CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2014:
GIẢI PT - BẤT PT - HỆ PT MŨ & LOGARIT - PHẦN 1

Giải phương trình (PT), bất phương trình (BPT), hệ phương trình (HPT) Mũ và Logarit là một trong
những phần trọng tâm của mảng toán về Mũ và Logarit. Chuyên đề sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức
nền tảng cơ bản để bạn nhập môn này và nâng cao dần khả năng giải quyết các bài toán khó trong chuyên
đề.
NHẮC LẠI CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ MŨ & LOGARIT
1.HÀM SỐ MŨ: y = a với a > 0 và a ≠ 1. (trong đó a gọi là cơ số, x gọi lại mũ )
_ Tập xác định R
_ Tập giá trị R
_ Hàm số luôn đồng biến trên R khi a > 1, luôn nghịch biến trên R khi 0 < a < 1.
2.HÀM SỐ LOGARIT: y = log x với a > 0, a ≠ 1. ( trong đó a gọi cơ số )
_ Tập xác định R
_ Tập giá trị R
_ Hàm số luôn đồng biến trên R khi a > 1, luôn nghịch biến trên R khi 0 < a < 1.
_ Logarit cũng có những dạng thông dụng như logarit thập phân và logarit tự nhiên
→ logarit thập phân: là logarit cơ số 10, thường được viết tắt là logb hoặc lgb
→ logarit tự nhiên: là logarit cơ số e (e ≈ 2,718 > 1), viết tắt là lna ( đọc là log nepe a )
3. Các công thức về MŨ ( với a > 0 và a ≠ 1
♥ a. a = a ♥ a.b = (a.b) ♥ = a ♥ (a) = a
♥ = a ♥ = . ♥ = a ♥ =
♥ = ♥ a = 1 ♥ = ♥ =
4. Các công thức về LOGARIT ( với a,b,c > 0 và a ≠ 1 )
♫ log a = x (∀x ∈ R) ♫ log1 = 0 ♫ log a = 1 ♫ a = b
♫ log b + log c = log (bc) ♫ log b - log c = log ♫ a = x
♫ log b = α log b ♫ log b = log b (∀b > 0, α ∈ R) ♫ = log a
♫ log = log b = - log b ♫ log = log b = logb (∀b > 0, α ∈ R*)
♫ log b = ♫ log c. log b = log b (∀b > 0, 0 < c ≠ 1)
5. Hệ quả từ định nghĩa hàm mũ và hàm logarit ( với a > 0 và a ≠ 1 )
☼ Nếu a > 1 thì a < a ⇔ α < β ☼ Nếu 0 < a < 1 thì a < a ⇔ α > β

⇔ 4x + 2 = 2x + 3x - 78 ⇔ x =
b. . 243 = 3 .9
→ HD giải: Điều kiện là ⇔
Nhận xét cả 2 vế phương trình đều có thể đưa về cơ số 3, nên ta biến đổi:
= 3 ; 9 = 3; 243 = 3; nên phương trình đã cho có dạng: 3. 3 = 3. 3
Khi đó phương trình ⇔ 3 = 3
⇔ + 5 = -2 + 2 (1)
Quy đồng và rút gọn có PT (1) trở thành 41x + 102x - 248 = 0 ⇔ x = - 4 v x =
c. (x - 2) = (x - 2)
→ HD giải: PT ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x = 4 v x = 5

Ví dụ 2: Giải phương trình:
a.log (3x - 1) + = 2 + log (x + 1)
→ HD giải: Điều kiện ⇔ x >
Vì = log a nên phương trình đã cho có dạng:
log (3x - 1) + log (x + 3) = log 2 + log (x + 1)
⇔ log [(3x - 1)(x + 3)] = log 4(x + 1)
⇔ (3x - 1)(x + 3) = 4(x + 1) (*)
Rút gọn và giải (*) ta được x = (loại), x = 1 (thỏa mãn)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 1
b. 2log(x - 5x + 6) = log + log (x - 3)
→ HD giải: Điều kiện⇔ ⇔ (*)
PT ⇔ 2 log(x - 5x + 6) = log + log (x - 3)
⇔ log [(x -2)(x - 3)] = log + log(x - 3)
⇔ (x -2)(x - 3) = .(x - 3) (do x ≠ 3 nên x - 3 ≠ 0)
⇔ (x -2) = (2)
Giải phương trình (2) ta được x = 3 (loại) và x = ( thỏa mãn).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = .
Chú ý: + Khi giải các bài toán về LOG, ta cần chú ý đến điều kiện tồn tại của log b đó là 0 < a ≠ 1 và
b > 0. Đặc biệt nếu A > 0

→ HD giải: PT ⇔ 5 = 3 + 2.5 + 2.3
⇔ (5 - 3) - 2(5 + 3) = 0
⇔ (5 - 3)(5 + 3) - 2(5 + 3) = 0
⇔ (5 + 3)(5 - 3 - 2) = 0
⇔
b. 4 + 4 = 4 + 1
→ HD giải: Nhận xét 2x + 3x + 7 = (x - 3x + 2) + (x + 6x + 5)
Do đó phương trình ⇔ 4 + 4 = 4 + 1
⇔ (4 - 1) + 4 - 4 = 0
⇔ (4 - 1) + 4 - 4.4 = 0
⇔ (4 - 1) + 4.(1 - 4) = 0
⇔ (4 - 1).(1 - 4 ) = 0
⇔ ⇔ ⇔
c. 12.3 + 3.15 - 5 = 20
→ HD giải: PT ⇔ (12.3 + 3.15) - 5.5 - 20 = 0
⇔ 3.3(4 + 5) - 5(5 + 4) = 0
⇔ (4 + 5)(3.3 - 5) = 0
⇔ ⇔ x = log
d. 9 + 2(x - 2)3 + 2x - 5 = 0
→ HD giải: PT ⇔ 3 + 2x.3 - 4.3 + 2x - 5 = 0
⇔ (3 - 4.3 - 5) + 2x(3 + 1) = 0 ( để tạo ra thừa chung ta sử dụng công thức Vi-et)
⇔ (3 + 1)(3 - 5) + 2x(3 + 1) = 0
⇔ (3 + 1)(3 - 5 + 2x) = 0
⇔
Ví dụ 2: Giải phương trình:
a. logx + logx = 1 + logx.logx
→ HD giải: Điều kiện x > 0
PT ⇔ (log x - 1) + log x - logx.log x = 0
⇔ (log x - 1) + (1 - log x).log x. = 0
⇔ (log x - 1)(1 - log x) = 0

ta đặt t = a > 0 và khi đó b = =
Ví dụ 1: Giải phương trình:
a. 2 + 2 = 9
→ HD giải: PT ⇔ 2 + = 9 ⇔ 2 + = 9. ( Đặt t = 2 > 0 )
PT thành t + = 9 ⇔ t - 9t + 8 = 0 ⇔ ( Nhận vì thỏa t > 0 )
Khi đó với t = 1 ⇔ 2 = 1 = 2 ⇔ x = 0
Và t = 8 ⇔ 2 = 8 = 2 ⇔ x = 3.
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 0, x = 3
b. + = 12
→ HD giải: Nhận xét . = = 1 = 1
Nên ta đặt t = > 0 thì =
Khi đó, PT thành + t = 12 ⇔ t - 12t + 1 = 0 ⇔ ( thỏa mãn vì t > 0 )
Với t = 6 + ⇔ = 6 + ⇔ (6 + ) = (6 + ) ⇔ = 1 ⇔ x = 2
Với t = 6 - ⇔ = 6 - ⇔ (6 + ) = (6 + ) ⇔ = -1 ⇔ x = - 2
Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 2, x = -2.
c. 3 - 28.3 + 9 = 0
→ HD giải: PT ⇔ 3.3 - 28.3 + 9 = 0 ( Đặt t = 3 > 0)
⇔ 3t - 28t + 9 = 0
⇔ ( Nhận vì thỏa t > 0 )
Với t = 9 ⇔ 3 = 9 = 3 ⇔ x + x = 2 ⇔ x + x - 2 = 0 ⇔
Với t = ⇔ 3 = = 3 ⇔ x + x = -1 ⇔ x + x + 1 = 0 ( vô nghiệm )
Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 1, x = -2.
d. (3 - ) + (3 + ) = 6.2
→ HD giải: Đối với PT trên, ta thấy rằng không thể xét (3 - )(3 + ) ≠ 1
Trong khi đó PT vừa khác mũ ? vừa khác cơ số ? ⇒ ta biến đổi phương trình để đưa về cùng mũ.
PT ⇔ (3 - ) + (3 + ) = 3.2.2
⇔ (3 - ) + (3 + ) = 3.2 (*)
Đến đây PT đã cùng mũ nhưng lại khác cơ số ? Rõ ràng (3 - ) và (3 + ) hoàn toàn có "bà con"
Ta chia 2 vế phương trình (*) cho 2 và được:
(*) ⇔ + = 3

⇔ t + 2t - 3 = 0 ⇔
Với t = 1 ⇔ log(4 + 1) = 1 ⇔ 4 + 1 = 2 ⇔ 4 = 1 = 4 ⇔ x = 0
Với t = -3 ⇔ log(4 + 1) = -3 ⇔ 4 + 1 = 2 ⇔ 4 = - 1 = < 0 (vô nghiệm)
Vậy phương trình có 1 nghiệm x = 0
b. 1 + log (x - 1) = log 4
→ HD giải: Điều kiện: ⇔
PT ⇔ 1 + log (x - 1) = log 2 (ta có log b = α log b)
⇔ 1 + log (x - 1) = 2log 2 (ta có log b = )
⇔ 1 + log (x - 1) = 2 ( Đặt t = log (x - 1) )
PT thành 1 + t = ⇔ t + t - 2 = 0 ⇔
Với t = 1 ⇔ log (x - 1) = 1 ⇔ x - 1 = 2 ⇔ x = 3 (nhận)
Với t = -2 ⇔ log (x - 1) = -2 ⇔ x - 1 = 2 = ⇔ x = (nhận)
Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 3, x = .
c. log (x - 1) - 5log (x - 1) + 1 = 0
→ HD giải: Điều kiện: (x - 1) > 0 ⇔ x - 1 ≠ 0
PT ⇔ [log (x - 1)] - 10.log (x - 1) + 1 = 0
⇔ [4log (x - 1)] -10.log (x - 1) + 1 = 0
⇔ 16[log (x - 1)] - 10.log (x - 1) + 1 = 0 ( đặt t = log (x - 1))
PT thành 16t - 10t + 1 = 0 ⇔
Với t = ⇔ log (x - 1) = ⇔ x - 1 = 2 = ⇔ x = 1 +
Với t = ⇔ log (x - 1) = ⇔ x - 1 = 2 = ⇔ x = 1 +
5
Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 1 + , x = 1 +
Chú ý: Cần phân biệt log b ≠ log b
d. log + log = log(x + 2)
→ HD giải: Điều kiện:⇔ x > 2
Ta có 7 - 4 = (2 - ) và (2 - )(2 + ) = 4 - 3 = 1
Nên ta đặt t = 2 - ⇒ 2 + =
Ta có PT ⇔ - log + log = log(x + 2)
⇔ - log + log = log

− + + =
13) 8 - 3.4 - 3.2 + 8 = 0 14) 2 - 6.2 - + = 1 15) ( + 1) + 2( - 1) = 3.2
16) + 5-2= 10 17) (5 - ) + 7(5 + ) = 2 18) + = 6
19) 3.4 + 2.9 = 5.6 20) (7 + 5) + ( - 5)(3 + 2) + 3(1 + ) + 1 - = 0
21) (2 + ) + (2 - ) = 22) (2 + ) + (7 + 4)(2 - ) = 4(2 + )
23) ( - 1) + ( + 1) - 2 = 0 24) 3.8 + 4.12 - 18 - 2.27 = 0 25) 3 - 2.3 + 3 = 0
26) (7 + 4) - 3(2 - ) + 2 = 0 27) log 2 + log x = 28) - 4log = 1
29) - log = 0 30) log (x - 8x + 16) + log (-x + 5x - 4) = 3
31) 1 + = log 32) log .log x - log = + log
33) log (-x) - 2logx + 4 = 0 34) log x - log x = log 3 - 1 35) log (5 - 1).log(2.5 - 2) = 2
36) 5log x + log x + 8log x = 2 37) log (4 + 15.2 + 27) + 2log = 0
38) log + log 5x - 2,25 = log 39) 3log 6 - 4log x = 2log x
40) log 2.log 2 = log 2 41) log (lgx + 2 + 1) - 2log ( + 1) = 1
42) + = 1 43) lg x - lgx + 2 = 0
44) log x + 40log x = 14.log x 45) log (x - 1) - 5log (x - 1) - 3376 = 0
46) log (2 + x) + log x = 2 47) log (2x - 9x + 9) + log (4x - 12x + 9) = 4
48) log(9 + 7) = 2 + log (3 + 1) 49) lg (x - 1) + lg (x - 1) = 25
50) 3 + = log 9x - 51) log (2x + x - 1) + log(2x - 1) = 4
52) 4 + 2 = 4 + 2 53) 4 - 3.2 - 4 = 0
54) log (x + 1) - 6log + 2 = 0 55) (3 + 2) = ( - 1) + 3
56) = 2(0,3) + 3 57) = 6.(0,7) + 7 58) 3.16 + 2.81 = 5.36
6
59) 3 - 8.3 - 9.9 = 0 60) 5.3 - 7.3 + = 0
61) 8.3 + 9 = 9 62) (26 + 15) + 2(7 + 4) - 2(2 - ) = 1
63) 4 + 2 = 2 + 1 64) lg x - 20lg + = 0 65) 3 + = 5
66) 9 - 3 = 3- 1 67) 2 - = 6 68) 2 + 2 = 1 + 2
68) log 27 - log 3 + log 243 = 0 69) 8 + 1 = 2. 70) 2 - 2 - 6(2 - 2.2) = 1

DẠNG 4: MŨ HÓA - LOGARIT HÓA


b. x = 1000x
→ HD giải: Điều kiện x > 0
PT ⇔ lgx = lg1000x
⇔ lgx.lgx = lg1000 + lgx
⇔ lg x = 3 + 2lgx ( Đặt t = lgx )
PT thành t - 2t - 3 = 0 ⇔ ⇔ ⇔
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
a. log (log x + + 9) = 2x
→ HD giải: Điều kiện x > 0
PT ⇔ log x + + 9 = 3
⇔ log x = ⇔ x = 9 = (nhận)
b. log log x = log log x
→ HD giải: Điều kiện: ⇔ x > 1
Đặt t = log log x ⇔ log x = 5 (1)
Mặt khác t = log log x ⇔ log x = 2 (2)
Lại có log x = log 5.log x nên từ (1) và (2) ta có 5 = 2.log 5
7
Hay = log 5 ⇔ t = log (log 5). Thay vào (2) ta được: log x = 2 ⇔ x = 5
c. 3log (1 + + ) = 2log
→ HD giải: Điều kiện: x > 0
Khác biệt giữa câu c này và câu b nằm ở chỗ dạng PT ở câu b là log = log. còn với bài toán ta đang gặp
phải là m.log = n.log. Kinh nghiệm là ta sẽ chọn k là bội số chung nhỏ nhất của cả 2 số m và n đó.
Đặt 6t = 3log (1 + + ) = 2log
Ta có: ⇔
Do đó 1 + 2 + 2 = 3 ⇔ 1 + 8 + 4 = 9 ( Giải tiếp bằng cách chia bớt cơ số và dùng dạng 5 )
BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Giải các phương trình sau:
1) 3. 2 = 72 2) 2 = 3 3) 2 = x 4) 8 = 36.3
5) 5 = 2 6) 3 .8 = 36 7) 5.2 = 50 8) 3 = 2
9) x = 8 10) 5.3 = 4 11) 2 .3 = 12) x = 10
13) 2 = x 14) log (x - 3x - 13) = log x 15) log (1 + ) = log x

PT ⇔ 1 = ++ 2. ( Nhậm nghiệm thử ta thấy x = 2 thỏa mãn )
Do 0 < ; ; < 1 nên ln < 0 , ln < 0 , ln < 0.
Do đó f '(x) = ln +ln + 2.ln < 0 ∀x ∈ R
Nên hàm số f(x) nghịch biến trên R, mà f(2) = 1 nên phương trình f(x) = 1 có nghiệm duy nhất x = 2.
C. 3 + 5 = 6x + 2
→ HD giải: nhận xét 1 vế của phương trình là " hàm mũ ", còn vế còn lại là " hàm đa thức ". Không thể
biến đổi như các dạng đã đề cập ở trên của chuyên đề nên ta quyết định sử PP hàm số.
8
Xét f(x) = 3 + 5 = 6x + 2 với x ∈ R
Ta có f '(x) = 3 ln3 + 5 ln5 - 6 là hàm số liên tục
Và f '(0) = ln3 + ln5 - 6 < 0 , f '(1) = 3ln3 + 5ln5 - 6 > 0
Nên phương trình f '(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = x
Bảng biến thiên:
x
∞−
x
∞+

f '(x) - 0 +
f (x)
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f(x) = 0 có không quá hai nghiệm phân biệt.
Mà f(0) = f(1) = 0 nên mọi nghiệm của phương trình đã cho là x = 0 hoặc x = 1
Để có thể ứng dụng PP hàm số này một cách hiệu quả trước tiên bạn nên " nhẩm nghiệm " PT đã cho
trước. Ứng với số nghiệm tìm được ta sẽ đề xuất cách giải.
d. (2 - ) + (2 + ) = 4
→ HD giải: PT ⇔ + = 1
Xér f(x) = + với x ∈ R


Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
a.log x + log (2x - 1) + log (7x - 9) = 3
→ HD giải: Điều kiện x >
Xét hàm số f(x) = log x + log (2x - 1) + log (7x - 9) với x >
Ta có f '(x) == + + > 0 ∀x >
Vậy hàm số f(x) đồng biến trên ( ; +∞) nên phương trình f(x) = 3 nếu có nghiệm sẽ có nghiệm duy nhất.
9
Mà f(2) = 3 nên phương trình đã cho có nghiệm x = 2

b. x.log x = 27
→ HD giải: x > 0
Viết phương trình đã cho dưới dạng log x - = 0
Xét hàm số f(x) = log x - với x > 0
Ta có f '(x) = + > 0 ∀x > 0 nên hàm số y = f(x) đồng biến trên (0; +∞) nên phương trình f(x) = 0 nếu có
nghiệm sẽ có nghiệm duy nhất. Mà f(3) = 0 nên phương trình có nghiệm x = 3
c. 2 + log x = 2
→ HD giải: x > 0
PT ⇔ 2 + log = 2
⇔ 2 + log (x + x) - log (x + 1) = 2
⇔ 2 + log (x + x) = 2 + log (x + 1)
Đặt f(t) = 2 + log t ( t > 0)
Ta có f '(t) = 2 ln2 + > 0 ∀t > 0
Nên hàm số y = f(t) luôn đồng biến trên (0; + ∞) Lại có f(x + x) = f(x + 1)
⇔ x + x = x + 1 ⇔ . Vậy x = 1 là nghiệm phương trình.

BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Giải các phương trình sau:
1) 3 - 4 + x = 0 2) (0,5) = 2x + 8 3) 3 + 4 = 5 4) () + 1 = 4
5) 3 + x - 66 = 0 6) 3 + 4 = 5x + 2 7) 2 - 3 = 7 8) 9 = 8x + 1
9) 2 = 3x - 1 10) 4 - 2 + x - 1 = 0 11) 1 + 8 + 4 = 9 12) 3 = 5 - 2x

Vậy vế trái chỉ bằng vế phải ⇔ VT = VP = 6 ⇔ x = -1
Ví dụ 2: Giải phương trình 3 + = 1 + 2.3
→ HD giải: điều kiện ∀x ∈ R
Ta có pt ⇔ 3 + = 1 + 2.3
⇔ = 1 + 2.3 - 3
Ta có Vế Trái = = ≥ 2
Về Phải = 1 + 2.3 - 3 = 2 - (3 - 1) ≤ 2
Vậy phương trình chỉ có nghiệm ⇔ VT = VP = 2 ⇔ ⇔ x = -1
Ví dụ 3: Giải phương trình log (x - 1) + = log (2x - 4x + 2)
→ HD giải: x - 1 > 0 ⇔ x > 1
Ta có PT ⇔ = log (2x - 4x + 2) - log (x - 1)
Ta có VT = = ≥ 2
VP = log (2x - 4x + 2) - log (x - 1)
= log[2(x - 1)] - log (x - 1)
= 1 + 2log(x - 1) - log (x - 1)
= 2 - [log (x - 1) - 1] ≤ 2
Do đó phương trình đã cho chỉ có nghiệm ⇔ VT = VP = 2
⇒ ⇔ ⇔ x = 3 (nhận vì x > 1)

Ví dụ 4: Giải phương trình 2 - 2 = (x - 1)
→ HD giải: Ta có VP = (x - 1) ≥ 0 ⇔ x - 2x + 1 ≥ 0 ⇔ x - x ≥ x - 1
Mặt khác VT = 2 - 2 ≤ 0 (do 2 > 1, hàm đồng biến vì x - x ≥ x - 1 )
Do đó phương trình đã cho chỉ có nghiệm ⇔ VT = VP = 0 ⇔ x = 1

• Dạng a - a = v - u ⇔ a + u = a + v ⇒ dùng tính đơn điệu của hàm số.
Ví dụ 1: Giải phương trình 5 - 5 = (x + 1)
→ HD giải: Đặt u = x + 3x + 2 ; v = 2x + 5x + 3 thì v - u = (x + 1)
PT thành 5 - 5 = v - u ⇔ 5 + u = 5 + v.
Xét f(t) = 5 + t ∀t ∈ R có f '(t) = 5 ln5 + 1 > 0 ∀t ∈ R
⇒ f(t) luôn đồng biến trên R, mà f(u) = f(v) ⇔ u = v ⇔ (x + 1) = 0 ⇔ x = -1