1

Lời nói đầu. Khi dạy hình học không gian tôi cảm thấy rất phiền khi lúc nào cũng phải mang cái thớc
bên mình để có thể vẽ đợc những cái hình không gian phức tạp , lúc còn là học sinh tôi cũng
cảm giác rằng những bài toán hình học không gian là những bài toán khó vì để giải quyết nó buộc
tôi phải có những tởng tợng không gian phong phú và tôi cũng cảm nhận đợc điều này trớc
sự nhăn nhó của học sinh .
Tôi vẫn mong muốn rằng có thể đọc đợc một tài liệu nào đó mà có thể cho tôi một phơng
pháp đỡ t duy trên hình vẽ hơn ; Tôi đã cố gắng tìm tòi và đọc đợc một số tài liệu hay nh: Tạp
chí TH&TT; Quy trình giải các bài toán hình học bằng pp véc tơ (Nguyễn Văn Lộc); Toán nâng
cao hình học (Phan Huy Khải) ; Hình học KG(Trần Văn Hạo) ; Giải toán hình học (Trần Thành
Minh) ; Hình học không gian (Sa-r-gin) và một số tài liệu khác trong đó có rất nhiều phơng
pháp tôi tâm đắc nh phơng pháp véc tơ, phơng pháp đại số hoá, phơng pháp trải tứ diện ,
phơng pháp chiếu vuông góc,song song, phơng pháp sử dụng các phép biến hình Tôi cũng đã
thử nghiệm một vài phơng pháp khi dạy trên lớp , và tôi nhận thấy pp véc tơ là khá phù hợp với
năng lực hs đồng thời có thể giúp học sinh có những chuẩn bị tốt khi học hình giải tích (lớp 12).
Vì vậy tôi cố gắng viết ra một tài liệu cho riêng tôi, phù hợp với phong cách giảng dạy của tôi
hơn ; Nhng tôi vẫn cảm thấy rằng nó cha thật vừa ý , nhân tiện tổ có đa ra yêu cầu viết một
chuyên đề nên tôi có dịp đa nó ra để mình có thể thu thêm nhiều ý kiến đóng góp ,phê bình quý
báu cho công tác giảng dạy sau này.
Trong bài viết tôi thiên về việc giải quyết những bài toán SGK , còn những bài toán khác
chỉ mang tính chất phụ hoạ cho phơng pháp véc tơ mà thôi.
Vì thời gian viết chuyên đề quá ngắn nên một số phần nh: góc, thể tích,mặt cầu, bất đẳng thức
hình họccha kịp làm, hy vọng rằng với sự góp ý của các thầy cô tôi sẽ viết đợc một tài liệu

,,,AABACAD
JJJK JJJK JJJK
làm cơ sở.
A

*Phiên dịch giả thiết , kết luận theo hệ véc tơ gốc.
+Giả thiết:
M là trung điểm của AB
1
2
AMA=
JJJJKJJK

2
B
J

N là trung điểm CD
1
()
2
ANADAC+
JJJK JJJK JJJK
=

.
G là trung điểm đoạn MN

()()
11

II, Một số tính chất cần ghi nhớ
Để giải quyết một bài toán hình học không gian bằng phơng pháp véc tơ học sinh cần nắm vững các khái
niệm và tính chất sau:
1). Quy tắc 3 điểm:
ABBC AC+=
JJJK JJJK JJJK
, với A,B,C là 3 điểm bất kì trong không gian.
2). Quy tắc hiệu 2 véc tơ chung gốc:
AB
JJJK
là một véc tơ cho trớc thì với mọi điểm O bất kì , ta có:

ABOBOA=
JJJKJJJKJJJK
.
3). Quy tắc hình bình hành: Nếu tứ giác OABC là hình bình ta luôn có :
OB OA OC=+
JJJKJJJK JJJK
.
4). Tính chất trung điểm: Nếu M là trung điểm đoạn AB thì:
JJJ JJJ K
+ .
0MB MA+=
K K
,OB OM
JJJK JJJK JJJJK
GB GC =
JK KJJJK K
OB OC OG=
JJJK JJJK JJJK JJJK

.
G
8). Điều kiện để 3 điểm thẳng hàng. ĐK cần và đủ để 3 điểm A,B,C phân biệt thẳng hàng là:
0:kABkA = C
JJJK JJJK
.
9). Điều kiện để 2 véc tơ vuông góc:
.0AB CD AB CD =
G
JJJK JJJK JJJK JJJK
.
10). Ba véc tơ đồng phẳng: Ba véc tơ gọi là đồng phẳng nếu 3 đờng thẳng chứa chúng cùng song song với một
mặt phẳng.
11).Công thức về mối liên hệ giữa độ dài và tích vô hớng 2 véc tơ:
+
()
2
22
1
.
2
ab

a b a b

=+


GG G G G G
+

=


=

.
13). Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k
1
thì với điểm O bất kì ta có:
1
OA kOB
OM
k

=

JJJK JJJK
JJJJK
.
14). Trong không gian cho hệ
{ }
,,,OOAOBOD
JJJK JJJKJJJK
. Điểm D
()mp ABC

thì
OD

,( 1; , , )OA OB OC R

.
3).
11
,,ABDAAB
JJJKJJJK JJJJK
.
D
1).
()
1
3
DM DA DB DC=++
JJJJK JJJK JJJK JJJK 2).
11
2
0.
3
DM DA AA BB=+ +
JJJJK JJJK JJJK JJJK
3). Do A
1
B
1
//AB nên 3 véc tơ trên là

B

HD: (Xem hình 2.). M là trọng tâm của tam giác ABC nên:
(
1
3
DM DA DB DC=++
)
JJJJK JJJK JJJK JJJK
. Vậy để giải quyết bài
toán ta cần biểu diễn theo 3 véc tơ
,DB DC
JJJK JJJK
,,DA AC CB
JJJKJJJKJJJK
.Ta có:
+
DBDAACCB=++
JJJK JJJK JJJK JJJK
và
DCDAAC=+
JJJK JJJK JJJK
Từ đó suy ra:
()
1
32
3
DM DA AC CB=++
JJJJK JJJKJJJKJJJK
.

a). Đặt
ACcBAaCBb== =
GG G
KJJJKJJJK
JJJJ
. Hãy phân tích véc tơ
1
theo , ,AAabc
G GG
JJJK
.
b). M là trung điểm đoạn B
1
C . Hãy phân tích véc tơ
1
theo , ,AMAAABAC
JJJJK JJJK JJJK JJJK
.
5). Cho tứ diện ABCD . M và N là các điểm chia các đoạn thẳng DB, AC theo tỉ số
;
MD NA
m
MB NC
= n=
. Hãy phân
tích véc tơ
theo , ,MNABDABC
JJJJK JJJK JJJK JJJK
JJ
.

P là trung điểm AB
1
2
APAB
JJJKJJJK
=

Q là trung điểm CD
()
1
2
AQACAD= +
JJJK JJJK JJJK

R nằm trên BC và BR=2RC
12
33
ARABA= +
JJJK JJJK JJJK
C

Yêu cầu bài toán tơng đơng với việc chứng minh :
2
2 hay
3
ASSD AS AD==
JJJKJJJKJJJKJJJ
(H.3)
B
R


JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK
11 12 1
23 23 2
kAD AB AC AD


=+ ++ +


JJJK JJJK JJJK JJJK

1
11
0
23
12
0
23
1

2
k




++=



làm cơ sở.
A
M là trung điểm của AB

1
2
AMA=

5
B
JJJJKJJKJ
.
N là trung điểm CD
1
()
2
ANADA= +C
JJJK JJJK JJJK
.

(
1
2
)
MNANAM ACADAB== +
JJJJK JJJK JJJJK JJJK JJJK JJJK
.
CD AD AC=
JJJK JJJK JJJK
.

MN CD AC AD AB AD AC
)
0
= + =
JJJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK2
2
. . (2)AD AC AB AC AB AD= +
JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK
Lấy (2)-(1) theo vế ta đợc:
()
2
22
ADABACBCADB= ==
JJJK JJJK
C
.
Cộng vế theo vế ta đợc AC=BD. Suy ra điều phải chứng minh.

Bình luận:
+Mặc dù là bài tập SGK ,tuy nhiên bài toán trên là bài tập khó kể cả với những HSG , vì việc vẽ hình phụ để giải
quyết bài toán bằng phơng pháp hình học KG thuần tuý là không đơn giản.
+ Bài toán còn có thể giải bằng phơng pháp đại số hoá bằng cách đặt AB=x; AC=y; AD=z sau đó áp dụng công
thức trung tuyến cũng là một phơng pháp hay.

Bi tập tự giải:

1)(Bài tập 4-Tr41-SGK11).Chứng minh rằng tổng bình phơng tất cả các đờng chéo của hình hộp bằng tổng bình

1111
OH OA OB OC
=++
2
.
8) ( Bài tập 8-Tr86-SGK11) Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA=SB=SC=SD =
2a
.
Gọi I và J lần lợt là trung điểm của AD và BC .
a). Chứng minh mp(SIJ) vuông góc với mp(SBC).
b).Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng AD và SB.

--------------------------------------------------------------------

*bi tập phân theo các dạng toán giải đợc bằng pp véc tơ.

Một câu hỏi thờng gặp ở học sinh khi dạy phơng pháp véc tơ là : Những bài toán có dạng nh thế nào thì giải
đợc bằng phơng pháp véc tơ ?, dạng toán nào thì phơng pháp véc tơ là u điểm ? , đờng lối giải quyết nó nh
thế nào ? Thực ra để trả lời đợc câu hỏi đó là rất khó vì các bài toán sơ cấp nói chung và hình học không gian nói
riêng là khó tìm một phơng pháp nào là có thể giải quyết hết các bài toán nếu nh không muốn nói là không thể.
Tuy nhiên đối với các bài tập SGK chúng ta có thể làm rõ đợc phần nào, ví dụ đối với những hs trung bình có thể
dừng lại ở các bài toán có giả thiết và kết luận đơn giản nh trung điểm, trọng tâm , vuông góc; đối với những hs
khá có thể nâng cao lên ở những bài toán khoảng cách , tính góc , thẳng hàng, đẳng thức hình học; đối với
những hs giỏi có thể thêm những dạng toán về sự đồng phẳng , đồng quy,bất đẳng thức hình học, quan hệ song
song ,vuông góc ở mức độ khó hơn. Dạng 1:
Bi tập về trọng tâm tam giác , tứ diện
.


*Giả thiết:
Mặt phẳng (ABD) cắt đờng chéo AC tại M.
Suy ra:
+
': 'M AC k R AM k AC =
JJJJK K
k AA AB AB+
JJJJK JJJJK JJJK JJJK
JJJJ

hay
AM =+

()
'

(' )
'
MmpABD
AM AA AB AD


= + +
JJJJK JJJJK JJJK JJJK( )
,, : 1R



''' 'AA BB CC DD+++ =0
G
JJJ JJJ JJJJK JK JKJJJJK
.
4). Cho tứ diện ABCD . Gọi A, B, C ,D lần lợt là các điểm trên các cạnh AB,BC,CD,DA sao cho:

'' ''
''' '
AA BB CC DD
k
AB BC CD DA
=== =
.
Chứng minh hai tứ diện ABCD và ABCD có cùng trọng tâm.
5). Cho hình hộp ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
. Gọi P,R theo thứ tự là trung điểm của AB, A
1
D
1
; Gọi P
1
,Q ,Q

R
1
Q
1
có cùng trọng tâm.

----------------------------------------------------------------------------------

Dạng 2:
bi tập về các điểm thẳng hng.
Để chứng minh 3 điểm P, M, N thẳng hàng ta chứng minh:
( , R: 1)AP AM AN

= ++=
JJJK JJJJK JJJK

trong đó A là điểm bất kì (thông thờng A là gốc của hệ cơ sở).

VD7: Cho hình lập phơng ABCD.ABCD cạnh a . Gọi P,Q là các điểm xác định bởi :

' , ' 'APADCQC= = D
;
M là trung điểm BB . Chứng minh rằng P, M, Q thẳng hàng . HD:
Chọn hệ
{ }
', ' , ' ' , ' 'AAA aAB bAD c===
GG