Chủ đề 4: Quỹ tích điểm.
I.Kiến thức cơ bản:
Với các bài toán quỹ tích ta cần nhớ rằng:
1. Nếu
MA MB
 
, với A, B cho trước thì M thuộc đường trung trực
của đoạn AB.
2.
MC k AB
 
, với A, B, C cho trước thì M đường tròn tâm C, bán
kính bằng k.AB
3. Nếu
MA kBC
 
, với A, B, C, cho trước thì:
*Với k

R điểm M thuộc đường thẳng qua A song song với BC
* Với k

R
+
điểm M thuộc nữa đường thẳng qua A song song với
BC theo hướng
BC

.
* Với k


3MA MB MC MI  
   
(3)
Mặt khác nếu gọi E là trung điểm BC, ta được:
2MB MC ME
  
(4)
Thay (3), (4) vào (1) ta được:
MI ME
 
M thuộc đường trung trực của đoạn IE.
b. Gọi K là điểm thoã mãn hệ thức :

32KA KB KC
  
=
0


tồn tại duy nhất điểm K.
Ta được:
32MA MB MC
  
=
2MK

. (5)
Mặt khác:
22MA MB MC MA MB MA MC BA CA AE         
         

    


M thuộc đường trung bình EF của
ABC
.

Bài 3:( ĐHMĐC-99):Cho
ABC
, M là một điểm tuỳ ý trong mặt phẳng.
a.CMR vecto
3 5 2v MA MB MC
   
không đổi.
b.Tìm tập hợp những điểm M thoã mãn:
3 2 2MA MB MC MB MC   
    
.
Giải:
a.Ta có:
3 5 2v MA MB MC
   

3( ) 2( ) 3 2MA MB MC MB BA BC    
     

b.(Bạn đọc tự giải)

Chủ đề 5: Chứng minh hai điểm trùng nhau
I.Kiến thức cơ bản:

AM BN CP AG GJ JM BG GJ JN CG GJ JP
GA GB GC JM JN JP GJ GJ G J
           
           
            
        Bài 2: Cho tứ giác lồi ABCD.Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB,
BC, CD, DA. Chứng minh rằng hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng
tâm.
Giải: Gọi G, J theo thứ tự là trọng tâm các tam giác ANP, CMQ và O là một
điểm tuỳ ý. Ta có:
33OA ON OP OG OC OM OQ OJ      
       
(1)
Mặt

:
OA ON OP
  
1 1 1
( ) ( ) ( )
2 2 2
OA OB OC OC OD OA OC OB OD        
        
(2)

OC OM OQ
  

AB

và
AC

thông qua một số tổ hợp trung gian.
II. Bài tập minh hoạ:
Bài1: Cho
ABC
, lấy các điểm I,J thoã mãn:

2 ,(1)
3 2 0(2)
IA IB
JA JC


 
  

Chứng minh Ị đi qua trọng tâm của
ABC
.
Giải:
Viết lại (1) dưới dạng:
20IA IB
  
(3)
Biến đổi (2) về dạng:
3( ) 2( 0 3 2 5IA IJ IC IJ IA IC IJ      