Chuyên đề 6
Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian
§1. Tọa Độ Trong Không Gian
Bài tập 6.1. Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ
−→
a (5; 7; 2) ,
−→
b (3; 0; 4) và
−→
c (−6; 1; −1).
a) Hãy tìm các vectơ sau:
−→
m = 3
−→
a −2
−→
b +
−→
c ;
−→
n = 5
−→
a + 6
−→
b + 4
−→
c ;
−→
p =
1
2



;
−→
a .
−→
b ;

−→
a ,
−→
b

.
c) Tìm
−→
x sao cho
−→
a + 3
−→
b − 2
−→
x =
−→
0 .
d) Tìm u, v để vectơ
−→
y (1; u; v) cùng phương với vectơ
−→
a + 2

;
11
3
; −
1
2

.
b) |
−→
a | =
√
25 + 49 + 4 =
√
78;



−→
b



=
√
9 + 0 + 16 = 5.
−→
a −
−→
b = (2; 7; −2) ⇒


7 2
0 4




;




2 5
4 3




;




5 7
3 0






b

= (10u −7v; 11v − 10; 7 − 11u).
Do đó
−→
u và
−→
a + 2
−→
b cùng phương ⇔

−→
u ,a + 2

b

=
−→
0 ⇔



10u −7v = 0
11v − 10 = 0
7 −11u = 0
⇔





c − 2
−→
u =
−→
0 .
b) Tính



−→
a +
−→
b +
−→
c



.
c) Tìm
−→
a

−→
b − 2
−→
c

;


a +
1
2
−→
b −
3
2
−→
c =

3
2
; −
7
2
;
1
2

.
b) a +

b + c = (2; 5; −5) ⇒



a +

b + c


u ⊥
−→
b nên
−→
u = k

−→
a ,
−→
b

= (4k; −k; 2k).
Mặt khác |
−→
u | =
√
21 ⇔ 21k
2
= 21 ⇔ k = ±1. Vậy
−→
u = (4; −1; 2) hoặc
−→
u = (−4; 1; −2).
1
Bài tập 6.3. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (1; 0; −2) , B (2; 1; −1) , C (1; −2; 2).
a) Chứng minh A, B, C không thẳng hàng. b) Tính chu vi tam giác ABC.
c) Tìm tọa độ D để ABCD là hình bình hành. d) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC.
Lời giải.
a) Ta có:
−−→

20 +
√
19.
c) Gọi D(x; y; z) ta có:
−−→
AD = (x − 1; y; z + 2).
Khi đó ABCD là hình bình hành ⇔
−−→
AD =
−−→
BC ⇔



x −1 = −1
y = −3
z + 2 = 3
⇔



x = 0
y = −3
z = 1
. Vậy D(0; −3; 1).
d) Tọa độ trọng tâm tam giác ABC là G

4
3
; −

−−→
AB.
−→
AC = 5 + 20 + 2 = 27.
b) Ta có: cos

BAC = cos

−−→
AB,
−→
AC

=
−−→
AB.
−→
AC



−−→
AB



.




−−→
AB = (1; 2; 1) ,
−→
AC = (−1; 3; −5) ⇒
−−→
AB.
−→
AC = −1 + 6 −5 = 0 ⇒ ∆ABC vuông tại A.
b) Gọi I trung điểm BC ⇒ I

1;
5
2
; 1

⇒
−→
IB =

1; −
1
2
; 2

⇒ IB =
√
21
2
.
Đường tròn ngoại tiếp ∆ABC có tâm I

AC = (−2; 1; 0) ⇒

−−→
AB,
−→
AC

= (−1; −2; 2).
Do đó S
∆ABC
=
1
2




−−→
AB,
−→
AC




=
3
2
.
Lại có

Lời giải. Ta có
−→
OA = (−3; −2; 6),
−−→
OB = (−2; 4; 4) ⇒

−→
OA,
−−→
OB

= (−32; 0; −16).
Do đó S
∆OAB
=
1
2




−→
OA,
−−→
OB




= 8

AC

= (12; 3; 9).
Và
−−→
AH = (x; y − 4; z − 1),
−−→
BC = (2; 1; −3),
−−→
BH = (x −1; y; z − 1),
−→
AC = (3; −3; 3).
Khi đó ta có






−−→
AB,
−→
AC

−−→
AH = 0
−−→
AH.
−−→
BC = 0

6
11
.
Vậy H

15
11
; −
1
11
;
6
11

.
Bài tập 6.9. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (1; 1; 1) , B (−1; 1; 0) , C (3; 1; −1). Tìm điểm M thuộc
mặt phẳng (Oxz) sao cho M cách đều A, B, C.
Lời giải. Ta có M ∈ (Oxz) ⇒ M(x; 0; z).
Khi đó
−−→
AM = (x −1; −1; z −1),
−−→
BM = (x + 1; −1; z),
−−→
CM = (x − 3; −1; z + 1).
Lại có M cách đều A, B, C nên

x
2
+ z

5
6
; 0; −
7
6

.
Bài tập 6.10. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (−1; 6; 6) , B (3; −6; −2). Tìm điểm M thuộc mặt
phẳng (Oxy) sao cho AM + BM là ngắn nhất.
Lời giải. Ta có M ∈ (Oxy) ⇒ M(x; y; 0) ⇒
−−→
AB = (4; −12; −8) ,
−−→
AM = (x + 1; y −6; −6).
Suy ra

−−→
AB,
−−→
AM

= (8y + 24; 16 −8x; 12x + 4y −12).
Khi đó AM +BM ngắn nhất ⇔ M ∈ AB ⇔

−−→
AB,
−−→
AM

=

−−→
AB,
−→
AC

=
−→
0 ⇔



11 −y = 0
x −5 = 0
y − 2x − 1 = 0
⇔

x = 5
y = 11
. Vậy x = 5; y = 11.
Bài tập 6.12. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A (1; 1; 1) , B (2; 3; 4) , C (6; 5; 2) , D (7, 7, 5). Chứng
minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của hình bình hành. Tính diện tích hình bình hành đó.
Lời giải. Ta có
−−→
AB = (1; 2; 3),
−−→
CD = (1; 2; 3). Vì
−−→
AB =
−−→
CD nên ABDC là một hình bình hành.

thuộc trục Oy. Tìm tọa độ đỉnh D, biết thể tích tứ diện ABCD bằng 5.
Lời giải. Ta có
−−→
AB = (1; −1; 2) ,
−→
AC = (0; −2; 4) ⇒

−−→
AB,
−→
AC

= (0; −4; −2).
Lại có D ∈ Oy ⇒ D(0; y; 0) ⇒
−−→
AD = (−2; y − 1; 1) ⇒ S
ABCD
=
1
6




−−→
AB,
−→
AC

−−→

2
+ z
2
+ 2x + 4y −6z + 9 = 0.
c) x
2
+ y
2
+ z
2
+ y − 5z + 1 = 0. d) 3x
2
+ 3y
2
+ 3z
2
− 6x + 8y + 15z − 3 = 0.
Lời giải.
a) Tâm I(3; −2; −1) và bán kính R = 3.
b) Tâm I(−1; −2; 3) và bán kính R =
√
5.
c) Tâm I

0; −
1
2
;
5
2

Gọi (S) là mặt cầu cần tìm ⇒ (S) có tâm I(1; 2; −3) và bán kính R = IM = 3.
Vậy (S) có phương trình: (x − 1)
2
+ (y − 2)
2
+ (z + 3)
2
= 9.
b) Gọi I là trung điểm AB ⇒ I

2;
3
2
;
1
2

⇒
−→
IA =

1;
1
2
; −
3
2

⇒ IA =


2

2
=
7
2
.
c) Gọi mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là (S) : x
2
+y
2
+z
2
−2ax−2by−2cz+d = 0

a
2
+ b
2
+ c
2
> d

.
Khi đó O, A, B, C ∈ (S) nên ta có hệ






3
2
(thỏa mãn).
Vậy (S) : x
2
+ y
2
+ z
2
− 2x + y −3z = 0.
d) Gọi mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là (S) : x
2
+y
2
+z
2
−2ax−2by−2cz+d = 0

a
2
+ b
2
+ c
2
> d

.
Khi đó O, A, B, C ∈ (S) nên ta có hệ



34
c =
25
34
d = −
144
17
(thỏa mãn).
Vậy (S) : x
2
+ y
2
+ z
2
−
3
17
x +
35
17
y +
25
17
z −
144
17
= 0.
e) Gọi (S) là mặt cầu cần tìm và I là tâm (S), ta có I ∈ (Oyz) ⇒ I(0; b; c). Khi đó:
−→
AI = (0; b −8; c) ⇒ AI =

⇔

b = 7
c = 5
.
Suy ra (S) có tâm I (0; 7; 5) và bán kính R = AI =
√
26.
Vậy (S) có phương trình x
2
+ (y − 7)
2
+ (z − 5)
2
= 26.
4
Chuyên đề 6. Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian
§2. Phương Trình Mặt Phẳng
Bài tập 6.16. Lập phương trình mặt phẳng (P ) trong các trường hợp sau
a) Đi qua ba điểm A (1; 0; 0) , B (0; −2; 0) , C (0; 0; 3).
b) Đi qua ba điểm A (2; −1; 3) , B (4; 2; 1) , C (−1; 2; 3).
c) Đi qua điểm M (2; −1; 2) và song song với mặt phẳng (β) : 2x − y + 3z + 4 = 0.
d) Đi qua M (1; 2; 3) và vuông góc AB, biết A (−1; 0; 2) , B (3; 2; 1).
e) Đi qua hai điểm A (3; 1; −1) , B (2; −1; 4) và vuông góc với mặt phẳng (α) : 2x −y + 3z + 1 = 0.
f) Đi qua M (−2; 3; −1) và vuông góc với hai mặt phẳng (α) : x +2y + 2z + 1 = 0; (β) : 2x +3y + z = 0.
g) Đi qua hai điểm M (1; 2; 3) , N (2; −2; 4) và song song với trục Oy.
h) Trung trực của AB, biết A (4; −1; 5) , B (2; 3; 1).
i) Song song với (β) : 4x + 3y − 12z + 1 = 0 và tiếp xúc với (S) : x
2
+ y

AB,
−→
AC

= (6; 6; 15) làm vectơ pháp tuyến.
Vậy (P ) có phương trình 6 (x −2) + 6 (y + 1) + 15 (z − 3) = 0 ⇔ 2x + 2y + 5z − 17 = 0.
c) Mặt phẳng (β) có vectơ pháp tuyến
−→
n = (2; −1; 3).
Mặt khác (P ) qua M(2; −1; 2) và (P )||(β) nên nhận
−→
n = (2; −1; 3) làm vectơ pháp tuyến.
Vậy (P ) có phương trình: 2(x − 2) −1(y + 1) + 3(z − 2) = 0 ⇔ 2x −y + 3z − 11 = 0.
d) Mặt phẳng (P ) qua M(1; 2; 3) và (P )⊥AB nên nhận
−−→
AB = (4; 2; −1) làm vectơ pháp tuyến.
Vậy (P ) có phương trình: 4(x − 1) + 2(y −2) − (z − 3) = 0 ⇔ 4x + 2y −z − 5 = 0.
e) Ta có:
−−→
AB = (−1; −2; 5) và mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến
−→
n = (2; −1; 3).
Vì (P ) qua A, B và (P )⊥(α) nên nhận

−−→
AB,
−→
n

= (−1; 13; 5) làm vectơ pháp tuyến.


= (−1; 0; 1).
Vì (P ) qua M, N và (P )  Oy nên nhận

−−→
MN,
−→
j

= (−1; 0; 1) làm vectơ pháp tuyến.
Vậy (P ) có phương trình: −(x − 1) + 0(y −2) + 1(z − 3) = 0 ⇔ x −z + 2 = 0.
h) Ta có (P ) là trung trực của AB nên đi qua trung điểm I(3; 1; 3) của AB.
Lại có (P )⊥AB nên nhận
−−→
AB = (−2; 4; −4) làm vectơ pháp tuyến.
Vậy (P ) có phương trình: −2(x − 3) + 4(y −1) − 4(z − 3) = 0 ⇔ x −2y + 2z − 7 = 0.
i) Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 3) và bán kính r = 4.
Vì (P )  (β) nên có phương trình dạng 4x + 3y − 12z + d = 0 (d = 1).
Mặt khác (P ) tiếp xúc với (S) nên d (I; (P )) = r ⇔
|4 + 6 − 36 + d|
√
16 + 9 + 144
= 4 ⇔

d = 78
d = −26
.
Vậy có hai mặt phẳng cần tìm là (P ) : 4x + 3y − 12z + 78 = 0 hoặc (P ) : 4x + 3y − 12z − 26 = 0.
Bài tập 6.17. Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau
a) (α) : x −2y + 3z − 3 = 0; (β) : 2x −y + z − 1 = 0.

3
.
b) Ta có: d (A, (α)) =
|−4 + 7 − 10 + 1|
√
1 + 49 + 4
=
√
6
3
.
c) Nhận thấy (α)  (β) nên lấy M(0; 1; 0) ∈ (α), ta có: d ((α), (β)) = d (M, (β)) =
|−2 −3|
√
16 + 4 + 16
=
5
6
.
Bài tập 6.19. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (2; 0; 0) , B (0; 3; 0) , C (0; 0; 6).
a) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C.
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Viết phương trình mặt cầu đường kính OG.
Lời giải.
a) Mặt phẳng qua A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 6) nên có phương trình đoạn chắn:
x
2
+
y
3
+

Vậy (S) có phương trình:

x −
1
3

2
+

y −
1
2

2
+ (z − 1)
2
=
49
36
.
Bài tập 6.20. (TN-07) Trong không gian Oxyz, cho điểm E (1; −4; 5) , F (3; 2; 7).
a) Viết phương trình mặt cầu qua F và có tâm E.
b) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của EF .
Lời giải.
a) Ta có
−−→
EF = (2; 6; 2) ⇒ EF =
√
4 + 36 + 4 = 2
√

) lần lượt có vectơ pháp tuyến
−−−→
n
(P
1
)
= (1; 2; 3),
−−−→
n
(P
2
)
= (3; 2; −1).
Ta có (P )⊥(P
1
) và (P )⊥(P
2
) nên nhận

−−−→
n
(P
1
)
,
−−−→
n
(P
2
)

BC = (4; −6; 2),
−−→
BD = (3; −6; 4) ⇒

−−→
BC,
−−→
BD

= (−12; −10; −6).
6
Chuyên đề 6. Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian
Mặt phẳng (BCD) qua B(1; 6; 2) và nhận

−−→
BC,
−−→
BD

= (−12; −10; −6) làm vectơ pháp tuyến.
Do đó (BCD) có phương trình: −12(x − 1) −10(y −6) − 6(z − 2) = 0 ⇔ 6x + 5y + 3z − 42 = 0.
b) Ta có:
−−→
AB = (−4; 5; −1),
−−→
CD = (−1; 0; 2) ⇒

−−→
AB,
−−→


−−→
BC,
−−→
BD

= (16; −6; −4) làm vectơ pháp tuyến.
Do đó (BCD) có phương trình: 16(x − 1) −6y −4(z − 6) = 0 ⇔ 8x − 3y − 2z + 4 = 0.
Nhận thấy A /∈ (BCD) nên ABCD là một tứ diện.
b) Ta có: AH = d (A, (BCD)) =
|−16 −18 − 6 + 4|
√
64 + 9 + 4
=
36
√
77
.
c) Ta có:
−−→
AB = (3; −6; 3),
−−→
CD = (1; 2; 1) ⇒

−−→
AB,
−−→
CD

= (−12; 0; 12).

=
y − 2
−2
=
z −3
−8
⇔



x = 0
y = 1
z = −1
. Vậy M(0; 1; −1).
Bài tập 6.25. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (α) song song với mặt phẳng
(β) : 4x + 3y − 12z + 1 = 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S) : x
2
+ y
2
+ z
2
− 2x − 4y −6z − 2 = 0.
Lời giải. Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 3) và bán kính r = 4.
Vì (α)  (β) nên có phương trình dạng 4x + 3y − 12z + d = 0 (d = 1).
Mặt khác (α) tiếp xúc với (S) nên d (I; (α)) = r ⇔
|4 + 6 − 36 + d|
√
16 + 9 + 144
= 4 ⇔


x
2
+ y
2
+ z
2
− 2x − 2y −2z + 3.
Vì (S) qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc (P ) : x + y + z − 2 = 0 nên ta có hệ:



I ∈ (P )
AI = BI
AI = CI
⇔



x + y + z − 2 = 0
−4x −2z + 5 = −2x + 1
−4x −2z + 5 = −2x − 2y −2z + 3
⇔



x = 1
y = 0
z = 1
Khi đó r = AI = 1 ⇒ mặt cầu (S) có phương trình: (x − 1)
2

; −2

.
Vì G ∈ AM nên ta có:
b
3
=
c
6
=
−2
−3
⇔

b = 2
c = 4
.
Do đó (P ) có phương trình:
x
2
+
y
4
+
z
3
= 1 ⇔ 6x + 3y + 4z − 12 = 0.
Bài tập 6.28. (A-2011) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : x
2
+ y

2
√
3
.
Mặt phẳng (OAB) qua O(0; 0; 0) nên có phương trình dạng ax + by + cz = 0 (a
2
+ b
2
+ c
2
= 0).
Vì A ∈ (OAB) nên 4a + 4b = 0 ⇔ b = −a ⇒ (OAB) : ax − ay + cz = 0.
Khi đó d (I, (OAB)) =
2
√
3
⇔
|2a −2a + 2c|
√
2a
2
+ c
2
=
2
√
3
⇔ 3c
2
= 2a



2x −y − z + 4 = 0
−4x −2z + 5 = 4y − 6z + 13
x
2
+ y
2
+ z
2
− 4x − 2z + 5 = 9
⇔



x = 2y − 2
z = 3y
7y
2
− 11y + 4 = 0
⇔










Bài tập 6.30. (B-08) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (0; 1; 2) , B (2; −2; 1) , C (−2; 0; 1).
a) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C.
b) Tìm toạ độ điểm M thuộc (P ) : 2x + 2y + z −3 = 0 sao cho MA = MB = MC.
Lời giải.
a) Ta có
−−→
AB = (2; −3; −1),
−→
AC = (−2; −1; −1) ⇒

−−→
AB,
−→
AC

= (2; 4; −8).
Gọi (α) là mặt phẳng cần tìm (α) qua A(0; 1; 2) và nhận

−−→
AB,
−→
AC

= (2; 4; −8) làm vectơ pháp tuyến.
Vậy (α) có phương trình 2x + 4(y − 1) −8(z −2) = 0 ⇔ x + 2y − 4z + 6 = 0.
b) Gọi M(x; y; z) ta có
−−→
AM = (x; y − 1; z − 2) ⇒ AM =

x

M ∈ (P )
AM = BM
AM = CM
⇔



2x + 2y + z − 3 = 0
−2y − 4z + 5 = −2x + 4y − 2z + 9
−2y − 4z + 5 = 4x − 2z + 5 = 0
⇔



x = 2
y = 3
z = −7
. Vậy M(2; 3; −7).
8
Chuyên đề 6. Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian
Bài tập 6.31. (D-2010) Trong không gian Oxyz, cho (P ) : x + y + z − 3 = 0 và (Q) : x −y + z − 1 = 0.
Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ O đến (R) bằng 2.
Lời giải. Mặt phẳng (P ) và (Q) lần lượt có vectơ pháp tuyến
−−→
n
(P )
= (1; 1; 1),
−−→
n
(Q)

−→
0 .
Mặt phẳng (P ) qua A nên có phương trình dạng ax + by + cz − a − 2b − c = 0.
Ta có B ∈ (P ) nên b = 2c − 3a ⇒ (P ) : ax + (2c − 3a)y + cz + 5a − 5c = 0.
Lại có d (C, (P)) = d (D, (P)) ⇔
|10a −6c|

a
2
+ (2c − 3a)
2
+ c
2
=
|−4a + 2c|

a
2
+ (2c − 3a)
2
+ c
2
⇔

7a = 4c
3a = 2c
.
Với 7a = 4c, chọn a = 4, c = 7 ta có (P) : 4x + 2y + 7z − 15 = 0.
Với 3a = 2c, chọn a = 2, c = 3 ta có (P) : 2x + 3z − 5 = 0.
Vậy (P ) : 4x + 2y + 7z −15 = 0 hoặc (P ) : 2x + 3z − 5 = 0.

n
(P )
= (2; −1; 2).
Gọi ∆ là đường thẳng qua I(1; −2; −1) và vuông (P ) ⇒ ∆ có phương trình





x = 1 + 2t
y = −2 − t
z = −1 + 2t
.
Điểm M cần tìm là một trong hai giao điểm của (S) và đường thẳng ∆.
Tọa độ giao điểm của ∆ và (S) thỏa mãn hệ











x = 1 + 2t
y = −2 − t
z = −1 + 2t
x

(−1; −1; −3) và M
2
(3; −3; 1).
Vì d(M
1
, (P)) > d(M
2
, (P)) nên điểm cần tìm là M(−1; −1; −3).
Bài tập 6.34. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (0; 1; 1) , B (2; −1; 1) , C (4; 1; 1) và mặt phẳng
(P ) : x + y + z − 6 = 0. Tìm điểm M trên (P ) sao cho



−−→
MA + 2
−−→
MB +
−−→
MC



đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải. Mặt phẳng (P ) có vectơ pháp tuyến
−−→
n
(P )
= (1; 1; 1).
Gọi I là trung điểm AC ⇒ I(2; 1; 1) và gọi K là trung điểm BI ⇒ K(2; 0; 1).
Ta có




.
Do đó



−−→
MA + 2
−−→
MB +
−−→
MC



đạt giá trị nhỏ nhất khi M là hình chiếu của K trên (P ).
9
Đường thẳng KM có phương trình





x = 2 + t
y = t
z = 1 + t
.
Tọa độ M hỏa mãn hệ

t = 1
. Vậy M(3; 1; 2).
Bài tập 6.35. (A-03) Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A

B

C

D

có A trùng gốc
toạ độ O, B (a; 0; 0), D (0; a; 0) , A

(0; 0; b) , (a > 0, b > 0). Gọi M là trung điểm cạnh CC

.
a) Tính thể tích khối tứ diện BDA

M.
b) Xác định tỉ số
a
b
để (A

BD) vuông góc với (MBD).
Lời giải.
a) Ta có C(a; a; 0), C

(a; a; b) ⇒ M


2

,
−−→
BA

= (−a; 0; b).
Do đó V
BDA

M
=
1
6




−−→
BD,
−−→
BM

−−→
BA




=

−→
n
2
=

−−→
BD,
−−→
BA


=

ab; ab; a
2

.
Khi đó (BDM )⊥(BDA

) ⇔
−→
n
1
.
−→
n
2
= 0 ⇔
a
2

4
.
e) Đi qua M (−3; 1; 4) và song song với giao tuyến của (α) : 3x+2y −5z +1 = 0; (β) : x−4y +3z+2 = 0.
f) Giao tuyến của (α) : x + z − 1 = 0; (β) : 2x − 2y + 3z + 1 = 0.
Lời giải.
a) Đường thẳng cần tìm có phương trình





x = 2 −2t
y = 1 + 3t
z = −1 + 2t
.
b) Đường thẳng AB qua A(1; 2; 3) và nhận
−−→
AB = (4; 2; 1) làm vectơ chỉ phương.
Vậy AB có phương trình





x = 1 + 4t
y = 2 + 2t
z = 3 + t
.
c) Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến
−−→

Vậy d có phương trình





x = 2 + 2t
y = −1 + 3t
z = 3 + 4t
.
e) Mặt phẳng (α) và (β) lần lượt có vectơ pháp tuyến
−−→
n
(α)
= (3; 2; −5) và
−−→
n
(β)
= (1; −4; 3).
Gọi d là đường thẳng cần tìm ⇒ d qua M và nhận

−−→
n
(α)
,
−−→
n
(β)

= (−12; −14; −14) làm vectơ chỉ phương.

Vậy (α) ∩ (β) có phương trình





x = 2t
y = −1 + 2t
z = 1 −2t
.
Bài tập 6.37. (CĐ-09) Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A (1; 1; 0) , B (0; 2; 1) và trọng tâm
G (0; 2; −1). Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua C và vuông góc với (ABC).
Lời giải. Tọa độ điểm C thỏa mãn hệ











1 + x
3
= 0
3 + y
3
= 2

= (−6; 6; 0) làm vectơ chỉ phương.
Vậy ∆ có phương trình:





x = −1 −6t
y = 3 + 6t
z = −4
.
Bài tập 6.38. (TN-08) Trong không gian Oxyz, cho điểm A (2; −1; 3) và (P ) : x −2y −2z −10 = 0. Tính
khoảng cách từ A đến (P ). Viết phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với (P).
Lời giải. Ta có d (A, (P )) =
|2 + 2 − 6 −10|
√
1 + 4 + 4
= 4.
Mặt phẳng (P ) có vectơ pháp tuyến
−−→
n
(P )
= (1; −2; −2).
Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm ⇒ ∆ qua A(2; −1; 3) và nhận
−−→
n
(P )
= (1; −2; −2) làm vectơ chỉ phương.
Vậy ∆ có phương trình


2
+ (y − 11)
2
+ (z − 2)
2
= 1.
Với t = −1 ⇒ I(−1; −1; −1) ⇒ (S) có phương trình (x + 1)
2
+ (y + 1)
2
+ (z + 1)
2
= 1.
Bài tập 6.40. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A (4; −6; 3) , B (5; −7; 3). Gọi d là đường thẳng qua
A và vuông với mặt phẳng (P ) : 8x + 11y + 2z −3 = 0. Tìm điểm C ∈ d sao cho ∆ABC vuông tại B.
11
Lời giải. Mặt phẳng (P ) có vectơ pháp tuyến
−−→
n
(P )
= (8; 11; 2).
Đường thẳng d qua A(4; −6; 3) và nhận
−−→
n
(P )
= (8; 11; 2) làm vectơ chỉ phương.
Do đó d có phương trình




.
Bài tập 6.41. (A-2012) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :
x + 1
2
=
y
1
=
z −2
1
, mặt phẳng
(P ) : x + y −2z + 5 = 0 và điểm A(1; −1; 2). Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt d và (P ) lần lượt tại
M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN.
Lời giải. Ta có M ∈ d ⇒ M (−1 + 2t; t; 2 + t); A là trung điểm MN ⇒ N(3 − 2t; −2 − t; 2 − t).
Lại có N ∈ (P ) nên 3 − 2t − 2 −t − 4 + 2t + 5 = 0 ⇔ t = 2 ⇒ M(3; 2; 4) ⇒
−−→
AM = (2; 3; 2).
Đường thẳng ∆ qua M(3; 2; 4) và nhận
−−→
AM = (2; 3; 2) làm vectơ chỉ phương.
Vậy ∆ có phương trình





x = 3 + 2t
y = 2 + 3t
z = 4 + 2t
.


7
3
; −
5
3
;
2
3

.
Bài tập 6.43. (A-2012) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :
x + 1
1
=
y
2
=
z −2
1
và điểm
I(0; 0; 3). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt d tại A, B sao cho tam giác IAB vuông tại I.
Lời giải. Đường thẳng d có vectơ chỉ phương
−→
u
d
= (1; 2; 1).
Gọi H là trung điểm AB, ta có H ∈ d ⇒ H(−1 + t; 2t; 2 + t) ⇒
−→
IH = (−1 + t; 2t; −1 + t).

3
⇒ (S) có bán kính R = IA =
2
√
6
3
.
Vậy mặt cầu (S) có phương trình x
2
+ y
2
+ (z − 3)
2
=
8
3
.
Bài tập 6.44. Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng sau
a) d :
x −12
4
=
y − 9
3
=
z −1
1
và (α) : 3x + 5y − z − 2 = 0.
b) d :
x −1

z = −2
.
Vậy d cắt (P ) tại M (0; 0; −2).
12
Chuyên đề 6. Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian
b) Tọa độ giao điểm của d và (P ) là nghiệm hệ



x −1
1
=
y − 1
2
=
z −2
−3
x + y + z − 4 = 0
⇔





x = −
3
7
y = −
13
7

x −2
2
=
y − 3
4
=
z −5
−2
.
b) d :
x −3
−1
=
y − 4
1
=
z −5
−2
và d

:
x −2
−3
=
y − 5
3
=
z −3
−6
.

và d

:
x −1
3
=
y + 2
2
=
z + 1
2
.
Lời giải.
a) Đường thẳng d qua M(1; 0; 3) và có vectơ chỉ phương
−→
u = (1; 2; −1).
Đường thẳng d

qua M

(2; 3; 5) và có vectơ chỉ phương
−→
u

= (2; 4; −2).
Ta có

−→
u ,
−→

−→
u

= (−3; 3; −6).
Ta có

−→
u ,
−→
u


= (0; 0; 0) =
−→
0 ,
−−−→
MM

= (−1; 1; −2) ⇒

−→
u ,
−−−→
MM


= (0; 0; 0) =
−→
0 . Vậy d ≡ d


u ,
−→
u


−−−→
MM

= 10 + 4 − 14 = 0.
Vậy d cắt d

tại M(0; −1; 4).
d) Đường thẳng d qua M(1; −1; 5) và có vectơ chỉ phương
−→
u = (2; 3; 1).
Đường thẳng d

qua M

(1; −2; −1) và có vectơ chỉ phương
−→
u

= (3; 2; 2).
Ta có

−→
u ,
−→
u

mặt phẳng (P ) : x + 2y + 2z + 18 = 0.
a) Xác định toạ độ tâm T và bán kính của (S). Tính khoảng cách từ T đến (P ).
b) Viết phương trình đường thẳng d qua T và vuông góc (P ). Tìm toạ độ giao điểm của d và (P ).
Lời giải.
a) Mặt cầu (S) có tâm T (1; 2; 2) và bán kính R = 6. Khi đó d (T, (P )) =
|1 + 4 + 4 + 18|
√
1 + 4 + 4
= 9.
b) Mặt phẳng (P ) có vectơ pháp tuyến
−−→
n
(P )
= (1; 2; 2).
Đường thẳng d qua T (1; 2; 2) và nhận
−−→
n
(P )
= (1; 2; 2) làm vectơ chỉ phương.
Do đó d có phương trình





x = 1 + t
y = 2 + 2t
z = 2 + 2t
.
Tọa độ giao điểm của d và (P ) thỏa mãn hệ

t = −3
.
Vậy d cắt (P ) tại M (−2; −4; −4).
13
Bài tập 6.47. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) : 3x + 5y − z − 2 = 0 và đường thẳng
d :
x −12
4
=
y − 9
3
=
z −1
1
.
a) Tìm giao điểm M của d và (α).
b) Viết phương trình mặt phẳng (β) chứa M và vuông góc với d.
Lời giải.
a) Tọa độ giao điểm M của d và (α) là nghiệm hệ



x −12
4
=
y − 9
3
=
z −1
1

z
−1
và d

:
x
2
=
y + 1
1
=
z
1
.
a) Chứng minh d và d

chéo nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa d và song song với d

.
Lời giải.
a) Đường thẳng d qua M(1; 0; 0) và có vectơ chỉ phương
−→
u = (−1; 1; −1).
Đường thẳng d

qua M

(0; −1; 0) và có vectơ chỉ phương
−→


chéo nhau (đpcm).
b) Mặt phẳng (α) qua M(1; 0; 0) và nhận

−→
u ,
−→
u


= (2; −1; −3) làm vectơ pháp tuyến.
Vậy (α) có phương trình 2x − y − 3z − 2 = 0.
Bài tập 6.49. (CĐ-2012) Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d
1
:



x = t
y = 2t
z = 1 −t
, d
2
:



x = 1 + 2s
y = 2 + 2s
z = −s

u
1
,
−→
u
2
] = (0; −1; −2) =
−→
0 ,
−−−−→
M
1
M
2
= (1; 2; −1) ⇒ [
−→
u
1
,
−→
u
2
]
−−−−→
M
1
M
2
= 0 −2 + 2 = 0.
Do đó d và d

=
y + 1
−2
=
z −2
1
.
a) Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua A và song song với d
1
, d
2
.
b) Tìm M thuộc d
1
, N thuộc d
2
sao cho A, M, N thẳng hàng.
Lời giải.
a) Đường thẳng d
1
qua M
1
(0; 1; −1) và có vectơ chỉ phương
−→
u
1
= (2; 1; −1).
Đường thẳng d
2
qua M

2
; −1 − 2t
2
; 2 + t
2
)
Suy ra
−−→
AM = 2t
1
; t
1
; −3 − t
1
,
−−→
AN = (1 + t
2
; −2 − 2t
2
; t
2
).

−−→
AM,
−−→
AN

= (−t


=
−→
0 ⇔



−t
1
t
2
− 2t
1
− 6t
2
− 6 = 0
−3t
1
t
2
− t
1
− 3t
2
− 3 = 0
−5t
1
t
2
− 5t

n
(P )
.
−−→
n
(α)
= 0
−−→
n
(Q)
.
−−→
n
(α)
= 0
⇔

1 −3k + 2 = 0
k + 1 −2 = 0
⇔ k = 1.
Bài tập 6.52. (D-02) Trong không gian Oxyz, cho (P ) : 2x −y + 2 = 0 và d là giao tuyến hai mặt phẳng
(α) : (2m + 1) x + (1 −m) y + m − 1 = 0 và (β) : mx + (2m + 1) z + 4m + 2 = 0. Xác định m để d song
song với (P ).
Lời giải. Mặt phẳng (P ), (α) và (β) lần lượt có vectơ pháp tuyến
−−→
n
(P )
= (2; −1; 0),
−−→
n

u
d
.
−−→
n
(P )
= 0 ⇔ 2(1 −m)(2m + 1) + (2m + 1)
2
= 0 ⇔ m = −
1
2
Bài tập 6.53. (D-09) Trong không gian Oxyz, cho A (2; 1; 0) , B (1; 2; 2) , C (1; 1; 0) và mặt phẳng (P ) :
x + y + z − 20 = 0. Xác định toạ độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song
với mặt phẳng (P ).
Lời giải. Đường thẳng AB qua A(2; 1; 0) và nhận
−−→
AB = (−1; 1; 2) làm vectơ chỉ phương.
Do đó AB có phương trình





x = 2 −t
y = 1 + t
z = 2t
.
Ta có D ∈ AB ⇒ D(2 − t; 1 + t; 2t) ⇒
−−→
CD = (1 −t; t; 2t).

và d
2
:
x −3
−7
=
y − 1
2
=
z −1
3
.
Lời giải. Gọi ∆ là đường vuông góc chung của d
1
và d
2
và giả sử ∆ ∩d
1
= M, ∆ ∩ d
2
= N.
Ta có M (7 + t
1
; 3 + 2t
1
; 9 − t
1
), N(3 − 7t
2
; 1 + 2t

−→
u
d
2
= 0
⇔

−4 −t
1
− 7t
2
− 4 − 4t
1
+ 4t
2
+ 8 − t
1
+ 3t
2
= 0
28 + 7t
1
+ 49t
2
− 4 − 4t
1
+ 4t
2
− 24 + 3t
1

x −1
2
=
y
1
=
z −3
−1
, d

:
x
1
=
y + 1
−2
=
z −2
1
.
Lời giải. Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm và giả sử ∆ ∩ d = M, ∆ ∩ d

= N.
Ta có M (1 + 2t; t; 3 −t), N(t

; −1 − 2t

; 2 + t

) ⇒

Vì A ∈ ∆ nên

−−→
AM,
−−→
AN

=
−→
0 ⇔



2tt

− t − t

+ 5 = 0
−3tt

− t + 2t

− 2 = 0
tt

− 3t − t

+ 1 = 0
⇔


, d

:



x = 1 −2t

y = −3 + t

z = 4 −5t

.
Lời giải. Mặt phẳng (Oxz) có vectơ pháp tuyến
−−→
n
Oxz
= (0; 1; 0).
Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm và giả sử ∆ ∩d = M, ∆ ∩d

= N.
Ta có M (t; −4 + t; 3 − t), N(1 − 2t

; −3 + t

; 4 − 5t

) ⇒
−−→
MN = (1 − t − 2t


−1 −t + 5t

= 0
1 −t − 2t

= 0
⇔





t =
3
7
t

=
2
7
⇒ M

3
7
; −
25
7
;
18


x =
3
7
y = −
25
7
+ t
z =
18
7
.
Bài tập 6.57. (B-04) Trong không gian Oxyz, cho A (−4; −2; 4) và d :
x + 3
2
=
y − 1
−1
=
z + 1
4
. Viết
phương trình đường thẳng ∆ qua A, cắt và vuông góc với d.
Lời giải. Đường thẳng d có vectơ chỉ phương
−→
u = (2; −1; 4) và phương trình tham số





1
=
y − 2
1
=
z
−1
và (P ) : x + 2y −3z + 4 = 0.
Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P ) sao cho d cắt và vuông góc với ∆.
16
Chuyên đề 6. Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian
Lời giải. Mặt phẳng (P ) có vectơ pháp tuyến
−→
n = (1; 2; −3).
Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương
−→
u = (1; 1; −1).
Tọa độ giao điểm M của ∆ và (P) là nghiệm hệ



x + 2
1
=
y − 2
1
=
z
−1
x + 2y − 3z + 4 = 0

=
y − 1
−1
=
z + 2
1
và d
2
:



x = −1 + 2t
y = 1 + t
z = 3
.
a) Chứng minh d
1
và d
2
chéo nhau.
b) Viết phương trình d vuông góc với (P ) : 7x + y − 4z = 0 và cắt hai đường thẳng d
1
, d
2
.
Lời giải.
a) Đường thẳng d
1
qua M

2
= (−1; 0; 5) ⇒ [
−→
u
1
,
−→
u
2
]
−−−−→
M
1
M
2
= 1 + 0 + 20 = 21 = 0.
Do đó d
1
và d
2
chéo nhau.
b) Mặt phẳng (P ) có vectơ pháp tuyến
−→
n = (7; 1; −4).
Giả sử d ∩d
1
= M, d ∩ d
2
= N, ta có M(2t
1

MN,
−→
n

=
−→
0 ⇔



−3t
1
− 4t − 5 = 0
−15t
1
+ 8t + 31 = 0
−9t
1
− 5t − 1 = 0
⇔

t
1
= 1
t = −2
⇒ M (2; 0; −1).
Đường thẳng d qua M(2; 0; −1) và nhận
−→
n = (7; 1; −4) làm vectơ chỉ phương.
Vậy d có phương trình

=
z + 1
1
2x + y − 2z = 0
⇔





x = 1
y = −2
z = 0
⇒ M(1; −2; 0)
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương
−→
u = (−1; −1; 1), (P ) có vectơ pháp tuyến
−→
n = (2; 1; −2).
Đường thẳng ∆ qua M(1; −2; 0) và nhận [
−→
u ,
−→
n ] = (1; 0; 1) làm vectơ chỉ phương.
Vậy ∆ có phương trình














x = 1 + t
y = 4 + t
z = 2 + t
x + y + z − 1 = 0
⇔











x = −1
y = 2
z = 0
t = −2
⇒ H(−1; 2; 0).
Điểm A

.
Ta có H ∈ ∆ ⇒ H(2 + t; 1 + 2t; t) ⇒
−−→
AH = (1 + t; 1 + 2t; t).
Khi đó
−−→
AH.
−→
u = 0 ⇔ 1 + t + 2 + 4t + t = 0 ⇔ t = −
1
2
⇒ H

3
2
; 0; −
1
2

.
Điểm A

đối xứng với A qua ∆ ⇔ H là trung điểm AA

⇒ A

(2; 0; −1).
Bài tập 6.63. (D-06) Trong không gian Oxyz, cho điểm A (1; 2; 3); d
1
:

Lời giải. Đường thẳng d
1
có vectơ chỉ phương
−→
u
1
= (2; −1; 1) và phương trình tham số





x = 2 + 2t
1
y = −2 − t
1
z = 3 + t
1
.
Đường thẳng d
2
có vectơ chỉ phương
−→
u
2
= (−1; 2; 1) và phương trình tham số





−→
u
1
= 0 ⇔ 2 + 4t
1
+ 4 + t
1
+ t
1
= 0 ⇔ t
1
= −1 ⇒ H(0; −1; 2).
Điểm A

đối xứng với A qua d
1
⇔ H là trung điểm AA

⇒ A

(−1; −4; 1).
Giả sử ∆ ∩d
2
= N ⇒ N(1 − t
2
; 1 + 2t
2
; −1 + t
2
) ⇒

Vậy ∆ có phương trình





x = 1 + t
y = 2 − 3t
z = 3 −5t
.
Bài tập 6.64. Trong không gian Oxyz, cho d :
x
2
=
y − 1
−1
=
z −3
1
và (P ) : x + y + z − 10 = 0. Viết
phương trình hình chiếu d

của d lên (P ).
Lời giải. Tọa độ giao điểm A của d và (P ) là nghiệm hệ



x
2
=


x = t
y = 1 + t
z = 3 + t
.
Tọa độ H thỏa mãn hệ











x = t
y = 1 + t
z = 3 + t
x + y + z − 10 = 0
⇔









1
=
z −2
2
và (P ) : x + 2y − 2z −4 = 0.Viết
phương trình hình chiếu d

của d lên (P ).
Lời giải. Mặt phẳng (P ) có vectơ pháp tuyến
−→
n = (1; 2; −2).
Đường thẳng d qua điểm M(1; −1; 2) và có vectơ chỉ phương
−→
u = (2; 1; 2).
Nhận thấy d||(P ) nên gọi H là hình chiếu của M trên (P ) thì d

qua H và d

||d.
Đường thẳng MH qua M(1; −1; 2) và nhận
−→
n (1; 2; −2) làm vectơ chỉ phương.
Do đó MH có phương trình





x = 1 + t
y = −1 + 2t

x = 2
y = 1
z = 0
t = 1
⇒ H(2; 1; 0).
Đường thẳng d

qua H(2; 1; 0) và nhận
−→
u (2; 1; 2) làm vectơ chỉ phương.
Vậy d

có phương trình





x = 2 + 2t
y = 1 + t
z = 2t
.
Bài tập 6.66. Trong không gian Oxyz, lập phương trình d

đối xứng của d :
x −4
3
=
y − 1
1

n = (1; −1; 2), đường thẳng d qua điểm M(4; 1; 2).
Gọi H là hình chiếu của M trên (P ).
Đường thẳng MH qua M(4; 1; 2) và nhận
−→
n (1; −1; 2) làm vectơ chỉ phương.
Do đó MH có phương trình





x = 4 + t
y = 1 − t
z = 2 + 2t
.
19
Tọa độ H thỏa mãn hệ











x = 4 + t
y = 1 − t

(6; −1; 6) và nhận
−−→
AM

= (5; −1; 0) làm vectơ chỉ phương.
Vậy d

có phương trình





x = 6 + 5t
y = −1 − t
z = 6
.
Bài tập 6.67. (A-08) Trong không gian Oxyz, cho điểm A (2; 5; 3) và đường thẳng d :
x −1
2
=
y
1
=
z −2
2
.
Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của A trên d. Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa d sao cho khoảng
cách từ A đến (α) lớn nhất.
Lời giải. Đường thẳng d có vectơ chỉ phương

có tâm thuộc đường thẳng AB và (S) tiếp xúc với (P).
Lời giải. Mặt phẳng (P ) có vectơ pháp tuyến
−→
n = (1; 1; 1). Gọi H là hình chiếu của A trên (P ).
Đường thẳng AH qua A(1; −2; 3) và nhận
−→
n (1; 1; 1) làm vectơ chỉ phương.
Do đó AH có phương trình





x = 1 + t
y = −2 + t
z = 3 + t
.
Tọa độ H thỏa mãn hệ











x = 1 + t

3
.
Đường thẳng AB qua A(1; −2; 3) và nhận
−−→
AB = (−2; 2; −2) làm vectơ chỉ phương.
Do đó AB có phương trình





x = 1 −2t
y = −2 + 2t
z = 3 −2t
.
Gọi I là tâm mặt cầu (S), ta có I ∈ AB ⇒ I(1 −2t; −2 + 2t; 3 −2t).
Lại có (S) tiếp xúc (P ) nên d (I, (P)) = R ⇔
|t + 6|
√
3
=
√
3
3
⇔

t = −5
t = −7
.
Với t = −5 ⇒ I(−4; 3; −2) ⇒ (S) có phương trình (x + 4)

Mặt phẳng (P ) có vectơ pháp tuyến
−→
n = (1; 2; −2).
Ta có d (I, (P)) =
|2 −2 − 2 −7|
√
1 + 4 + 4
= 3 < R ⇒ (P) cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn (đpcm).
Gọi K là tâm đường tròn giao tuyến ta có K là hình chiếu của I trên (P ).
Đường thẳng IK qua I(2; −1; 1) và nhận
−→
n = (1; 2; −2) làm vectơ chỉ phương.
Do đó IK có phương trình





x = 2 + t
y = −1 + 2t
z = 1 −2t
.
Tọa độ K thảo mãn hệ








2
(I, (P)) =
√
7.
Bài tập 6.70. (A-09) Trong không gian Oxyz, cho (P ) : 2x −2y − z −4 = 0 và (S) : x
2
+ y
2
+ z
2
−2x −
4y −6z −11 = 0. Chứng minh (P) cắt (S) theo một đường tròn. Tìm tâm và bán kính của đường tròn đó.
Lời giải. Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 3) và bán kính R = 5.
Mặt phẳng (P ) có vectơ pháp tuyến
−→
n = (2; −2; −1).
Ta có d (I, (P)) =
|2 −4 − 3 −4|
√
4 + 4 + 1
= 3 < R ⇒ (P) cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn (đpcm).
Gọi K là tâm đường tròn giao tuyến ta có K là hình chiếu của I trên (P ).
Đường thẳng IK qua I(1; 2; 3) và nhận
−→
n = (2; −2; −1) làm vectơ chỉ phương.
Do đó IK có phương trình








x = 3
y = 0
z = 2
t = 1
⇒ K(3; 0; 2).
Vậy đường tròn giao tuyến có tâm K(3; 0; 2) và bán kính r =

R
2
− d
2
(I, (P)) = 4.
Bài tập 6.71. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A (3; 3; 0) , B (3; 0; 3) , C (0; 3; 3) , D (3; 3; 3). Viết
phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D. Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Lời giải. Gọi mặt cầu cần tìm là (S) : x
2
+ y
2
+ z
2
− 2ax − 2by −2cz + d = 0

a
2
+ b
2
+ c



a =
3
2
b =
3
2
c =
3
2
d = 0
(thỏa mãn).
Do đó mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D có phương trình (S) : x
2
+ y
2
+ z
2
− 3x − 3y −3z = 0.
Mặt cầu S có tâm I

3
2
;
3
2
;
3
2








x =
3
2
+ t
y =
3
2
+ t
z =
3
2
+ t
.
Tọa độ K thỏa mãn hệ













x = 2
y = 2
z = 2
t =
1
2
⇒ K(2; 2; 2).
Vậy đường tròn ngoại tiếp ∆ABC có tâm K(2; 2; 2).
Bài tập 6.72. (D-2012) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 2x + y − 2z + 10 = 0 và điểm
I (2; 1; 3). Viết phương trình mặt cầu tâm I và cắt (P ) theo một đường tròn có bán kính bằng 4.
Lời giải. Ta có d(I, (P )) =
|4 + 1 − 6 + 10|
√
4 + 1 + 4
= 3 ⇒ mặt cầu cần tìm có bán kính R =
√
16 + 9 = 5.
Mặt cầu cần tìm có tâm I(2; 1; 3) và bán kính R = 5 nên có phương trình (x−2)
2
+(y−1)
2
+(z−3)
2
= 25.
§5. Góc Và Khoảng Cách
Bài tập 6.73. Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD. Tính góc và khoảng cách giữa hai cạnh AB
và CD biết A (3; −1; 0) , B (0; −7; 3) , C (−2; 1; −1) , D (3; 2; 6).


−→
AC







−−→
AB,
−−→
CD




=
|225 + 72 − 27|
√
2025 + 1296 + 729
= 3
√
2.
Bài tập 6.74. (TN-09) Trong không gian Oxyz, cho A (1; −2; 3) và d :
x + 1
2
=
y − 2

AM,
−→
u




|
−→
u |
= 5
√
2.
Gọi (S) là mặt cầu cần tìm ⇒ (S) có tâm A(1; −2; 3) và bán kính R = d(A, d) = 5
√
2.
Vậy (S) có phương trình (x − 1)
2
+ (y + 2)
2
+ (z − 3)
2
= 50.
Bài tập 6.75. (A-05) Trong không gian Oxyz, cho d :
x −1
−1
=
y + 3
2
=

1
2x + y − 2z + 9 = 0
⇔





x = 0
y = −1
z = 4
⇒ A(0; −1; 4).
Mặt phẳng (P ) có vectơ pháp tuyến
−→
n = (2; 1; −2), đường thẳng d có vectơ chỉ phương
−→
u = (−1; 2; 1).
Đường thẳng ∆ qua A(0; −1; 4) và nhận [
−→
n ,
−→
u ] = (5; 0; 5) làm vectơ chỉ phương.
Do đó ∆ có phương trình





x = 5t
y = −1

Mặt phẳng (Q)||(P ) nên có phương trình dạng 2x − 2y + z + d = 0 (d = −1).
Mặt phẳng (P ) qua M(0; 0; 1).
Khi đó d ((P) , (Q)) = d (A, (P)) ⇔ d (M, (Q)) =
7
3
⇔
|d + 1|
√
4 + 4 + 1
=
7
3
⇔

d = 6
d = −8
.
Vậy (Q) : 2x − 2y + z + 6 = 0 hoặc (P ) : 2x − 2y + z − 8 = 0.
Bài tập 6.77. (CĐ-2010) Trong không gian Oxyz, cho d :
x
−2
=
y − 1
1
=
z
1
và (P ) : 2x − y + 2z − 2 = 0.
a) Viết phương trình mặt phẳng chứa d và vuông góc với (P ).
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho M cách đều góc tọa độ O và (P).

x −1
4
=
y + 1
−3
=
z −1
1
. Viết
phương trình mặt cầu có tâm I (1; 2; −3) và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho AB =
√
26.
Lời giải. Đường thẳng d qua M (1; −1; 1) và có vectơ chỉ phương
−→
u = (4; −3; 1).
Ta có
−−→
IM = (0; −3; 4) ⇒

−−→
IM,
−→
u

= (9; 16; 12) ⇒ d(I, d) =




−−→

= 5 và tâm I(1; 2; −3).
Vậy (S) có phương trình (x − 1)
2
+ (y − 2)
2
+ (z + 3)
2
= 25.
Bài tập 6.79. (A-2010) Trong không gian Oxyz, cho A (0; 0; −2) và ∆ :
x + 2
2
=
y − 2
3
=
z + 3
2
. Tính
khoảng cách từ A đến ∆. Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt ∆ tại hai điểm B, C sao cho BC = 8.
23
Lời giải. Đường thẳng ∆ qua M (−2; 2; −3) và có vectơ chỉ phương
−→
u = (2; 3; 2).
Ta có
−−→
AM = (−2; 2; −1) ⇒

−−→
AM,
−→

AB
2

2
= 5 và tâm A(0; 0; −2).
Vậy (S) có phương trình x
2
+ y
2
+ (z + 2)
2
= 25.
Bài tập 6.80. (B-03) Trong không gian Oxyz, cho A (2; 0; 0) , B (0; 0; 8) và điểm C sao cho
−→
AC = (0; 6; 0).
Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA.
Lời giải. Ta có A(2; 0; 0),
−→
AC = (0; 6; 0) ⇒ C(2; 6; 0), I là trung điểm của BC ⇒ I(1; 3; 4).
Khi đó
−→
OA = (2; 0; 0),
−→
OI = (1; 3; 4) ⇒

−→
OA,
−→
OI


:



x = 3 + t
y = t
z = t
và ∆
2
:
x −2
2
=
y − 1
1
=
z
2
. Xác
định tọa độ điểm M thuộc ∆
1
sao cho khoảng cách từ M đến ∆
2
bằng 1.
Lời giải. Đường thẳng ∆
2
qua A(2; 1; 0) và có vectơ chỉ phương
−→
u
2

|
−→
u
2
|
= 1 ⇔
√
2t
2
− 10t + 17
√
4 + 1 + 4
= 1 ⇔

t = 1
t = 4
.
Vậy M(4; 1; 1) hoặc M(7; 4; 4).
Bài tập 6.82. (A-2010) Trong không gian Oxyz, cho ∆ :
x −1
2
=
y
1
=
z + 2
−1
và (P) : x −2y + z = 0. Gọi
C là giao điểm của ∆ và (P ), M là điểm thuộc ∆. Tính khoảng cách từ M đến (P), biết MC =
√

√
6 ⇒
√
6|t + 1| =
√
6 ⇔

t = 0
t = −2
.
Với t = 0 ⇒ M(1; 0; −2) ⇒ d(M, (P )) =
|1 −2|
√
1 + 4 + 1
=
1
√
6
.
Với t = −2 ⇒ M(−3; −2; 0) ⇒ d(M, (P )) =
| −3 + 4|
√
1 + 4 + 1
=
1
√
6
.
Vậy d(M, (P )) =
1

Suy ra d(M, ∆) =




−−→
AM,
−→
u




|
−→
u |
=
√
5a
2
+ 4a + 8
√
4 + 1 + 4
=
√
5a
2
+ 4a + 8
3
.

b
+
z
c
= 1 ⇔ bcx + cy + bz − bc = 0.
Mặt phẳng (ABC) có vectơ pháp tuyến
−−−−→
n
(ABC)
= (bc; c; b).
Ta có

−−→
n
(P )
.
−−−−→
n
(ABC)
= 0
d(O, (ABC)) =
1
3
⇔



b −c = 0
bc
√

1
2
.
Vậy b = c =
1
2
.
Bài tập 6.85. (B-2012) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :
x −1
2
=
y
1
=
z
−2
và hai điểm
A(2; 1; 0), B(−2; 3; 2). Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B và có tâm thuộc đường thẳng d.
Lời giải. Gọi (S) là mặt cầu cần tìm và I là tâm (S), ta có I ∈ d ⇒ I(1 + 2t; t; −2t).
Khi đó
−→
AI = (−1 + 2t; −1 + t; −2t) ⇒ AI =
√
9t
2
− 6t + 2
−→
BI = (3 + 2t; −3 + t; −2 −2t) ⇒ BI =
√
9t

y − 3
1
=
z + 1
−2
. Xác định điểm M thuộc ∆
1
sao cho khoảng cách
từ M đến ∆
2
bằng khoảng cách từ M đến (P ).
Lời giải. Đường thẳng ∆
2
qua A(1; 3; −1) và có vectơ chỉ phương
−→
u
2
= (2; 1; −2).
Ta có M ∈ ∆
1
⇒ M(−1 + t; t; −9 + 6t) ⇒
−−→
AM = (−2 + t; −3 + t; −8 + 6t).
Suy ra

−−→
AM,
−→
u
2

|−1 + t − 2t −18 + 12t − 1|
√
1 + 4 + 4
=

29t
2
− 88t + 68 ⇔

t = 1
t =
53
35
.
Với t = 1 ⇒ M(0; 1; −3); với t =
53
35
⇒ M

18
35
;
53
35
;
3
35

. Vậy M(0; 1; −3) hoặc M



x −2
1
=
y + 1
−2
=
z
−1
x + y + z − 3 = 0
⇔





x = 1
y = 1
z = 1
⇒ I(1; 1; 1).
Gọi M(a; b; c) ta có
−−→
IM = (a − 1; b − 1; c − 1) ⇒ IM =
√
a
2
+ b
2
+ c
2

⇔











a = 5
b = 9
c = −11



a = −3
b = −7
c = 13
.
25