Chuyên đề hình học 12_Ban
cơ bản

Quan hệ
vuông góc
Trường THPT Hà Huy Giáp Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản
GV: Phạm Sơn Hà Trang 1
QUAN HEÄ VUOÂNG GOÙC

I) Hai đường thẳng a và b vuông góc nhau:
1) Tích vô hướng của hai véc-tơ:

cos... baba =
(
ba,
)
2) Ứng dụng của tích vô hướng:
Xác định góc giữa hai vectơ: cos(
ba,
) =
ba
ba
.
.



* * Cách 4: Định lý ba đường vuông góc
Cho a , b’ là hình chiếu của b trên
)(α⊂ )(α
.
a ⊥ b ⇔ a ⊥ b’
* Cách 5: Cho đường thằng a // (α). Nếu đường thẳng
b vuông góc với mp (α) thì nó cũng vuông
góc với đường thẳng a .
()
ba
)(b
//a
⊥⇒
⎩
⎨
⎧
α⊥
α
* * Cách 6: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông
góc với cạnh còn lại.
II) Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (α):
* * Cách 1: Nếu đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng
a

và vuông góc với giao tuyến thì cũng vuông góc
Trường THPT Hà Huy Giáp

Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản
GV: Phạm Sơn Hà
Trang
2

với mp còn lại.

()
()
() ()
()
α⊥⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
β∩α=⊥
β⊂
β⊥α
a
ba
a
)(
*
Cách 3:
Nếu hai mp cắt nhau cùng vuông góc với mp

⇔ (α) ⊥ (β)
()
⎩
⎨
⎧
α⊥
β⊂
a
)(aIV) GÓC:
1) Góc giữa hai đường thẳng:
a
Góc giữa hai đường thẳng trong không gian là góc a’
giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm
và lần lượt song song với a và b. b’ (a, b) = (a’, b’)
b
⇒
⎩
⎨
⎧
'b//b
'a//a
a
b
β

(a, (α)) = (a, a’) với a’ là hình chiếu của a trên (α). 3) Góc giữa hai mặt phẳng (
α
) và (
β
):
Các bước xác định góc:

Trường THPT Hà Huy Giáp

Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản
GV: Phạm Sơn Hà
Trang
3

+ Xác định giao tuyến c của (α) và (
β
)
α
+ Xác định hai đường thẳng a và b lần lượt nằm trên
hai mặt phẳng (α) và (
β
) đồng thời cùng vuông góc

a
β
b
c

O
H
α
a
giữa đường thẳng a song song với mp (α) bằng khoảng
cách từ một điểm bất kì trên a đến mp (α).

d(a, (α)) = d(O, (α)) = OH , ∀ O
∈
a

4) Khoảng cách giữa hai mp song song:
O
H
α
β
Cho hai mp song song (α) và (
β
). Khoảng cách
giữa (α) và (
β
) bằng khoảng cách từ một điểm
bất kì trên mp này đến mp còn lại.

d((α), (
β
) ) = d(O, (α)) = OH ∀ O
∈

)(β

b
d(a, b) = d(a, (α)), với (α) chứa b và song song a
* Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
bằng khoảng cách giữa hai mp song song lần
lượt chứa hai đường thẳng đó.

α
β
b
a
M
N
d(a, b) = d((α), (
β
)) ,
với (α), (
β
) song song lần lượt chứa a, b
* * Một số dạng hình thường gặp:
S
A
B
C
D


Hình chóp có đáy là hbh, ht, hcn, hv Hình chóp đáy tam giác có SA ⊥ đáy S
A
B C
D
S
A
BC
D Hình chóp đáy hình thang có SA ⊥ đáy Hình chóp đáy là hbh, ht, hcn, hv có SA ⊥ đáy Trường THPT Hà Huy Giáp

Hình choùp ñeàu ñaùy tam giaùc Hình choùp ñeàu ñaùy töù giaùc Lăng trụ đứng tam giác Hình hộp chữ nhật Hình lập phương

BÀI TẬP

1/
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA = a và vuông góc với đáy.
a)

CMR: các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông
b)

Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD tại B’, C’, D’. CMR: B’D’ //
BD và AB’ ⊥ SB, AD’ ⊥ SD.
2/
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a và có góc BAD = 60
0
. Gọi O là giao điểm của
AC và BD, đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SO =

Tính khoảng cách từ S đến mp (ABCD) và độ dài cạnh SC
b)

CMR: (SAC) ⊥ (ABCD)
c)

CMR: SB ⊥ BC
d)

Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). Tính tanα.
A B
B’
C
A’
C’
A
B
B’
C
D
A’
C’
D’
A
C
D
A’
C’
D’
B

V =
3
1
B.h
Trong đó: B là diện tích đáy, h là chiều cao của khối chóp.

II) Bài tập:
A. Bài toán 1: Thể tích khối lăng trụ.
Ví dụ:
Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, AA’ = b và AA’ tạo với mặt đáy
một góc 60
0
. Tính thể tích khối lăng trụ .
Giải
Gọi H là chân đường cao kẻ từ A của lăng trụ.
Khi đó, A’H là hình chiếu của AA’ trên mp(A’B’C’)
Xét tam giác AA’H vuông tại H có:
Sin A’ =
'AA
AH

AH = AA’. Sin A’ = AA’. Sin 60⇒
0
=
2
3b

Do tam giác A’B’C’ là tam giác đều nên chiều cao của tam giác là:
A
A’

3
2BÀI TẬP
Bài 1.
Cho lăng trụ đứng ABC.A
1
B
B
1
C
1
, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC= a, góc C bằng 60 ,
0
đường chéo BC
1
của mặt bên (CC
1
B
B
1
) hợp với mặt bên (ACC
1
A
1
) một góc 30 .
0
a. Tính độ dài đoạc AC
1

. Biết góc BA
1
D là góc vuông. Tính thể tích khối hộp.
ĐS: V =
4
2
1
2
2
21
)ss(4
ss
−

Trường THPT Hà Huy Giáp

Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản
GV: Phạm Sơn Hà
Trang
7

Bài 3.
Cho lăng trụ tam giác ABC.A
1
B
B
1
C
1
, đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A

B
1
C
1
D
1
, đáy là hình thoi cạnh a, góc A bằng 60 . Chân đường vuông
góc hạ từ B
0
1
xuống mặt đáy ABCD trùng với giao điểm hai đường chéo của đáy. Cho BB
1
= a
a. Tính góc giữa cạnh bên và đáy b. Tính thể tích khối hộp
ĐS: a. 60
0
, b. V=
4
a3
3

Bài 5.
Cho lăng trụ đều ABCD.A
1
B
B
1
C
1
D

. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và
khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B’C.
ĐS: V =
3
a
2
2
, d(AM, B’C) =
7
7a

Bài 8.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A
1
B
B
1
C
1
D
1
có AB = a, AB hợp với mặt phẳng (A’B’CB) một góc
α và góc BAC’ = β. Tính thể tích hình hộp.
Bai 9.
Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A
1
B
B
1
C

1
A
1
) một góc α.
a. Xác định góc α b. Tính thể tích khối lăng trụ.
Bài 11.
Cho lăng tru đứng ABC.A
1
B
B
1
C
1
, đáy ABC là tam giác cân tại A. Góc giữa AA
1
và BC
1
là
30
0
và khoảng cách giữa chúng là a. Góc giữa hai mặt bên qua AA
1
là 60
0
. Tính thể tích khối
lăng trụ.
Bài 12.
Cho lăng trụ đều ABC.A
1
B

a. Tính thể tích khối lăng trụ
b. Tìm một điểm cách đều các đỉnh của lăng trụ và tính khoảng cách ấy.
Bài 14.
Cho lăng trụ ABC.A
1
B
B
1
C
1
đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A
1
lên mặt phẳng
(ABC) trùng với tâm đường tròn (ABC). Góc BAA
1
bằng 45
0
. Tính thể tích khối lăng trụ.
Bài 15.
Cho lăng trụ xiên ABC.A
1
B
B
1
C
1
đáy là tam giác vuông cân tại A. Mặt bên (ABB
1
A
1