Củng cố và học tốt môn Toán 12. Chuyên đề “Phương trình mũ – Lôgarit”

Biên soạn: Đỗ Cao Long
Trang 1/8

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH MŨ CƠ BẢN

Lý thuyết:
Đa số các phương trình mũ cơ bản đều biến đổi về dạng
·
(
)
(
)
(
)
(
)
f x g x
a a f x g x
= Û =
·
(
)
(
)
log
f x
a
a c f x c

y
a
a
a
-
= ;
1
x
x
a
a
-
= .
· Bài tập 1: Giải các phương trình sau:
a)
2
7 12
2 1
x x- +
=
b)
3
1 1
5 .
5 125
x x
x
-
æ ö æ ö
=

è ø è ø
f)
1 1
5 10 .2 .5
x x x x
- - +
=
g)
2 1
2
5 5 5
x
x
- +
= h)
5 17
7 3
32 0,25.128
x x
x x
+ +
- -
=
i)
( )
( )
( )
4 2
4
2

x x+ +
- - =

Dạng 1.2: Biến đổi về dạng
(
)
f x
a c
=

· Bài tập 2: Giải các phương trình sau:
a)
4
1 2x 3
2
5.4 2 16 3
x
x
+
+ -
+ - =
b)
(
)
2 1
1
2 3.2 7
x
x
+

f x
f x
a n a n
m b m
b
æ ö
= Û =
ç ÷
è ø
(Có Dạng 1.2).
Nhận dạng: Loại này có 2 cơ số khác nhau. Hãy chuyển các số hạng chứa lũy thừa với cơ số
bằng nhau về cùng một vế, sau đó biến đổi cho số mũ của các lũy thừa đó bằng nhau và làm
tiếp như trên.
· Bài tập 3: Giải các phương trình sau:
a)
4 3 2
3 5 3 5
x x x x
+ + +
- = - b)
1 2 4 3
7.3 5 3 5
x x x x
+ + + +
- = -
Củng cố và học tốt môn Toán 12. Chuyên đề “Phương trình mũ – Lôgarit”

Biên soạn: Đỗ Cao Long
Trang 2/8


x x x x
= + + b)
2 2 2
.2 8 2 2
x x
x x
+
+ = +
c)
2 2 2 2
.6 6 .6 6
x x x x
x x
- + -
+ = + d)
3
8 .2 2 0
x x
x x
-
- + - =

Hướng dẫn: a)
(
)
(
)
2 2
5 3 5 3 5 3
x x x x x x

2
f x f x
t a a= = .
PT đã cho trở thành
2
. . 0 (*)
0
mt nt p
t
ì
+ + =
í
>
î
.
Bước 2: Giải (*), tìm nghiệm
0
t
>
.
Bước 3: Với t tìm được, giải phương trình
(
)
f x
a t
=
để tìm x.
Bước 4: Kết luận (nghiệm của (1)).
· Bài tập 4: Giải các phương trình sau:
a)

2 3 3
8 2 12 0
x
x x
+
- + =

g)
(
)
(
)
10
5 10
3 3 84
x x
-
+ =
h)
4 8 2 5
2
3 4.3 28 2log 2
x x+ +
- + =
i)
( )
2 1
2 1 2
3 3 1 6.3 3
x

, 0
f x
t a t
= >
. Ta có
( )
( )
1 1
f x
f x
a
t
a
-
= =
.
PT đã cho trở thành
( )
2
. . 0 (*)
0, 0
0
mt p t n
n
mt p t
t
t
ì
+ + =
+ + = > Û

2 2 15
x x+ -
- =

c)
1 2
5 5.0,2 26
x x- -
+ =
d)
2 2
sin cos
2 4.2 6
x x
+ =

e)
(
)
(
)
5 24 5 24 10
x x
+ + - =
f)
(
)
(
)
7 48 7 48 14

(
)
(
)
2
5 1 6 5 1 2
x x
x
+
- + + =
k)
(
)
(
)
3
5 21 7 5 21 2
x x
x
+
- + + = l)
(
)
(
)
7 4 3 3 2 3 2 0
x x
- - - + =

Dạng 2.3: Biến đổi về dạng

(
)
( )
(
)
( )
2 2
2 2 2
.
. . . 0
f x f x f x f x
f x f x f x
a a b b
m n p
b b b
+ + =

(
)
( )
( )
2
. . 0
f x
f x
f x
a a
m n p
b
b

= >
ç ÷
è ø
. Ta có
( ) ( )
2
2
2
f x f x
a a
t
b b
æ ö
æ ö æ ö
= =
ç ÷
ç ÷ ç ÷
ç ÷
è ø è ø
è ø
.
PT đã cho trở thành
2
. . 0 (*)
0
mt nt p
t
ì
+ + =
í

x x x
- - -
+ =
c)
2 2 2
7.4 9.14 2.49 0
x x x
- + =
d)
2 1
9 6 2
x x x
+
+ =
e)
2 1 1
10 25 4,25.50
x x x
+ = f)
2 2 2
2 6 9 3 5 2 6 9
3 4.15 3.5
x x x x x x
- + + - - +
+ =

3. Phương pháp lôgarit hóa
Nhận dạng: Phương trình loại này thường có dạng
(
)

)
log log log log
f x g x h x
a a a a
a b c d
+ + =
(
)
(
)
(
)
log log log
a a a
f x g x b h x c d
+ + =
.
Bit
log ;log ;log
a a a
b c d
l cỏc s thc. Gii phng trỡnh thu c theo n x.
ã Bi tp: Gii cỏc phng trỡnh sau:
a)
2
1
2 3
x x
-
= b)

)
(
)
f x g x
= , chỳng ta thng gp trng hp
x a
=
l nghim ca phng
trỡnh, cũn vi mi
x a
ạ
thỡ
(
)
f x b
>
v
(
)
g x b
<
. Ngha l mi
x a
ạ
khụng phi l nghim
ca phng trỡnh
(
)
(
)

b)
1
4
3
x
x
ổ ử
= +
ỗ ữ
ố ứ

a) Nhn xột:
Thụng thng ỏnh giỏ cỏc tam thc bc hai chỳng ta thng bin i nú v dng tng
ca cỏc bỡnh phng. õy ta bin i
(
)
( )
2
2 2
2 2 2 1 1 1 1
x xx x x
- + = - + + = - +
.
Li gii:
Vỡ
( )
2
1 0
x
-

3 3
1 0 1
2 2 3
x x
x x
x x
- +
ỡ
=
ù
- = =
ớ
+ - =
ù
ợ

Vy phng trỡnh ó cho cú nghim duy nht
1
x
=
.
b) Nhn xột: Hm s
1
3
x
y
ổ ử
=
ỗ ữ
ố ứ

3
3 3
x -
æ ö æ ö
< =
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
(1) (do hàm số
1
3
x
y
æ ö
=
ç ÷
è ø
nghịch biến trên
¡
)
4 1 4 3
x
+ > - + =
(2)
So sánh (1) và (2) ta nhận thấy mọi
1
x
> -
không thỏa mãn phương trình đã cho. Nghĩa là
mọi
1

x
= +

c)
2
2
1
2
x x
x
x
-
= +
d)
4
2
16 2 2
x x
x
-
- = +
·© Một số bài toán có cách giải khác
Bài toán đưa được về dạng
(
)
(
)
f u f v u v
= Û =
, trong đó

1
4 2 2 1
x
x x x
+
+ -
+ = +
d)
(
)
(
)
5 3 5 3 4
x x
x
- + - =

Củng cố và học tốt môn Toán 12. Chuyên đề “Phương trình mũ – Lôgarit”

Biên soạn: Đỗ Cao Long
Trang 6/8

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT CƠ BẢN

Lý thuyết:
Đa số các phương trình mũ cơ bản đều biến đổi về dạng
·
( ) ( )
( ) ( )
(

Ngoài ra cần hcọ thuộc và sử dụng đúng các công thức biến đổi lôgarit.
Một số Phương pháp giải các phương trình lôgarit cơ bản:
1. Phương pháp Đưa (biến đổi) về cùng một cơ số
Dạng 1.1: Biến đổi về dạng
(
)
(
)
log log
a a
f x g x
=
Lưu ý: Nếu các em học sinh tìm điều kiện xác định của phương trình
(
)
(
)
log log
a a
f x g x
=
thì cần giải hệ (hoặc nêu ra)
(
)
( )
0
0
f x
g x
ì

Khuyến khích: Thường các em dễ mắc lỗi và hiểu không kỹ về phép biên đổi, do vậy khuyên
các em nên nêu ra hệ điều kiện xác định của phương trình trước khi giải. Vì có nhiều
phương trình chứa nhiều lôgarit.
· Bài tập 1: Giải các phương trình sau
a)
(
)
2
2
log 4 7 2
x x
- + =
b)
2 1
2
2
2log log log 9
x x x
+ + =

c)
3 1
3
3
log log log 6
x x x
+ + =
d)
(
)

h)
2
log 1 3log 1 log 1 2
x x x
+ + - = - -

i)
(
)
(
)
(
)
2
3 1 9
3
log 2 54 log 3 2log 4
x x x
- + + = -

j)
(
)
(
)
2
log 3 12 19 log 3 4 1
x x x
+ + - + =
k)

Biờn son: Cao Long
Trang 7/8

2. Phng phỏp t n s ph (a phng trỡnh m v phng trỡnh i s bc
hai, bc 3 theo n s ph)
Lu ý: Ngoi vic t iu kin biu thc
(
)
log
a
f x
cú ngha l
(
)
0
f x
>
, chỳng ta cn
chỳ ý n c im ca phng trỡnh ang xột (cha cn bc hai, cha n mu) v phi t
iu kin cho phng trỡnh cú ngha.
Cỏc phộp bin i cn chỳ ý:
2
log 2 log
n
a a
x n x
= vi iu kin
0
x
ạ

log 6
1
2 3log 6 1
x
x
-
=
- -

e)
(
)
(
)
1
3 3
log 3 1 .log 3 3 6
x x+
- - =
f)
2 4
1 log 4log 2 4
x x
+ + - =

g)
(
)
( )
( )

x x
- = -
j)
(
)
(
)
3
log 10 .log 0,1 log 3
x x x
= -

k)
(
)
2 2
4 4
4log 2log 1 0
x x
- + + =
l)
( ) ( )
2 2
1
log 100 log 10 14 log
x x
x
+ = +
m)
( )

p)
(
)
2
9 3 3
2log log .log 2 1 1
x x x
= + -

3. Phng phỏp m húa
ã Bi tp 3 : Gii cỏc phng trỡnh sau:
a)
2 3
log log 1
x x
+ =
b)
3 5
log log lg15
x x
+ =

c)
(
)
(
)
3 5
log 1 log 2 1 2
x x

+ = + =
6
3 3
1 1
log 3
1 log 2 log 6
t = = =
+
.
Vy phng trỡnh a) cú nghim
6
log 3
2
x
= .
Cng c v hc tt mụn Toỏn 12. Chuyờn Phng trỡnh m Lụgarit

Biờn son: Cao Long
Trang 8/8

4. Phng trỡnh lụgarit nhiu cp (tng)
Phng phỏp: H tng cp mt t ngoi vo trong theo tớnh cht
( ) ( )
log
c
a
f x c f x a
= =

ã Bi tp 4: Gii cỏc phng trỡnh sau:

d)
2
3 1 1
2 2
log log 3log 5 2
x x
ổ ử
- + =
ỗ ữ
ố ứ

e)
(
)
(
)
2
3 2
log log 4 0
x
- =
f)
(
)
(
)
4 2 2 4
log log log log 2
x x
+ =

6 1/6
log 5 2 3 log 5 2 3 2
x x x x x x x x
- - - - - = +

6. Phng phỏp s dng tớnh n iu ca hm s
Chỳ ý dng: log log
a a
u u v v
- = -
, cú dng
(
)
(
)
f u f v u v
= =
trong trng hp f l
hm s ng bin (hoc nghc bin) trờn tp xỏc nh ca nú. V phng phỏp ỏnh giỏ hai v
ca phng trỡnh.
ã Bi tp 6: Gii cỏc phng trỡnh sau:
a)
2
log 3
x x
= -
b)
(
)
(

(
)
2
log 12 log 3 5
x x x x
- - + = + +
f)
(
)
2 2
3 3
log 1 log 2x
x x x x
+ + - = -

Gi ý:
a) iu kin xỏc nh:
0
x
>
.
Nhn thy
2
x
=
l nghim ca phng trỡnh a). Ta chng minh nghim ny duy nht.
Tht vy, vi mi
2
x
>

x
< <
cng khụng phi l nghim ca phng
trỡnh.
Vy, phng trỡnh cú nghim duy nht
2
x
=
.

â Chuyờn v cỏc dng toỏn ễn thi i hc, cao ng s biờn son sau. Hn cỏc em
vo dp ti. Chỳc cỏc em hc v ụn tp tt !