PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
N
1. Tọa độ của điểm :
( )
; ;M x y z OM xi y j zk
⇔ = + +
uuuur r r r
O(0; 0; 0)
đặcbiệt:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
; ;0 ;0;0
0; ; 0; ;0
;0; 0;0;
M Oxy M x y M Ox M x
M Oyz M y z M Oy M y
M Oxz M x z M Oz M z
∈ ⇒ ∈ ⇒
∈ ⇒ ∈ ⇒
∈ ⇒ ∈ ⇒
2. Toạ độ vectơ :
( )
; ;u x y z u xi y j zk
= ⇔ = + +
r r r r r
(1;0;0); (0;1;0); (0;0;1)i j k= = =
r r r
3. Các công thức tính toạ độ vectơ:
( )
; ;

2 2 2
u x y z= + +
r
( )
2
2 2
) ( ) (
B A B A B A
AB x x y y z z
= − + − + −
( )
2 2 2 2 2 2
. ' ' ' '
cos ; '
'
. ' ' '
u u xx yy zz
u u
u u
x y z x y z
+ +
= =
+ + + +
r ur
r ur
r ur
Bài tập: Xét các bài toán dưới đây trong hệ trục tọa độ Oxyz.
1. Cho
2 , 3 5( ), 2 3u i j v i j k w i j k= − = + − = + −
r r r ur r r r uur r r r

( ) ( )
1;1;1 ; 2;1; 1u v= = −
r r
b)
3 4 , 2 3u i j v j k= + = − +
r r r ur r r
6. Tìm M trên Ox sao cho M cách đều A(1; 2; 3) và B(-3; -3; 2)
7. Cho tam giác ABC có A(1 ; -1 ; 1) , B(0 ; 1 ; 2), C(1 ; 0 ; 1)
a) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC
b) Tính độ dài đường trung tuyến AM
8. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A(1; 0; 1), B(2; 1;2), D(1; -1; 1), C’(4; 5; -5). Tính tọa độ các đỉnh còn lại.
9. Cho tam giác ABC với A(1; 4; -1), B(2; 4; 3) và C(2; 2; -1).Tìm toạ độ D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
WRITTEN BY LÊ VĂN CHƯƠNG TRƯỜNG THPT DT NỘI TRÚ YÊN BÁI
1
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
10. Trong không gian cho 4 điểm A, B, C, D có toạ độ xác đònh bởi các hệ thức: A(2; 4; -1),
OB i 4j k= + −
uuur r r r
, C(2; 4;
3),
OD 2i 2j k= + −
uuur r r r
. Chứng minh :AB
⊥
AC, AC
⊥
AD, AD
⊥
AB
11. Cho A(1;-1;1) ,B(2;-3;2), C(4;-2;2),D(3;0;1),E(1;2;3)

a) Mặt cầu có tâm I và qua A thì R = IA =
( ) ( ) ( )
2 2 2
A I A I A I
x x y y z z− + − + −
b) Mặt cầu có đường kính AB thì R =
1
2
AB
và tâm I là trung điểm AB
; ;
2 2 2
A B A B A B
x x y y z z
I
+ + +
 
⇒
 ÷
 
c) Mặt cầu qua 4 điểm A, B,C, D thì viết phương trình mặt cầu ở dạng (2) rồi thay tọa độ từng điểm vào
phương trình và giải hệ để tìm a, b, c, d.
Bài 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu:
a) x
2
+ y
2
+ z
2
-6x +4y -2z – 86 = 0

b) mặt cầu đi qua điểm A(5; -2; 1) và có tâm C(3; -3; 1)
c) mặt cầu qua 4 điểm A(2; 4; -1), B(1; 4; -1), C(2; 4; 3), D(2; 2; -1)
d) mặt cầu qua 4 điểm A(1 ; 0 ; -1), B(3 ; 4 ; -2), C(4 ; -1 ; 1), D(3 ; 0 ; 3)
Bài 3: Trong không gian Oxyz cho A(1; -1; 2), B(1; 3; 2), C(4; 3; 2), D(4; -1; 2)Gọi A’ là hình chiếu của A lên Oxy.
Viết phương trình mặt cầu (S) qua A’, B, C, D.
Bài 4: Lập pt mặt cầu đi qua 3 điểm A(1;2;-4), B(1;-3;1) , C(2;2;3) và có tâm nằm trên mp Oxy
Bài 5 : Chứng tỏ rằng phương trình
2 2 2 2
4 2 4 4 0x y z mx my z m m+ + + − + + + =
ln là phương trình của một
mặt cầu. Tìm m để bán kính mặt cầu là nhỏ nhất.
Bài 6 : Chứng tỏ rằng phương trình
2 2 2 2
2 os . 2sin . 4 4 4sin 0x y z c x y z
α α α
+ + + − + − − =
ln là phương trình
của một mặt cầu. Tìm
α
để bán kính mặt cầu là lớn nhất.
Bài 3: TÍCH CĨ HƯỚNG CỦA HAI VEC TƠ
Cơng thức tích có hướng
Cho
( )
; ;u x y z=
r
và
( )
' '; '; 'u x y z=
ur

uuur uuur r
Bài tập:
1. Tính tích có hướng của các vect ơ:
a)
( ) ( )
3;0; 6 ; 2; 4;0a b= − = −
r r
b)
( ) ( )
1; 5;2 ; 4;3; 5a b= − = −
r r
c)
( ) ( )
1;1;1 ; 2;1; 1u v= = −
r r
d)
3 4 , 2 3u i j v j k= + = − +
r r r ur r r
2. Cho 4 điểm A(-2; 6; 3), B(1; 0; 6), C(0; 2; -1), D(1; 4; 0)
a) Tính
; ;AB AC BA BC∧ ∧
uuur uuur uuur uuur
b) Tính
( ); ( )AD AB AC BD BA BC∧ ∧
uuur uuur uuuur uuur uuur uuur
3. Cho 4 điểm A(1; 0;0) , B(0; 1; 0), C(0;0;1), D(-2; 1; -1)
a) Chứng minh A, B, C không thẳng hàng
b) Tìm góc giữa hai vecto
;AB CD
uuur uuur

) +C(z-z
0
) = 0, khai triển đưa pt về dạng: Ax + By +Cz + D = 0
2. Chú ý:
Cho mp (P) :Ax + By +Cz + D = 0
a. VTPT của (P)
( ; ; )n A B C=
r
b. Nếu điểm M(x
1
; y
1
; z
1
)
∈
(P) thì Ax
1
+By
1
+Cz
1
+D=0
Trong trường hợp chưa tìm được vectơ pháp tuyến thì tìm hai vectơ không cùng phương
; 'u u
r ur
có giá song
song hoặc nằm trong mp . Khi đó VTPT của mp là:
'n u u= ∧
r r ur

r
r
c)Viết phương trình mp qua C và vuông góc với đường thẳng AB
d)Viết phương trình mp trung trực của đoạn AC
e)Viết phương trình mp (ABC)
2. Viết phương trình mặt phẳng (
α
) trong các trường hợp sau:
a) (
α
) vuông góc với AB tại A, biết A(1;0;−2), B(2;1;1). b) (
α
) qua ba điểm M(2;−1;3), N(4;2;1), P(−1;2;3).
3. Trong không gian cho A(−1;2;1),
3OB j k= +
uuur r r
,
4OC i k= +
uuur r r
.
a) Chứng minh ABC là tam giác vuông.
b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC).
4. Trong không gian Oxyz, cho A(-2; 2; 4) , B(-2; 2; 0), C(-5; 2; 0), D(-2; 1; 0).
Viết phương trình mặt phẳng (ABC).Chứng tỏ A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
5. Viết phương trình mặt phẳng:
a) chứa trục Ox và điểm A(1; 2; 3) b) chứa trục Oy và điểm B(- 2 ; 3 ; 5)
c) chứa trục Oz và điểm C(2 ; -1 ; 2)
6. Cho tứ diện ABCD có A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6)
a) Viết phương trình mp (ACD) và (BCD)
b) Viết phương trình mp chứa AB và song song CD

⇔ ⇔
 
≠
≠




r ur
2.
( ) ( )
( ) ( )
; ; '; '; '
'
'
'
'
A B C k A B C
n kn
P P
D kD
D kD

=
=
 
≡ ⇔ ⇔
 
=
=


Bài tập:
1. Viết phương trình mặt phẳng (
α
) trong các trường hợp sau:
a) (
α
) qua A(0; −2; 1) và song song với mặt phẳng (
β
): x−3z+1=0.
b) (
α
) qua B(2 ; 3 ; -2) và song song với mặt phẳng (
β
): x−3y + 2z - 1=0.
c) (
α
) qua C( -1 ; 2 ; -1) và song song với mặt phẳng (
β
): 2x + y - 2z+4=0
d) (
α
) qua gốc tọa độ và song song với mặt phẳng (
β
): 4x + y - z+1=0.
2. Viết phương trình mặt phẳng (
α
) trong các trường hợp sau:
a) (
α

3. Viết phương trình mp qua B(4 ; -2 ; -1) và vuông góc với 2 mp (Oxy), mp (P) : x – y + 2z + 1 = 0
4. (TN 06 – 07)Trong không gian Oxyz, cho M(-1; -1; 0) và mp(P): x + y – 2z – 4 = 0. Viết mp(Q) qua M và song song
với (P)
5. (CĐ 08 – 09) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các mặt phẳng (P
1
) : x + 2y + 3z + 4 = 0 và (P
2
) : 3x + 2y −
z + 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1; 1; 1), vuông góc với hai mặt phẳng (P
1
) và (P
2
)
6. Xác định các giá trị của m, n để mỗi cặp mặt phẳng sau đây là một cặp mp song song với nhau
a) 2x + my + 3z – 5 = 0 và nx – 8y – 6z +2 = 0
b) 3x – 5y + mz - 3 = 0 và 2x + nx – 3y – 3z + 1 = 0
Tóm tắt một số cách viết phương trình mặt phẳng :
Loại 1 : Biết một điểm M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) và một vectơ pháp tuyến
( )
≠
r ur
n= A;B;C 0

n =n
.
* Thay tọa độ điểm A vào (α) để tìm
( )
( )
A A A
m, m= - Ax +By +Cz
.
Loại 4: (α) đi qua hai điểm M, N và vuông góc với mặt phẳng (β):
Ax+By+Cz+D= 0
,
(MN không vuông góc với (β):
* (α) có
α
∧
uur uuur uur
β
n =MN n
.
* Điểm thuộc mặt phẳng: M (hoặc N). Thay các kết quả vào (1).
III. Khoảng cách từ một điểm đến 1 mặt phẳng:
Định lý: Cho điểm M(x
0
; y
0
; z
0
) và mp (P) :Ax + By +Cz + D = 0
0 0 0
2 2 2

a) M (1; 2; 3), (P): 2x – y + 2z – 10 = 0
b) M( 2; -2; 3), (P): 4x – 3z + 3 = 0
c) M ( 0; -1; 3), (P): 3y – 11 = 0
2.Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng lần lượt có phương trình: x + 2y + 2z + 11 = 0 và x + 2y + 2z + 2 = 0
3.Trong không gian Oxyz, cho điểm A(-2; 4; 3) và mp (P) có phương trình: (P): 2x – 3y + 6z + 19 = 0
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (Q) đi qua điểm A và song song với mặt phẳng (P). Tìm khoảng cách giữa
2 mặt phẳng (P) và (Q).
4.Tìm m để khoảng cách từ M(m;0;1) đến mặt phẳng (
α
): 2x+y−2z+2=0 bằng
2
3
. ĐS: m=±1
5.Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(-2; 6; 3), B(1; 0; 6), C(0; 2; -1), D(1; 4;0).
a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện.
b) Tính chiều cao AH của tứ diện ABCD

6.Cho 4 điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1). Tính độ dài đường cao của hình chóp A.BCD
7.Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(1; 0; -1), B(3; 4; -2), C(4; -1; 1), D(3; 0; 3) .
a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A
b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Chứng minh ABCD là một tứ diện
c) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ABC)
d) Tính thể tích tứ diện ABCD.
8. ( TN năm 07 – 08) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; -2; -2) và mp(P) có phương trình: 2x – 2y + z
– 1 = 0.Tính khoảng cách từ A đến mp(P). Viết phương trình của mp(Q) sao cho (Q)//(P) và khoảng cách giữa (P) và
(Q) bằng khoảng cách từ A đến (P).
9. (TN năm 08 – 09) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x-1)
2
+ (y -2)
2

xúc mp (ABC).
17.( TN năm 06 – 07) Trong không gian Oxyz, cho mp(α): x + 2y – 2z +6 = 0.Viết phương trình mặt cầu tâm là gốc toạ
độ và tiếp xúc với mp(α).
18.(Khối B – năm 2005)Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ đứngABC.A’B’C’ với A(0; -3; 0), B(4; 0; 0), C(0; 3;
0), B’(4; 0; 4). Tìm toạ độ điểm A’, C’. Viết phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc mặt phẳng (BCC’B’)
AD2: Xét vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu:


Nhắc lại một số công thức:
Cho mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R và mp(P)
Để xét vị trí tương đối của (S) và (P), ta tính khoảng cách từ I đến (P) và so sánh với bán kính R
a) Nếu
( )
( )
,d I P R>
thì mặt cầu (S) và mp(P) không có điểm chung
b) Nếu
( )
( )
,d I P R=
thì mặt cầu (S) và mp(P) có duy nhất 1 điểm chung.
Trường hợp này, ta nói (S) và (P) tiếp xúc
c) Nếu
( )
( )
,d I P R<
thì mặt cầu (S) và mp(P) cắt nhau theo 1 đường tròn (C) có tâm là hình chiếu
của I lên (P) và bán kính
( )
( )

21. Cho mặt cầu (S):
4 6 6 17
2 2 2
0
x x y z
y z
− + + +
+ + =
và mặt phẳng
( )
α
x – 2y +2z + 1 = 0. Chứng tỏ mặt phẳng
( )
α
cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C). Hãy tính bán kính của đường tròn (C).
22. Cho tứ diện ABCD có A(3; 6; -2), B(6; 0; 1), C(-1; 2; 0), D(0; 4; 1).
a) Viết pt mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD. Xác định tâm và tính bán kính mc (S)
b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
c) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
23. (ĐH – Khối B - 07) Cho mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
– 2x +4y +2z -3 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox
và cắt (S) theo 1 đường tròn có bán kính bằng 3.
24.Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng(P) có phương trình: 2x + 2y + z – m
2
– 3m = 0 và mặt cầu (S):

α
tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với mp(ABD)
Đs: a) x
2
+ y
2
+ z
2
–3x – 6y – 2z + 7 =0 b)
21
1 0
2
z ± − =
Bài 5 : ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1. Viết PTTS, PTCT của đường thẳng
B1: Tìm toạ độ vectơ chỉ phương (a; b; c) ( là vectơ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng đó.
B2: Tìm toạ độ điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) thuộc đường thẳng
B3: PTTS:
0
0
0

= ∧ =
 ÷
 
r uur uur
Muốn tìm một điểm thuộc d thì ta cho x = x
0
(thường cho x = 0), giải hệ phương trình tìm y, z
b) Đường thẳng d qua 2 điểm A, B thì d có VTCP là
AB
uuur
c) Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng(P) thì d có VTCP là VTPT của (P)
d) đường thẳng d song song với đường thẳng
∆
thì d và
∆
có cùng VTCP
e) hai đường thẳng vuông góc thì hai vectơ chỉ phương của chúng vuông góc

BÀI TẬP:
1. Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a) (d) đi qua A(1;2;3) và B(3; 5; 7)
b) (d) qua C(-2; 0; 2) và D(1; -2; 3)
2. Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc ( nếu có) của đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a) (d) qua M(-1; 3; 1) và vuông góc với mặt phẳng(P): 2x – y + 3z + 1 = 0
b) (d) qua N(0; 2; 3 ) và vuông góc với mặt phẳng(Q): x + y - z = 0
3. Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc ( nếu có) của đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a) (d) qua K(-2; -1; 3) và song song đường thẳng
4
1
3