1

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
ÔN THI ĐẠI HỌC NĂM 2009
I. Đường thẳng
1. Phương trình đường thẳng
a) Các định nghĩa
• Vectơ
()
;nAB
G
khác vectơ
0
G
và có giá vuông góc với đường thẳng
( )
d
được gọi là vectơ
pháp tuyến của đường thẳng
( )
d

• Vectơ
()
;uab
G
khác vectơ
0
G

.;
k n kA kB
=
G
cũng là vectơ pháp tuyến của
( )
d

- Vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương của một đường thẳng thì vuông góc nhau. Nếu
()
;
nAB
G
là vectơ pháp tuyến thì
( )
;
uB A
−
G
là vectơ chỉ phương.
b) Các dạng phương trình
• Phương trình tổng quát của đường thẳng
( )
d
đi qua điểm
( )
00
;M xy
có vectơ pháp tuyến
()

Phương trình đường thẳng
()
2
d
vuông góc với
( )
d
có dạng
( )
2
:0
dBxAyC
′′
−+=

Phương trình đường thẳng có hệ số góc
k
và đi qua điểm
( )
00
;
A xy
là:
()
00
ykxx y
=−+

Phương trình đường thẳng đi qua
( ) ( )

d
yybt
=+
⎧
⎨
=+
⎩
(
t
là tham số)
MATHVN.COM - www.mathvn.com

2
• Phương trình chính tắc của đường thẳng
( )
d
đi qua
( )
00
;Nx y
có vectơ chỉ phương
( )
;uab
G

()
,0ab≠
là:
00
x xyy

I
Ax By C
+ +=
⎧
⎨
+ +=
⎩

Trong trường hợp
()
1
d
và
()
2
d
cắt nhau thì nghiệm của
( )
I
chính là tọa độ của giao điểm.

2. Khoảng cách và góc
a) Khoảng cách
• Cho đường thẳng
()
:0Ax By CΔ++=
và điểm
( )
00
;A xy

. Khi
đó phương trình hai đường phân giác của góc
A
là:
()
11 12 2 2
1
22 22
11 22
:0
Ax By C Ax B y C
d
AB AB
++ ++
+=
++
và
()
11 12 2 2
2
22 22
11 22
:0
Ax By C Ax B y C
d
AB AB
+ +++
− =
++


()
1
d
và
()
2
d
,
β
là góc giữa hai vectơ chỉ phương
()
111
;uab
JG
và
( )
222
;uab
JJG
.
Khi đó: Nếu
090
oo
≤β≤
thì
α=β

Nếu
90 180
oo

cos cos
.
aa bb
abab
+
α= β=
++

Các kết quả trên vẫn đúng nếu thay vectơ chỉ phương bằng vectơ pháp tuyến.
Trường hợp đặc biệt:
Phương trình đường thẳng đi qua điểm
( )
00
;A xy
hợp với
Ox
một góc
α
có hệ số góc
là
tank =α
và có phương trình là:
( )
00
ykxx y
= −+

3. Bài tập về đường thẳng
MATHVN.COM - www.mathvn.com


d

Bài 4. (Tìm điểm trên đường thẳng cách một điểm khác một khoảng cho trước)

Cho đường thẳng
22
:
12
x t
y t
=− −
⎧
Δ
⎨
=+
⎩
và điểm M(3;1).
a) Tìm trên Δ điểm A sao cho
13AM
=

b) Tìm trên Δ điểm B sao cho MB là ngắn nhất.
Bài 5. (Viết phương trình đường thẳng qua một điểm cách một điểm một khoảng cho
trước)
Cho điểm
()
1;1A
và điểm
()
2; 2B

c)
0
60
d)
0
30

b) Bài tập nâng cao
Bài 1. (B – 2004) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm
( )
1; 1A
và
()
4; 3B
−
. Tìm điểm C
thuộc đường thẳng
210xy−−=
sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6.
Bài 2. (A – 2006) Trong mặt phẳng tọa độ, cho các đường thẳng:
() () ( )
123
:30 :40 :20dxy dxy dx y
++= −−= − =

MATHVN.COM - www.mathvn.com

4
Tìm tọa độ điểm M trên
()

220xy− +=
và AB = 2AD. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D
biết rằng đỉnh A có hoành độ âm.
Bài 5. Cho đường thẳng
()
:240dx y
−+=
và điểm
( )
2; 0A
−
. Tìm điểm B trên trục hoành và
điểm C trên đường thẳng d sao cho tam giác ABC vuông cân tại C.

Bài 6 (A – 2002). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc cho tam giác ABC vuông tại
A, phương trình đường thẳng BC là
330xy− −=
, các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán
kính đường tròn nội tiếp bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
Bài 7. (B – 2003) Trong mặt phẳng tọa độ Đềcac vuông góc Oxy cho tam giác ABC có
n
,90
o
AB AC BAC
==
. Biết
()
1; 1M
−
là trung điểm cạnh BC và

d
và các
đỉnh B, D thuộc trục hoành.

Bài 11 (B – 2008) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hãy xác định tọa độ điểm
C
của tam
giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của điểm
C
trên đường thẳng
AB
là
( )
1; 1H
− −
.
Đường phân giác trong của góc
A
có phương trình
20xy− +=
và đường cao kẻ từ
B
có
phương trình
4310xy+−=

Bài 10 ( B – 2007) Trong mặt phẳng tọa độ với hệ tọa độ Oxy, cho điểm

=
−
và
2
3
:
2
x t
d
y t
= +
⎧
⎨
= −
⎩
và điểm M(1,2)
Tìm trên
1
d
điểm A và
2
d
điểm B sao cho A, B đối xứng nhau qua M.
Bài 13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
cho tam giác ABC vuông tại
C
. Khoảng cách từ
trọng tâm
G

− +=
và điểm
()
0; 2A
. Tìm trên
()
d
hai điểm
,B C
sao cho tam giác
ABC
vuông tại
B
và
2
AB BC
=
.
Bài 16. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ
Oxy
cho hai đường thẳng
()
1
:3 4 6 0
dxy
−−=
và
()
2
:5 12 4 0

; biết
A
là giao điểm của
( )
1
d
và
( )
2
d
;
()
3
,
B Cd
∈
và tam giác
BAC

vuông cân tại
A

Bài 18 – 20. Các bài cực trị cơ bản.
Bài 18. Cho đường thẳng
()
:10
dxy
++=
và hai điểm
( ) ( )

( )
d
sao cho: a)
NA NB
+
là nhỏ nhất b)
NA NB
−
lớn nhất
Bài 20 Bài 3. Cho đường thẳng
()
:10
dxy
+ +=
và hai điểm
( )( )
2;3 , 4;1
AB
−
. Tìm điểm
M
trên
đường thẳng
( )
d
sao cho: a)
MAMB
+
JJJG JJJG
nhỏ nhất. b)