Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt

ðIỂM UỐN CỦA ðỒ THỊ. PHÉP TỊNH TIẾN HỆ TỌA ðỘ

TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. ðiểm uốn của ñồ thị :
Giả sử hàm số
f
có ñạo hàm cấp một liên tục trên khoảng
(
)
;
a b
chứa ñiểm
0
x
và có ñạo hàm cấp hai trên
khoảng
(
)
0
;
a x
vì
(
)
0
;
x b
.Nếu
''

0 0
;
I x f x
là một ñiểm uốn của ñồ thị hàm số thì
(
)
0
'' 0
f x
=

2. Phép tịnh tiến hệ tọa ñộ :
Công thức chuyển hệ tọa ñộ trong phép tình tiến theo vectơ
OI

là
0
o
x X x
y Y y

= +


= +


,
(
)

)
'' cos 0
f x
=

)
c

Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số ñã cho tại ñiểm có hoành ñộ là nghiệm của phương
trình
(
)
'' 0
f x
=
.
Giải :
Hàm số ñã cho xác ñịnh trên
ℝ
.
)
a

( ) ( )
2
1 17
' 4 ' 0
2
f x x x f x x
±

π
π
= ⇔ = ⇔ = ± + ∈
ℤ
.
)
c

( ) ( )
1 1 47 1 17
'' 2 1 '' 0 , , '
2 2 12 2 4
f x x f x x f f
   
= − ⇒ = ⇔ = = = −
   
   

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là :
17 1 47 17 145
4 2 12 4 24
y x hay y x
 
= − − + = − +
 
 Ví dụ 2 : Cho hàm số
(


và viết phương trình ñường
cong
(
)
C
ñối với hệ
IXY
. Từ ñó suy ra rằng
I
là tâm ñồi xứng của ñường cong
(
)
C
.
3. Viết phương trình tiếp tuyến của ñường cong
(
)
C
tại ñiểm
I
ñối với hệ tọa ñộ
Oxy
.Chứng minh rằng
trên khoảng
(
)
;1
−∞
ñường cong

= − = − = ⇔ =
. Hoành ñộ ñiểm
I
thuộc
(
)
C
là
(
)
1, 1 1.
x f
= = −
Vậy
(
)
(
)
1; 1
I C
− ∈
.
2. Công thức chuyển hệ tọa ñộ trong phép tịnh tuyến theo vectơ
OI

là
1
1
x X
y Y

(
)
(
)
2
' 3 6 ' 1 3
f x x x f
= − ⇒ = −
. Phương trình tiếp tuyến của ñường cong
(
)
C
tại ñiểm
I
ñối với hệ
tọa ñộ
Oxy
:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
' 1 1 1 3 1 1 3 2
y f x f x y g x x

(
)
;1
−∞
ñường cong
(
)
C
nằm phía dưới tiếp
tuyến tại ñiểm
I
của
(
)
C
và trên khoảng
(
)
1;
+∞
ñường cong
(
)
C
nằm phía trên tiếp tuyến ñó.

1. Gọi I là ñỉnh của parabol
(
)
P

c f x x x
= − +

( )
1
)
2 3
x
d f x
x
+
=
−

( )
2
1
) 3
2
e f x x x
= − −

(
)
2
) 2 5
f f x x
= −

2. Gọi I là ñiểm uốn cuả ñồ thị

)
4 2
) 24 20
d f x x x
= − + −

(
)
3 2
) 3 4
e f x x x
= + −

(
)
3 2
) 3 1
f f x x x
= − +Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt

3. Gọi I là giao ñiểm của hai ñường tiệm cận của ñường cong
( ) ( )
5
2 3
x
f x G
x
( )
2
) 3 4
1
b f x x
x
= + +
+( )
5
)
2 1
x
c f x
x
+
=
+( )
3 2
)
1
x
d f x

3
x x
g f x
x
− +
=
−( )
2
4
)
2
x x
h f x
x
+ −
=
+( )
2
8 19
)
5
x x
i f x
x

)
C
ñối với hệ tọa ñộ
IXY
. Từ ñó suy ra rằng I là tâm ñối xứng của
(
)
C
.
)
b

Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị
(
)
C
tại ñiểm uốn . Chứng minh rằng tiếp tuyến tại ñiểm uốn
có hệ số góc nhỏ nhất .

5.Cho hàm số
(
)
3 2
3 4
f x x x
= − +
có ñồ thị là
(
)
C

(
)
t
).
6.
)
a

Vẽ ñồ thị
(
)
C
của hàm số
( )
2
1
1
1
1
2 2
x
khi x
x
f x
x x
khi x

+
< −


I − là ñiểm uốn của ñường cong
(
)
y f x
= .
)
d

Từ ñồ thị
(
)
C
suy ra cách vẽ ñồ thị của hàm số
( )
2
1
1
1
1
2 2
x
khi x
x
y f x
x x
khi x

+
− < −


lim
1
1 2
1
lim
1 1 2
1
lim
1 2
x
x
x
f x f
f x f
x
f x f x
x
−
+
→ −
→−
→ −

− −

= −
− −
+

⇒ = −

2
3
2
1
1
4
1
1
' 1 ''
1
2
1 1
1
1
2
khi x
x
khi x
f x khi x f x
x
khi x
x khi x

− < −

−



< −

( )
( )
'' 0 1
1;0
'' 0 1
f x khi x
I
f x khi x

< < −

⇒ −

> > −

 là ñiểm uốn của ñồ thị của
(
)
C
.
7.
)
a

Vẽ ñồ thị
(
)

− −
là ñiểm uốn của ñường cong
(
)
C
. Viết phương trình của ñường cong
(
)
C
tại ñiểm
I
. Từ ñồ thị
(
)
C
suy ra cách vẽ ñồ thị của hà số .
(
)
y f x
=