - a b
a.bG
G
tg( a , b) =
12 1
11 2
2
2
a b - a b
ab + a b

Ngoài ra trong các bài toán về tọa độ phẳng ta có thể áp dụng các kết quả sau đây:
. M( , ) là trung điểm của đoạn thẳng AB
M
x
M
y
⇔
2
2
AB
M

⎩
AB
G
AB
G
x + x + x
x =
y + y + y
y =
C
C

. I( , ) và J( , ) là chân đường phân giác trong và ngoài của góc A trong
ABC thì:
I
x
I
y
J
x
J
y
Δ

IB
IC
JJG
JJG
=
−

CACA
x - x y - y
x - x y - y

Ví dụ 1:

Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(2, –1), B(0, 3), C(4, 2).
a) Tìm tọa độ điểm D đối xứng với A qua B.
b) Tìm tọa độ điểm M để 2 + 3
AM
JJJJG
BM
JJJJG
- 4
CM
JJJJG
=
0
G

c) Tìm tọa độ điểm E để ABCE là hình thang có một cạnh đáy là AB và E nằm trên
Ox.
d) Tìm tọa độ trực tâm H, trọng tâm G và tâm I đường tròn ngoại tiếp ABC.
Δ
e) Chứng tỏ H, G, I thẳng hàng.
Giải
a) D là điểm đối xứng của A qua B
B là trung điểm của AD ⇔
⇔
AD

−
JJJJG JJJJG
b) Ta có: 2 + 3
BM
– 4
CM
AM
JJJJG
=
0
G
= ( 0, 0 )
⇔
()()( )
()()()
−−−−⎧
⎪
⎨
−− −
⎪
⎩
MMM
MMM
2x 2 + 3x 0 4x 4 = 0
2 y + 1 + 3 y 3 4 y 2 = 0

⇔ hay M(–12, –1)
−
⎧
⎨

⎩

⇔ hay E(5, 0)
E
E
y = 0
x = 5
⎧
⎨
⎩
d) H là trực tâm của ABC
Δ
⇔
AH BC
BH AC
⊥
⎧
⎨
⊥
⎩
⇔
AH.BC = 0
BH.AC = 0
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
JJJJG JJJG
JJJJG JJJG

0
⇔
18
7
9
7
H
H
x
y
⎧
=
⎪
⎪
⎨
⎪
=
⎪
⎩
hay H
18
7
9
,
7
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

G là trọng tâm ABC ta có:

=
hay G
4
2
3
,
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

+ I là tâm đường tròn ngoại tiếp
Δ
ABC
⇔ IA = IB = IC ⇔
22
22
IA IB
IA IC
⎧
=
⎪
⎨
=
⎪
⎩
⇔
()( )()(
()( )()(
222
222

−+ −=
⎧
⎨
+−=
⎩
⇔
24 12
14 7
19
14
I
I
x
y
⎧
==
⎪
⎪
⎨
⎪
=
⎪
⎩
hay I
12 19
714
,
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

=
1
21
1
14
=
2
3

⇒ cùng phương với
HG
JJJJG
HI
JJJG

⇒ H, I, G thẳng hàng.
Ví dụ 2:

Trong mặt phẳng Oxy cho A(2, 2 3 ), B(1, 3 3 ), C (-1, 3 ) . Tính
cos (
AO
JJJG
,
AB
JJJG
) vaứ dieọn tớch tam giaực ABC.
Giaỷi
Ta coự:
AO
JJJG

)

12 21
1
2
=
ABC
Sabab
=
1
1333
2
()( ) ()
= 2 3
* * * CHUYÊN ĐỀ 3
ĐƯỜNG THẲNG
I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, muốn viết phương trình một đường thẳng ta cần
phải biết:
()
Δ
1)
(
qua điểm M
0
(x
0

−
=
0
2
yy
a
−
(a
1
, a
2

≠
0)
Từ phương trình chính tắc ta có thể đổi thành dạng phương trình tổng quát :
Ax + By + C = 0 (A
2
+ B
2
> 0)
2)
(
qua điểm M
0
(x
0
, y
0
) và có 1 pháp véctơ là (a,b) có phương trình : a(x –
x

A
. Nếu B
≠
0 ⇒
=− −
A C
yx
BB
, có
dạng y = kx + m.
3)
(
qua hai điểm A(x
A
, y
A
), B(x
B
, y
B
) có phương trình :
)
Δ

A
BA
xx
xx
−
−

b
= 1
* Ghi chú:
Nếu đề bài toán yêu cầu ta viết phương trình của đường thẳng, thông thường ta nên
viết phương trình ở dạng tổng quát và lưu ý :
()
Δ
: Ax + By + C = 0 thì
( )
Δ
có :
. một pháp vectơ = (A, B)
n
G
G
. một vectơ chỉ phương
a
= (–B, A)
. hệ số góc k = tg( , ) =
Ox
JJJG
Δ
A
B
−

.
()

(

nếu biết thêm một điểm nằm trên
( )
′
Δ
.
Ngoài ra khi viết phương trình của một đường thẳng
( )
Δ
theo hệ số góc k, bài toán có
thể bò thiếu nghiệm do trường hợp
( )
Δ
⊥

x
′
x (hệ số góc k không tồn tại), do đó ta phải xét
thêm trường hợp có phương trình x = C để xem đường thẳng
()
Δ
( )
Δ
này có thỏa mãn điều
kiện của đầu bài không.
Ghi chú
- Nếu
n
= (A, B) là 1 pháp véc tơ của đường thẳng
G
( )

1
y + C
1
= 0
và (d
2
) : A
2
x + B
2
y + C
2
= 0
Đặt :

2
D =
11
22
A B
A B
; D
x
=
11
22
BC
BC
; D
y

=
⎪
⎩

D = 0 và D
x
0 hoặc D
y

≠ ≠
0 ⇔ (d
1
)
//
(d
2
)
D = D
x
= D
y
= 0 ⇔ (d
1
)
≡
(d
2
)
hoặc với A
2

B
B

≠
1
2
C
C
⇔ (d
1
)
//
(d
2
)

1
2
A
A
=
1
2
B
B
=
1
2
C
C
III. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Để tìm góc giữa hai đường thẳng, ta gọi
α
là góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng
(d
1
) : A
1
x + B
1
y + C
1
= 0 (d
2
) : A
2
x + B
2
y + C
2
= 0
thì cos
α
=
12 12
222
1122
2

đến điểm M(x
M
, y
M
) là :
t =
22
MM
AxBy
AB
++
+
C
G

Đặt pháp vectơ = (A, B) có gốc lên
n
( )
Δ
thì :
. t > 0 nếu điểm M và
n
nằm cùng một bên đối với
G
( )
Δ

. t < 0 nếu điểm M và
n
nằm khác bên đối với

11
1
A xByC
AB
++
+
= ±
222
22
22
A xByC
AB
+ +
+

Ví dụ 1:
Cho tam giác ABC với A(–2, 1), B(4, 3), C(2,–3)
a) Tìm phương trình tham số và tổng quát cạnh BC.
b) Tìm phương trình đường cao AH.
c) Tìm phương trình đường thẳng qua A(–2, 1) và song song với BC.
Giải
a) Đường thẳng qua cạnh BC nhận
BC
JJJG
= (–2, –6) hay (1,3) làm vectơ chỉ phương và
qua B(4, 3) nên có phương trình tham số :
(t
4
33
=+

A(–2, 1)
∈
AH –2 + 3(1) + C
1
= 0 ⇔ ⇔ C
1
= –1
Vậy pt AH : x + 3y – 1 = 0
c) Đường thẳng Au
//
BC ⇒ pt Au : 3x – y + C
2
= 0
A(–2, 1)
∈
Au ⇔ 3(–2) – 1 + C
2
= 0 ⇔ C
2
= 7
Vậy pt Au : 3x – y + 7 = 0
Ví dụ 2:
Cho tam giác ABC với A(1, –1), B(–2, 1), C(3, 5).
a) Viết phương trình đường vuông góc AH kẻ từ A đến trung tuyến BK của tam giác
ABC.
b) Tính diện tích tam giác ABK.
Giải
a) K là trung điểm của AC ⇔
2
2

2
12
y
−
−
⇔ x – 4y + 6 = 0
AH
⊥
BK pt AH : 4x + y + C
0
= 0 ⇒
A(1, - 1)
∈
AH 4(1) + (–1) + C
0
= 0 ⇔
⇔ C
0
= –3 hay AH : 4x + y – 3 = 0
b) Diện tích tam giác ABK là S =
1
2
AH.BK với
AH =
A(BK)
d
=
146
17
+ +

()
−−=
⎧
⇒−
⎨
−−=
⎩
x2y40
B0, 2
7x 4y 8 0
Vì cân tại A nên AG là đường cao của
ABC
Δ
ABC
Δ

Vì ⇒ pt GA:
GA BC
⊥
−+ −=⇔+−=
41
2(x ) 1(
y )0 2xy 30
33

2x y 3 0⇔ +−=

⇒ = H
GA BC
∩

xxx yyy
xvày
33
⇒
( )
A0,3

Vậy
()()(
A0,3,C4,0,B0,2−
)
Ví dụ 4 ( ĐH KHỐI A -2002) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho
hình chữ nhật ABCD có tâm I
1
;0
2
⎞
⎟
⎝⎠
⎛
⎜
,phương trình đường thẳng AB là
x – 2y + 2 = 0 và AB = 2AD .Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C,D biết rằng đỉnh A có hoành độ âm .
BÀI GIẢI:
A ∈ đường thẳng x – 2y + 2 = 0
⇒ A (2a – 2, a) (a < 1)
I là trung điểm AC ⇒ C (3 – 2a, −a)
BC qua C và BC ⊥ AB
⇒ pt BC : 2x + y + 5a – 6 = 0
AB ∩ BC = B ⇒ B (2 – 2a, 2 – a)

JJJG JJJG

⇔
2
m
6
9
−+ =
0
⇔ m =
36
±
.
Ví dụ6 ( ĐH KHỐI B -2004) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm
A(1; 1), B(4; -3). Tìm điểm C thuộc đường thẳng
210xy− −=
sao cho khoảng cách từ C đến
đường thẳng AB bằng 6.
BÀI GIẢI: A (1; 1); B (4; −3) ⇒ phương trình AB:
x1 y 1
34
− −
=
−

⇔ 4x + 3y – 7 = 0 C ∈ đt : x – 2y – 1 = 0 ⇒ C (2t + 1; t)

6
Ta có: d (C, AB) = 6 ⇔
8t 4 3t 7

11 11
⎛⎞
−−
⎜⎟
⎝⎠

Ví dụ7 ( Đề DỰ TRỮ KHỐI D -2003)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxy cho
tam giác ABC có đỉnh A (1; 0) và hai đường thẳng lần lượt chứa các đường cao vẽ từ B và C có
phương trình tương ứng là :
x – 2y + 1 = 0 và 3x + y – 1 = 0.Tính diện tích của tam giác ABC.
BÀI GIẢI:
Vì AC ⊥ BB' ⇒ phương trình AC : 2x + y + m = 0
A(1; 0) ∈ AC ⇒ 2 + m = 0 ⇒ m = −2
Phương trình AC : 2x + y – 2 = 0
Vậy t đ C là nghiệm của
+ −=
⎧
⎨
+ −=
⎩
2x y 2 0
3x y 1 0
⇒ C(−1; 4)
Vì AB ⊥ CC' ⇒ phương trình AB : x – 3y + n = 0
A(1; 0) ∈ AB ⇒ 1 + n = 0 ⇒ n = −1
Phương trình AB : x – 3y – 1 = 0
Vậy ⇒ B(−5; −2).⇒
x3y10
B

1
: 2x – y + 5 = 0, d
2
: x + y – 3 = 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và
cắt hai đường thẳng d
1
, d
2
lần lượt tại A, B sao cho :
2
→→
=IA IB

BÀI GIẢI:
P.trình đường thẳng d qua I (–2, 0), hệ số góc k : y = k(x + 2)

⎩
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
⇒

=−+
k
k
,
k
k
B
kykx
yx
B
1
5
1
23
02
031k
IA ;
2k2k
−−
⎛⎞
=
⎜⎟
−−
⎝⎠
JJG
;
⎟

1
10
1
10
2⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
==⇒
+
=
−
−
=⇒
+
=
−
−
⇔=
3
7
0
1
10
2
3

. Phương trình của đường tròn (C) tâm I(a, b) bán kính R là :

()
+
(
= R
2

2
xa
−
)
2
yb
−
. Phương trình của (C) ở dạng khai triển :
x
2
+ y
2
– 2ax – 2by + c = 0 ( hay x
2
+ y
2
+ 2ax + 2by + c = 0)
với c = a
2
+ b
2
– R

0
, y
0
) với :
)
Δ
- đường tròn (C) :
()
+ = R
2
là
2
xa
−
(
2
yb
−
)
)
(x
0
– a) (x – a) + (y
0
– b) (y – b) = R
2

- đường tròn (C) : x
2
+ y

± R, mọi tiếp tuyến khác với đường tròn ( C) đều có
dạng y = kx + m hoặc dạng y = k ( x –x
0
) + y
0
nếu tiếp tuyến đi qua ( x
0
, y
0
) là
điểm nằm ngoài đường tròn.
Ví dụ

1
Trong mặt phẳng Oxy cho A(–2, 0), B(0, 4).
a) Viết phương trình đường tròn (C) qua 3 điểm O, A, B.
b) Viết phương trình các tiếp tuyến với đường tròn (C) tại A, B.
c) Viết phương trình các tiếp tuyến với (C) phát xuất từ điểm M(4, 7)
Giải
a) Phương trình đường tròn (C) có dạng :
x
2
+ y
2
– 2ax – 2by + c = 0
Đường tròn (C) qua 3 điểm O, A, B nên :

0
44 0
16 8 0

2
+ 2x – 4y = 0.
Cách khác: Tam giác ABC vuông tại O nên có tâm là trung điểm của AB và đường kính là
AB nên pt dường tròn (C) là:

222
11
12 416
44
++− = = + =(x ) (y ) AB ( )
5

Cách khác: Tam giác ABC vuông tại O nên với
(, ) ( )M xy C∈
ta có
0=AM.BM
JJJJG JJJJG
. Vậy pt đường tròn ( C ) là 0− −+− −=
AB AB
(x x )(x x ) (y y )(y y ) .
b) Phương trình tiếp tuyến với (C) tại :
. Tiếp điểm A(–2, 0) là : –2x + 0.y + (–2 + x) – 2(0 + y) = 0

⇔ x + 2y + 2 = 0
. Tiếp điểm B(0, 4) là : 0.x + 4.y + (0 + x) – 2(4 + y) = 0
⇔ x + 2y – 8 = 0
c) Đường tròn (C) : x
2
+ y
2

1k +

⇔ 4k
2
– 10k + 4 = 0 ⇔ k = 2 hay k =
1
2

Vậy có 2 tiếp tuyến với đường tròn (C) phát xuất từ điểm M(4, 7) với phương trình là :
k = 2 2x – y – 1 = 0 ⇒
k =
1
2
⇒
1
2
x – y + 5 = 0.
Ví dụ (ĐH KHỐI B-2003)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho tam giác ABC có AB=AC,
n
0
90BAC = .
Biết M(1,–1) là trung điểm cạnh BC và G(
2
3
; 0) là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ các
đỉnh A , B, C.
G là trọng tâm ΔABC ⇔
=
JJJG JJJJG

AM
PT đ.tròn (C) tâm M, bán kính R = AM=
+=19 10

(x – 1)
2
+ (y + 1)
2
= 10
Tọa độ B, C thỏa :
−−=
⎧
⎨
−++=
⎩
22
x3y40
(x 1) (y 1) 10
⇔ ⇔
=+
⎧
⎨
+++=⇔+=
⎩
22 2
x3y4
(3y3) (y1) 10 (y1) 1
=
⎧
⎨

Giả sử I’ (x, y) thì ⇒
+
⎧
=
⎪
⎪
⎨
+
⎪
=
⎪
⎩
x1
2
2
y2
1
2
⇒
=
⎧
⎨
=
⎩
x3
y0

⇒ I’ (3, 0); R’ = R = 2. (C’) : (x – 3)
2
+ y

−=
⎩
2
xy1
2y 4y 0
=
⎧
⎨
=
⎩
x1
y0
=
⎧
⎨
=
⎩
x3
y2

Vậy giao điểm của (C) và (C’) là A (1, 0) và B (3, 2).
Ví dụ (ĐH KHỐI A-2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng
d
1
: x – y = 0 và d
2
: 2x + y – 1 = 0.Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A
thuộc d
1
, đỉnh C thuộc d

2
=1. B và D là giao điểm (C) và Ox nên tọa độ của B, D
là nghiệm của hệ :
22
(x 1) y 1
y0
⎧
⎪
−+=
⎨
=
⎪
⎩
⇔ . Suy ra B (0; 0), D(2; 0) hay B(2; 0), D(0; 0)
=∨=
⎧
⎨
=
⎩
x0x2
y0
Vậy A(1; 1), B (0; 0), C(1; -1), D(2; 0)
hay A(1; 1), B(2; 0), C(1; -1), D(0; 0).
Ví dụ (ĐH KHỐI B-2005)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2; 0), B(6; 4).
Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm
của (C) đến điểm B bằng 5.
Giải
Gọi I (x; y) là tâm của (C). Ta có : (C) tiếp xúc Ox tại A ⇒
IA i⊥
JJG JG

(C
1
) : x
2
+
y
2
– 10x = 0; (C
2
) : x
2
+ y
2
+ 4x – 2y – 20 = 0

4
1) Viết phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của (C
1
), (C
2
) và có tâm nằm trên
đường thẳng x + 6y – 6 = 0.
2) Viết phương trình tiếp tuyến chung của các đường tròn (C
1
) và (C
2
).
Giải
1) Phương trình chùm đường tròn qua các giao điểm của (C
1

⎛⎞
−−
⎜⎟
+++
⎝⎠
0=

Có tâm I
5m 2n n
;
mn mn
−
⎛⎞
⎜⎟

++
⎝⎠
Vì tâm I ∈ d : x + 6y – 6 = 0 ⇒
5m 2n 6n 6m 6n
0
mn
− +− −
=
+

⇒ m = −2n . Cho n = 1 ⇒ m = −2
Vậy phương trình đường tròn là :x
2
+ y
2

), (C
2
) cắt nhau tại 2 điểm nên có 2 tiếp tuyến chung.
Vì x = x
o
không thể là tiếp tuyến chung nên pt tt chung Δ có dạng :
y = ax + b ⇔ ax – y + b = 0
Δ tiếp xúc với (C
1
) ⇔ d(I
1
, Δ) = R
1
⇔
2
5a b
5
a1
⏐+⏐
=
+

⇔⏐5a + b⏐ =
2
5a 1+
(1)
Δ tiếp xúc với (C
2
) ⇔ d(I
2

=−
⎢
⎢
− +
⎢
=
⎢
⎣

Thế a =
1
7
−
vào (1) ta có : b
1
=
5252
7
+
; b
2
=
5252
7
−

Vậy ta có 2 tiếp tuyến là : x + 7y – 5 +
25 2
= 0
x + 7y – 5 −

trình đường tròn; các bài toán liên quan đến vò trí tương đối giữường thẳng và đường tròn,
giữa hai đường tròn; phương tích của một điểm đối với đường tròn; trục đẳng phương của hai
đường tròn không đồng tâm. Ngoài ra còn có một số câu hỏi liên quan đến phương trình x
2
+
y
2
+ 2Ax + 2By +C = 0 (1). Chẳng hạn tìm điều kiện để (1) là phương trình đường tròn. Từ
phương trình (1) tìm tâm và bán kính của đường tròn, tìm tham số để bán kính thoả một điều
kiện nào đó . . .
Sau đây, chúng tôi chỉ đề cập đến cách tìm phương trình đường tròn nội tiếp tam giác
và vài ứng dụng trục đẳng phương của hai đường tròn không đồng tâm. Đây là vấn đế các em
thường “ sợ” khi gặp phải.
A/ Cách tìm phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC :
Trước hết cần lưu ý :
• Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của hai đường phân giác trong .
• Muốn tìm phương trình đường tròn ta tìm tâm I (a ; b) và bán kính R. Khi đó phương trình
đường tròn có dạng (x – a)
2
+ (y – b)
2
= R
2
.
• Cho k là số thực khác 1, ta có :

⎪
⎪
⎩
⎪


Sử dụng công thức (I) với k =
AC
AB
−
ta xác đònh được tọa độ điểm D.
A
B C
D
I
• Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC thì I chính là chân đường phân giác
trong kẻ từ B của tam giác ABD.
Ta có :
ID
BD
BA
IA −=

Sử dụng công thức (I) với k =
BD
BA
−
là xác đònh được tọa độ tâm I.
Còn bán kính đường tròn nội tiếp tam giác chính là khoảng cách từ tâm I đến một
trong 3 cạnh của tam giác ABC.
Chú ý
: Nếu một trong ba đỉnh của tam giác trùng với gốc tọa độ và hai đỉnh còn lại
nằm trên hai trục tọa độ thì cách giải được thu gọn hơn vì biết trước được 1 đường phân giác
trong kẻ từ gốc tọa độ. Đường phân giác còn lại được tìm thông qua tìm chân đường phân giác
trong như đã trình bày ở trên.

2
x + 2b
2
y + c
2
= 0 (2)
Trục đẳng phương của (C
1
) và (C
2
) là tập hợp các điểm có cùng phương tích đối với
(C
1
) và (C
2
) và có phương trình là :
2(a
1
– a
2
)x + 2(b
1
– b
2
)y + c
1
– c
2
= 0
2/ Ứng dụng

) tại tiếp điểm.
• Nếu (C
1
) và (C
2
) không cắt nhau thì vẽ thêm đường tròn (C
3
) sao cho cắt được (C
1
),
(C
2
) và có tâm không nằm trên đường nối tâm của (C
1
), (C
2
). Gọi M là giao điểm của hai trục
đẳng phương của (C
1
) và (C
3
), (C
2
) và (C
3
). Khi đó trục đẳng phương của (C
1
) và (C
2
) là đường

) và (C
2
) [Nghóa là không cần tìm tọa độ giao điểm của (C
1
) và (C
2
)].
• Tiếp tuyến chung của 2 đường tròn (C
1
) và (C
2
) tiếp xúc nhau tại tiếp điểm chính là
trục đẳng phương của (C
1
) và (C
2
).
Sau đây, lưu ý thêm 2 bài toán thường gặp :
Bài 1
: Cho (C
1
) và (C
2
) ở ngoài nhau. Tìm quỹ tích những điểm M từ đó vẽ được đến (C
1
) và
(C
2
) những đoạn tiếp tuyến bằng nhau.
Cách giải

2
)

Bài 2 : Tìm tiếp điểm M của hai đường tròn tiếp xúc nhau (C
1
) và (C
2
)
Gọi I
1
và I
2
là tâm của (C
1
) và (C
2
). Tiếp điểm M chính
là giao điểm của trục đẳng phương của (C
1
) và (C
2
) với
đường nối tâm I
1
I
2
.

2 đường tròn (C
1
) và (C
2
). Chứng minh rằng nếu K thuộc d thì khỏang cách từ K đến tâm của
(C
1
) nhỏ hơn khỏang cách từ K đến tâm của ( C
2
).
9=
2223xy−− − =0
Giải:
Đường tròn
( )
1
C
có tâm
( )
O0
bán kính
R3
,0
1
=

Đường tròn
( )
2
C


()() ( )
= − + − =+=+−− = + +
22 2
22222
kkkkkk kk
OK x 0 y 0xy xx72x14x49

()()()( )
222 2
22
kkk k kk
IK x 1 y 1x1 x82x14x6=−+−=−+−−=+ +5

Ta xét
( ) ( )
222 2
kk kk
I

K OK 2x 14x 65 2x 14x 49 16 0
−=++−++=>
K OK IK OK(đpcm)>⇔>
Vậy
I

22
* * *

8

Điểm của M
∈
(E)

Đường chuẩn
(E) :
2
2
x
a
+
2
2
y
b
= 1
a
2
> b
2
và a
2
– b
2
= c
2

2c
F
1
12,
Δ
: x = ±
a
e

(E) :
2
2
x
a
+
2
2
y
b
= 1
a
2
< b
2
và b
2
– a
2
= c
2


⎨
==−
⎩12,
Δ
: y = ±
b
e

* Ghi chú :

1
Trường hợp elip có tâm I( ,
α
β
) hai trục cùng phương với 2 trục tọa độ thì phương trình
có dạng
()
2
2
x
a
− α
+
()
2
2
y

x
a
+
2
2
y
b
= 1 tại tiếp điểm M
0
(x
0
, y
0
) có phương trình
0
2
xx
a

+
0
2
yy
b
= 1
. Trường hợp không biết tiếp điểm ta áp dụng tính chất :
: Ax + By + C = 0 tiếp xúc với elip
()
Δ
(E) :

x
′
x tức
()
Δ
: x = ± a
. Elip (E) :
2
2
x
a
+
2
2
y
b
= 1 có 2 tiếp tuyến cùng phương với Oy là
x = a. Ngoài 2 tiếp tuyến x = a, mọi tiếp tuyến khác với ( E) đều có dạng ± ±
y = kx + m hoặc dạng y = k ( x –x
0
) + y
0
nếu tiếp tuyến đi qua ( x
0
, y
0
) là điểm nằm ngoài
elip.
Ví dụ1 :


2
2
x
a
+
2
2
y
b
= 1
với a
2
= 40 > b
2
= 10 c
2
= a
2
– b
2
= 30 ⇒
a = 2⇒ 10 , b = 10 , c = 30
Vậy elip (E) có trục lớn trên Ox, hai tiêu điểm nằm trên trục lớn là
F
1
(– 30 , 0) , F
2
( 30 , 0).
Hai đỉnh trên trục lớn là A
1

2
2
−
+ 4 – 40 = 0
()
2
3
M
0
(–2, 3)
∈
(E) : x
2
+ 4y
2
– 40 = 0 ⇒
Phương trình tiếp tuyến với (E) tại tiếp điểm M
0
(–2, 3) sẽ là:
⇒
x
0
x + 4y
0
y – 40 = 0 ⇔ –2x + 12y – 40 = 0
⇔ x - 6y + 20 = 0
c) Phương trình tiếp tuyến với elip phát xuất từ M(8, 0).
(E) có hai tiếp tuyến cùng phương với 0y là: x =
210± .Hai tiếp tuyến này không đi qua
M(8,0). Vậy pt tiếp tuyến

5
12
⇔ k = ±
5
23
= ±
15
6

Vậy có 2 tiếp tuyến với (E) qua M(8, 0) là :

15
6
x – y – 8
5
6
= 0 ⇔ 15 x – 6y – 8 5 = 0
hay –
15
6
x – y + 8
5
6
= 0 ⇔ 15 x + 6y – 8 5 = 0
d) Phương trình tiếp tuyến với (E) và vuông góc với (D)
(D) với (D) : 2x – 3y + 1 = 0
()
′
Δ
⊥

′
Δ
với (E) thì
( )
′
Δ
:

0
xx
40
+
0
yy
10
= 1 ⇔ x
0
x + 4y
0
y – 40 = 0
Với C = 20 : 3x + 2y + 20 = 0 ⇒
()
′
Δ
⇒
0
x
3
=
0

3
=
0
4y
2
=
40
20
−
−

⇔ hay M
0
(6, 1).
0
0
x6
y1
=
⎧
⎨
=
⎩

4