c
 Biên soạn: Hồ Phạm Thanh Ngôn
Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành
TÀI LIỆU ÔN TẬP TÚ TÀI
1
(phần lý thuyết)
Tài liệu ôn tập tú tài này soạn cho học sinh lớp 12, chủ yếu tóm tắt lý thuyết và tổng hợp các
phương pháp giải toán cũng như các dạng toán thường gặp.
1
Composed with T
E
XMaker on MiKT
E
X version 2.7
c
 Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 1
c
 Biên soạn: Hồ Phạm Thanh Ngôn
Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành
Phương trình - Bất phương trình
1. Bất phương trình bậc nhất ax + b > 0(< 0,  0,  0) với a = 0
Cách giải:
Biến đổi ax + b > 0 ⇐⇒ ax > −b. Sau đó chia hai vế cho a (chú ý đổi chiều bất pt nếu
a < 0).
Bảng xét dấu nhị thức bậc nhất
−∞ +∞
ax + b
−b/a
0trái dấu a cùng dấu a
x
2. Bất pt bậc hai ax

cùng dấu a
Chú ý: Cho f(x) = ax
2
+ bx + c. Nếu hệ số a có chứa tham số (m) thì ta phải xét
trường hợp a = 0.
Với a = 0, ta có các trường hợp sau:
 f(x)  0, ∀x ∈ R ⇔



a > 0
∆  0
 f(x) > 0, ∀x ∈ R ⇔



a > 0
∆ < 0
 f(x)  0, ∀x ∈ R ⇔



a < 0
∆  0
 f(x) < 0, ∀x ∈ R ⇔



a > 0
∆ < 0

2
+ bx + c  0, ∀x ∈ (α, β) hoặc (x ∈ [α, β]) ⇔



f(α)  0
f(β)  0
(không cần biết dấu của a)
 Với
S
2
= −
b
2a
/∈ (α, β) hoặc ([α, β]) thì
f(x) = ax
2
+ bx + c  0, ∀x ∈ (α, β) hoặc (x ∈ [α, β]) ⇔



f(α)  0
f(β)  0
(không cần biết dấu của a)
3. Phương trình, bất phương trình chứa dấu trị tuyệt đối
Các dạng thường gặp là |A| = |B|, |A| = B, |A| > |B|, |A| < B, |A| > B
Cách giải chung: Lập bảng xét dấu cho biểu thức nằm trong dấu trị tuyệt đối để khử
dấu trị tuyệt đối. Trong đó ta lưu ý:
• |A| = |B| ⇔ A
2





B  0


A = B
A = −B
• |A| < B ⇔ −B < A < B
• |A| > B ⇔

A > B
A < −B
Chú ý: |A| =

A nếu A  0
−A nếu A  0
.
4. Phương trình, bất phương trình chứa căn thức
Cách giải chung: Đặt điều kiện cho các căn thức có nghĩa, sau đó bình phương (nâng
lũy thừa) để khử căn thức. Trong đó ta lưu ý:
c
 Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 3
c
 Biên soạn: Hồ Phạm Thanh Ngôn
Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành
•
√
A =





B < 0
A  0



B  0
A > B
2
•
√
A < B ⇔









B  0
A  0
A < B
2
Chú ý:


Tính: y

= 6ax + 2b. Giải y

= 0 để tìm điểm uốn (làm nháp)
• Điểm đặc biệt (chọn tùy theo bảng biến thiên).
• Vẽ đồ thị: Vẽ từng khoảng và chú ý đến chiều lên xuống trong bảng biến thiên.
2. Hàm trùng phương y = ax
4
+ bx
2
+ c
• TXĐ: D = R.
• Tính các giới hạn: lim
x→−∞
y và lim
x→+∞
y
• Tính: y

= 4ax
3
+ 2bx và giải y

= 0, lập bảng biến thiên, nêu rõ cực trị (nếu
có)và nêu rõ trong bài làm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.
• Điểm đặc biệt (chọn tùy theo bảng biến thiên).
• Vẽ đồ thị: Vẽ từng khoảng và chú ý đến chiều lên xuống trong bảng biến thiên.
3. Hàm hữu tỷ nhất biến (còn gọi là hàm 1 trên 1) y =
ax + b

y, lim
x→−∞
y =
a
c
và lim
x→+∞
y =
a
c
Từ đó suy ra tiệm cận đứng là x = −
d
c
. Tiệm cận ngang là y =
a
c
.
• Đạo hàm: y

=
ad − bc
(cx + d)
2
. Căn cứ vào dấu của ad − bc (> 0 hay < 0) để kết luận
cho y

, từ đó lập bảng biến thiên, và nêu rõ trong bài làm các khoảng đồng biến
và nghịch biến của hàm số.
• Tìm thêm 4 điểm đặc biệt. Chú ý đến các giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ.
4. Hàm hữu tỷ bậc 2 trên bậc 1 y =





a b
0 d





x
2
+ 2





a c
0 e





x +




1. Đồng biến - nghịch biến
a. Hàm số y = f(x) đồng biến trên miền D ⇔ y

 0, ∀x ∈ D
b. Hàm số y = f(x) nghịch biến trên miền D ⇔ y

 0, ∀x ∈ D
(y

= 0 tại hữu hạn giá trị x.)
Chú ý:
Đối với hàm y =
ax + b
cx + d
thì ta buộc điều kiện y

> 0 (đồng biến) và y

< 0 (nghịch
biến)
2. Cực trị
a. Điều kiện chung: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x = x
0
.
• y = f (x) có cực trị ⇐⇒ y

đổi dấu.
• y = f (x) có cực trị tại x
0
⇒ f

) = 0
f

(x
0
) > 0
b. Điều kiện cụ thể
• Hàm số y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a = 0) có

hai cực trị
CĐ và CT
⇔ y

= 0 có hai
nghiệm phân biệt.
• Hàm số y =
ax
2
+ bx + c
dx + e
có

hai cực trị
CĐ và CT
⇔ y



y

(x
0
) = 0
y(x
0
) = (Ax
0
+ B).y

(x
0
) + mx
0
+ n
⇒ y(x
0
) = mx
0
+ n.
Vậy phương trình đường thẳng qua các cực trị là y = mx + n.
2
2
khi sử dụng phải trình bày phần chứng minh này lại
c
 Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 7
c
 Biên soạn: Hồ Phạm Thanh Ngôn

) = 0 ⇔
u

(x
0
).v(x
0
) − v

(x
0
).u(x
0
)
v
2
(x
0
)
= 0 ⇔
u(x
0
)
v(x
0
)
=
u

(x

, y
B
) thì đường
thẳng qua 2 cực trị A và B chính là đường thẳng AB.
3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
Cho hàm số y = f(x), tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên miền D.
a. Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của y = f(x) trên đoạn [a, b].
• Tính y

và giải y

= 0 tìm nghiệm. Giả sử có nghiệm là x
1
, x
2
∈ [a, b].
• Tính f (a), f(b), f (x
1
), f(x
2
) và so sánh để kết luận.
b. Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của y = f(x) trên khoảng (a, b), nửa
khoảng [a, b), nửa khoảng (a, b].
• Tính y

và lập bảng biến thiên trên miền xác định tương ứng (là (a, b), [a, b)
hay (a, b]).
• Căn cứ vào bảng biến thiên để kết luận.
c. Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của y = f (x) (đề bài không nói gì thêm).
• Tìm tập xác định của hàm số.

a. Phương trình tiếp tuyến tại M
0
(x
0
, y
0
) ∈ (C) (biết tọa độ tiếp điểm)
Phương trình có dạng:
3
khi sử dụng phải trình bày phần chứng minh này lại
c
 Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 8
c
 Biên soạn: Hồ Phạm Thanh Ngôn
Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành
y = f

(x
0
).(x − x
0
) + y
0
(f

(x
0
) là hệ số góc của tiếp tuyến; f

(x

0
) = a; nếu tiếp tuyến
vuông góc với đường thẳng y = ax + b thì f

(x
0
) = −
1
a
.
c. Phương trình tiếp tuyến đi qua (kẻ từ) M
1
(x
1
, y
1
)
• Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M
1
(x
1
, y
1
) & có hệ số góc k là:
y = k. (x − x
1
) + y
1
• Dùng điều kiện tiếp xúc


= 0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
(chỉ xét điều
kiện ∆ > 0, không tính cụ thể x
1
, x
2
).
• Bước 2: Chia đa thức y cho y

ta được y = (Ax + B).y

+ kx + h.
Khi đó



y(x
1
) = kx
1
+ h
y(x
2
) = kx
2
+ h
.

2
= −
b
a
, thay vào (∗).
c
 Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 9
c
 Biên soạn: Hồ Phạm Thanh Ngôn
Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành
b. (C) cắt trục Ox chỉ tại 1 điểm khi hai giá trị cực trị cùng dấu (y(x
1
).y(x
2
) > 0)
hoặc y

rơi vào 2 trường hợp :vô nghiệm/nghiệm kép ⇒ ∆  0.
Chú ý:
• Hai cực trị nằm hai phía so với trục Oy khi x
1
.x
2
< 0
• Hai cực trị nằm cùng phía so với trục Oy khi x
1
.x
2
> 0.
• Hai cực trị nằm hai phía so với trục O khi y(x

MN =

(x
N
− x
M
)
2
+ (y
N
− y
M
)
2
d(P, ∆) =
|Ax
0
+ By
0
+ C|
√
A
2
+ B
2
Chú ý:
• Khoảng cách từ M(x
0
, y
0

 Biên soạn: Hồ Phạm Thanh Ngôn
Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành
10. Tìm cặp điểm A, B ∈ (C) : y = f(x) sao cho A, B đối xứng nhau qua I(x
I
, y
I
)
• Do A, B ∈ (C) nên



y
A
= f(x
A
) (1)
y
B
= f(x
B
) (2)
.
• Do A, B đối xứng nhau qua I nên I là trung điểm của AB, suy ra



x
A
+ x
B

+ bx + c
dx + e
.
Gọi (x
0
, y
0
) ∈ (C) có tọa độ nguyên. Chia tử cho mẫu ta luôn được phần dư có dạng
M
cx
0
+ d
hoặc
M
dx
0
+ e
. Ta lập luận M phải chia hết cho mẫu số, lần lượt cho mẫu số
bằng các số là ước số của M, từ đó tìm ra x
0
, thay lại hàm số tìm ra y
0
rồi kết luận.
12. Tính diện tích hình phẳng, thể tích tròn xoay
a. Bài toán 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau






(dạng II)
Giải dạng I:
• Giải f (x) = g(x) ⇒ x
1
, x
2
, . . . ⇒ xét x
1
, x
2
∈ [a, b]?
• Giả sử x
1
, x
2
∈ [a, b](x
1
< x
2
) thì
S =

b
a
|f(x) − g(x)|dx
=





b
x
2
[f(x) − g(x)]dx




Giải dạng II: Xem x là y, xem y là x.
Chú ý: Dạng I nếu cho 3 đường y hoặc dạng II nếu cho 3 đường x thì buộc phải
vẽ hình.
c
 Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 11
c
 Biên soạn: Hồ Phạm Thanh Ngôn
Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành
b. Bài toán 2: Tính thể tích tròn xoay.
• Quay quanh trục Ox: Phải đưa các đường đề cho về dạng I (rút y theo x)
và áp dụng
V =

b
a


f
2
(x) − g
2
(x)

1
[f
2
(x) − g
2
(x)]dx




+π





b
x
2
[f
2
(x) − g
2
(x)]dx




• Quay quanh trục Oy: Phải đưa các đường đề cho về dạng II (rút x theo y)
và áp dụng



+ π





y
2
y
1
[g
2
(y) − h
2
(y)]dy




+ π





d
y
2

) gồm 2 phần:
• Phần 1: Giữ nguyên phần của (C) nằm bên trên trục hoành Ox (ứng với y  0).
• Phần 2: Lấy đối xứng qua trục Ox phần của (C) nằm bên dưới trục Ox (phần
của (C) ứng với y  0).
c. Bài toán 3: Từ (C) suy ra đồ thị của hàm số |y| = f(x).
Gọi (C
3
) là đồ thị của hàm số |y| = f(x) thì (C
3
) gồm 2 phần:
• Phần 1: Giữ nguyên phần của (C) nằm bên trên trục hoành Ox (ứng với y  0).
• Phần 2: Lấy đối xứng qua trục Ox phần 1 (phần giữ nguyên).
d. Bài toán 4: Từ (C) của hàm số y =
u(x)
v(x)
suy ra đồ thị của hàm số y =
u(x)
|v(x)|
.
Giải v(x)  0 ⇔ x? và giải v(x) < 0 ⇔ x?.
Gọi (C
4
) là đồ thị của hàm số y =
u(x)
|v(x)|
thì (C
4
) gồm 2 phần:
c
 Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 12

b
a
f(x)dx = F(x)|
b
a
= F (b) −F(a)
1. Tính trực tiếp từ các công thức có sẵn.
Nguyên hàm các hàm số sơ cấp Nguyên hàm mở rộng

dx = x + C

x
α
dx =
x
α+1
α + 1
+ C, α = −1

u
α
du =

u
α
u

dx =
u
α+1

a
x
dx =
a
x
ln a
+ C, 0 < a = 1

a
mx+n
dx =
1
m
a
mx+n
ln a
+ C, 0 < a = 1

cos xdx = sin x + C

cos(ax + b)dx =
1
a
sin(ax + b) + C

sin xdx = −cos x + C

sin(ax + b)dx = −
1
a

cot(ax + b) + C
2. Đổi biến.
a. Dạng 1:
• Đặt t = ϕ(x).
• Tính dt = ϕ

(x)dx.
• Đổi cận
x
t = ϕ(x)
a b
ϕ(a) ϕ(b)
Việc chọn t = ϕ(x) tùy thuộc vào từng bài toán, thường để xử lý các tích phân
dạng phân thức mà đạo hàm mẫu số sẽ xuất hiện phần tử số hoặc xử lý các
tích phân lượng giác. Nói chung là đổi biến sao cho sau khi lấy vi phân ta được
phần còn lại.
b. Dạng 2: Ta chú ý các dạng sau đây
c
 Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 14
c
 Biên soạn: Hồ Phạm Thanh Ngôn
Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành
•
√
a
2
+ x
2
hoặc a
2


b
a
udv = [uv]|
b
a
−

b
a
vdu (*)
Xét

b
a
f(x)dx.
• Tách f(x)dx để xác định



u =?
dv =?
⇒



du =?
v =?
• Áp dụng công thức (∗).
Quy tắc tách: Ưu tiên ln, log rồi đến đa thức P (x) chứa x để đặt u. Cụ thể là


dx
  
dv
4. Tích phân hàm hữu tỷ. Xét tích phân có dạng

b
a
P (x)
Q(x)
dx,
nếu bậc tử lớn hơn hoặc bằng bậc mẫu ta chia đa thức cho tới khi bậc tử nhỏ hơn bậc
mẫu. Khi đó ta có:
a. Dạng 1:

b
a
dx
x
2
+ mx + n
  
∆<0
=

b
a
dx
(x + α)
2



b
a
(x
0
: nghiệm kép)
c. Dạng 3:

b
a
dx
x
2
+ mx + n
  
∆>0
=

b
a
dx
(x − x
1
).(x − x
2
)
=
1
M

x
2
+ mx + n
+

b
a
Edx
x
2
+ mx + n
  
xem (a)
(a)
(a)
c
 Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 15
c
 Biên soạn: Hồ Phạm Thanh Ngôn
Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành
e. Dạng 5:

b
a
Mx + N
x
2
+ mx + n
  
∆=0


b
a

A
x − x
1
+
B
x − x
2

dx
Chú ý: Nếu mẫu số là a x
2
+ mx + n thì nhớ chỉnh hệ số: a

x
2
+
m
a
+
n
a

.
5. Tích phân hàm lượng giác.
a. Dạng 1:


Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành
Công thức lượng giác
Công thức cơ bản
• sin
2
x + cos
2
x = 1
• tan x =
sin x
cos x
• cot x =
cos x
sin x
• tan x cot x = 1
• 1 + tan
2
x =
1
cos
2
x
• 1 + cot
2
x =
1
sin
2
x
Công thức nhân đôi

Công thức hạ bậc
• sin
2
a =
1 − cos 2a
2
• cos
2
a =
1 + cos 2a
2
• tan
2
a =
1 − cos 2a
1 + cos 2a
Công thức cộng
• sin(a +b) = sin a cos b + cos a sin b
• sin(a−b) = sin a cos b−cos a sin b
• cos(a+b) = cos a cos b−sin a sin b
• cos(a−b) = cos a cos b+sin a sin b
• tan(a + b) =
tan a + tan b
1 − tan a tan b
• tan(a − b) =
tan a − tan b
1 + tan a tan b
c
 Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 17
c

• tan a − tan b =
sin(a − b)
cos a cos b
Công thức tích thành tổng
• cos a cos b =
1
2
[cos(a − b) + cos(a + b)]
• sin a sin b =
1
2
[cos(a − b) − cos(a + b)]
• sin a cos b =
1
2
[sin(a − b) + sin(a + b)]
Cung liên kết
1. Đối nhau: α và −α
sin(−α) = −sin α
cos(−α) = cos α
tan(−α) = −tan α
cot(−α) = −cot α
cos đối
2. Bù nhau: α và π − α
sin (π − α) = sin α
cos(π −α) = −cos α
tan(π −α) = −tan α
cot(π −α) = −cot α
sin bù
3. Sai khác π : α và π + α

cot

π
2
− α

= tan α
phụ chéo
c
 Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 18
c
 Biên soạn: Hồ Phạm Thanh Ngôn
Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành
2. Sai khác π/2: α và
π
2
+ α
sin

π
2
+ α

= cos α
cos

π
2
+ α


sin(α + k2π) = sin α
cos(α + k2π) = cos α
tan(α + kπ) = tan α
cot(α + kπ) = cot α
Cách giải một số phương trình lượng giác
1. Phương trình cơ bản
1. sin u = sin v ⇔

u = v + k2π
u = π − v + k2π
2. cos u = cos v ⇔

u = v + k2π
u = −v + k2π
3. tan u = tan v ⇐⇒ u = v + kπ 4. cot u = cot v ⇐⇒ u = v + kπ
2. Phương trình bậc hai theo sinx, cos x, tan x, cot x
a cos
2
x + b cos x + c = 0 a sin
2
x + b sin x + c = 0
a cot
2
x + b cot x + c = 0 a tan
2
x + b tan x + c = 0
Cách giải
Đặt t = sin x, cos x, điều kiện: −1  t  1
Đặt t = tan x, cot x, điều kiện: không có
Từ đó đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai ẩn t, được t giải tiếp phương

(∗)
Đặt sin ϕ =
a
√
a
2
+ b
2
và cos ϕ =
b
√
a
2
+ b
2
Khi đó đưa (*) được viết lại là
sin ϕ. sin u + cos ϕ. cos u =
c
√
a
2
+ b
2
⇐⇒ cos(u − ϕ) =
c
√
a
2
+ b
2

), |t| 
√
2 Khi đó sin x cos x=
1 − t
2
2
và đưa
pt (2) đã cho về phương trình bậc hai theo t
5. Phương trình đẳng cấp a sin
2
x + b sin x cos x + c cos
2
x = d (1)
Bước 1 Tìm nghiệm cos x = 0 (⇐⇒ sin
2
x = 1 ⇐⇒ sin x = ±1)
Bước 2 Với cos x = 0, chia hai vế của (1) cho cos
2
x như sau
a
sin
2
x
cos
2
x
+ b
sin x cos x
cos
2

; (ab)
α
= a
α
.b
β
.
(ii) (a
α
)
β
= a
α.β
;
a
α
a
β
= a
α−β
;

a
b

α
=
a
α
b

log
a
(xy) = log
a
|x| + log
a
|y|, ∀x, y.
d. log
a
x
y
= log
a
x − log
a
y, ∀x, y > 0
log
a
x
y
= log
a
|x| − log
a
|y|, ∀x, y.
e. log
a
x
α
= α log

N =
log
a
N
log
a
b
(N > 0; a > 0, a = 1; b > 0, b = 1).
(iii) log
a
b. log
b
x = log
a
x(a > 0, a = 1; b > 0, b = 1; x > 0).
⇐⇒ log
b
x =
log
a
x
log
a
b
⇐⇒ log
a
x =
1
log
x



a = 1



0 < a = 1
f(x) = g(x)
hoặc



a > 0
(a − 1) [f(x) − g(x)] = 0
(đặt điều kiện cho f(x), g(x) nếu cần).
2. Phương pháp logarit hóa và đưa về cùng cơ số
c
 Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 21
c
 Biên soạn: Hồ Phạm Thanh Ngôn
Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành
• Dạng 1:
a
f(x)
= b ⇔



0 < a = 1, b > 0
f(x) = log

g(x)
⇔ f(x). log
b
a = g(x)
3. Phương pháp đặt ẩn phụ
• Dạng 1:
Đặt t = a
f(x)
, điều kiện t > 0 thì a
2f(x)
= t
2
, a
3f(x)
= t
3
, . . . , a
kf (x)
= t
k
và
a
−f(x)
=
1
t
.
• Dạng 2:
Với ab = 1 thì khi đặt a
f(x)

2

a
b

x
+ α
3
= 0
Khi đó đặt t =

a
b

x
với điều kiện t > 0 ta có

a
b

2x
= t
2
4. Phương pháp đoán nghiệm và chứng minh nghiệm đó là duy nhất
Bất phương trình mũ
1. Biến đổi tương đương
• Dạng 1:
a
f(x)
< a

g(x)
⇔













a > 1
f(x)  g(x)
a = 1



0 < a < 1
f(x)  g(x)
hoặc



a > 0
(a − 1) [f(x) − g(x)]  0
c

b
• Dạng 2:
a
f(x)
> b ⇔




















b  0
f(x) có nghĩa




a > 1
f(x) > log
a
b



0 < a < 1
f(x) < log
a
b
• Dạng 3:
a
f(x)
> b
g(x)
⇔ lg a
f(x)
> lg b
g(x)
⇔ f(x). lg a > g(x). lg b
hoặc có thể sử dụng logarit theo cơ số a hay b
3. Đặt ẩn phụ
Sử dụng các phương pháp đặt ẩn phụ như trong phương trình mũ.
Phương trình - Bất phương trình logarit
1. Biến đổi tương đương
• Dạng 1:
log
a
f(x) = b ⇐⇒





a > 1
0 < f(x) < g(x)



0 < a < 1
f(x) > g(x ) > 0
⇔









0 < a = 1
f(x) > 0
g(x) > 0
(a − 1) [f(x) − g(x)] < 0
c
 Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 23
c
 Biên soạn: Hồ Phạm Thanh Ngôn
Tài liệu ôn tập THPT Trần Văn Thành










a > 1
f(x) > a
b



0 < a < 1
0 < f(x) < a
b
2. Đặt ẩn phụ
Tùy bài mà ta có cách đặt ẩn phụ thích hợp. Trong đó ta chú ý:
Nếu đặt t = log
a
x với x > 0 thì log
k
a
x = t
k
; log
x
a =

• Mô đun (độ lớn) của số phức z = a + bi là |z| = |a + bi| =
√
a
2
+ b
2
.
• Số phức z = a + bi có số phức đối là −z = −a −bi.
• Số phức z = a + bi có số phức liên hợp là z = a −bi.
2. Cộng, trừ, nhân, lấy nghịch đảo và chia số phức
• (a + bi) ± (a

+ b

i) = (a ±a

) + (b ± b

)i.
• (a + bi).(a

+ b

i) = (aa

− bb

) + (ab

+ a

+ b
2
i
• Cho z = a + bi và z

= c + di. Khi đó
z
z

=
a + bi
c + di
=
(a + bi)(c − di)
c
2
+ d
2
Chú ý:
(i) z ± z

= z ± z

(ii) zz

= z.z

; z = z.
(iii) |z|  0, ∀z; z = a + bi = 0 ⇔ a = b = 0.
(iv) |z + z


|
.
3. Biểu diễn hình học của số phức
Trục ảo
Trục thực
b
a
M(a, b) → biễu diễn cho số phức z = a + bi
c
 Hồ Phạm Thanh Ngôn Trang số – 25