1

Phương pháp khơng gian trạng thái © Huỳnh Minh Ngọc
Phương pháp không gian trạng thái
1. Mô hình trong không gian trạng thái:
Lý thyuyết điều khiển hiện đại. Khuynh hướng hiện đại trong hệ thống kỹ thuật là hướng
tới sự phức tạp hơn, bởi vì chủ yếu yêu cầu của các nhiệm vụ phức tạp và độ chính xác
tốt. Hệ thống phức tạp có thể có nhiều ngõ vào và nhiều ngõ ra và có thể thay đổi theo thời
gian. Bởi vì sự can thiết để đáp ứng yêu cầu gia tăng về chất lượng của hệ thống điều
khiển, sự gia tăng trong độ phức tạp hệ thống, và dễ dàng truy xuất đến máy tính lớn phức
tạp, lý thuyết điều khiển hiện đại,màlà moat tiếp can mới trong phân tích và thiết kế hệ
thống điều khiển phức tạp, đã được phát triển từ năm 1960. Tiếp can này dựa trên khái
niệm trạng thái. Khái niệm trạng thái tự nó không có gìmới vì nó đã tồn tại trong thời gian
dài tronglónh vực động học cổ điển và các lónh vực khác.
Lý thuyết điều khiển hiện đại và lý thuyết điều khiển thông thường (cổ điển). Lý thuyết
điều khiển hiện đại thì đối lập với lý thuyết điều khiển thông thường (cổ điển). Lý thuyết
điều khiển hiện đại có thể ứng dụng trong hệ thống có nhiều ngõ vào và nhiều ngõ ra
(multi-input-multi-output system), có thể là hệ tuyến tính hay phi tuyến, bất biến theo thời
gian hay thay đổi theo thời gian. Trong khi lý thuyết điều khiển cổ điển chỉ có thể ứng dụng
được cho hệ thống moat ngõ vàomột ngõ ra bất biến theo thời gian. Lý thuyết điều khiển
hiện đại chủ yếu là tiếp can miền thời gian, trong khi lý thuyết điều khiển cổ điển là tiếp
can miền tần số phức. Trước khi chúng ta tiến hàn hơn nữa, chúng ta phải đònh nghóa trạng
thái, biến trạng thái, vectơ trạng thái và không gian trạng thái.
Trạng thái. Trạng thái của moat hệ thống động là tập hợp nhỏ nhất của các biến (được
gọilà biến trạng thái) để mà tri thức của những biến này tại t=t0 cùng với tri thức của ngõ
vào ở t>=t0, hoàn toàn xác đònh hành vi của hệ thống cho bất kì t>=t0.
Chú ý là khái niệm trạng thái không chỉ giới hạn tới hệ thống vật lí. Nó còn áp dụng được
cho hệ thống sinh học, hệ thống kinh tế, hệ thống xã hội hay cái khác.
Biến trạng thái. Biến trạng thái của hệ thống động là những biến tạo nên tập hợp nhỏ nhất
của các biến mà xác đònh trạng thái của hệ thống động. Nếu ít nhất n biến
n

gian trạng thái.
Không gian trạng thái. Không gian n chiều mà trục toạ độ gồm có trục x1, trục x2,…, x
n
là
các biến trạng thái, thì được gọi là không gian trạng thái. Bất kì trạng thái có thể được thể
hiện bởi moat điểm trong không gian trạng thái.
1.1.Phương trình trạng thái:
B(t)

∫
dt

A(t)

C(t)

D(t)

3

Phương pháp khơng gian trạng thái © Huỳnh Minh Ngọc
Giả sử hệ thống có nhiều ngõ vào và nhiều ngõ ra gồm n bộ tích phân. Cũng giả sử là có r
ngõ vào
)(), ,(),(
21
tututu
r
,và m ngõ ra
)(), ,(),(
21

(1)
Ngõ ra
)(), ,(),(
21
tytyty
m
của hệ thống được cho bởi:
);, ,,;, ,,()(
.
.
.
);, ,,;, ,,()(
);, ,,;, ,,()(
2121
212122
212111
tuuuxxxgty
tuuuxxxgty
tuuuxxxgty
rnmm
rn
rn
=
=
=
(2)
Nếu chúng ta đònh nghóa












=
);, ,,;, ,,(
.
.
.
);, ,,;, ,,(
);, ,,;, ,,(
),,(,
)(
.
.
.
)(
)(
)(
2121
21212
21211
2
1
tuuuxxxf
tuuuxxxf


=




















=








.
.
)(
)(
)(
2
1
2121
21212
21211
2
1
tu
tu
tu
tu
tuuuxxxg
tuuuxxxg
tuuuxxxg
tuxg
ty
ty
ty
ty
r
rnm
rn
rn
m


)()()( tButAxtx
+
=

(7)
)()()( tDutCxty
+
=
(8)
Phương trình (7) là phương trình trạng thái của hệ bất biến theo thời gian. Phương trình (8) là
phương trình ngõ ra của hệ trtên.
Thí dụ : Xét mạch điện gồm 3 phần tử: điện trở R, điện cảm L, và tụ điện C. Điện áp đặt vào mạch
là u
1
.
5

Phương pháp khơng gian trạng thái © Huỳnh Minh Ngọc
u1
C1
C
u2
R1
R
L1
CHOKE RF

Hình
Phương trình mô tả mạch ở trạng thái động :
U

U
2
=x
1
là biến trạng thái thứ nhất.
I=x
2
là biến trạng thái thứ hai.
12
2
.
1
.
1
.
.
u
L
u
L
i
L
R
dt
di
dt
du
Ci
+−−=
=

Ldt
dx
x
Cdt
dx

Dạng chính tắc trên được viết lại như sau : có dạng
BuAXX +=
.

Các ma trận








−−
=
LRL
C
A


=
dt
dx
dt
dx
X
2
1
.









=
2
1
x
x
X

Ngõ ra Y=C.X với C=[1 0]
Trong lý thuyết hệ thống điều khiển, tập hợp các phương trình vi phân thường bậc nhất gọi là
phương trình trạng thái và x
1

Ldt
dx
ux
C
x
dt
dx
7

Phương pháp khơng gian trạng thái © Huỳnh Minh Ngọc
Thí dụ: Cho hệ thống cơ khí vật-lò xo-đệm có phương trình vi phân : k
u(t)
b y(t) Hình: Hệ thống cơ khí.
ukyybym
=
+
+



(1)

21
xx
=

(2)
u
m
x
m
b
x
m
k
x
1
212
+−−=

(3)
m8

Phương pháp khơng gian trạng thái © Huỳnh Minh Ngọc
Phương trình ngõ ra:
1
xy
=
(4)





−−
=






1
010
2
1
2
1


(4): là phương trình trạng thái.
Phương trình ngõ ra:
[ ]






=

m
k
A
10
,
[ ]
0,01,
1
0
==








= DC
m
B1.2.Mối quan hệ giữa hàm truyền và phương trình trạng thái :
*xét hệ SISO
Chúng ta hãy xem xét hệ thống có hàm truyền được cho bởi :
)(
)(
)(
sG

)()()( sBUsAXssX
=
−

Hay
)()()( sBUsXAsI
=
−

Bằng cách nhân trước
1
)(
−
− AsI
vào hai vế của phương trình cuối, chúng ta đạt được :
)()()(
1
sBUAsIsX
−
−=
(6)
Thay phương trình (6) vào (5), ta có :
)(])([)(
1
sUDBAsICsY +−=
−
(7)
So sánh phương trình (7) với (1), chúng ta thấy rằng :
DBAsICsG +−=
−


Phương trình trạng thái và phương trình ngõ ra có dạng chuan:
10

Phương pháp khơng gian trạng thái © Huỳnh Minh Ngọc
BuAxx
+
=


DuCxy
+
=

Trong đó








−−
=
m
b
m
k
A











+
−
=
+

















b
m
k
s
s
DBAsICsG
1
01
01
0
1
010
0
0
01
)()(
1
1
1

Vì










m
k
s
1
1
1
2
1

Chúng ta có:
[ ]
k
bs
ms
m
s
m
k
m
b
s
m
k
s
m
b
s
sG
++
=


Thí dụ: Cho hệ thống điều khiển kiểm kê ở hình sau
11

Phương pháp khơng gian trạng thái © Huỳnh Minh Ngọc
)(2
)(
)(2
)(
2
2
1
tu
dt
tdx
tx
dt
tdx
−=
−=

trong đó x1(t)= mức kiểm kê, x2(t)=tốc độ bán ra của sản phẩm và u(t)=tốc độ sản xuất. Phương
trình ngõ ra y(t)=x1(t). Đơn vò thời gian là một ngày. Tìmhàm truyền của hệ.
Giải:
Phương trình trạng thái:
BuAXX
+=


y=C.X







=






−
−






=−
s
s
sAsI
0
2
00
20
00

−
−
=






=−
−
−
s
s
s
s
s
s
s
s
s
AsI
AsIadj
s
s
AsI
T
1
0
21

01)(
ss
s
s
s
s
BAsIC =






−






−
=






−






















=
m
y
y
y
y
.
.
.
2

.
2
1

Ma trận hàm truyền G(s) liên quan ngõ ra Y(s) và ngõ vào U(s), hay
)().()( sUsGsY
=

Trong đó G(s) đượccho bởi :
DBAsICsG +−=
−
1
)()(

Vì vectơ u có r chiều và ngõ ra y có m chiều nên ma trận hàm truyền có chiều là m x r.
Ma trận quá độ :
Xét hệ có phương trình trạng thái :
)()(
)(
tBrtAx
dt
tdx
+=)()()( tDrtCxty
+
=

trong đó x(t)=nx1 vector trạng thái.

++++== tAtAAtIet
At
φMa trận Φ(t) được gọi là ma trận quá độ (ma trận chuyển trạng thái) của hệ thống.
Nghiệm của phương trình trạng thái (Phương trình chuyển trạng thái )
Phương trình chuyển trạng thái được đònh nghóa là nghiệm của phương trình trạng thái thuần nhất
tuyến tính.
Phương trình trạng thái tuyến tính bất biến theo thời gian

)()(
)(
tButAx
dt
tdx
+=

y(t)=Cx(t)+Du(t)
Nghiệm của phương trình trạng thái là:
000
0
)]()[()()()( ttdButtxtttx
t
t
≥−+−=
∫
τττφφ
(*)
Trường hợp t

dt
tdx






+












−−
=








32
10
BA
(1)
Khi đó






+
−
=






−−
−






=−
32

1
)(
2
1
(3)
Ma trận chuyển trạng thái của A được tìm ra bằng cách lấy biến đổi Laplace ngược của (3)






+−+−
−−
=−=
−−−−
−−−−
−−
tttt
tttt
eeee
eeee
AsILt
22
22
11
222
2
])[()(
φ

+−+−
−−
+






+−+−
−−
=
∫
−−−−−−−−
−−−−−−−−
−−−−
−−−−
1
0
222
2
)0(
222
2
)(
0
)(2)()(2)(
)(2)()(2)(
22
22

=
−−
−−
−−−−
−−−−
t
ee
ee
x
eeee
eeee
tx
tt
tt
tttt
tttt2.Thể hiện không gian trạng thái của hệ thống động
Hệ thống động gồm có một số hữu hạn cácphần tử có thểmô tả bởi phương trình vi phân thông
thường trong đó thời gian là biến độc lập. Bằng cách sử dụng kí hiệu ma trận-vectơ, một phương
trình vi phân bậc n có thể được biểu diễn bởi phương trình vi phân ma trận vectơ bậc nhất.Nếu n
phần tử cvectơ là tập hợp biến trạng thái, thì phương trình vi phân ma trận-vectơ làmột phương trình
15

Phương pháp khơng gian trạng thái © Huỳnh Minh Ngọc
trạng thái. Trong phần này chúng ta sẽ trình bày phương pháp để đạt được thể hiện không gian trạng
thái của hệ thống liên tục thời gian.
2.1.Thể hiện không gian trạng thái của hệ phương trình vi phân tuyến tính bậc n mà tín hiệu
vào (hàm tác động) không có chứa thành phần đạo hàm:

1
1
−
−
n
n
dt
yd
dt
dy
y
,cùng với ngõ vào u(t) với t>=0 xác đònh hoàn toàn
hành vi tương lai của hệ thống. Chúng ta có thể dùng
1
1
)(
, ,
)(
),(
−
−
n
n
dt
tyd
dt
tdy
ty
như là tập hợp n biến
trạng thái.

11
1
32
21

.
.
.





Hay
BuAxx
+
=

(2-183)
16

Phương pháp khơng gian trạng thái © Huỳnh Minh Ngọc
Trong đó

























−−−−
=
−− 121

1 000
0 100
0 010
aaaa
A
nnn

0
B

Ngõ ra có thể được cho bởi:
[ ]




















=
n
x
x
x

−
1
1
1

1
)(
)(

Cũng được cho bởi phương trình (2-183) và (2-184).
Thí dụ 1: Cho phương trình vi phân mô tả hệ:
)(5)()(4)( trtytyty
=
+
+




Tím phương trình trạng thái:
Đặt
17

Phương pháp khơng gian trạng thái © Huỳnh Minh Ngọc
)()(
)()()(
)()(
2
12
1


=
+=
)()(
)()()(
tCxty
tBrtAxtx


với






=






=
2
1
2
1
,
x






=






−−
=






−−
=
C
b
B
aa
A

Thí dụ 2: Cho hệ thống điều khiển có quan hệ tín hiệu vào-ra mô tả bằng phương trình vi phân sau:
)()(10)(6)(5)(2 trtctctctc

yd
a
dt
yd
nn
n
n
n
n
nn
n
n
n
n
++++=++++
−
−
−
−
−
−
1
1
1
101
1
1
1

(2-185)

−=−−=
−=
βββββ
ββββ
βββ
β




(2-186)
Trong đó
n
ββββ
, ,,,
210
được xác đònh từ:
01111
03122133
021122
0111
00

.
.
.
ββββ
ββββ
βββ
ββ

=
−
−−
1211
11
232
121

.
.
.




(2-188)
Ở dạng phương trìmh ma trận –vectơ, phương trình (2-188) có thể được viết như sau:
19

Phương pháp không gian trạng thái © Huỳnh Minh Ngọc
u
x
x
x
x
aaaax
x
x
x
n

1
2
1






















+















−−−−
=



















1
β
+




















=

Hay
uBxAx

+
=

−
n
n
x
x
x
x
x
1
2
1
.
.
.
,
































=
−
n
n
B
β
β
β
β
1
2
1
.
.

1
10)(
)(

Cũng được cho bởi phương trình (2-189) và (2-190).
Thí dụ: Xét hệ sau: Hình : Hệ khối lượng-lò xo-đệm gắn trên xe.

Phương trình vi phân mô tả hệ:
21

Phương pháp khơng gian trạng thái © Huỳnh Minh Ngọc
u
m
k
u
m
b
y
m
k
y
m
b
y +=++

m
k
b
m
b
bb
m
k
a
m
b
a =====
21021
,,0,,

Theo phương trình (2-187) ta có:
2
021122
0111
00
0






−=−−=
=−=
==

u
m
b
m
k
x
m
b
x
m
k
uxaxax
u
m
b
xuxx















m
k
x
x
.
10
2
2
1
2
1


















−





=
2
1
01
x
x
y

3.Chuyển đổi mô hình toán học bằng Matlab
Matlab có ích để chuyển mô hình hệ thống từ hàm truyền ra khọng gian trạng thái và ngược lại.
Lệnh tf2ss: chuyển hàm truyền ra phương trình trạng thái.
Cú pháp: [A,B,C,D]=tf2ss(num,den).
Thí dụ: Cho hàm truyền
1605614
)(
)(
23
+++
=
sss
s
sU
sY
. Tìm phương trình trạng thái và phương
trình ngõ ra.
Num=[0 0 1 0];

Den= 1 14 56 160
Thí dụ: Cho hệ có phương trình trạng thái sau:
[ ]










=










−
+





1
3
2
1
3
2
1
001
120
25
0
5255
100
010
x
x
x
y
u
x
x
x
x
x
x




24

0 0.0000 25.0000 5.0000
Den=
1.0000 5.0000 25.0000 5.0000

Tham khả
o: 1. Katsuhiko Ogata,Modern control engineering, Prentice Hall, 4
th
edition, 2002.