Trường ĐH Bách khoa tp Hồ Chí Minh
Khoa Khoa học ứng dụng - Bộ mơn Tốn ứng dụng

Đại số tuyến tính
Chương 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
Giảng viên TS. Đặng Văn Vinh
www.tanbachkhoa.edu.vn
Nội dung

I – Đònh nghóa và Ví dụ
V – Không gian con.
II – Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính
IV – Cơ sở và số chiều
III – Hạng của họ véctơ
KHễNG GIAN VẫCT V
I. ẹũnh nghúa vaứ caực vớ duù

2. (x + y) + z = x + (y + z)
3. Tn ti vộc t khụng, ký hiu 0 sao cho x + 0 = x
4. Mi x thuc V, tn ti vect, ký hiu x sao cho x + (-x) = 0
1. x + y = y + x;
8. 1x = x
Tp khỏc rng V
Hai phộp toỏn
Nhõn vộct vi 1 sCng
8 tiờn
5. Vi mi s v mi vector x:
, K


( )x x x


I. Định nghĩa và các ví dụ

Rxxxx
V
i


),,(
3211
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
3
3
2
2
1

,
(
)
,
,
(
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x












2
2
Ví dụ 2
V
2
- Không gian véctơ
]
[
2
x
P
Định nghĩa phép cộng hai véctơ: là phép cộng hai đa thức
thông thường, đã biết ở phổ thông.
Định nghĩa phép nhân véctơ với một số: là phép nhân đa thức
với một số thực thông thường, đã biết ở phổ thông.
Định nghĩa sự bằng nhau: hai véc tơ bằng nhau nếu hai đa
thức bằng nhau, tức là các hệ số tương ứng bằng nhau).
I.
Định nghĩa và các ví dụ












2 3 0
i
V x x x x R x x x
     
( , , )
Phép cộng hai véctơ và nhân véctơ với một số giống như
trong ví dụ 1.
V
4
- là KGVT
Ví dụ 4
CHÚ Ý: Có nhiều cách khác nhau để định nghĩa hai phép
toán trên V
1
, ( hoặc V
2
, hoặc V
3
) sao cho V
1
( hoặc V
2
, hoặc
V
3
) là không gian véctơ.
I. Định nghĩa và các ví dụ

II.
Độc lập tuyến tính

V- KGVT trên K
1 2
{ , , , }
m
M x x x

Tập con
M– PTTT
1 2
, , ,
m
K
  
 

không đồng thời bằng 0
1 1 2 2
0
m m
x x x
  
   

M – độc lập tuyến tính
1 1 2 2
0
m m

  
   

Vector x thuộc V được gọi là Tổ hợp tuyến tính của M, nếu
II.
Độc lập tuyến tính

{ (1,1,1); ( 2 ,1, 3 ), (1, 2 , 0 )}
M

Trong không gian R
3
cho họ véc tơ
Ví dụ 5
1. Hỏi M độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?
2. Véctơ x = (2,-1,3) có là tổ hợp tuyến tính của họ M?
Giải câu 1. Giả sử
111 2 1 3 1 2 0 0
( , , ) ( , , ) ( , , )
  
  
2 2 3 0 0 0
( , , ) ( , , )
       
      
2 0
2 0
3 0
  
  

  
2 2 3 2 1 3
( , , ) ( , , )
       
       
2 2
2 1
3 3
  


    


 

  
  
 
1 2 1 2
1 1 2 1
1 3 0 3
(A|b)
 
 
 
 
 
 
r(A| b) r(A)

II.
Độc lập tuyến tính

1 2
{ , , , }
m
M x x x


1 1 2 2
  
   

m m
x x x x
Hệ thuần pt
AX= b
Hệ có nghiệm
x không là tổ hợp
tuyến tính
Hệ vô nghiệm
x là tổ hợp tuyến tính
của M
II.
Độc lập tuyến tính

{ , , 2 3 , }
 
M x y x y z
Ví dụ



  

0
  
   
Vậy M độc lập tuyến tính
II.
Độc lập tuyến tính

{ , }

M x y
Ví dụ
Trong không gian véctơ V cho họ ĐLTT
a.
b.
1
2 3

M { x, y}
2

M {x+y,2x+3y}
c.
3

M {x+y,2x+3y,x-y}
Các tập hợp con sau đây độc lập tuyến tính hay phụ thuộc


II.
Độc lập tuyến tính

Thêm một số véctơ vào họ phụ thuộc tuyến tính ta thu
được một họ phụ thuộc tuyến tính.

Bỏ đi một số véctơ của họ độc lập tuyến tính ta thu được
họ độc lập tuyến tính.


Cho họ véctơ M chứa m véctơ
1 2
{ , , , }
m
M x x x

Cho họ véctơ N chứa n véctơ
1 2
{ , , , }
n
N y y y

Nếu mỗi véctơ y
k
của N là tổ hợp tuyến tính của M và
n > m, thì N là tập phụ thuộc tuyến tính.
II.
Độc lập tuyến tính


là 3 nhiều hơn trong M là 2
Theo bổ đề cơ bản, M
1
phụ thuộc tuyến tính.
II.
Độc lập tuyến tính

{ , , }

M x y z
Ví dụ
Trong không gian véctơ V cho hai họ
a. Chứng minh rằng nếu M ĐLTT tính thì M
1
ĐLTT
và
1
2 3 3 4
{ , - , }
M x y z x y z x y z
     
b. Chứng minh rằng nếu M
1
ĐLTT tính thì M ĐLTT
III. H
ạng của họ véctơ

1 2
{ , , , , }
m

2 3
M {x,y, x y}
 
Tìm hạng của các họ véc tơ sau đây.
c.
3
2 3 0
M {x,y, x y, }
 