1 Những người thực hiện:
Phạm Hy Hiếu
Nguyễn Anh Tuấn
Phan Thiện Tôn
Nguyễn Thị Xuân Ngọc
Nguyễn Dương Bạch Mai
Tôn Nữ Quỳnh Trân
Nguyễn Mai Phương
Quách Thuỷ Tiên
Trần Ngọc Ngân
Phan Huỳnh Anh
Mai Nguyên Minh Uyên
2
ĐNN H LÝ VIÈTE VÀ CÁC N G DN G
1. N HC LI VÀ M RN G MT S VN V A THC:
1.1. N hc li v a thc:
Hàm s
ưc gi là mt a thc nu
hoc
ưc gi là h s cao nht,
ưc gi là h s t do.
N u
thì a thc
gi là a thc chuNn tc hay a thc mônic. N u
thì a thc
gi là a
thc bc và ta kí hiu:
. Hin nhiên, nu
thì
.
.
1.2. a thc trên các tp s:
Cho
. Khi ó, :
1.3. Các phép tính trên a thc:
Cho 2 a thc sau:
và phép hp, kí hiu là
VD1.3a.1: Chng minh rng:
a.
b.
có dng:
N u , ta có:
, ng thc xy ra khi
.
T các trưng hp va xét, ta có
(pcm).
Vi trưng hp
(pcm).
b. S hng cao nht ca
là
, mà
nên
, mà theo câu b thì:
.
Khi dó, tn ti duy nht hai a thc
và
sao cho
và:
thì
và
.
N u
thì ta nói rng
chia ht cho
hay
chia ht
.
Lời giải:
t:
. Vì
nên
Vy a thc dư trong phép chia cn tìm là
. Khi ó
là mt nghim ca
khi và ch khi
Chứng minh:
Xét a thc
và
Vì
nên
. t
Theo nh nghĩa v nghim ca a thc,
là nghim ca
khi và ch khi
, tc là:
, suy ra
, mâu thun.
T ây ta có pcm.
H qu 2: a thc bc có nhiu hơn hoc bng nghim là a thc .
VD1.4b.1: (Công thc ni suy Largrange)
Xét a thc:
Ta thy
là nghim ca
. Theo h qu 2 ca nh lý Bézout suy ra
. T ó:
ng thi
1.5.2. S bt kh qui ca a thc và tiêu chuNn bt kh qui Einstein:
a. nh nghĩa:
a thc
gi là bt kh qui trên
nu và ch nu
không phân tích ưc thành tích ca 2 a
thc cũng thuc
tho mãn iu kin
:
ng thi
phân tích ưc thành tích ca 2 a thc cũng thuc
thì ít nht mt trong 2 a thc trên có
bc không nh hơn .
Chứng minh:
Gi s
là các a thc thuc
.
Ta có
là s chia ht cho nhưng không chia ht cho
nên trong 2 s
mà
không chia ht cho nên
.
Mà
nên . ó chính là pcm.
c. Tiêu chuNn bt kh qui Einstein:
Trong nh lý trên, cho thì ta có nh lý sau:
Cho a thc
và
bt kh qui trên
nh lý này ưc gi là tiêu chuNn bt kh qui Einstein. N ó rt hu dng trong vic gii các bài toán S Hc
trên a thc.
1.6. Phương trình i s và các nh nghĩa liên quan:
Cho a thc
2. NN H LÝ VIÈTE:
2.1. Các a thc i xng sơ cp và vai trò ca chúng:
a thc bin
ưc gi là a thc i xng gia bin y nu vi mi hoán v
ca b s
………………
và ưc gi là tích chp ca bin phn t. Trong mt s
tài liu, biu thc
còn ưc gi là các a thc Viète.
Mt s a thc i xng sơ cp thưng gp là:
,
,
6
Vai trò ca các a thc i xng sơ cp nói trên trong i S là ht sc quan trng. Chúng ta s thy rõ iu y
qua nh lý sau ây:
Định lý cơ bản của Đại Số: Mi a thc i xng u có th biu din ưc qua các a thc i xng sơ cp.
nh lý này i vi trưng hp a thc bin
vi mi hoán v
ca
u phi bng nhau. (Vì gi s ngưc li, tc là các h s tương ng vi
khác
nhau thì a thc không còn i xng gia ) Do ó, ta ch cn chng minh nh lý cho trưng hp:
Vi và , ta xét biu thc:
Khi ó,
ta có:
Vy bng nguyên lý quy np toán hc, ta suy ra vi mi a thc có dng
Vi
,
N hưng a thc trên có th ưc vit dưi dng:
)
•
(tương ương vi
)
VD2.1a.1: (Bulgari MO 1998)
Cho tho . Chng minh rng:
Lời giải:
t , và . Ta có:
Bt ng thc cn chng minh tương ương vi:
Mt khác do và theo bt ng thc Cauchy ta có:
IV của Pháp.Vào những lúc rảnh rỗi,ông nghiên cứu toán học và tự xuất bản những kết quả mà ông gặt hái
được.ng được mệnh danh là cha đẻ của ngành số học hiện đại và là nhà toán học lỗi lạc nhất của thế kỉ 16.
Những câu chuyện sau sẽ phần nào mô tả một chút tính cách của ông.Trong thời gian làm việc cho vua
Henry III,ông đã tìm ra chìa khóa mật mã của người Tây Ban Nha dài 500 kí tự và đọc được thư từ bí mật
của quân đội kẻ thù.Vua Philipp II của Tây Ban Nha vẫn tin chắc rằng mật mã của mình là bất khả xâm
phạm,không ai có thể giải mã được nên khi nghe tin đó ,ông ta đã phàn nàn với Đức giáo hoàng rằng người
Pháp đã sử dụng ma thuật để chống lại ông ta và điều đó trái với những bài học tốt đẹp của Chúa.
Khả năng cư xử khéo léo của Viete được minh họa trong câu chuyện về Francoise de Rohan, người em
họ của Henry III.Bà đã hứa hôn với công tước J.de Nermours và có một con trai với ông nhưng sau đó,ông
này lại cưới một người phụ nữ khác là Anne d’Este. Francoise muốn ông ta công bố là chồng hợp pháp của
mình còn đứa con cùng Anne chỉ là con hoang.Viete đã tìm ra giải pháp:Nghò viện tuyên bố Francoise là vợ
hợp pháp của Nemours và trao cho bà ta những quyền lợi của một công tước và đồng thời cuộc hôn nhân của
Anne và Nemours bò huỷ bỏ để đảm bào Anne và con cô ta sẽ không bò tổn hại nào về danh dự hay quyền
lợi.
Khả năng toán học của Viete bắt đầu lộ diện trong sự việc sau vào mùa hè năm 1594.Nhà toán học
người Bỉ A. van Roomen đưa ra thách thức cho tất cả những nhà toán học đương thời về lời giải cho một
phương trình bậc 45.Đại sứ Hà Lan dâng cho vua Henry IV cuốn sách của van Roomen với lời bình luận
rằng dường như nước Pháp không có một nhà toán học nào quan trọng.Nhà vua cho gọi Viete và ngay sau
đó ông đã lập tức tìm ra lời giải cho bài toán ,vào ngày hôm sau,ông tìm ra hơn 22 cách giải nữa.
Đáp lại Van Roomen,Viete thách thức ông giải bài toán Apollonius tìm ra cách xây dựng 1 đường tròn
tiếp xúc với 3 tam giác cho trước.Khi Adrianus Romanus tìm ra lời giải sử dụng 2 hyperbolas,Vieté không
hài lòng lắm với lời giải đó vì nó xa lạ với hình học mà theo ông chỉ cần dùng hình học phẳng ,chỉ với những
đường tròn và đường thẳng. Sau đó, ông đã đưa ra lời giải tổng quát cho bài toán tiếp tuyến với một phương
pháp thuần chất hình học và xuất bản một cuốn sách nhỏ với tựa đề Apollonius Gallus năm 1600 ở Paris.
Adrianus cảm thấy rất hài lòng và hứng thú nên ngay sau đó ông lên đường đến Pháp để gặp Viete và có
một tình bạn mật thiết với Viete.
Lấy làm ngạc nhiên vì sao một luật sư bận rộn như Viete lại có thể dành nhiều thời gian đến thế cho
toán học.Theo một nhà sử học đương thời,vào năm 1620,sự suy tư dành cho toán học của Viete sâu sắc đến
nỗi suốt 3 ngày liền ông ngồi trên bàn làm vic, không ăn, không ngủ, ngoại trừ ngả đầu vào khuỷ tay và
thiếp đi, cũng không nghỉ ngơi một chút nào. Viete mất năm 1603, ch 2 tháng sau khi vua cho ông nghỉ hưu.
và
b s thc
(khơng nht thit phi hồn tồn phân bit ln nhau, trong trưng hp a thc có
nhiu nghim bng nhau). Khi ó,
là nghim ca
khi và ch khi chúng tho mãn h iu
kin sau:
9
Chứng minh:
a. nh lý thun:
Gi s
là các nghim ca
. Theo nh lý Bézout thì:
T ng nht thc trên ta có:
là nghim ca
. Theo nh lý thun va chng minh, ta có:
Xét 2 a thc:
N hưng do
có nghim không
âm. Chng minh rng:
Lời giải:
Theo nh lý Viète ta có:
Áp dng bt ng thc Cauchy ta có:
10
ó chính là pcm.
VD2.2b.2: Cho phương trình:
. Theo nh lý Viète ta có:
Vì nên bt ng thc cn chng minh tương ương vi:
Do gi thit
nên
Và ó chính là pcm.
ng thc xy ra khi và ch khi:
u
tn ti a thc
sao cho
và
có úng nghim u thuc .
Lời giải:
11
Gi s tn ti tp hp
sao cho
có nghim
. Theo nh lý Viète ta có:
u này không th xy ra khi ta tăng giá tr ca n vô cùng.
Vì vy mà không tn ti mt tp hp nào tho iu kin ca bài toán ưa ra c.
VD2.2b.4: Tìm tt c các a thc
có dng như sau:
à
Lời giải:
Xét a thc
tho iu kin như vy. Theo nh lý Viète thì:
Khi ó:
Suy ra
. Mt khác, cũng theo nh lý Viète:
Các ví d trên cho ta thy ng dng ca nh lý Viète i vi trưng hp tng quát ca a thc bc và trưng
hp riêng i vi . Song, 2 trưng hp riêng rt thưng gp ca nh lý Viète là:
i vi phương trình bc 2:
.
là 2 nghim ca phương trình khi và ch khi:
Do ó, ta có th tính theo tham s (hoc các h s c th) cho trưc các nghim ca phương trình bc 2 mà
không cn phi tính c th các nghim y ra. iu này không ch hu ích khi bài toán cho phương trình cha
tham s mà còn rt có ý nghĩa khi các nghim ca phương trình tìm ra ưc quá phc tp.
Ta hãy xét mt s bài toán:
VD3.1a.1: Cho phương trình bc 2:
có các nghim
. Tính theo và các biu thc sau:
a.
b.
c.
b.
Suy ra:
.
Lời giải:
Phương trình ã cho có nghim khi và ch khi
.
Gi
là 2 nghêm ca phương trình ã cho. Khi ó, nghim này bng ln nghim kia khi và ch khi:
Bây gi, gi s ta ã có h thc
, do các bin i k trên là bin i tương ương 2 chiu nên ta ch cn
chng minh rng phương trình ã cho cũng có nghim. Tht vy:
N u thì phương trình ã cho t có nghim.
N u , t h thc
và bt ng thc Cauchy, ta có:
c lp vi .
Lời giải:
Ta có:
nên phương trình ã cho
luôn có nghim .
Theo nh lý Viète ta có:
.
VD3.1a.5: Cho phương trình
có 2 nghim là
và phương trình
có 2
nghim là
. Chng minh rng:
ýè
ìýèì
y
Lời giải:
Phương trình có 2 nghim phân bit khi và ch khi:
Trong iu kin y, theo nh lý Viète, ta có:
có 2 nghim phân bit
và
.
Lời giải:
KX ca phương trình là: . Trong iu kin y,
.
Gi
là 2 nghim phân bit ca
Ta có:
Vy ta có:
tho iu kin:
Lời giải:
Phương trình ã cho có nghim khi và ch khi:
(úng )
Theo nh lý Viète, ta có:
∆
′
y và là các giá tr ca tho mãn yêu cu bài.
VD3.1a.9:
a. Cho phương trình
T ó:
ê
àươì
Theo câu a, ta có:
Suy ra:
b. Liên h gia nghim ca các phương trình bc 2:
VD3.1b.1: Cho ôi mt khác nhau và . Bit rng 2 phương trình sau có ít nht mt nghim chung:
Chng minh rng các nghim còn li ca chúng là nghim ca phương trình
.
Lời giải:
Gi
là nghim chung ca 2 phương trình ã cho. Ta có:
Mt khác, cũng theo nh lý Viète, vì và là 2 nghim ca phương trình
vi cũng có 2 nghim u dương.
Lời giải:
Vì phương trình
có 2 nghim dương nên:
Xét phương trình
, ta có:
cũng có nghim. Ta s chng minh các nghim y u dương.
Tht vy, theo nh lý Viète thì:
ì
Vì th, 2 nghim ca phương trình
.
Dưi iu kin y, theo nh lý Viète ta có:
ýè
vi 1 nghim ca
là 1 nghim ca
. Tính:
.
Lời giải:
Theo nh lý Viète, các cp nghim ca c 3 phương trình nói trên u gm 2 nghim là nghch o ca nhau.
17
Li theo nh lý Viète, ta có:
à
. Chng minh rng:
ng thc xy ra khi nào?
Lời giải:
Phương trình ã cho có 2 nghim khi và ch khi
.
Trong iu kin y, theo nh lý Viète ta có:
(vì theo iu kin có nghim ca phương trình)
Vy
(pcm). ng thc xy ra khi và ch khi .
nên phương trình ã cho luôn có 2 nghim phân bit là:
ư
Xét trưng hp 1:
và
, theo nh lý Viète ta có:
ng thc xy ra khi và ch khi (tho )
T kt lun ca 2 trưng hp trên ta có , t ưc khi và ch khi .
VD3.1c.3: Cho phương trình
Vì
là 2 nghim ca phương trình ã cho nên:
Áp dng bt ng thc Cauchy, ta có:
19
.
Lời giải
:
Phương trình ã cho có 2 nghim
khi và ch khi:
à
′
Lời giải:
Phương trình ã cho có:
nên nó luôn có nghim.
Theo nh lý Viète, ta có:
õàìà
ì
ááê
Lời giải:
Theo nh lý Viète, ta có:
Vy pcm úng ti .
Gi s ti pcm úng ti úng ti , tc là:
Theo nh lý Vi ète, ta cũng có:
Suy ra:
Tc là pcm cũng úng vi . Vy theo nguyên lý qui np toán hc thì
:
VD3.1d.2: Cho phương trình
có các nghim
nên
và
là các s nguyên.
Mt khác, cũng theo nh lý Viète, ta có:
, suy ra:
, tc là:
.
Công thc trên chính là cách tính
theo
và
.
Bây gi ta tìm s dư ca
khi chia cho . Ta có:
T ó:
Li thay bi thì
. Mà nên
.
Do ó, s dư trong phép chia cn tìm là .
t
thì ta thy
, hay
Bây gi ta thay các giá tr ca và vào, vì là nghim ca phương trình
nên không mt tính tng quát,
ta có th coi:
Vy
Công thc nói trên chính là s hng tng cn tìm ca dãy s Fibonacci.
N ói thêm v Fibonacci: Fibonacci tên tht là Leonardo da Pisa (1170 – 1250), cũng ưc bit n vi các
tên gi khác như Leonardo Pisano, Leonardo Bonacci, Leonardo Fibonacci, là nhà Toán hc ngưi Italia, ưc
coi là nhà toán hc thông minh nht thi trung i ca th gii.
Dãy s Fibonacci xut hin ln u trong cun sách “Liber Abaci” ca Fibonacci t bài toán sau ây:
Một cặp thỏ mỗi tháng sinh một lần, cho một cặp thỏ con gồm một đực và một cái. Cặp thỏ mới sinh ra sau 2
tháng lại bắt đầu sinh cặp mới. Giả thiết thỏ không chết và luôn sinh sản được (^_^), hỏi sau một năm sẽ có bao
nhiêu thỏ nếu như lúc đầu ta có 1 cặp thỏ.
T gi thit suy ra rng sau mt tháng s có 2 cp th, sau 2 tháng, cp th nht tip tc sinh và ta có 3 cp
th. Tháng tip theo, cpt hú 2 cũng sinh, và cp u vn sinh nên ta li có 5 cp th. N hư vy, nu kí hiu
là
s th tháng k t u năm thì ta thy
lp thành dãy s Fibonacci nói trên:
Dãy s xác nh như th ưc gi là dãy hi quy tuyn tính bc 2. N ó gn lin vi tên tui nhà toán hc ngưi
Pháp François Édouard Anatole Lucas (1842-1891) nên còn ưc gi là dãy Lucas.
Trong trưng hp phương trình bc hai
không có nghim thc, ta vn có th gii bài toán
trong trưng s phc.
Bây gi, ta s ng dng tư tưng trên vào mt bài toán tng quát hơn:
22
VD3.1d.4: Cho là các s thc tho iu kin và
a. Bài toán thun: Cho phương trình bc 2:
có 2 nghim thc
. t
thì
là 2 nghim phân bit ca phương trình
.
Lời giải:
a. Bài toán thun:
là 2 nghim ca phương trình
Suy ra
Hay:
.
Tc là
là 2 nghim ca phương trình
. ó chính là pcm.
ng dng bài toán trên, ta có th gii mt s bài toán S Hc sau:
VD3.1d.5: Tìm
vi
là phn nguyên ca s thc , ch s nguyên ln nht không vưt quá .
Lời giải:
t
và
, t ó ta tính ưc:
Mà:
nên
hay:
và
nên theo nh lý Viète
o thì
là 2 nghim ca phương trình
.
t
thì vi cách chng minh tương t như VD3.1d.2, ta có
23
Vy:
.
Lời giải:
Gii phương trình ã cho, ta thy nó có 2 nghim phân bit là
và
.
Theo nh lý v khai trin nh thc N ewton thì
sao cho:
Mt khác, theo nh lý Viète, ta có:
Và ó chính là pcm.
VD3.1d.8: (VMO 2002)
Tìm các giá tr nguyên dương ca phương trình sau có nghim nguyên dương:
Lời giải:
Phương trình ã cho có th ưa v dng tương ương sau:
sao cho
có giá tr nh
nht. Và, không mt tính tng quát, gi s
. Khi ó, t h thc
, ta d thy:
Theo nh lý Viète, và t nhn xét rng
, ta thy phương trình trên còn có mt nghim
nguyên dương na là:
Mt khác, do
và
có giá tr nh nht trong các nghim ca PT
nên:
24
Mà
nên
Ti , phương trình
có nghim nguyên dương
Ti , phương trình
có nghim nguyên dương
Ti , phương trình
ca b s
, ta u có:
hoc
Do iu kin
nên ta ch chn kt qu .
Khi ó, theo nh lý Viète o, là 2 nghim ca phương trình bc hai:
Lời giải:
t
và
. Khi ó:
. Suy ra:
25
, tc là .
Bin i phương trình
ca h, ta có:
Suy ra
Th li ta thy các nghim nói trên u tho h phương trình.
Vy h có 2 nghim
là
và
.
VD3.1e.3: (Olympic 30/4 năm 2007)
nên t phương trình u ca h ta có:
và . Thay vào phương trình sau ca h ta ưc:
Suy ra
Th li ta thy các nghim trên u tho h.
Vy h phương trình ã cho có các nghim
Copyright: Tài liệu đại học ©