Chuyờn 3
Chuyờn 3
HM S LY THA, HM S M
V HM S LễGART
HBM Toỏn An Giang Ti liu tham kho ễn tp thi TN
Trung Lai
Trng THPT Tõn Chõu
H THNG Lí THUYT:
Hm s ly tha:
Tớnh cht ca ly tha:
V c s; khi xột ly tha
a

:
+
:

ẻ Ơ

a

xỏc nh a
Ă
.
+
:

-
ẻ Â

a

m
m m
a b a b=

m
m
m
a a
b
b
ổử
ữ
ỗ
=
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
.

( 0; , ; 0)
m
n
m
n
a a a m n n= > >ẻ Â

2k
x

-
= > ẻ Ă
( )
/
1
1
( , 2, 0 , 0 )
.
khi n chẵn khi n lẻ
n
n
n
x n n x x
n x
-
= >ẻ ạƠ
;
( )
/
/
1
( , 2, 0 , 0 )
.
khi n chẵn khi n lẻ
n
n
n
u
u n n u u
n u

Ă
.
Khi 0 < a < 1 hm s y = a
x
nghch bin trờn
Ă
.
a
0
= 1

a

0 , a
1
= a.
Khi a > 1:
lim
x
x
a
+ Ơđ
= + Ơ
;
lim 0
x
x
a
- Ơđ
=

x < 0.
(Vẽ đồ thị của hàm số trong hai trường hợp a > 1 và
0 1a< <
để nhớ các tính chất)
◙ Hàm số logarit:
 Chú ý: Khi xét
log
a
x
phải chú ý điều kiện
0; 1 0.vµa a x> >¹
Trong phần này Ta giả thiết mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa (có thể yêu cầu học
sinh nêu các điều kiện để các biểu thức có nghĩa như: Mẫu khác 0, cơ số a, b thỏa 0 < a,b ≠
1, đối số của logarit phải dương).
▪ Cho 0 < a
≠
1 , x > 0: log
a
x = y ⇔ a
y
= x.
▪ Với 0 < a
≠
1 ta có:
log
a
n
a n=
( n > 0 ); log
m

a
x
x
= log
a
x
1

-
log
a
x
2
( x
1
; x
2
> 0 ).
▪ log
a
x
α

= α.log
a
x (x > 0) và
1
log .log
a
a

và
log .log 1
a b
b a =
.
▪ Hàm số y = log
a
x xác định và liên tục trên (0 ;
+ ∞ ).
▪ Đạo hàm
( )
/
1
log
.ln
a
x
x a
=
▪ Khi a > 1 hàm số y = log
a
x đồng biến trên ( 0 ;
+ ∞ ).
▪ Khi 0 < a < 1 hàm số y = log
a
x nghịch biến
trên ( 0; + ∞ ).
▪ Nếu a > 1:
lim log ; lim log
a a

f(x)
= a
g(x)
⇔ f(x) = g(x) (0 < a ≠ 1)
▪ Nếu a > 1 thì: a
f(x)
> a
g(x)

⇔
f(x) > g(x).
▪ Nếu 0 < a < 1 thì: a
f(x)
> a
g(x)

⇔
f(x) < g(x).
▪ a
f(x)
= b
⇔
f(x) = log
a
b.
▪ a
f(x)
< b (với b > 0) ⇔
( ) log
a

ù
ợ
ờ
ờ
ỡ
>
ù
ờ
ù
ớ
ờ
ù
> > < < <
ờ
ù
ợ
ở Phng trỡnh, bt phng trỡnh logarit:
Trc ht ta cn t iu kin phng trỡnh cú ngha.
log
a
b cú ngha 0 < a 1 v b > 0

log log
n
m
a
a

ù
ù
ớ
ù
< <Ê
ù
ợ


( ) ( )
( ) 0 , ( ) 1.
log ( ) log ( )
( ) ( )
g x g x
g x g x
f x h x
f x h x
ỡ
> ạ
ù
ù
=
ớ
ù
=
ù
ợ
. H NG DN HC SINH GII BI TP :
Cho hc sinh nm cỏc bc gii nh:
+ Yờu cu hc sinh phõn tớch bi xem gi thit v kt lun l gỡ? cú liờn quan

1
log 5
log 3
=
vy
3
log 5
l cu ni gia hai s cn tớnh.
Hng dn hc sinh xõy dng chng trỡnh gii: Tớnh
3
log 5
theo a sau ú
thay vo tớnh
25
log 15
.
Vớ d 2: Khụng dựng mỏy tớnh hóy so sỏnh hai s
2,5
12
1
2
2
và
-
ổử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ

ổử
ữ
ỗ
<
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
Loi chng minh:
Vớ d 1: Chng minh
4 2 3 4 2 3 2x = + - - =
.
Cỏch 1: Phõn tớch (d thy x > 0)
2
2 4x x= =
do trong biu thc cha
cn bc hai nờn ta s bỡnh phng hai v; nu cha cn bc ba thỡ cú th lp phng.
Yờu cu hc sinh bỡnh phng ri rỳt gn kt qu cn tỡm.
Cỏch 2: Phõn tớch cho hc sinh thy rng
4 2 3. 4 2 3 4 2+ - = =
Cú th tớnh
4 2 3 4 2 3và+ -
bng cỏch xem chỳng l hai nghim ca
h
2
2
x y
xy
ỡ

log log
c c
b a
a b=
p dng tớnh cht
log log
m m
x y x y= =
nờn ta ly logarit c s m dng
khỏc 1 v trỏi v chng minh nú bng logarit c s m ca v phi.

( )
( )
log
log
log log .log
log .log
log
c
c
b
c c c
c c
a
c
a b a
a b
b
=
=

n gin trong thao tỏc ta t
( )u x
t a=
chỳ ý t iu kin
cho tham s t.
Phng phỏp s dng tớnh n iu ca hm s: Phng phỏp ny da vo tớnh
ng bin, nghch bin v th ca hm s.
Chỳ ý l phi nhn xột xem trong bi toỏn cú bao nhiờu c s. Phi lu ý hc sinh trc
khi gii phng trỡnh phi tỡm iu kin xỏc nh.
Trung Lai THPT Tõn Chõu Trang 24
HĐBM Toán An Giang Tài liệu tham khảo Ôn tập thi TN
Vdụ: + Phương trình 2
x + 3
= 5
x
có thể đưa về một cơ số bằng cách biến đổi
3
2
2 5 8 1
5
x
x x+
æö
÷
ç
= =Û
÷
ç
÷
ç

x x x
+ =
nhận xét rằng 4 = 2
2
, 9 = 3
2
và 6 = 2.3 nên PT trở
thành
( ) ( )
2 2
8 2 3 6.2 .3
x x x x
+ =
chia hai vế cho
2 .3
x x
sẽ đưa pt về một cơ số.
 Nếu không nhận xét được mà nghĩ đến dùng tính đơn điệu thì không thể giải
được.
+ Giải phương trình
2
2 1
2
log 2log (3 4)x x=- +
 Nhận xét
1
1
2
2
-

f(x) < g(x).
▪ Nếu
1: log ( ) log ( ) ( ) ( )
a a
a f x g x f x g x> > >Û
▪ Nếu
0 1: log ( ) log ( ) ( ) ( )
a a
a f x g x f x g x< < > <Û
 Ví dụ: + Giải bất phương trình:
2 3 7 3 1 (1)
6 2 .3
x x x+ + -
<
.
Gợi ý để học sinh phân tích đề: Mũ là một nhị thức bậc nhất → đưa về số mũ là x
sau đó biến đổi cơ số.
 (1) 
( )
( )
3
2 7
3 2 7
3 3
3
6 2
6 . 6 2 .2 .
3
2.3 3.6
x

+ Giải bất phương trình:
4
1 3
log 0
1
x
x
æ ö
+
÷
ç
³
÷
ç
÷
ç
è ø
-
.
Đỗ Trung Lai THPT Tân Châu Trang 25