Chuyên đề 3
Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng
§1. Tọa Độ Trong Mặt Phẳng
A. Kiến Thức Cần Nhớ
Cho hai vectơ
−→
u (x
1
; y
1
) ,
−→
v (x
2
; y
2
) và ba điểm A (x
A
; y
A
) , B (x
B
; y
B
) , C (x
C
; y
C
). Ta có
• Hai vectơ bằng nhau:
−→

1
).
• Hai vectơ cùng phương:
−→
u ,
−→
v cùng phương ⇔ ∃k = 0 :
−→
u = k
−→
v .
• Tích vô hướng của hai vectơ:
−→
u .
−→
v = x
1
x
2
+ y
1
y
2
.
• Hai vectơ vuông góc:
−→
u ⊥
−→
v ⇔
−→

v
|
.
• Tọa độ vectơ:
−−→
AB = (x
B
− x
A
; y
B
− y
A
).
• Khoảng cách giữa hai điểm: AB =



−−→
AB



=

(x
B
− x
A
)

C
3
;
y
A
+ y
B
+ y
C
3

.
B. Bài Tập
3.1. Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A (−1; 1) , B (2; 5) , C (4; 3). Tìm tọa độ điểm D sao cho
−−→
AD = 3
−−→
AB −2
−→
AC.
Tìm tọa độ điểm M sao cho
−−→
MA + 2
−−→
MB = 5
−−→
MC.
3.2. Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A (2; 5) , B (1; 1) , C (3; 3). Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình
hành. Tìm tọa độ tâm hình bình hành đó.
3.3. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A (−3; 2) , B (4; 3). Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Ox sao cho tam giác

1. Vectơ chỉ phương và pháp tuyến.
• Vectơ
−→
u =
−→
0 có giá song song hoặc trùng với ∆ gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆.
• Vectơ
−→
n =
−→
0 có giá vuông góc với ∆ gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆.
Lưu ý.
−→
n (a; b) ⇒
−→
u (b; −a) và ngược lại.
2. Phương trình tham số của đường thẳng.
• Đường thẳng qua M (x
0
; y
0
) và có vectơ chỉ phương
−→
u (a; b) có phương trình tham số:

x = x
0
+ at
y = y
0

) = 0.
• Đường thẳng qua A (a; 0) và B (0; b) có phương trình
x
a
+
y
b
= 1 gọi là PT đoạn chắn.
• Trục Ox có phương trình y = 0 và trục Oy có phương trình x = 0.
4. Góc và khoảng cách.
• Góc giữa hai đường thẳng: cos (∆
1
; ∆
2
) =
|
−→
n
1
.
−→
n
2
|
|
−→
n
1
|. |
−→

3.13. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A (8; 6). Lập phương trình đường thẳng qua A và tạo với hai trục tọa độ
một tam giác có diện tích bằng 12.
3.14. (D-2010) Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A (0; 2) và ∆ là đường thẳng đi qua O. Gọi H là hình chiếu vuông
góc của A trên ∆. Viết phương trình đường thẳng ∆, biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH.
3.15. (CĐ-2011) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d : x + y + 3 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi qua
A (2; −4) và tạo với đường thẳng d một góc bằng 45
0
.
3.16. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d
1
: 2x − y − 1 = 0; d
2
: x + 2y − 3 = 0 và điểm M (2; −1). Tìm
giao điểm A của d
1
, d
2
. Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M và cắt d
1
, d
2
lần lượt tại B, C sao cho tam giác
ABC cân tại A.
3.17. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B (−4; −5) và hai đường cao lần lượt có phương trình là
d
1
: 5x + 3y −4 = 0 và d
2
: 3x + 8y + 13 = 0. Lập phương trình cạnh AC.
3.18. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có phương trình AB là 5x − 3y + 2 = 0; các đường cao qua đỉnh

: y −1 = 0. Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh BC.
18
Chuyên đề 3. Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng
3.22. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A (2; −1) và hai đường phân giác trong của góc B, C lần lượt
có phương trình là d
1
: x − 2y + 1 = 0 và d
2
: x + y + 3 = 0. Lập phương trình cạnh BC.
3.23. (B-2010) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C (−4; 1), phân giác trong góc A
có phương trình x + y − 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác bằng 24 và đỉnh A có
hoàng độ dương.
3.24. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành có hai cạnh là x + 3y −6 = 0 và 2x − 5y −1 = 0. Biết hình bình
hành có tâm đối xứng I (3; 5), hãy viết phương trình hai cạnh còn lại của hình hành.
3.25. (A-09) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I (6; 2) là giao điểm của hai đường chéo AC
và BD. Điểm M (1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng ∆ : x + y −5 = 0.
Viết phương trình đường thẳng AB.
3.26. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ :

x = −2 − 2t
y = 1 + 2t
và điểm M (3; 1). Tìm điểm M (3; 1) sao cho
đoạn MB là ngắn nhất.
3.27. (B-07) Trong mặt phẳng Oxy, cho A (2; 2) và các đường thẳng d
1
: x + y −2 = 0, d
2
: x + y −8 = 0. Tìm điểm
B ∈ d
1

3.34. (B-2011) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B

1
2
; 1

. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC
tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại các điểm DEF . Cho D (3; 1) và đường thẳng EF có phương trình
y −3 = 0. Tìm tọa độ điểm A, biết A có tung độ dương.
3.35. (B-08) Trong mặt phẳng Oxy, tìm toạ độ đỉnh C của tam giác ABC biết hình chiếu C lên đường thẳng AB
là H(−1; −1), đường phân giác trong góc A là x − y + 2 = 0 và đường cao kẻ từ B là 4x + 3y − 1 = 0.
3.36. (D-2011) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B (−4; 1), trọng tâm G (1; 1) và đường thẳng
chứa phân giác trong của góc A có phương trình x −y −1 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh A và C.
3.37. (A-2010) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A (6; 6); đường thẳng đi qua trung
điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y −4 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B và C, biết điểm E (1; −3) nằm
trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho.
3.38. (B-09) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân tại đỉnh A có đỉnh A (−1; 4) và các đỉnh B, C thuộc
đường thẳng ∆ : x − y −4 = 0. Xác định toạ độ các điểm B, C, biết diện tích tam giác ABC bằng 18.
3.39. (B-02) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có tâm I

1
2
; 0

, AB : x−2y+2 = 0, cạnh AB = 2AD.
Tìm toạ độ các đỉnh biết A có hoành độ âm.
3.40. (A-05) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d
1
: x − y = 0, d
2

A. Kiến Thức Cần Nhớ
1. Phương trình đường tròn.
• Dạng 1: (x − a)
2
+ (y −b)
2
= R
2
(R > 0)
Có tâm I (a; b) và bán kính R =
√
R
2
.
• Dạng 2: x
2
+ y
2
− 2ax − 2by + c = 0

a
2
+ b
2
> c

Có tâm I (a; b) và bán kính R =
√
a
2

T
2
.
3.44. (D-2011) Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A (1; 0) và đường tròn (C) : x
2
+ y
2
−2x + 4y −5 = 0. Viết phương
trình đường thẳng ∆ cắt (C) tại hai điểm M, N sao cho tam giác AMN vuông cân tại A.
3.45. (CĐ-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : x
2
+ y
2
− 2x − 4y + 1 = 0 và đường thẳng d :
4x − 3y + m = 0. Tìm m để d cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho

AIB = 120
0
, với I là tâm của (C).
3.46. (D-09) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : (x − 1)
2
+ y
2
= 1. Gọi I là tâm của (C). Xác định toạ độ
điểm M ∈ (C) sao cho

IMO = 30
0
.
3.47. (A-09) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : x

hai đường thẳng ∆
1
, ∆
2
và tâm K thuộc đường tròn (C).
3.50. (A-07) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A (0; 2) , B (−2; −2) , C (4; −2). Gọi H là chân đường cao
vẽ từ B và M, N là trung điểm AB, BC. Viết phương trình đường tròn qua H, M, N.
3.51. (D-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d : 2x − y + 3 = 0. Viết phương trình đường tròn có tâm
thuộc d, cắt trục Ox tại A và B, cắt trục Oy tại C và D sao cho AB = CD = 2.
3.52. (B-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho các đường tròn (C
1
) : x
2
+ y
2
= 4, (C
2
) : x
2
+ y
2
− 12x + 18 = 0 và
đường thẳng d : x −y − 4 = 0. Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc (C
2
) tiếp xúc với d và cắt (C
1
) tại hai
điểm phân biệt A và B sao cho AB vuông góc với d.
3.53. (A-2010) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d
1

B
1
B
2
20
Chuyên đề 3. Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng
• Phương trình chính tắc của elip:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1

b
2
= a
2
− c
2

.
• Trong đó:
Các đỉnh: A
1
(−a; 0), A

Bán kính qua tiêu: MF
1
= a +
cx
a
, MF
2
= a −
cx
a
.
B. Bài Tập
3.54. Tìm tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh, độ dài trục lớn, độ dài trục bé của mỗi elip có phương trình sau
a)
x
2
25
+
y
2
4
= 1. b)
x
2
9
+
y
2
4
= 1.

sở có chu vi 20.
3.57. (D-05) Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm C(2; 0) và elip (E) :
x
2
4
+
y
2
1
= 1. Tìm A, B thuộc (E) biết A, B đối
xứng nhau qua trục hoành và tam giác ABC đều.
3.58. (B-2010) Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A

2;
√
3

và elip (E) :
x
2
3
+
y
2
2
= 1. Gọi F
1
và F
2
là các tiêu điểm

2
= 8. Viết phương trình chính tắc của elip (E),
biết rằng (E) có độ dài trục lớn bằng 8 và (E) cắt (C) tại bốn điểm tạo thành bốn đỉnh của một hình vuông.
21