TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN
Dương Thị Thu Thuý
MỘT SỐ TÍNH CHẤT
CỦA ĐA THỨC THỰC
VÀ ÁP DỤNG
Luận văn thạc sỹ toán học
Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số
: 60 46 40
Người hướng dẫn khoa học
:
GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu
Quy Nhơn, năm 2008
0
Mục lục
Lời nói đầu 1
1 Định lý dạng Viète và các tính chất liên quan 4
1.1 Một số tính chất cơ bản của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Các định lý dạng Viète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Định lý về số nghiệm thực của đa thức nguyên hàm . . . . . . . . . . . 8
2 Tính chất nghiệm của các đa thức nguyên hàm 15
2.1 Nhận xét về nguyên hàm của một số đa thức dạng đặc biệt . . . . . . . 15
2.2 Một số bài toán khảo sát số nghiệm thực của đa thức nguyên hàm . . . 19
2.3 Một số bất đẳng thức liên quan đến nguyên hàm cấp hai . . . . . . . . 20
Kết luận 23
Tài liệu tham khảo 24
1
Lời nói đầu
Đa thức và các tính chất liên quan đến nó luôn đóng vai trò quan trọng trong
đại số và giải tích. Đặc biệt, sau khi định lý cơ bản của đại số (do Gauss chứng minh)
khẳng định rằng mọi đa thức trên trường số phức (khác hằng số) luôn có ít nhất một

x
s
F
s−1
(x)dt (2)
có đủ k + s nghiệm thực?
2
Luận văn nhằm tập trung giải quyết các câu hỏi trên. Đó chính là các định lý
đảo của định lý Lagrange đối với lớp các đa thức thực. Đặc biệt, đối với những lớp
đa thức không thỏa mãn các điều kiện (1) và (2), ta sẽ xét bài toán "nắn lại" đồ thị
của đa thức đó bằng cách thêm một số nút nội suy để các điều kiện (1) và (2) được
thoả mãn.
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành 2 chương
Chương 1 bao gồm ba phần, trong phần đầu tác giả khái quát lại một số kiến
thức bổ trợ về đa thức, đạo hàm của đa thức và quy tắc dấu Descartes. Phần thứ hai
là các định lý dạng Viète, nêu cách biểu diễn đa thức qua hệ nghiệm của nguyên hàm
kết hợp với phương pháp nội suy đa thức theo các yếu tố hình học. Phần tiếp theo,
tác giả nêu lên định lý về số nghiệm của đa thức nguyên hàm. Định lý 1.11; 1.13 chỉ
ra điều kiện cần và đủ để một đa thức với các nghiệm đều thực sẽ cho một nguyên
hàm cũng có các nghiệm đều thực. Trên cơ sở đó trình bày điều kiện để tồn tại đa
thức nguyên hàm tới cấp tuỳ ý cho trước sao cho số nghiệm thực của các nguyên hàm
đó tăng lên theo từng cấp của nguyên hàm (Định lý 1.12, 1.14, 1.15, 1.16, 1.17, 1.18
1.19 ).
Chương 2 bao gồm ba phần, phần đầu cũng chính là phần trọng tâm của chương
này. Tác giả đưa ra nhận xét về tính chất nghiệm của các đa thức nguyên hàm có
dạng đặc biệt và đưa ra cách "nắn lại" đồ thị của các đa thức đó để các đa thức nhận
được thoả mãn điều kiện (1) và (2) (Định lý 2.1, 2.2). Phần tiếp theo, luận văn trình
bày một số bài toán khảo sát số nghiệm thực của đa thức nguyên hàm. Phần cuối
cùng, tác giả dựa vào các tính chất của hàm lồi, lõm để bước đầu xây dựng một số
dạng bất đẳng thức đối với đa thức nguyên hàm.

0,k
(x) là nguyên hàm cấp k của đa thức f(x) ứng với hằng số c =0,
tức là F
0,k
(x) thoả mãn điều kiện F
0,k
(0) = 0.
- F
c,k
(x) là nguyên hàm cấp k của đa thức f(x) ứng với hằng số c,
tức là F
c,k
(x)=F
0,k
(x)+c với c ∈ R.
- H
n
là tập hợp đa thức với hệ số thực P
n
(x) bậc n (n>0) với hệ số tự do bằng 1
(P
n
(0) = 1) và có các nghiệm đều thực.
- M
k
(f) là tập hợp các nguyên hàm cấp k của đa thức f (x).
- R[x] là tập hợp đa thức với hệ số thực.
- sign a là dấu của số thực a, tức là
sign a :=


0
,
trong đó các hệ số a
n
,a
n−1
, ,a
0
là những số thực (hoặc phức)
và a
n
=0,n∈ N.
Ta kí hiệu
i.Bậc của đa thức P
n
(x) là deg P
n
(x). Do vậy deg P
n
(x)=n.
ii. a
n
- hệ số bậc cao nhất (chính) của đa thức.
Chú ý 1.1. Trong luận văn này ta chỉ xét các đa thức P
n
(x) với các hệ số của nó
đều là thực và gọi tắt là đa thức thực. Ký hiệu tập hợp các đa thức với hệ số thực là
R[x].
Định nghĩa 1.2. Cho đa thức
P

(x) không chia hết cho (x − α)
k+1
thì α
được gọi là nghiệm bội bậc k của đa thức f(x).
5
Đặc biệt, khi k =1thì α đượ c gọi là nghiệm đơn, k =2thì α được gọi là nghiệm
kép.
Chú ý 1.2. Nghiệm của đa thức thực còn được gọi là không điểm của đa thức đó.
Định lý 1.1 (Gauss). Mọi đa thức bậc n  1 trên trường C đều có đúng n nghiệm
nếu mỗi nghiệm được tính một số lần bằng bội của nó.
Định lý 1.2. Mọi đa thức f(x) ∈ R[x] bậc n, với hệ số chính a
n
=0, đều có thể
phân tích thành nhân tử dạng
f(x)=a
n
m

j=1
(x − d
i
)
s

k=1
(x
2
+ b
k
x + c

n
+ a
n−1
x
n−1
+ ···+ a
1
x + a
0
,a
n
=0,
và x → +∞ thì P (x) → sign (a
n
)∞.
Khi x →−∞thì P(x) → (−1)
n
sign (a
n
)∞.
Tiếp theo, ta xét một số tính chất của đa thức đạo hàm.
Định lý 1.8. Nếu x
0
là nghiệm bội bậc s (s ∈ N,s > 1) của đa thức f(x) ∈ R[x] và
x
0
cũng là nghiệm của nguyên hàm F (x) của f(x) thì x
0
là nghiệm bội bậc s +1 của
đa thức nguyên hàm F (x).

, còn trong trường hợp thứ 2 thì a
m−k
và
a
m
lập thành vị trí đổi dấu. Số lần đổi dấu (bằng số vị trí đổi dấu) của một dãy nào
đó vẫn không thay đổi nếu các số hạng bằng 0 được bỏ đi còn những số hạng còn lại
vẫn bảo toàn vị trí tương đối của chúng.
Định nghĩa 1.4. Ta coi sự đổi dấu và vị trí đổi dấu của đa thức
P (x)=a
n
x
n
+ a
n−1
x
n−1
+ ···+ a
1
x + a
0
chính là sự đổi dấu và vị trí đổi dấu của dãy hệ số tuỳ ý
a
n
,a
n−1
, ,a
1
,a
0

n
=0)có các
nghiệm đều thực, gọi W là số vị trí đổi dấu của dãy hệ số a
0
,a
1
, ,a
n
và N là số
không điểm dương của đa thức f( x) thì W = N.
1.2 Các định lý dạng Viète
Định lý Rolle đã cho ta một thuật toán dựng các đa thức có các nghiệm đều
thực từ các đa thức có các nghiệm đều thực cho trước bằng phép lấy đạo hàm. Ta
đã biết rằng, mọi đa thức có các nghiệm đều thực đều được biểu diễn một cách duy
7
nhất qua hệ nghiệm của nó. Đó chính là nội dung của định lý Viète quen thuộc trong
chương trình toán của bậc phổ thông.
Nhận xét rằng, định lý Viète đã chỉ ra mối quan hệ giữa bộ các nghiệm của đa
thức với tất cả các hệ số trong đa thức đó. Tuy nhiên, ta cũng có thể phát biểu kết
quả tương tự trong trường hợp khi ta còn chưa tường minh các nghiệm của một đa
thức. Điều này rất có ý nghĩa khi xét các điều kiện để một đa thức có tất cả các
nghiệm đều thực. Trước hết, ta xét một số dạng đa thức có bậc thấp.
Bổ đề 1.2 (Định lý dạng Viète đối với tam thức bậc hai).
Tam thức bậc hai với hệ số thực f(x)=3x
2
− 2bx + c có nghiệm thực khi và chỉ khi
các hệ số b, c có dạng




2
− 10x − 5 có 3 nghiệm thực là
x
1
≈−0, 33; x
2
≈ 1, 47; x
3
≈ 2, 61.
Nhận xét rằng, nếu ta chọn m = −6(= αβγδ) thì đa thức nguyên hàm
F (x)=−x
4
+5x
3
− 5x
2
− 5x +6
có bốn nghiệm thực (x
1
= −1,x
2
=1,x
3
=2,x
4
=3).
Đối với các nhị thức bậc nhất ta luôn chọn được nguyên hàm là các tam thức
bậc hai có nghiệm thực, kết hợp với bổ đề 1.2 và bổ đề 1.3, ta có hệ quả sau đây.
8
Hệ quả 1.3. Mọi đa thức bậc nhỏ hơn 4 có các nghiệm đều thực luôn tồn tại nguyên

k
= E
k
(¯x),k=1, 2, ,n (1.3)
luôn luôn có các nghiệm đều thực, trong đó E
k
(¯x) là các hàm đối xứng Viète bậc k
theo các biến thực x
1
,x
2
, ,x
n+1
,
1.3 Định lý về số nghiệm thực của đa thức nguyên
hàm
Nhận xét rằng, ứng với mỗi đa thức f(x) ∈ R[x] cho trước luôn tồn tại vô số
nguyên hàm, chúng sai khác nhau một hằng số thực. Vì vậy, tuy đa thức đã cho có
các nghiệm đều thực nhưng nhìn chung các nguyên hàm của nó không có tính chất
đó.
Về sau, để ngắn gọn trong cách trình bày, ta gọi mỗi nguyên hàm của một đa
thức là đa thức nguyên hàm.
Một câu hỏi tự nhiên nảy sinh là: Với những điều kiện nào thì đa thức
f(x)=
m

k=1
(x − x
k
)

=0,x
3
= x
4
=1)nhưng nguyên hàm
F
c
(x)=
1
5
x
5
−
1
2
x
4
+
1
3
x
3
− c
có số nghiệm thực không vượt quá 3 với mọi c ∈ R.
Thật vậy, do hàm số f (x)=x
2
(x − 1)
2
 0, ∀x nên nguyên hàm F (x) luôn đồng
biến, vì thế với mọi c ∈ R thì đường thẳng y = c cắt đồ thị của hàm số

= −1,x
3
=1,x
4
=3.
Suy ra nguyên hàm
F
0
(x)=x
5
+
5
4
x
4
−
65
3
x
3
−
5
2
x
2
+60x
đạt cực đại tại các nút x
1
= −4,x
3

0
(x
2
)  c  F
0
(x
3
) thì đường thẳng y = c cắt đồ thị hàm số F
0
(x) tại 5
điểm (kể cả điểm bội). Suy ra nguyên hàm F
c
(x) có tất cả các nghiệm đều thực.
Vậy với điều kiện nào thì một đa thức bậc 4 có các nghiệm đều thực sẽ cho một
nguyên hàm cũng có các nghiệm đều thực?
Ta có câu trả lời dưới dạng bổ đề sau đây.
Bổ đề 1.4. Giả sử đa thức
f(x)=5(x − x
1
)(x − x
2
)(x − x
3
)(x − x
4
),x
1
 x
2
 x

(x) − c
có các nghiệm đều thực là
F
0
(x
1
)  F
0
(x
4
). (1.4)
Sau đây là điều kiện để một đa thức bậc cao có các nghiệm đều thực cho một
nguyên hàm cũng có các nghiệm đều thực.
Định lý 1.11. Giả sử f(x) là đa thức bậc n (n  4) có các nghiệm đều thực
f(x)=(−1)
n
(n + 1)(x − x
1
)(x − x
2
)(x − x
3
) ···(x − x
n
),x
1
 x
2
 x
3

]
F
0
(x
2j+1
).
11
Nhận xét rằng, định lý 1.11 đã chỉ ra điều kiện cần và đủ để các đa thức có các
nghiệm đều thực tồn tại nguyên hàm bậc 1 cũng có các nghiệm đều thực. Vấn đề tiếp
theo được đặt ra: Với điều kiện nào thì đa thức có các nghiệm đều thực có số nghiệm
thực tăng lên theo mỗi cấp của nguyên hàm?
Dễ dàng nhận thấy, đối với các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai, tính chất
trên hiển nhiên đúng. Sau đây ta khảo sát các đa thức bậc cao hơn.
Định lý 1.12. Giả sử f(x) ∈ R[x] là đa thức bậc n (n  4) có n nghiệm thực
f(x)=(−1)
n
(x − x
0,1
)(x − x
0,2
) (x − x
0,n
),x
0,1
 x
0,2
 ··· x
0,n
.
Gọi M

k+1
F
0,k
(x
k−1,2j+1
)

(1.6)
trong đó x
k−1,i
là nghiệm thứ i của nguyên hàm cấp k − 1,
F
0,k
(x) là nguyên hàm cấp k của f(x) thoả mãn điều kiện F
0,k
(0) = 0 và F
0,0
(x)=
f(x).
Sau đây ta mở rộng định lý 1.11 cho các đa thức có số nghiệm thực nhỏ thua
hoặc bằng bậc của đa thức đó.
Trước hết ta xét một số trường hợp đặc biệt ứng với các đa thức có số nghiệm
thực khá nhỏ.
Bổ đề 1.5. ứng với mọi đa thức f ( x) ∈ R[x] có một nghiệm thực cho trước đều tồn
tại nguyên hàm có ít nhất hai nghiệm thực.
Bổ đề 1.6. ứng với mọi đa thức f(x) ∈ R[x] có hai nghiệm thực cho trước đều tồn
tại nguyên hàm có ít nhất ba nghiệm thực.
Bổ đề 1.7. ứng với mọi đa thức f(x) ∈ R[x] có ba nghiệm thực cho trước đều tồn tại
nguyên hàm có ít nhất bốn nghiệm thực.
Các bổ đề nêu trên khẳng định rằng mọi đa thức có không quá ba nghiệm thực

x
5
−
1
3
x
3
+ x − c có không quá 3 nghiệm thực với
mọi c ∈ R.
Sau đây, ta khảo sát tiếp các điều kiện để mọi đa thức có bốn nghiệm thực thoả
mãn các điều kiện đó đều tồn tại nguyên hàm có ít nhất năm nghiệm thực.
Bổ đề 1.8. Giả sử đa thức
f(x)=(x − x
1
)(x − x
2
)(x − x
3
)(x − x
4
)g(x),x
1
 x
2
 x
3
 x
4
,
trong đó g(x) > 0 ∀x ∈ R. Giả sử F

2
)(x − x
3
) ···(x − x
s
)g(x),x
1
 x
2
 x
3
 ··· x
s
,
trong đó g(x ) =0, ∀x ∈ R.
Giả sử F
0
(x) là một nguyên hàm của f (x) thoả mãn điều kiện F
0
(0) = 0. Khi đó
điều kiện cần và đủ để tồn tại c ∈ R sao cho nguyên hàm
F
c
(x)=F
0
(x) − c
có ít nhất s +1 nghiệm thực là
max
1≤i≤
[

(x) ∈ M
s
(f) có ít nhất s +1 nghiệm thực.
Sau đây ta xét các đa thức có hai nghiệm thực theo phương pháp tương tự như
trên.
Định lý 1.15. Giả sử đa thức f(x) ∈ R[x] có hai nghiệm thực. Gọi M
s
(f) là tập
hợp các nguyên hàm cấp s của đa thức f(x). Khi đó, ứng với mọi số nguyên dương s
đều tồn tại đa thức F
s
(x) ∈ M
s
(f) có (s +2)nghiệm thực.
Định lý 1.16. Giả sử đa thức f(x) ∈ R[x] có ba nghiệm thực. Gọi M
s
(f) là tập hợp
các nguyên hàm cấp s của đa thức f(x). Khi đó, ứng với mọi số nguyên dương s đều
tồn tại đa thức F
s
(x) ∈ M
s
(f) có s +3 nghiệm thực.
Các định lý 1.14, 1.15, 1.16 đã khẳng định rằng các đa thức có số nghiệm thực
ít hơn 4 luôn tồn tại dãy các nguyên hàm có số nghiệm thực tăng lên theo mỗi bậc
của nguyên hàm. Tuy nhiên, việc mở rộng các định lý trên cho các đa thức bậc n có
k nghiệm thực tuỳ ý (k<n) chỉ đúng trong các trường hợp đặc biệt. Cụ thể, ta có:
Định lý 1.17. Giả sử đa thức f(x) ∈ R[x] có bậc bằng n và có m(m<n) nghiệm
thực bội m. Gọi M
s

là hai nghiệm liên tiếp nhau của đa thức nguyên hàm cấp i F
0,i
(x)
14
Bổ đề 1.9. Giả sử đa thức f (x) ∈ R[x] có bậc bằng n và có m(m<n) nghiệm thực
x
1
<x
2
< ···<x
α−1
<x
α
= x
α+1
= ···= x
β
<x
β+1
<
< ···<x
γ−1
<x
γ
= x
γ+1
= ···= x
δ
<x
δ+1

0,2
(x
1
α
)=··· = F
0,2
(x
1
β
)=···= F
0,2
(x
1
γ
)=···= F
0,2
(x
1
δ
)(1.13)
với x
1
i
là nghiệm thứ i của nguyên hàm cấp 1,x
1
CT
(x
1
CD
) là nghiệm của đa thức

<x
α
= x
α+1
= ···= x
β
<x
β+1
<
< ···<x
γ−1
<x
γ
= x
γ+1
= ···= x
δ
<x
δ+1
< ···<x
m
Gọi M
k
(f) là tập hợp các nguyên hàm cấp k của đa thức f(x). Khi đó, để ứng với
mọi số nguyên dương s đều tồn tại đa thức F
s
(x) ∈ M
k
(f) có k + m nghiệm thực thì
c

), min F
0,k
(x
k−1
CD
)

,
trong đó x
k−1
i
là nghiệm thứ i của nguyên hàm cấp k − 1,x
k−1
CT
(x
k−1
CD
) là nghiệm của
đa thức F
0,k−1
(x)=0sao cho F
0,k−1
(x) chuyển dấu từ (-) sang (+)

tương tự
F
0,k−1
(x) chuyển dấu từ (+) sang (-)

F

0
(x + λ
1
)
k
1
(x + λ
2
)
k
2
···(x + λ
n
)
k
n
,
trong đó
λ
1
<λ
2
< ···<λ
n
,k
0
,k
1
, ,k
n

)
k
n
,
trong đó
λ
1
= λ
2
= ···= λ
n
,k
0
,k
1
, ,k
n
∈ N
∗
k
i
≥ 2,k
0
+ k
1
+ k
2
+ ···+ k
n
= N.
































k
i
+1

λ
2
+
n

i=1
i=j

1
k
i
+1

1
k
j
+1

λ
i
λ
j

−
−B
n−1

i

1
k
j


···
B
1
=
n

i=0
k
0
+2
N + n +1
n

j=1
λ
j
(k
i
+1)− B
0
k
i
λ

= −1,h=3;λ
2
=1.
Do đó đa thức cần thêm (x
2
−
3
11
), tức là cần thêm vào hai 0−điểm x
1
=

3
11
; x
2
=
−

3
11
, khi đó ta sẽ xét đa thức
g(x)=f(x)(x
2
−
3
11
)=

x

(x)=
x
3
11

x
8
− 4x
6
+6x
4
− 4x
2
+1

=
x
3
11
(x − 1)
4
(x +1)
4
có 11 nghiệm thực.
17
Ví dụ 2.2. Cho đa thức f(x)=x
2
(x+1)
3
(x−1)

x
3
14
(x +1)
4
(x − 1)
4
(x +2)
3
có 14 nghiệm thực.
Ta tiếp tục xét các đa thức có dạng
f(x)=x
k
0
(x + λ
1
)
k
1
(x + λ
2
)
k
2
···(x + λ
n
)
k
n
(x + β

n
= N.
Định lý 2.2. Cho đa thức
f(x)=x
k
0
(x + λ
1
)
k
1
(x + λ
2
)
k
2
···(x + λ
n
)
k
n
(x + β
1
)(x + β
2
) ···(x + β
m
),
trong đó
λ

0
−1
x
2
+ B
n
0
−2
x + ···+ B
1
x + B
0
),n
0
= n + m − 1.
Ta được
deg g(x)=N +2m + n − 1, đặt deg g ( x)=h − 1.
Khi đó điều kiện cần và đủ để tồn tại một đa thức nguyên hàm G
0
(x) của g(x) có
18
N + n +2m = h nghiệm là




























B
n
0
−1
=
(h − 2)E
1
(β)+h
n

i=1

+1)λ
i
+2E
2
(β)
+
n

i=1

2
k
i
+1

λ
2
i
+
n

i=1
i=j

1
k
i
+1

1

2
k
i

λ
2
i
−
n

i=1

1
k
i

1
k
j

λ
i
λ
j
− E
1
(β)
n

i=1

λ
j
h

n

i=1
k
i
λ
i
E
m
(β)+E
m−1
(β)

B
0
=
k
0
+1
h
n

i=1
λ
i
E

3
8

x
5
− x
4
+5x
3
+ x
2
+ x +4

=
x
3
8
(x +1)
3
(x − 2)
2
.
Đa thức G
0
(x)=0có 8 nghiệm thực.
Ví dụ 2.4. Cho đa thức f(x)=x
2
(x +1)
2
(x − 2)(x − 1). Đa thức này có một nguyên


x
7
− 3x
6
− 2x
5
+ x
4
− 11x
2
+4

=
x
3
10
(x +1)
3
(x − 2)
2
(x − 1)
2
.
19
Đa thức G
0
(x)=0có 10 nghiệm thực.
2.2 Một số bài toán khảo sát số nghiệm thực của
đa thức nguyên hàm

(x
1
 x
2
 x
3
 ··· x
n
) có n nghiệm thực. Giả sử nguyên hàm F
0
(x) của f(x) thoả
mãn điều kiện
max
1≤i≤
[
n
2
]
F
0
(x
2i
)  min
0≤j≤
[
n−1
2
]
F
0

(x),F
2
(x),F
3
(x) lần
lượt là các nguyên hàm cấp 1,cấp2,cấp3 của đa thức f(x) chỉ có các nghiệm thực.
Chứng minh rằng đa thức
F
3
(x)+αF
2
(x)+βF
1
(x)+f (x)
20
có các nghiệm đều thực.
Bài toán 2.7. Cho đa thức P (x) ∈ R[x] sao cho
P (x)+P

(x)=(x + 2)(x +1)x(x − 1)(x − 2).
Chứng minh rằng tồn tại hằng số c ∈ R để hàm số P (x) − ce
−x
có 6 nghiệm thực.
Bài toán 2.8. Giả sử đa thức bậc lẻ P (x) có hệ số cao nhất bằng 1 và deg P (x)=n,
(n>4), α ∈ R,α =0cho trước sao cho đa thức P(x)+αP

(x) có k (k  n) nghiệm
thực phân biệt là x
1
,x

]
F
0
(x
2j+1
),
trong đó F
0
(x)=e
x
α
P (x).
2.3 Một số bất đẳng thức liên quan đến nguyên
hàm cấp hai
Định lý 2.3. Nếu f(x) khả vi bậc hai và lồi trên I(a, b) thì với mọi cặp x
0
,x ∈ I(a, b),
ta đều có
f(x) = min
u∈I(a,b)
[f(u)+f

(u)(x − u)].
Tương tự, ta cũng có biểu diễn đối với hàm lõm.
Khi hàm số f(x) lõm và khả vi trên I(a, b) thì đồ thị của nó thuộc nửa mặt
phẳng dưới tạo bởi tiếp tuyến tại mỗi điểm tuỳ ý thuộc đồ thị, tức là với mỗi cặp
x
0
,x ∈ I(a, b), ta đều có
f(x)  f(x

1
+ x
2
+ ···+ x
n
= y
1
+ y
2
+ ···+ y
n
.
Khi đó, ứng với mọi hàm f
1
(t),f
2
(t), ,f
n
(t) đồng biến hoặc nghịch biến liên tiếp
bậc (1,2) trên I(a, b), ta đều có
f
1
(x
1
)
f

1
(y
1

)
f

1
(y
1
)
+
f
2
(y
2
)
f

2
(y
2
)
+ ···+
f
n
(y
n
)
f

n
(y
n

1
+ x
2
+ ···+ x
n
= y
1
+ y
2
+ ···+ y
n
.
Khi đó,
F
0,2
(x
1
)
F
0,1
(y
1
)
+
F
0,2
(x
2
)
F

2
)
F
0,1
(y
2
)
+ ···+
F
0,2
(y
n
)
F
0,1
(y
n
)
. (2.17)
Định lý 2.6. Cho đa thức
f(x)=(x − x
1
)(x − x
2
) (x − x
n
)g(x) x
1
<x
2

0,1
(y
1
)
+
F
0,2
(x
2
)
F
0,1
(y
2
)
+ ···+
F
0,2
(x
n
)
F
0,1
(y
n
)

F
0,2
(y

(với x
n+2
là nghiệm lớn nhất của phương trình F
0,2
(x)=0.)
22
Nhận xét 2.2. Đối với các đa thức f(x) ∈ R[x] có bậc bằng n và có m (m<n)
nghiệm thực, trong đó có một số bộ nghiệm kép và khoảng cách giữa hai nghiệm kép
lớn hơn hoặc bằng hai thì nội dung định lý 2.6 vẫn đúng.
Nhận xét 2.3. Ta có thể dựa vào định lý (2.5) và (2.6) để đưa ra các bất đẳng thức
tương tự.
23
Kết luận
Các kết quả chính của luận văn "Một số tính chất của đa thức thực và áp dụng
" đã tập trung nghiên cứu, trình bày một số vấn đề sau:
1. Luận văn đã chứng minh điều kiện cần và đủ cho những lớp đa thức f(x) ∈ R[x]
với k nghiệm thực cho trước sẽ cho ta một nguyên hàm (gọi là đa thức nguyên hàm)
có đủ k +1 nghiệm thực
Tương tự, cho một đa thức f(x) ∈ R[x] với k nghiệm thực cho trước sẽ cho một
nguyên hàm cấp ss>1 (gọi là đa thức nguyên hàm cấp s) dạng
F
s
(x)=
x

x
s
F
s−1
(x)dt