Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng

Đại số tuyến tính
Chương 8: Dạng toàn phương
• Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (1/2008)

7.6 Dạng Toàn phương

trong đó A là ma trận đối xứng thực và được gọi là ma trận của
dạng toàn phương (trong cơ sở chính tắc)
Định nghĩa
Dạng toàn phương trong R
n
là một hàm thực
:
n
f R R

1 2
( , , , ) :
T n
n
x x x x R
  
( )
T
f x x A X
  
Khi đó ta có dạng toàn phương trong R
2


 
 

 
 
x
x x
x
2 2
1 1 2 2
2 6 4
  
x x x x
7.6 Dạng Toàn phương

Dạng toàn phương trong R
3
thường được ghi ở dạng
1 2 3
( ) ( , , )
f x f x x x
 
2 2 2
1 2 3
x x x
1 2 1 3 2 3
2 2 2
A B C Dx x Ex x Fx x
     

  
7.6 Dạng Toàn phương

3 2 3
2 2 1
3 1 4

 
 

 
 
 
 
A
Giải
Ví dụ.
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3
( ) 3 2 4 4 6 2     
f x x x x x x x x x x
Viết ma trận của dạng toàn phương.
1
3
2
3
:
x
x x R
x

7.6 Dạng Toàn phương

Cho dạng toàn phương với
( ) ,

T
f x x Ax
1 2 3
( , , )
T
x x x x

Vì A là ma trận đối xứng thực nên A chéo hóa được bởi ma trận
trực giao P và ma trận chéo D:
T
A PDP

Khi đó:
( )
T T
f x x PDP x

( ) ( )
T T T
P x D P x

Đặt
T
y P x x Py
  


Định nghĩa
Dạng toàn phương được gọi là dạng chính
( )
T
f y y Dy

( )
T
f x x Ax

tắc của dạng toàn phương
Dạng chính tắc là dạng toàn phương có các số hạng là các bình
phương.
Ma trận A là ma trận của dạng toàn phương trong
cơ sở chính tắc.
( )
T
f x x Ax

Ma trận D cũng là ma trận của dạng toàn phương
trong cơ sở tạo nên từ các cột của ma trận trực giao P.
( )
T
f x x Ax

Khi làm việc với dạng toàn phương ta có thể làm việc với ma
trận A, cũng có thể làm việc với ma trận D. Tất nhiên ma trận D
có cấu trúc đơn giản hơn.
7.6 Dạng Toàn phương

f y y Dy

Phép biến đổi cần tìm: x = Py
7.6 Dạng Toàn phương

Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng phép biến
đổi trực giao. Nêu rõ phép biến đổi.
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3
( , , ) 3 6 3 4 8 4     
f x x x x x x x x x x x x
Ví dụ
1. Ma trận của dạng toàn phương là ma trận đối xứng:
3 2 4
2 6 2
4 2 3

 
 
 
 
 
 
A
7.6 Dạng Toàn phương

2. Chéo hóa A bởi ma trận trực giao P (đã làm ở ví dụ trước)
1 1
2 18
4

0 0
 
 


 
 


D
3. Dạng chính tắc cần tìm là:
2 2 2
1 2 3 1 2 3
( , , )
2
7 7
f y y y y y y
 
Phép biến đổi cần tìm:
x Py

1 1
2 2
3 3
x y
x P y
x y
   
   
 

Bước 3. Sử dụng bước 1, và 2 cho dạng toàn phương không
chứa hệ số .
k
x
Chú ý: Nếu trong dạng toàn phương ban đầu tất cả các hệ số
2
k
x
đều bằng 0, thì ta chọn thừa số khác 0 của hệ số
i j
x x
( , ): ;
k k
k i j y x
  
;
i i j j i j
x y y x y y
   
Đổi biến:
7.6 Dạng Toàn phương

Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng phép biến
đổi Lagrange. Nêu rõ phép biến đổi.
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3
( , , ) 3 6 3 4 8 4     
f x x x x x x x x x x x x
Ví dụ
1. Chọn thừa số

x x
f
2 2
2
2 2 2
1 2 3 2 3 2 23
3 3
2 4 16 4 16
3( )
3 3 3 3
(6 3 4 )
3
      x x x x x xx x x
x
xf
7.6 Dạng Toàn phương

2
1
2 3 3
2
2 2
23
14 28 7
( )
3
2 4
3( )
3 3
3 3



x
x
x x
Lập thành tổng bình phương đủ ở nhóm đầu.
 
2
2
2
3
2 3 3
14 14
7
3 3
3
 x
x
x x


3
2
2 3
2
2
14
2
3
7

3
3
7
3
     x x xx
x
xf
Đặt:
1 1 2 3
2 2 3
3 3
2 4
3 3
(*)

  


 





y x x x
y x x
y x
Vậy dạng chính tắc cần tìm là:
2
2

x
2
1 1 2
2 1 2
3 3
 


 




x y y
x y y
x y
Đổi biến:
2 2
1 2 1 2 3 1 2 3
4 4 4( ) 4( )
     
f y y y y y y y y
7.6 Dạng Toàn phương

2 2
1 1 3 2
4 8 4
  
f y y y y
2

3 3
 







z y y
z y
z y
Đổi biến:
Dạng chính tắc cần tìm là:
1 2 3
2
2
3
1
2
2
( , , ) 4 4
4
  z zf z
z
z z
1 1 2 3
2 1 2 3
3 3
  

1 1
( ): ( ) 0
x f x
  
và
4. nửa xác định âm, nếu

( ): ( ) 0
x f x
 
1 1
( ): ( ) 0
x f x
  
và
5. không xác định dấu, nếu
&
1 2 1 1
( , ): ( ) 0 ( ) 0
x x f x f x
  
7.6 Dạng Toàn phương

Giả sử dạng toàn phương đưa về chính tắc được:
1. Nếu , thì dạng toàn phương xđ dương.
( 1, , ): 0
k
k n

  

k

 
5. Nếu , thì dạng toàn phương không xác định dấu
1 2
0; 0
 
  
7.6 Dạng Toàn phương

Giả sử dạng toàn phương đưa về chính tắc được:
2 2 2
1 1 2 2
( )
n n
f y y y y
  
   
Số các hệ số dương được gọi là chỉ số dương quán tính.
Số các hệ số âm được gọi là chỉ số âm quán tính.
Luật quán tính
Chỉ số dương quán tính, chỉ số âm quán tính của dạng toàn
phương là những đại lượng bất biến không phụ thuộc vào cách
đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc.
Tồn tại rất nhiều phương pháp đưa dạng toàn phương về dạng
chính tắc. Các dạng chính tắc này thường khác nhau.
Có điểm chung của các dạng chính tắc là: số lượng các hệ số âm
và số lượng các hệ số dương là không thay đổi.
11 12 13 1
21 22 23 2

được gọi là định thức con chính cấp 1, 2,…, n.
1

2

3


n

7.6 Dạng Toàn phương

Cho dạng toàn phương f (x) = x
T
Ax.
Định lý (Tiêu chuẩn Sylvester)
1. xác định dương khi và chỉ khi
( 1, ): 0
i
i n
   

( )
f x
2. xác định âm khi và chỉ khi
( 1, ):( 1) 0
i
i
i n
    

   
2
1 1
3 0
1 4

   

3
1 1 4
1 4 2 0
4 2 m

   
28
m
 
7.6 Dạng Toàn phương

Tìm m để dạng toàn phương không xác định dấu
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3
( , , ) 5 4 6 2     
f x x x x x mx x x x x x x
Ví dụ
Đưa dạng toàn phương về chính tắc bằng biến đổi Lagrange.
Dạng toàn phương không xác định dấu khi và chỉ khi có ít nhất
một hệ số âm và một hệ số dương
2 2 2
1 1 2 1 3 2 3 2 3

( , ) 3 2 3
  
f x y x xy y
Vẽ đường cong trong hệ trục 0xy là
làm việc với cơ sở chính tắc của R
2
.
Đưa dạng toàn phương này về dạng chính tắc để khử đi hệ số 2xy.
Nếu đưa dạng toàn phương về chính tắc bằng biến đổi Lagrange thì
ta chỉ có thể nhận dạng được đường cong này, còn khó vẽ hình được
vì lúc đó ta sẽ làm việc với cơ sở (thường là) không trực chuẩn.
Có nghĩa là vẽ hình trong hệ trục tọa độ không vuông góc!