MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC (CƠ BẢN)
CÓ THỂ SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI
CÁCH SỬ DỤNG BĐT CÔSI
Bất dẳng thức Côsi <còn gọi là bất dẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình
nhân>
1/LÍ THUYẾT
Với hai số không ama,b ta có:
>=
(thường được viết là a+b>=2 )
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b
Hệ quả 1: Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng
lớn nhất khi hai số đó bằng nhau
Tức là,với hai số dưông a,b có a+b=S không đổi suy ra:
2 =< S
Tưong đương ab=< /4
GTLN là /4 Dấu bằng xảy ra khi a=b
Ý nghĩa hình học;Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi hình vuông có
diện tích lớ
Hệ quả 2:Nếu hai số dưong thay đổi nhưng có tích không đổi thì tổng của chúng
nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau
Tức là, với hai số dương a,b có ab=P không đổi suy ra:
a+b>=2
GTNN là 2 khi a=b
Ý nghĩa hình họcTrong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích hình vuông có
chu vi nhỏ nhất
2/Các dạng dùng bất đẳng thức Côsi(ở đây chỉ đua ra cách thực hiện và môttj số
chú ý cho 1 số ví dụ)
Sử dụng Côsi để tìm GTLN và GITNN
Cách thực hiện:
1/Việc sử dụng bất đẳng thức Côsi để tìm GTLN cảu hàm số hoặc biểu thức kí hiệu
chung là f(x,y) được hiểu theo nghĩa cần thực hiện hai công việc:

(1)
- Cách viết tương đương: . (2)
Dấu xẩy ra khi và chỉ khi .
* Chú ý: Với hai số thực tùy ý , ta có:
- (Vì .
* Một số kết quả thường dùng:
.
Thật vậy, vì nên . Áp dụng BĐT (2) cho hai số này ta được:
.
.
Thật vậy, vì nên . Áp dụng BĐT (2) cho hai số này ta được:
.
———————————— MỘT SỐ BÀI TẬP
Bài 1: Bài toán thuận.
Chứng minh rằng với mọi ta có: .
Dấu đẳng thức (dấu bằng) xảy ra khi nào ?
Hướng dẫn:
Trong bài toán này có chứa hai số hạng dạng nghịc đảo. Vì đã có số hạng nên
phần còn lại phải biểu diễn thành thừa số của . Vậy ta phải viết lại vế trái như
sau:
(*)
Vì nên .
Áp dụng bất đẳng thức Côsi (2) cho 2 số dương , ta có: