Đồ án tốt nghiệp

Lời nói đầu
Toán học là một môn khoa học chiếm vị trí quan trọng không thể thiếu
trong cuộc sống con nguời.
Cùng với sự phát triển nội tại của toán học và các ngành khoa học khác,
toán học chia thành toán lý thuyết và toán ứng dụng.
Giải tích số hay còn gọi là phơng pháp số là môn khoa học thuộc lĩnh
vực toán ứng dụng nghiên cứu cách giải gần đúng các phơng trình, các bài
toán xấp xỉ hàm số và các bài toán tối u.
Việc giải một bài toán xấp xỉ hàm số nhằm mục đích thay một hàm số
dới dạng phức tạp nh dạng biểu thức hoặc một hàm số dới dạng bảng bằng
những hàm số đơn giản hơn. Trong lý thuyết xấp xỉ hàm ngời ta thờng
nghiên cứu các bài toán nội suy, bài toán xấp xỉ đều và bài toán xấp xỉ trung
bình phơng.
Trong đồ án này em đề cập đến bài toán dùng phơng pháp xấp xỉ trung
bình phơng hay còn gọi là phơng pháp bình phơng tối thiểu để xấp xỉ hàm
trong thực nghiệm.
Để hoàn thành đồ án này em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong
khoa Toán tin ứng dụng- Trờng đại học Bách Khoa Hà Nội đã quan tâm giúp
đỡ em và tạo mọi điều kiện cho em trong suốt quá trình làm đồ án. Đặc biệt
em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến PGS-TS Lê Trọng Vinh, ngời đã
trực tiếp tận tình hớng dẫn, chỉ bảo về kinh nghiệm và tài liệu trong suốt quá
trình em làm đồ án tốt nghiệp.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2008
Bùi Văn Bằng

- 1 - Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng
Lp: Toỏn Tin_2 K48
Đồ án tốt nghiệp

y
. Tuy nhiên sự đòi
hỏi này không có ý nghĩa nhiều trong thực tế. Bởi vì các số
i
y
là giá trị
của hàm
( )y f x=
tại các điểm
i
x x=
, trong thực tế chúng ta cho dới
dạng bảng và thờng thu đợc từ những kết quả đo đạc hoặc tính toán
trong thực hành. Những số y
i
này nói chung chỉ xấp xỉ với các giá trị
đúng
( )
i
f x
của hàm
( )y f x=
tại
i
x x=
. Sai số mắc phải
( )
i i i
y f x


x
(nghĩa là làm giảm sai số
của công thức nội suy). Nhng điều này lại kéo theo cấp của đa thức nội
suy tăng lên do đó những đa thức nội suy thu đợc khá cồng kềnh gây
khó khăn cho việc thiết lập cũng nh dựa vào đó để tính giá trị gần đúng
hoặc khảo sát hàm
( )f x
.

- 2 - Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng
Lp: Toỏn Tin_2 K48
Đồ án tốt nghiệp

1.1.2 Bài toán đặt ra
Chính vì những lý trên nên phơng pháp tìm hàm xấp xỉ có thể sẽ sát thực
hơn thông qua hai bài toán:
Bài toán 1(tìm hàm xấp xỉ).
Giả sử đã biết giá trị
i
y

( 1,2, , )=i n
của hàm
( )=y f x
tại các điểm
tơng ứng
i
x x=
. Tìm hàm
( )

sao cho quá trình tính
toán đơn giản đồng thời nhng sai số
i

có tính chất ngẫu nhiên (xuất hiện khi
thu đợc các số liệu
i
y
) cần phải đợc chỉnh lý trong quá trình tính toán. Trong
bài toán tìm hàm xấp xỉ trên việc chọn dạng của hàm xấp xỉ
)(x
m

là tùy
thuộc ý nghĩa thực tiễn của hàm
f(x)
.
Bài toán 2 (tìm các tham số của một hàm có dạng đã biết).
Giả sử đã biết dạng tổng quát của hàm

0 1
( , , , , )
m
Y f x a a a=
(1
2)
Trong đó:
i
a


Lp: Toỏn Tin_2 K48
Đồ án tốt nghiệp

Những hàm trong thực nghiệm thu đợc thờng mắc phải những sai số có
tính chất ngẫu nhiên. Những sai số này xuất hiện do sự tác động của những
yếu tố ngẫu nhiên vào kết quả thực nghiệm để thu đợc các giá trị của hàm.
Chính vì lý do trên, để đánh giá sự sai khác giữa hai hàm trong thực
nghiệm ta cần đa ra khái niệm về sai số (hoặc độ lệch) sao cho một mặt nó
chấp nhận đợc trong thực tế, một mặt lại san bằng những sai số ngẫu nhiên
(nghĩa là gạt bỏ đợc những yếu tố ngẫu nhiên tác động vào kết quả của thực
nghiệm). Cụ thể nếu hai hàm thực chất khá gần nhau thì sai số chúng ta đa ra
phải khá bé trên miền đang xét.
Khái niệm về sai số nói trên có nghĩa là không chú ý tới những kết quả
có tính chất cá biệt mà xét trên một miền nên đợc gọi là sai số trung bình ph-
ơng.
1.2.2 Định nghĩa
Theo định nghĩa ta sẽ gọi
n

là sai số (hoặc độ lệch) trung bình phơng của
hai hàm
( )f x
và
( )

x
trên tập
1 2
( , , , )=
n

và
1 2
( , , , )=
n
X x x x
là tập hợp các điểm
cách đều trên
[ ]
,a b

1 2
= < < < =
n
a x x x b

Theo định nghĩa fích phân xác định ta có

lim
n
n


=
(2
2)
Trong đó:

- 4 - Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng
Lp: Toỏn Tin_2 K48
Đồ án tốt nghiệp

,a b
sẽ có k đoạn riêng biệt
[ ]
,
i i
a b
( 1,2, , )=i k
sao cho

( ) ( )f x x (với
[ ]
,
i i
x a b
,
( 1,2, , )=i k
)
Gọi

là tổng các độ dài của k đoạn nói trên.
Với n đủ lớn và
n

đủ bé, từ (2 2) ta suy ra

<


i
dxxxf
1
2
)]()([





2
.
Do đó

2
( )




<
ữ

b a
.
Nghĩa là tổng độ dài

của các đoạn
[ ]
,


của hai hàm f(x) và
)(x

trên tập hợp n
điểm
[ ]
,a b X
(n đủ lớn) mà khá bé thì với tuyệt đại đa số giá trị của x trên
[a, b] cho sai số tuyệt đối giữa f(x) và
)(x

khá bé.
1.2.4 Xấp xỉ hàm theo nghĩa trung bình phơng

- 5 - Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng
Lp: Toỏn Tin_2 K48
Đồ án tốt nghiệp

Từ ý nghĩa của sai số trung bình phơng nói trên
Ta nhận thấy nếu các giá trị
i
y

( 1,2, , )=i n
của hàm
( )f x
tại các điểm
i
x

i i
y f x
)
thì cách xấp xỉ nói trên đã san bằng những sai lạc tại từng điểm (nảy sinh do
những sai số ngẫu nhiên của thực nghiệm). Đó là lý do giải thích lý do vì sao
phơng pháp xấp xỉ theo nghĩa trung bình phơng đợc sử dụng rộng rãi trong
thực tiễn.
Ta xét trờng hợp
( )

x
là phụ thuộc các tham số
0 1
, , ,
m
a a a

0 1
( ) ( ; , , , )

=
m
x x a a a
. (2
4)
Trong số những hàm
( )

x
có dạng (2 4) ta sẽ gọi hàm

[ ]
2
0 1 0 1
1
1
( , , , ) ( ; , , , )

=
=

n
n m i m
i
a a a y x a a a
n
. (2
6)
Từ (2 6) ta nhận thấy (2 5) tơng đơng với đẳng thức:

- 6 - Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng
Lp: Toỏn Tin_2 K48
Đồ án tốt nghiệp

[ ] [ ]
2 2
0 1 0 1
1 1
( ; , , , ) min ( ; , , , )

= =

phơng pháp bình phơng tối thiểu để xấp xỉ hàm trong thực nghiệm.
Chơng II
Các phơng pháp xấp xỉ
2.1 Xấp xỉ hàm trong thực nghiệm bằng đa thức suy rộng
2.1.1 Định nghĩa
Giả sử cho hệ hàm:
0 1
( ), ( ), , ( ),

m
x x x
Ta sẽ gọi hàm
( )

m
x
là đa
thức suy rộng cấp m nếu
( )

m
x
có dạng

0
( ) ( )

=
=


tại các điểm tơng ứng
i
x
. Khi đó việc tìm
một đa thức suy rộng có dạng (3 1) mà xấp xỉ với hàm
( )f x
nói trên
{ }
[ ]
1 2
, , , ,
n
x x x a b
sẽ chuyển về việc tìm m+1 hệ số
i
a
trong (3 1).
Để quá trình tính toán đợc đơn giản ta xét đa thức suy rộng
( )

m
x
với
cấp m không lớn lắm. Tuy nhiên ta vẫn phải chọn n đủ lớn do đó có thể giả
thiết n

m+1. Khác với bài toán nội suy ở đây ta không cần xác định m+1
giá trị
i
a

0 1
( ; , , , )
m
x a a a

=
)(x
m

=

=
m
i
ii
xa
0
)(

.
Từ đó ta suy ra:
( )
0 1
, , ,
m
a a a
là điểm cực tiểu của hàm m+1 biến

0 1
( , , , )

= 0 ;
1
a
F


= 0 ; ;
m
a
F


= 0.
Hoặc dạng tơng đơng với nó

- 8 - Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng
Lp: Toỏn Tin_2 K48
Đồ án tốt nghiệp

[ ] [ ]
[ ] [ ]
0 0 1 1 0
1
0 0 1 1 1
1
0 0 1 1
2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0
2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0

2 ( ) ( )









=



(3 - 3)
Gọi
r

là véc tơ n chiều với thành phần thứ i là
)(
ir
x

.
Gọi
y
là véc tơ n chiều với thành phần thứ i là
i
y
.
Theo định nghĩa tích vô hớng các véc tơ ta có


0 0 0 0 1 1 0 0
1 0 0 1 1 1 1 1
0 0 1 1
, , , ,
, , , ,

, , , ,
m
m
m m m m m
a a y
a a y
a a y



+ + + =

+ + + =




+ + + =

(3 - 5)
Ta nhận thấy (3 5) là hệ (m + 1) phơng trình đại số tuyến tính dùng để xác
định m + 1 hệ số:
0 1
, , ,




(3
6)

- 9 - Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng
Lp: Toỏn Tin_2 K48
Đồ án tốt nghiệp

Ta gọi định thức
0 1
( , , , )

=
m
G
là định thức Gram của hệ véc tơ
m

, ,
10
trên tập điểm
{ }
1 2
, , ,
n
X x x x=
.
Mà ta đã biết: Nếu hàm cơ sở

( )f x
.
Ngoài ra còn có thể chứng minh khi hệ cơ sở
)(), ,(),(
10
xxx
m

là những
độc lập tuyến tính trên
{ }
[ ]
1 2
, , , ,
n
x x x a b
thì
0 1
( , , , ) 0

= >
m
G
. Nghĩa
là trong trờng hợp này hệ phơng trình chuẩn (3 5) có và duy nhất nghiệm
0 1
, , ,
m
a a a
ứng với các hệ số của đa thức (3 1) xấp xỉ tốt nhất với hàm

=
=

. (3
7)
Từ (3 1) ta có


=

n
i
imi
xy
1
2
)]([


= =






=
n
i
m

m
j
m
j
m
j
jjjjjj
aayyay
0 0 0
],[],[

. (3
8)
Mặt khác


= == =
=






=






jiji
m
i
i
aya
00
,,

. (3
9)
Kết hợp (3 9) với (3 5) ta có:

[ ]
[ ]
0,,
00
=








==
m
j
jiji
m

[ ]

=
=
m
j
jj
yayy
0
,,

. (3
10)
Thay (3 10) vào (3 7) ta có

[ ]
[ ]






=

=
m
j
jjn
yayy

nếu

[ ]
[ ]







==
==


=
=
), ,1,0.(0)(,
).(0)()(,
1
2
1
mrx
srxx
n
i
irsr
n
i
isirsr

0 1
( ), ( ), , ( )

m
x x x
trực giao mà
1
=
r
( 0,1, , )=r m
thì hệ hàm đợc gọi là hệ trực chuẩn trên tập hợp
X
.
2.1.4.2 Tiếp cận lời giải
Từ một hệ cơ sở bất kỳ
0 1
( ), ( ), , ( )

m
x x x
bao giờ cũng lập đợc một
hệ trực chuẩn tơng ứng
0 1
( ), ( ), , ( )

m
x x x

cho bởi công thức

[ ] [ ]
iiii
ya

,,
=

( 0,1, , )=i m
.
Hay
[ ]
[ ]
[ ]
2
,
,
,
i
i
ii
i
i
yy
a





,
,



2.1.4.3 Sai số của phơng pháp
Dựa trên (3 11) ta suy ra sai số trung bình phơng của đa thức xấp xỉ
là:

[ ]
[ ]










=

=
m
j
i
i
n
y

j
j
j
y
0
2
2
,


là một đại lợng đơn điệu tăng theo m.
Do đó từ (3 15) ta suy ra sai số trung bình phơng

n
sẽ giảm khi m tăng.
Tóm lại nếu cấp m của đa thức xấp xỉ (3 1) (với hệ cơ sở
0 1
( ), ( ), , ( )

m
x x x
là trực giao) càng lớn thì đa thức xấp xỉ
( )f x
càng tốt.
2.1.4.4. Chú ý
Một đặc điểm chú ý ở đây là: Trong trờng hợp chung khi cần thay đổi
cấp m của đa thức xấp xỉ (3 1) thì hệ phơng trình chuẩn (3 5) dùng để
xác định các hệ số
0 1
, , ,

=

m
i
m
i
i
x a x
.
Nhận xét trên rất bổ ích về mặt thực hành tính toán vì khi muốn xấp xỉ một
hàm thực nghiệm bằng một đa thức suy rộng cấp m (3 1): do khuôn khổ
của sự tính toán ta không cần chọn ngay từ đầu số m đủ lớn. Khi đó nếu hệ

- 13 - Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng
Lp: Toỏn Tin_2 K48
Đồ án tốt nghiệp

hàm cơ sở
0 1
( ), ( ), , ( ),

m
x x x
là một hệ trực giao thì khi xuất phát ta có
thể chọn số m nhỏ (chẳng hạn m = 1 hoặc 2). Sau khi thực hành tính toán
nếu thấy sai số trung bình phơng tơng ứng cha đủ bé (so với yêu cầu) thì ta
có thể tăng dần số m lên và tính thêm các hệ số
i
a
bổ sung (từ công thức (3

)(x
i

có dạng

1)(
0
=
x

,
xx
=
)(
1

, ,
m
m
xx
=
)(

. (4
2)

- 14 - Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng
Lp: Toỏn Tin_2 K48
Đồ án tốt nghiệp


i
isirsr
xxx
11
)()(,

. (4
3)
Dựa vào (3 5) ta suy ra các hệ số
i
a
của đa thức xấp xỉ (4 1) là nghiệm
của hệ phơng trình chuẩn có dạng sau












=++++
=++++
=++++



i
n
i
ii
n
i
m
im
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
m
im
n
i
i
n
i
i
(4
4)
2.2.3 Sai số trung bình
Từ (3 7) và (3 11) ta suy ra sai số trung bình của đa thức xấp xỉ có
dạng (4 4) là:

[ ]






==

= ===
m
j
n
i
j
iij
n
i
i
n
i
imin

2m
x

y

xy

2
x y


m
x y
(1) (2) (3) (2m+1) (2m+2) (2m+3) (2m+4) (3m+2)

1
11
x

2
x

2
1
x
2
2

2
2 2
x y



1 1
m
x y
2 2
m
x y

- 15 - Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng
Lp: Toỏn Tin_2 K48
Đồ án tốt nghiệp

1

n
x2
n
x2m
n

x
1
2



=
n
i
m
i
x
1
2


=
n
i
i
y
1


=
n
i
ii
yx
1

sẽ trình bày kết quả trong trờng hợp này.
Trờng hợp 1: Nếu n là số lẻ (
2 1= +n k
).
Đặt
1+

=
k
x x
u
h
hay
1
.
+
= +
k
x x u h
.
Do đó khi
x
nhận các giá trị
1 2 1 2 1
, , , , ,
+ +k k
x x x x
thì
u
nhận các giá trị




===
+
=
+
=
==
+
===
====
n
i
i
m
i
n
i
m
im
n
i
m
i
n
i
m
i
n

i
i
yuubububub
yuubububub
yubububnb
11
2
1
2
2
1
1
1
1
0
11
1
1
3
2
1
2
1
1
0
111
2
2
1
10

. (4
11)
Trờng hợp 2:
n
chẵn (
2=n k
)
Ta đặt
2( )
1

=
k
x x
u
h
hoặc
( 1)
2
+
= +
k
u h
x x
. (4
12)
Khi đó nếu x nhận các giá trị x
1
, x
2

1=
=

n
j
j i
i
S u
(
j
là số lẻ). Ngoài ra các hệ số còn
lại của vế trái (có dạng
1=
=

n
j
j i
i
S u
,
j
chẵn) chỉ phụ thuộc vào n (vì
j
u
nhận
các giá trị nguyên). Do đó có thể lập những bảng tính sẵn các hệ số này (tùy
thuộc vào n).
Cuối cùng, sau việc giải phơng trình (4 10) ta thu đợc
( )




=
=


ii
i
yuub
ynb
2
1
0
Từ đó suy ra








=
=



2
1


iiii
iii
ii
yuubub
yuub
yubbn
24
2
2
0
2
1
2
20
.
Giải hệ 3 phơng trình trên ta đợc

( )
( )











uun
uyyun
b
u
yu
b
uun
uyuuy
b
(4
15)
Nếu ta gọi

- 18 - Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng
Lp: Toỏn Tin_2 K48
Đồ án tốt nghiệp( )
( ) ( )








=


i
uun
n
uun
u
uun
u
u
n


(4
16)
Khi đó các kết quả (4 14) và (4 15) có thể tóm tắt trong bảng 2. Ngoài
ra từ (4 16) ta nhận thấy các số
i

theo những giá trị lẻ của n từ 3 đến 21
ở bảng 3. Trong phần dới của bảng 4 cho các số
i

theo những giá trị chẵn
của n từ 4 đến 22.
m
Các hệ số của Q
m
(u)
b
0
b



iii
yyu
4
2
5

Bảng 2
(Để đơn giản trong phần này ta hiểu

là

=
n
i 1
)
Với n lẻ:
n

1


2


3


4

6
100000.10
6
357143.10
7
166667.10
7
909091.10
8
549451.10
8
357143.10
8
245098.10
8
100000.10
7
485714.10
8
333333.10
8
255411.10
8
207459.10
8
174825.10
8
151131.10
8
133127.10

9
128999.10
9

- 19 - Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng
Lp: Toỏn Tin_2 K48
Đồ án tốt nghiệp

21
526316.10
7
476190.10
7
175439.10
8
129870.10
8
118973.10
8
107551.10
8
221141.10
8
163452.10
8
737137.10
10
445778.10
10
Bảng 3

6
125000.10
6
100000.10
6
833333.10
7
714286.10
7
625000.10
7
555556.10
7
500000.10
7
454545.10
7
500000.10
7
142857.10
7
595283.10
8
303030.10
8
174825.10
8
109890.10
8
735294.10

7
781250.10
8
390625.10
8
223214.10
8
139509.10
8
930060.10
9
651042.10
9
473485.10
9
355114.10
9
156250.10
7
167411.10
8
372024.10
9
118371.10
9
468282.10
10
214629.10
10
109419.10

= + +R x x x
,
Tổng quát
(1) 1 ( 1) ( )
( )


= + + + +
k k k k
k k k k
R x x x x
. (5
2)
Theo định nghĩa ta sẽ gọi (5 1) là hệ đa thức trực giao trên tập hợp
1 2
( , , , )=
n
X x x x
, nếu (5 1) là hệ hàm trực giao trên tập
X
. Cụ thể là:

[ ]
[ ]







( ) ( )

=
r r
x R x
( 0,1, , )=r m
.
Cụ thể là: khi cho u các giá trị thực nghiệm
i
y

( 1,2, , )=i n
của hàm
( )f x
tại các điểm x
i
(i = 1, 2, , n) ta đặt vấn đề xấp xỉ hàm
( )f x
bởi một
đa thức suy rộng cấp m (với hệ cơ sở (5 1)) có dạng

0
( ) ( )
=
=

m
m j j
j
M x a R x

n
j j
j i
i
y R x
y R
a
R R
R x
. (5 - 5)
Từ (3 - 11) ta suy ra sai số trung bình phơng của đa thức xấp xỉ
( )
m
M x
là

[ ]
[ ] [ ]






=






(có dạng (5 4)) là một tổ hợp tuyến tínhcủa những đa thức
đại số cấp từ 0 đến m, do đó
( )
m
M x
thực chất cũng là một đa thức cấp m
(nh
( )
m
P x
cho bởi (4 1)). Nghĩa là hàm xấp xỉ cũng là một đa thức đại số
thông thờng nh đã thu đợc trong phần (2.4).
Tuy nhiên do tính trực giao của hàm cơ sở (5 1) nên khác với phần 2.4
ở đây ta không cần giải hệ phơng trình chuẩn mà tìm các hệ số của đa thức
(5 4) trực tiếp từ công thức (5 5) đã chỉ ra ở trên. Ngoài ra do những
đặc điểm của hệ hàm trực giao ta có thể tăng dần cấp của
( )
m
M x
mà không
cần phải làm lại từ đầu quá trình tính toán. Đó chính là u điểm của phơng
pháp xấp xỉ hàm ở đây so với những kết quả thu đợc trong phần (2.4).

- 21 - Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng
Lp: Toỏn Tin_2 K48
Đồ án tốt nghiệp

2.3.3 Nội dung của phơng pháp
Nội dung chủ yếu của việc tìm đa thức xấp xỉ (5 4) thực chất là tìm hệ
thức trực giao (5 1). Để làm đợc điều này ta tìm công thức truy hồi để xác

101
=+=+==

===

nxxxRRR
n
i
i
n
i
i
n
i
i
.
Từ đó suy ra:


=
=
n
i
i
x
n
1
1
1


của hệ (5 1) đợc
xác định theo các đa thức
( )
r
R x
và
1
( )
r
R x
từ công thức truy hồi sau

1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )

+ + +
= + +
r r r r r
R x x R x R x
. (5
10)
Trong đó

- 22 - Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng
Lp: Toỏn Tin_2 K48
§å ¸n tèt nghiÖp[ ]
[ ]

)()(
)115(
)(
)(
1
2
1
1
1
1
1
2
1
2
1
n
i
ir
n
i
iriri
r
n
i
ir
n
i
iri
r
xR

i
irrirriirrr
xRxRxxRRR
1
111111
)()()()(,
γβ
=
∑∑∑
=
−−+
=
−+
=
−
++
n
i
irirr
n
i
irirr
n
i
iriri
xRxRxRxRxRxRx
1
111
1
11

iriri
xRxRxRxRxRx
γβ
. (5 –
14)
Nhng
[ ]
0,)()(
1
1
1
==
−
=
−
∑
rr
n
i
irir
RRxRxR
VËy tõ (5 – 14) suy ra

[ ] [ ]
∑∑
=
−+
=
−+−
+=

−
n
i
irr
n
i
iriri
xRxRxRx
γ
.

- 23 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng
Lớp: Toán Tin_2 – K48
§å ¸n tèt nghiÖp

Hay
[ ]
∑
∑
=
−
=
−
+
−=
n
i
ir
n
i

Tõ (5 – 10) ta còng cã

[ ]
{ }
∑
=
−+++
=++=
n
i
irrirriirrr
xRxRxxRRR
1
1111
)()()()(,
γβ
=
∑∑∑
=
−+
=
+
=
++
n
i
irirr
n
i
irirr

1
11
1
2
1
1
2
)()()]([)]([
γβ
. (5 –
17)
Nhng
[ ]
0,)()(
1
1
1
==
−
=
−
∑
rr
n
i
irir
RRxRxR
.
Nªn tõ (5 – 17) suy ra


1
1
2
=+
∑∑
=
+
=
n
i
irr
n
i
iri
xRxRx
β
.
Hay
[ ]
∑
∑
=
=
+
−=
n
i
ir
n
i

Các tử và mẫu số của các công thức (5 11) và (5 12) có thể khai triển
thành tổng những lũy thừa có dạng:

1

=
=

n
v
i
i
S x
. (5
19)
Cụ thể là
+
[ ]

= =
=
n
i
n
i
ir
r
iir
xRxxR
1 1

i
xxxx
1
)(
1
1)1(
1
12)1(
1
2


. (5
20)
+

==

=
n
i
ir
r
i
n
i
iriri
xRxxRxRx
11
1

n
i
iri
xRxxxxxRx
1
)1(
1
1)(
1
2)1(
1
12
1
2
)( )]([

(5 22)
trong đó
)1(
r

,
)2(
r

, ,
)(r
r

là các hệ số của đa thức