NGUYỄN ðỨC TUẤN
TỰ ÔN LUYỆN THI

MÔN TOÁN
MÔN TOÁNMÔN TOÁN
MÔN TOÁN Hà nội, 1 - 2005
Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
1

Chương 1: Phương trình và bất phương trình
Bài 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI

I. Cách giải
1) Phương trình bậc nhất: ax + b = 0, a,b
∈

=
21
xx
-
a
2
b
.
•

N
ế
u
∆
> 0 ph
ươ
ng trình có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
=
2,1
x

a
2
b ∆±−
.
II. ðịnh lí Viét và hệ quả về dấu các nghiệm

.

2) Hệ quả:
Ph
ươ
ng trình b
ậ
c hai ax
2
+ bx + c = 0, a
≠
0 có hai nghi
ệ
m:
Trái d
ấ
u
⇔

0
a
c
< Cùng d
ấ
u
⇔





0
Cùng âm









<−
>
≥∆
⇔
0
a
b
0
a
c
0III. ðịnh lí về dấu của tam thức bậc hai
Cho tam thức bậc hai f(x) = ax
2
+ bx + c, a
≠
0 ta có

21
xxx
<
<
.
2. ðịnh lí ñảo: Nếu tồn tại số
α
sao cho a.f(
α
) < 0 thì tam thức có hai nghiệm phân biệt
và số
α
nằm trong khoảng hai nghiệm ñó:
21
xx
<
α
<
. Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
2

IV. Ứng dụng
1. ðiều kiện ñể f(x) = ax

ớ
i
∀
x










≤∆
>



≥
==
⇔
0
0a
0c
0ba f(x) < 0 v
ớ

∀
x










≤∆
<



≤
==
⇔
0
0a
0c
0ba

2. So sánh nghiệm tam thức bậc hai với số thực
α

•
ð

ệ
t và
α
n
ằ
m ngoài kho
ả
ng hai
nghi
ệ
m:



>α
>∆
0)(f.a
0

- N
ế
u
α
n
ằ
m bên ph
ả
i hai nghi
ệ
m:

m bên trái hai nghi
ệ
m:
21
xx
<
<
α








>−=
>α
>∆
⇒
a
a2
b
2
S
0)(f.a
0

•
ð

;
] là: f(
α
).f(
β
) < 0.

3. ðiều kiện ñể f(x) có nghiệm thỏa mãn x >
α
:
•

Tr
ườ
ng h
ợ
p 1: f(x) có nghi
ệ
m
21
xx
<
α
<
⇔
a.f(
α
) < 0.
•



Tr
ườ
ng h
ợ
p 3: f(x) có nghi
ệ
m
21
xx
<
=
α





<α
=α
⇔
2
S
0)(f

( Làm t
ươ
ng t
ự
v

u ki
ệ
n
ñể

ph
ươ
ng trình f(x) = m có nghi
ệ
m là minf(x)
≤
m
≤
maxf(x).Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
3

Bảng tóm tắt ñịnh lý thuận về dấu của tam thức bậc hai N
ế
u
0
<
∆


-
a
2
ba.f(x) > 0 v
ớ
i x ngoài
]x;x[
21

a.f(x) < 0 v
ớ
i
21
xxx
<
<

Bảng tóm tắt so sánh nghiệm tam thức bậc hai với số thực
αð
i
ề


α
n
ằ
m ngoài kho
ả
ng hai nghi
ệ
m




>α
>∆
0)(f.a
0

α
<
<
21
xx

α
<
<
21
xx





>−=
>α
>∆
a
a2
b
2
S
0)(f.a
0Ví dụ 1
. Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình 08mx)4m(2x
22
=+++− có 2 nghi
ệ
m d
ươ
ng.
Ví dụ 2
. Xác
ñị

ñ
úng v
ớ
i m
ọ
i x.
Ví dụ 4
. Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình
m
2
mx
x
2
+
+
= 0 có hai nghi
ệ
m
21
x,x th
ỏ
a mãn
-1<
21
xx
<

ph
ươ
ng trình có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t nh
ỏ
h
ơ
n 2
Ví dụ 7
. Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình 02mmx2x
2
=++− có nghi
ệ
m l
ớ
n h
ơ
n 1
Ví dụ 8.
Tìm m
ñể
ph
ươ

ươ
ng trình (1) tr
ở
thành: at
2
+ bt + c = 0 (2)
•

PT (1) có nghi
ệ
m khi và ch
ỉ
khi (2) có ít nh
ấ
t m
ộ
t nghi
ệ
m không âm.

•

PT (1) có
ñ
úng hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t khi và ch
ỉ

ệ
m d
ươ
ng.

•

PT (1) có
ñ
úng 4 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t khi và ch
ỉ
khi (2) có hai nghi
ệ
m d
ươ
ng phân
bi
ệ
t.Ví dụ 1
. Cho ph
ươ
ng trình: x
4

Ví dụ 2.
Tìm m sao cho
ñồ
th
ị
hàm s
ố
y = x
4
-2(m+4)x
2
+ m
2
+ 8
c
ắ
t tr
ụ
c hoành l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i 4
ñ
i
ể
m phân bi
ệ

22
ba
0b

| a |
≥
b








≥
≥
<
⇔
22
ba
0b
0b

| a |
≥
| b |
22
ba ≥⇔


Ví dụ 6. Tìm m ñể phương trình | x
2
– 1 | = m
4
– m
2
+1 có 4 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 7. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình | x – 1 | + | x + 2 | = m. Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
5

Bài 3: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
I.Các dạng cơ bản
Dạng 1:
)x()x(f
1n2
ϕ=
+
, n
∈
N
*

⇔
f(x) = [
)x(
ϕ


ϕ<
>ϕ
≥
⇔ϕ<
2
)]x([)x(f
0)x(
0)x(f
)x()x(f
,





ϕ≤
≥ϕ
≥
⇔ϕ≤
2
)]x([)x(f
0)x(
0)x(f
)x()x(f

D
ạ
ng 4:






ϕ≥
≥ϕ



≥ϕ
<
⇔ϕ≥
2
)]x([)x(f
0)x(
0)x(
0)x(f
)x()x(f

Ví dụ 1
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
1x23x2x
2
+=+−

Ví dụ 2.

m
3mxx2mx
2
−+=−

II. Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô tỷ không cơ bản
1) Phương pháp lũy thừa hai vế:
-
ðặ
t
ñ
i
ề
u ki
ệ
n tr
ướ
c khi bi
ế
n
ñổ
i
- Ch
ỉ

ñượ
c bình ph
ươ
ng hai v
ế

ữ
nguyên chi
ề
u)
nếu
hai v
ế
c
ủ
a chúng
không âm.
- Chú ý các phép bi
ế
n
ñổ
i c
ă
n th
ứ
c
AA
2
= .
Ví dụ 5
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình


x1x2x ≤+−+

Ví dụ 9
.Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
2x21x6x8x2
22
+=−+++

Ví dụ 10
.Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình
1x1x3x23x4x
22
−≥+−−+−

2)Phương pháp ñặt ẩn phụ:
- Nh
ữ
ng bài toán có tham s
ố
khi

.Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình
x2x71x10x5
22
−−≥++

Ví dụ 12.
i
ả
i ph
ươ
ng trình
47x1x7x28x
=+−+++++

Ví dụ 13
.Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
4x415x42x2x
2
−+−=−++


5
x5
++<+

Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
6

Bài 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ðỐI XỨNG

I. Hệ phương trình ñối xứng loại 1
1)Khái niệm
: Là h
ệ
mà m
ỗ
i ph
ươ
ng trình không
ñổ
i khi ta thay x b
ở
i y và thay y b
ở
i x.

2)Tính chất
: N
ế
u (x

ệ
ph
ươ
ng trình v
ề
d
ạ
ng: H
ệ

ñ
ã cho
⇔



=
=+
Py.x
Syx
(1)
Khi
ñ
ó x, y là nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình:

1,
t
2
), (t
2
, t
1
).
N
ế
u
∆
= 0 thì ph
ươ
ng trình (2) có nghi
ệ
m kép t
1
= t
2
nên h
ệ
(1) có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t (t
1,
t
2

≥
≥
≥−=∆
0P
0S
0P4S
2

Ví dụ 1
.Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình



=+
=+
26yx
2yx
33







m1y1x
2




=+++
−=++
m2)yx(2yx
6m5)2y)(2x(xy
22II. Hệ phương trình ñối xứng loại 2
1)Khái niệm:
Là h
ệ
ph
ươ
ng trình mà trong h
ệ
ph
ươ
ng trình ta
ñổ
i vai trò x, y cho nhau
thì ph
ươ
ng trình n
ọ

m c
ủ
a h
ệ
.

3)Cách giải:

Tr
ừ
v
ế
v
ớ
i v
ế
hai ph
ươ
ng trình c
ủ
a h
ệ
ta
ñượ
c ph
ươ
ng trình có d
ạ
ng:
(x – y).f(x,y) = 0

=−
22
22
x4xy
y4yx








+=
+=
x
1
xy2
y
1
yx2
2
2

Ví dụ 4
.Tìm m
ñể
h
ệ
sau có nghi


Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
7

Bài 5: MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG KHÁC

I. Hệ vô tỷ

Ví dụ 1.
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình





=+
=++
4yx
28xy2yx
22

Ví dụ 2.
Gi

=−++
1xyxy
2yxyx

Ví dụ 4. Giải hệ phương trình





=+−
=−−
2yx2
2y2x

Ví dụ 5. Tìm m ñể hệ có nghiệm





=++
=++
1x1y
my1x

II. Hệ hữu tỷ
Ví dụ 6. Giải hệ phương trình




=−
=−
2)yx(xy
7yx
33

Ví dụ 8.
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình





+=+
+=+
)x1(5y1
x16yy4x
22
33

Ví dụ 9
. Tìm a
ñể

22
22

Ví dụ 11
.Tìm m
ñể
h
ệ
có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t:



=+−
=+
2x2yx
myx
22

Ví dụ 12.
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình

33

==========================================================

Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
8

Chương 2: Phương trình lượng giác, mũ, logarit

Bài 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I. Phương trình lượng giác cơ bản

Khi gi
ả
i các ph
ươ
ng trình l
ượ
ng giác cu
ố
i cùng d
ẫ
n
ñế
n phép gi
ả

ðư
a v
ề
d
ạ
ng Nghi
ệ
m
sinx = m
1
m
1
≤
≤
−

sinx = sin
α




π+α−π=
π+α=
2kx
2kx

cosx = m
1
m

+ k
π Ở
b
ả
ng trên k nh
ậ
n m
ọ
i giá tr
ị
nguyên (
Z
k
∈
) .
ðơ
n v
ị
góc th
ườ
ng dùng là radian.
ðể
thu
ậ
n l
ợ
i cho vi

m
ộ
t cách rõ ràng h
ơ
n.
Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
9

Ví dụ 1.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
a) sin3x =
2
2
; b) sin(2x -
5
π

3
8
xcos
3
(cos
2
=
π
−
π
.
Ví dụ 4.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
)xsin3cos()xsincos(
π
=
π

Ví dụ 5
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
1)x2(sinxcos
22

c
xcos
ba
b
xsin
ba
a
+
=
+
+
+
(2)

ðặ
t
22
ba
a
+
= sin
ϕ
;
22
ba
b
+
= cos
ϕ
.


Khi
ñ
ó t
ồ
n t
ạ
i
[
]
π
∈
α
;0
sao cho
22
ba
c
cos
+
=α
nên ta có:
(1)
⇔

α
=
ϕ
−
cos)xcos(

i ph
ươ
ng trình v
ớ
i m = - 3 .
b)

Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình vô nghi
ệ
m.
Ví dụ 8
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình: 1xsin3xcosxsin32xcos
22
=++

Ví dụ 9
. Tìm
α

ñể
ph
ươ


π
∈
2
;0x
:
cos2x – msin2x = 2m – 1
Ví dụ 12
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình: sin8x – cos6x = 3 (sin6x + cos8x).
Ví dụ 13
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
0
4
1
xsinx4cos.xcosx4cos
22
=+−−
các s
ố

h
ạ
ng có t
ổ
ng s
ố
m
ũ
c
ủ
a cosx và c
ủ
a sinx ho
ặ
c
ñề
u là s
ố
t
ự
nhiên ch
ẵ
n ho
ặ
c
ñề
u là s

ấ
t trong các t
ổ
ng s
ố
m
ũ
nói trên
ñượ
c g
ọ
i là b
ậ
c c
ủ
a ph
ươ
ng trình.

Cách giải
: - Xét tr
ườ
ng h
ợ
p cosx = 0 th
ử
vào ph
ươ
ng trình
- Khi 0xcos

ng trình: xsin2)
4
x(sin
3
=
π
+

Ví dụ 16
. Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m:
msin2x + cos2x + sin
2
x +m = 0.
Ví dụ 17:
Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình sau có
ñ
úng hai nghi
ệ
m x n
ằ

ộ
t ph
ươ
ng trình sau khi bi
ế
n
ñổ
i v
ề
cosx, sinx mà các s
ố
h
ạ
ng có
ch
ứ
a t
ổ
ng (cosx
±
sinx ) ho
ặ
c ch
ứ
a tích cosx.sinx
ñượ
c g
ọ
i là ph
ươ

2
− N
ế
u
ñặ
t t = sinx - cosx, ta có
2t ≤
. Khi
ñ
ó: sinx.cosx =
2
t1
2
−Ví dụ 18
. Cho ph
ươ
ng trình: sinx.cosx = 6 ( sinx + cosx + m).

a)

Gi
ả
i h
ệ

i ph
ươ
ng trình: x4sin
2
3
x2cosx2sin1
33
=++
Ví dụ 21
. Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình sau có nghi
ệ
m






ππ
∈
4
3
,
4
x
:

ữ
ng ph
ươ
ng trình
ñ
ã trình bày
ở
các
m
ụ
c tr
ướ
c, ng
ườ
i ta th
ườ
ng ngh
ĩ
t
ớ
i phân tích chúng thành nh
ữ
ng ph
ươ
ng trình c
ơ
b
ả
n.
Vi

ó, chúng ta c
ầ
n ph
ả
i thành th
ạ
o các công th
ứ
c l
ượ
ng giác, các
h
ằ
ng
ñẳ
ng th
ứ
c
ñạ
i s
ố

ñ
áng nh
ớ
và c
ũ
ng c
ầ
n ph

ư

1xsin
±
=
,
2
1
xsin
±=
,
1xcos
±
=
,
2
1
xcos
±=

và ph
ươ
ng trình có ch
ứ
a th
ừ
a s
ố
(cosx
±

ế
n
ñổ
i t
ổ
ng thành tích , bi
ế
n
ñổ
i tích
thành t
ổ
ng, hàm s
ố
l
ượ
ng giác c
ủ
a hai góc có liên quan
ñặ
c bi
ệ
t. Chú

thêm m
ộ
t
s
ố
bi

ệ
m
ñ
ã th
ử

ñượ
c).
Tham kh
ả
o thêm b
ả
ng h
ọ
các bi
ể
u th
ứ
c có nhân t
ử
chung.

f(x) Biểu thức chứa thừa số f(x)
sinx sin2x, tgx, tg2x,
cosx sin2x, tg2x, cotgx,
1+cosx
2
x
cos
2

x, )
2
x
4
(cos
2
−
π
, )
2
x
4
(sin
2
+
π

1-sinx
cos
2
x, cotg
2
x,
)
2
x
4
(cos
2
+

2
3x =
2
3

Ví dụ 3.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình: cos3x.cos4x + sin2x.sin5x =
2
1
( cos2x + cos4x).
Ví dụ 4
.Gi
ả
i ph
ươ
ng trình: 2sin
3
x + cos2x + cosx = 0
Ví dụ 5
.Gi
ả
i ph
ươ
ng trình: sin4x – cos4x = 1 + 4(sinx – cosx)
Ví dụ 6.
Gi

22
.

Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
12

Bài 2: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LOGARIT

I. Các kết quả cơ bản
1) Hàm số mũ:
y = a
x
,
.1a0
≠
<

•

T
ậ
p xác
ñị
nh: IR.
•


n.
•

D
ạ
ng
ñồ
th
ị
:

2) Hàm số logarit:
y = log
a
x ,
.1a0
≠
<

a) Các tính ch
ấ
t:
•

T
ậ
p xác
ñị
nh: IR
*

th
ị
: Chú ý:
Trong các b
ấ
t ph
ươ
ng trình m
ũ
, logarit, c
ơ
s
ố
a l
ớ
n h
ơ
n hay bé
h
ơ
n 1 quy
ế
t
ñị
nh chi
ề
u c


Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
13

b)Các công thức chú ý:
•blog
a
có ngh
ĩ
a



≠<
>
⇔
1a0
0b

•

alog
blog
blog
c
c

a
m
a
n
=
( V
ớ
i b > 0 và
1a0
≠
<
)
•

|b|log.k2blog
a
k2
a
=
v
ớ
i
Z
k
∈
.
II. Các phương trình, bất phương trình có dạng cơ bản
1) Phương trình mũ:
Cho
.1a0








>
<<



<
>
⇔
blog)x(f
1a0
blog)x(f
1a
a
a

D
ạ
ng 3:
ba
)x(f
>

-

ng trình.
-
N
ế
u b > 0, khi
ñ
ó b
ấ
t ph
ươ
ng trình t
ươ
ng
ñươ
ng v
ớ
i:










<
<<


>
⇔<
)x(g)x(f
1a0
)x(g)x(f
1a
aa
)x(g)x(f

Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
14

2)Phương trình logarit
D
ạ
ng 1:
b
a
a)x(fb)x(flog
=⇔=
.
D
ạ

ng 3:










<<
<<



>
>
⇔>
b
b
a
a)x(f0
1a0
a)x(f
1a
b)x(flog

D
ạ

1mm
5
1
24
3x4x
2
+−=






+−

a)Gi
ả
i ph
ươ
ng trình khi m = 1.
b)Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình có 4 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t.
Ví dụ 2

i ph
ươ
ng trình:

0)x2cosx(coslog)xsinx(coslog
x
1x
=
+
+
−

Ví dụ 5.
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình:
[
]
1)729(loglog
x
3x
≤−
Ví dụ 6.
Gi
ả
i b

i
ề
u ki
ệ
n.
•

Nh
ữ
ng bài toán có tham s
ố
,
ñặ
t
ẩ
n ph
ụ
ph
ả
i tìm t
ậ
p xác
ñị
nh c
ủ
a
ẩ
n m
ớ
i.

ừ
a
ở
h
ệ
s
ố
, th
ườ
ng chuy
ể
n v
ề
vi
ệ
c phân tích thành th
ừ
a s
ố
,
nh
ẩ
m nghi
ệ
m và ch
ứ
ng minh nghi
ệ
m duy nh
ấ

n t
ử
gi
ố
ng nhau hay nhân t
ử
gi
ố
ng nhau
ta có th
ể

ñặ
t
ẩ
n ph
ụ

ñể

ñư
a bài toán tr
ở
lên
ñơ
n gi
ả
n h
ơ
n.

t ph
ươ
ng trình:
3
)x5(log
)x35(log
a
3
a
>
−
−
(v
ớ
i
1a0
≠
<
).
Ví dụ 10
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
2
9
3
32
27

6
1
2
6
2
+=−−−−−

Ví dụ 13.
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình:
)3x(log
2
1
2xlog6x5xlog
3
1
3
1
2
3
+>−++−

Ví dụ 14.
Gi
ả

ươ
ng trình:
4)21x23x6(log)x4x129(log
2
3x2
2
7x3
=+++++
++

Ví dụ 17
. Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình sau
ñ
ây có hai nghi
ệ
m trái d
ấ
u:

01m4)4m2(16)3m(
xx
=++−++


o sát s
ự
bi
ế
n thiên hàm s
ố

a) Xét chi
ề
u bi
ế
n thiên c
ủ
a hàm s
ố

•

Tính
ñạ
o hàm
•

Tìm các
ñ
i
ể
m t
ớ
i h

ấ
u c
ủ
a
ñạ
o hàm trong các kho
ả
ng xác
ñị
nh b
ở
i các
ñ
i
ể
m t
ớ
i h
ạ
n.
(Gi
ữ
a hai
ñ
i
ể
m t
ớ
i h
ạ

ế
u
)x(f
′
>0, ngh
ị
ch bi
ế
n n
ế
u
)x(f
′
<0).
b) Tính các c
ự
c tr
ị
(suy ra ngay t
ừ
ph
ầ
n xét chi
ề
u bi
ế
n thiên)
c) Tìm các gi
ớ
i h

ả
i, các giá tr
ị
c
ủ
a x t
ạ
i
ñ
ó hàm s
ố
không
xác
ñị
nh (
o
xx
+
→
,
o
xx
−
→
)
•

Tìm ti
ệ
m c

ố

- Ti
ệ
m c
ậ
n xiên: y = ax + b . Trong
ñ
ó
x
)x(f
lima
x
∞→
=
;
]ax)x(f[limb
x
−
=
∞→

(khi
+∞
→
x
(
−∞
→
x

ñồ
th
ị
hàm s
ố
(n
ế
u là hàm s
ố

ñ
a th
ứ
c)
•

Tính
ñạ
o hàm c
ấ
p 2
•

Xét d
ấ
u c
ủ
a
ñạ
o hàm c

′
′
v
ớ
i
)b;a(x
∈
∀
thì
ñồ
th
ị
hàm s
ố
l
ồ
i trên kho
ả
ng
ñ
ó)
e) L
ậ
p b
ả
ng bi
ế
n thiên (ghi t
ấ
t c

ủ
a
ñồ
th
ị
v
ớ
i các tr
ụ
c t
ọ
a
ñộ
và nên
l
ấ
y thêm m
ộ
t s
ố

ñ
i
ể
m c
ủ
a
ñồ
th
ị

ñọ
c l
ạ
i các ví d
ụ
m
ẫ
u SGK t
ừ
trang 80
ñế
n trang 97).
Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
17

BÀI 2: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ðẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
I. Tìm giao ñiểm của hai ñường

Gi
ả
s
ử
hàm s
ố

)x(fy
=
có
ñồ

là nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng trình




=
=
x(gy
)x(fy

Do
ñ
ó
ñể
tìm hoành
ñộ
các giao
ñ
i
ể
m c
ủ

ị
(C) và
)C(
1
.
N
ế
u
, x,x
1o
là các nghi
ệ
m c
ủ
a (1) thì các
ñ
i
ể
m
)) x(f;x(M)),x(f;x(M
111ooo
là các
giao
ñ
i
ể
m c
ủ
a (C) và
)C(

ầ
u bài toán.
Ví dụ 1
. Bi
ệ
n lu
ậ
n theo m s
ố
giao
ñ
i
ể
m c
ủ
a
ñồ
th
ị
các hàm s
ố2
x
3x6x
y
2
+
+−

ị
nào c
ủ
a k thì
ñườ
ng th
ẳ
ng
2kkxy
+
−
=
c
ắ
t
ñồ
th
ị
hàm s
ố

1
x
1xx
y
2
−
−+
=


= t
ạ
i hai
ñ
i
ể
m phân bi
ệ
t
Ví dụ 5
. Tìm m
ñể

ñườ
ng th
ẳ
ng
m
x
y
+
−
=
c
ắ
t
ñồ
th
ị


2
−
++
= c
ắ
t tr
ụ
c hoành t
ạ
i 2
ñ
i
ể
m phân bi
ệ
t có hoành

ñộ
d
ươ
ng.
Ví dụ 7
. Tìm m
ñể

ñườ
ng th
ẳ
ng y = m c
ắ


ñồ
th
ị
1mxx3xy
23
+++= c
ắ
t
ñườ
ng th
ẳ
ng y = 1 t
ạ
i 3
ñ
i
ể
m phân bi
ệ
t.
Ví dụ 9
. Tìm m
ñể

ñồ
th
ị

3

=
c
ắ
t
ñồ
th
ị
hàm s
ố

2
x
1
1xy
+
++= t
ạ
i hai
ñ
i
ể
m
có hoành
ñộ
trái d
ấ
u.
Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
18

ooo
−
′
=
−

b) Ph
ươ
ng trình
ñườ
ng th
ẳ
ng
ñ
i qua
ñ
i
ể
m )y;x(M
111
và ti
ế
p xúc v
ớ
i (C)
ðườ
ng th
ẳ
ng d
ñ

ươ
ng trình sau ph
ả
i có nghi
ệ
m:




=
′
+−=
k)x(f
y)xx(ky
11

H
ệ
ph
ươ
ng trình này cho phép xác
ñị
nh hoành
ñộ

o
x c
ủ
a ti

ớ
i nhau n
ế
u và ch
ỉ
n
ế
u h
ệ

ph
ươ
ng trình sau
ñ
ây có nghi
ệ
m:




′
=
′
=
)x(g)x(f
)x(g)x(f

c) Ph
ươ

ớ
i
ñồ
th
ị
(C), ta gi
ả
i
ph
ươ
ng trình
k)x(f
=
′
tìm
ñượ
c hoành
ñộ
các ti
ế
p
ñ
i
ể
m , x,x,x
21o
T
ừ

ñ

khi bi
ế
t ph
ươ
ng c
ủ
a ti
ế
p tuy
ế
n ho
ặ
c
ñ
i qua
m
ộ
t
ñ
i
ể
m cho tr
ướ
c nào
ñ
ó.

Ví dụ 1
. Vi
ế

i qua
ñ
i
ể
m A(0 ; 4)
Ví dụ 2
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình các
ñườ
ng th
ẳ
ng vuông góc v
ớ
i
ñườ
ng th
ẳ
ng 3x
4
1
y += và ti
ế
p xúc
v
ớ
i
ñồ

++−= bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n

ñ
ó song song v
ớ
i
ñườ
ng th
ẳ
ng
1x9y
+
−
=

Ví dụ 4.
T
ừ
g
ố
c t
ọ
a
ñộ

n
ñ
ó.

Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
19

Ví dụ 5
. Cho hàm s
ố

2
3
x3x
2
1
y
24
+−−= có
ñồ
th
ị
là (C)
a)

Vi
ế
t ph
ươ

ñ
i
ể
m
)
2
3
;0(A

Ví dụ 6.
Cho hàm s
ố

2
x
2x3
y
+
+
= có
ñồ
th
ị
là (C).
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng, không có ti
ế

. Cho hàm s
ố

1
x
1
xy
+
−= có
ñồ
th
ị
là (C)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng trên (C) t
ồ
n t
ạ
i nh
ữ
ng c
ặ
p
ñ
i
ể
m mà ti

ử
ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i
)C(M
∈
c
ắ
t hai ti
ệ
m c
ậ
n t
ạ
i P và Q. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng MP=MQ
Ví dụ 9
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế

ñ
i
ể
m A(1;1).
Ví dụ 10.
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
ñồ
th
ị

1
x
1xx
y
2
+
−−
= bi
ế
t ti

Tìm t
ấ
t c
ả
các
ñ
i
ể
m trên tr
ụ
c tung mà t
ừ

ñ
ó có th
ể
k
ẻ

ñượ
c 2 ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i
ñồ
th
ị

ñể

ñồ
th
ị

2223
m4x)1m4(mx2y
++−=
ti
ế
p xúc v
ớ
i tr
ụ
c hoành.
Ví dụ 14.
Tìm m
ñể

ñồ
th
ị

2
x
1m2mx3mx
y
2
+

2
+
−++
=

ti
ế
p xúc v
ớ
i parabôn
5xy
2
+=
.
Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
20

III. Sự ñồng biến, nghịch biến của hàm số Cho hàm s
ố
y = f(x) có
ñạ
o hàm trên kho
ả
ng (a;b)
a)


⇔
v
ớ
i
)b;a(x
∈
∀Bài toán :
Yêu c
ầ
u tìm m
ñể
cho hàm s
ố

ñồ
ng bi
ế
n, ngh
ị
ch bi
ế
n trong m
ộ
t kho
ả
ng nào
ñ

ñị
nh m sao cho hàm s
ố

ñồ
ng bi
ế
n trên t
ậ
p xác
ñị
nh.
Ví dụ 2.
Cho hàm s
ố

1mmx2x2y
2
−++=

Xác
ñị
nh m sao cho hàm s
ố

ñồ
ng bi
ế
n trong kho
ả

2
+
+++
=

Tìm m
ñể
hàm s
ố

ñồ
ng bi
ế
n trong kho
ả
ng
);0(
+∞

Ví dụ 5.
Cho hàm s
ố

2mx)1m2(mxx
3
1
y
23
+−−+−=


n trên
),3(
+∞

Ví dụ 7.
Cho hàm s
ố
1x)2m(m3x)1m(3xy
23
+−+−−=

Tìm m
ñể
hàm s
ố

ñồ
ng bi
ế
n trên t
ậ
p h
ợ
p các giá tr
ị
c
ủ
a x sao cho
2x1
≤≤

. N
ế
u khi x
ñ
i qua x
o

ñạ
o hàm
ñổ
i
d
ấ
u thì x
o

là m
ộ
t
ñ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố

i d
ấ
u t
ừ
- sang + thì x
o
là
ñ
i
ể
m c
ự
c ti
ể
u c
ủ
a hàm s
ố
.
ðể
tìm các
ñ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
c
ủ

ng trình )x(f
′
= 0. G
ọ
i
i
x là các nghi
ệ
m. Xét d
ấ
u c
ủ
a )x(f
′
′

Bài toán :
Tìm m
ñể
hàm s
ố
y = f(x) có c
ự
c tr
ị
và các
ñ
i
ể
m c

i d
ấ
u (s
ố
l
ầ
n
ñổ
i d
ấ
u b
ằ
ng s
ố
c
ự
c tr
ị
)
-
Tìm t
ọ
a
ñộ
c
ủ
a các
ñ
i
ể

ầ
u.

Ví dụ 1.
Tìm m
ñể
hàm s
ố

m
x
1mxx
y
2
+
++
=

ñạ
t c
ự
c
ñạ
i t
ạ
i x = 2.
Ví dụ 2.
Cho hàm s
ố


x
mx2x
y
2
2
+
++
=
luôn có m
ộ
t c
ự
c
ñạ
i và m
ộ
t c
ự
c ti
ể
u.
Ví dụ 4.
Cho hàm s
ố
1x)1m2(3mx3xy
23
+−+−=

Xác
ñị

Ví dụ 5.
Cho hàm s
ố
1m2mx2xy
24
+−+−=

Bi
ệ
n luân theo m s
ố
c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
.
Ví dụ 6.
Cho hàm s
ố

1
mx
1m2mxx
y
2
+

Ví dụ 7.
Cho hàm s
ố

2
x
4m2mxx
y
2
+
−−+
=

Xác
ñị
nh m
ñể
hàm s
ố
có hai c
ự
c tr
ị
.
Ví dụ 8.
Tìm a và b
ñể
các c
ự
c tr

i
ể
m c
ự
c
ñạ
i.
Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
22

Ví dụ 9.
Cho hàm s
ố

1mmx2x2y
2
−++=

Xác
ñị
nh m sao cho hàm s
ố
có c
ự
c tr
ị
trong kho
ả
ng


m
x
mxmx
y
2
+
++
=
.
Tìm m
ñể
hàm s
ố
không có c
ự
c tr
ị
.
Ví dụ 12.
Cho hàm s
ố

4x)3m2m(mx3xy
223
+−++−=
.
Tìm m
ñể


++
=
.
Tìm m
ñể

ñồ
th
ị
hàm s
ố
có c
ự
c
ñạ
i, c
ự
c ti
ể
u n
ằ
m
ở
hai phía tr
ụ
c tung
Ví dụ 14.
Tìm t
ấ
t c

ñ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
t
ươ
ng
ứ
ng trái d
ấ
u nhau.
Ví dụ 15.
Cho hàm s
ố

m
x
1mx)1m(x
y
2
−
+−++
=
có hai c
ự
c tr
ị

Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
23