PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
KHÔNG GIAN
WRITTEN BY LÊ VĂN CHƯƠNG TRƯỜNG THPT DT NỘI TRÚ YÊN BÁI
1
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
MỤC LỤC
Bài 2: MẶT CẦU...........................................................................................................................................................4
Bài 3: TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VEC TƠ............................................................................................................4
Bài 4 : MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN...........................................................................................................5
I. Phương trình mặt phẳng:.............................................................................................................................................5
II. Vị trí tương đối giữa hai mp:....................................................................................................................................6
III. Khoảng cách từ một điểm đến 1 mặt phẳng: ..........................................................................................................8
Bài 5 : ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN...................................................................................................10
I.PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN ............................................................................10
II.VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG............................................................................................11
CÁC CHUYÊN ĐỀ......................................................................................................................................................13
CHUYÊN ĐỀ 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG........................................................................................13
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN ...........................................................................................................................................13
B.CÁC DẠNG TOÁN..................................................................................................................................................14
CHUYÊN ĐỀ 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG PHẲNG..................................................................................18
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN :.........................................................................................................................................19
B.CÁC DẠNG TOÁN:.................................................................................................................................................19
WRITTEN BY LÊ VĂN CHƯƠNG TRƯỜNG THPT DT NỘI TRÚ YÊN BÁI
2
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1. Tọa độ của điểm :
( )
; ;M x y z OM xi y j zk
⇔ = + +
uuuur r r r

; ;u x y z=
r
và
( )
' '; '; 'u x y z=
ur
' { '; '; '}u u x x y y z z
= ⇔ = = =
r ur
( )
' '; '; 'u u x x y y z z
± = ± ± ±
r ur
( )
; ;ku kx ky kz
=
r
4. Tích vô hướng:
. ' . ' . ' . 'u u x x y y z z
= + +
r ur
. 0u v u v= ⇔ ⊥
r r r r
5. Các công thức tính độ dài và góc
2 2 2
u x y z= + +
r
( )
2
2 2

. , . , .u v u w v w
r r r ur r ur
2. Cho M(a, b, c)
a) Tìm tọa độ hình chiếu của M lên các trục tọa độ
b) Tìm tọa độ hình chiếu của M lên các mp tọa độ
3. Cho hình bình hành ABCD có A(-3; -2; 0), B(3; -3; 1), C(5; 0; 2). Tìm tọa độ D và tính góc giữa hai vecto
,AC BD
uuur uuur
4. Tính tích vô hướng của
.a b
r r
, biết
a)
( ) ( )
3;0; 6 ; 2; 4;0a b= − = −
r r
b)
( ) ( )
1; 5;2 ; 4;3; 5a b= − = −
r r
5. Tìm góc giữa hai vecto
;u v
r r
a)
( ) ( )
1;1;1 ; 2;1; 1u v= = −
r r
b)
3 4 , 2 3u i j v j k= + = − +
r r r ur r r

( ) ( ) ( )
2 2 2
2
x a y b z c R
− + − + − =
(1)
Phương trình mặt cầu dạng khai triển:
x
2
+y
2
+z
2
– 2ax – 2by – 2cz + d = 0, đk: a
2
+ b
2
+ c
2
– d >0 (2)
Tâm I(a; b; c) và bán kính R=
2 2 2
a b c d+ + −
2. Chú ý:
a) Mặt cầu có tâm I và qua A thì R = IA =
( ) ( ) ( )
2 2 2
A I A I A I
x x y y z z− + − + −
b) Mặt cầu có đường kính AB thì R =

+3x + 4y – 5z +6 = 0
c) x
2
+y
2
+z
2
–6x + 4y + 2z – 11 = 0
d) (x - 1)
2
+(y +3 )
2
+(z – 2)
2
= 49
e) x
2
+y
2
+z
2
–2x +2z – 2 = 0
Bài 2: Viết phương trình mặt cầu biết:
a) mặt cầu có đường kính AB với A(4; -3; 7), B(2; 1; 3)
b) mặt cầu đi qua điểm A(5; -2; 1) và có tâm C(3; -3; 1)
c) mặt cầu qua 4 điểm A(2; 4; -1), B(1; 4; -1), C(2; 4; 3), D(2; 2; -1)
d) mặt cầu qua 4 điểm A(1 ; 0 ; -1), B(3 ; 4 ; -2), C(4 ; -1 ; 1), D(3 ; 0 ; 3)
Bài 3: Trong không gian Oxyz cho A(1; -1; 2), B(1; 3; 2), C(4; 3; 2), D(4; -1; 2)Gọi A’ là hình chiếu của A lên Oxy.
Viết phương trình mặt cầu (S) qua A’, B, C, D.
Bài 4: Lập pt mặt cầu đi qua 3 điểm A(1;2;-4), B(1;-3;1) , C(2;2;3) và có tâm nằm trên mp Oxy

y z z x x y
u u yz zy zx xz xy yx
y z z x x y
 
∧ = = − − −
 ÷
 
r ur
Nhận xét:
1.
;u v
r r
cùng phương thì
( )
0 0;0;0u v∧ = =
r r r
2.
u v v u∧ = − ∧
r r r r
3.
( ); ( )u u v v u v⊥ ∧ ⊥ ∧
r r r r r r
4. Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi
0AB AC∧ =
uuur uuur r
Bài tập:
1. Tính tích có hướng của các vect ơ:
a)
( ) ( )
3;0; 6 ; 2; 4;0a b= − = −

5. Cho M(1 ; -2 ; 3). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu của M lên các mặt phẳng tọa độ Oxy, Oyz, Ozx. Tính :
;HI HK IK KH∧ ∧
uuur uuur uur uuur
6. Trong khoâng gian Oxyz cho B(1; 1; 1), C(1/3; 1/3; 1/3).Chöùng minh O, B, C thaúng haøng.
Bài 4 : MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. Phương trình mặt phẳng:
1. Phương trình tổng quát của mặt phẳng:
B1: Tìm toạ độ vectơ pháp tuyến
( ; ; )n A B C=
r
( là vectơ vuông góc với mặt phẳng)
B2: Tìm toạ độ điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) thuộc mặt phẳng
B3: Thế vàp pt: A(x –x
0
) + B(y-y
0
) +C(z-z
0
) = 0, khai triển đưa pt về dạng: Ax + By +Cz + D = 0
2. Chú ý:
Cho mp (P) :Ax + By +Cz + D = 0
a. VTPT của (P)

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
song song với (Oyz): Ax + D = 0 ,
song song với (Oxz): By + D = 0
c) Mp song song hoặc chứa các trục tọa độ:
song song với Ox: By + Cz + D = 0
song song với Oy: Ax + Cz + D = 0
song song với Oz: Ax + By + D = 0
chứa trục Ox: By + Cz = 0
chứa trục Oy: Ax + Cz = 0
chứa trục Oz: Ax + By = 0
d) Mp chứa gốc tọa độO(0; 0; 0): Ax + By + Cz = 0
e) Đặc biệt mp(P) qua A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) có phương trình dạng:
1
x y z
a b c
+ + =
Bài tập:
1. Cho A(-1;2;3), B(2;-4;3), C(4;5;6)
a)Viết phương trình mp đi qua A và nhận vectơ
(1; 1;5)n −
r
làm vectơ pháp tuyến
b)Viết phương trình mp đi qua A biết rằng hai véctơ có giá song song mp đó là
(1;2; 1), (2; 1;3)a b− −
r
r
c)Viết phương trình mp qua C và vuông góc với đường thẳng AB
d)Viết phương trình mp trung trực của đoạn AC
e)Viết phương trình mp (ABC)
2. Viết phương trình mặt phẳng (

đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC
11. ( ĐH khối B năm 07 -08) Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(0; 1; 2), B(2; -2; 1), C(-2; 0 1)
a) Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm A, B, C ( đs: x + 2y – 4z + 6 = 0)
b) Tìm M thuộc mặt phẳng (P): 2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho MA = MB = MC. ( Đáp án: M(2; 3; -7)
II. Vị trí tương đối giữa hai mp:
Cho mp (P) :Ax + By +Cz + D = 0 và (P’): A’x + B’y +C’z + D’ = 0
Khi đó (P) và (P’) lần lượt có các vecto pháp tuyến là
( )
( ; ; ); ' '; '; 'n A B C n A B C= =
r ur
WRITTEN BY LÊ VĂN CHƯƠNG TRƯỜNG THPT DT NỘI TRÚ YÊN BÁI
6
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1. (P) // (P’)
( ) ( )
; ; '; '; '
'
'
'
A B C k A B C
n kn
D kD
D kD

=
=
 
⇔ ⇔
 
≠


r ur
3. (P) cắt (P’)
( ) ( )
' ; ; '; '; 'n kn A B C A B C⇔ ≠ ⇔ ≠
r ur
Trong trường hợp này nếu AA’ +BB’ +CC’ = 0
'n n⇔ ⊥ ⇔
r r
hai mặt phẳng vuông góc
Chú ý:
Cho mp (P): Ax + By + Cz + D = 0 suy ra (P) có VTPT
( ; ; )n A B C=
r
1. Nếu (P’) // (P) thì (P’) cũng nhận
( ; ; )n A B C=
r
là VTPT
2. Nếu
( ) ( )
'P P⊥
thì (P’) chứa hoặc chứa
( ; ; )n A B C=
r

Bài tập:
1. Viết phương trình mặt phẳng (
α
) trong các trường hợp sau:
a) (

( ) ( )
1;0;3 , 5;2;3A B−
và vuông góc với mặt phẳng (
β
):
2 0x y z+ − =
c) (
α
) qua hai điểm
( ) ( )
1;0;1 , 1;2;4A B
và vuông góc với mặt phẳng (
β
):
3 0x z
− + =
d) (
α
) qua hai điểm
( ) ( )
2; 1;2 , 1; 2;3A B− −
và vuông góc với mặt phẳng (
β
):
3 2 6 0x y+ − =
3. Viết phương trình mp qua B(4 ; -2 ; -1) và vuông góc với 2 mp (Oxy), mp (P) : x – y + 2z + 1 = 0
4. (TN 06 – 07)Trong không gian Oxyz, cho M(-1; -1; 0) và mp(P): x + y – 2z – 4 = 0. Viết mp(Q) qua M và song song
với (P)
5. (CĐ 08 – 09) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các mặt phẳng (P
1

(1)
Hay:
Ax+By+Cz+D = 0
Loại 2: (α) đi qua ba điểm M, N, P không thẳng hàng:
* Vectơ pháp tuyến:
∧
r uuur uuur
n=MN MP
.
* Điểm thuộc mặt phẳng: M (hoặc N hoặc P). Thay các kết quả vào (1).
Loại 3: (α) đi qua A(x
A
;y
A
;z
A
) và song song với mặt phẳng (β):
Ax+By+Cz+D = 0
* (α) có dạng
Ax+By+Cz+m=0
,
( )
α
uur uur
β
n =n
.
* Thay tọa độ điểm A vào (α) để tìm
( )
( )

d M P
A B C
+ + +
=
+ +
Bài tập:
Loại 1 : Khoảng cách từ M (x
M
;y
M
;z
M
) đến mặt phẳng (α):
Ax+By+Cz+D = 0
:
( )
α
M M M
2 2 2
Ax +By +CZ +D
d M, =
A +B +C
Loại 2: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α), (β) song song: Lấy một điểm M tùy ý trên mặt phẳng này, tính khoảng cách từ
M điểm đó đến mặt phẳng kia.
1. Tính Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P), biết:
a) M (1; 2; 3), (P): 2x – y + 2z – 10 = 0
b) M( 2; -2; 3), (P): 4x – 3z + 3 = 0
c) M ( 0; -1; 3), (P): 3y – 11 = 0
2.Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng lần lượt có phương trình: x + 2y + 2z + 11 = 0 và x + 2y + 2z + 2 = 0
3.Trong không gian Oxyz, cho điểm A(-2; 4; 3) và mp (P) có phương trình: (P): 2x – 3y + 6z + 19 = 0

8
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
10. Cho 4 điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1). Tính độ dài đường cao của hình chóp A.BCD
11. (ĐH – khối B – 09)Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(1; 2; 1), B(-2; 1; 3), C(2; -1; 1) và D(0; 3; 1).
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P).
Hướng dẫn: có 2 trường hợp :
(P) chứa AB và song song CD ( Đs : 4x + 2y + 7z – 15 = 0
(P) qua A, B và M là trung điểm của CD ( Đs : 2x + 3z – 5 = 0)
12.Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(1; 0; -1), B(3; 4; -2), C(4; -1; 1), D(3; 0; 3) . Tính thể tích tứ diện ABCD.
13. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật OABC.O’A’B’C’ có các đỉnh A(3; 0; 0), C(0; 4;
0), O’(0; 0; 5), O(0; 0; 0) và điểm B’ là đỉnh đối diện với O.
a) Viết phương trình mặt phẳng (ACO’) và tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng này.
b) Tìm tọa độ điểm B’. Tính khoảng cách từ O đến (ACB’)
14.Giải bài toán sau bằng phương pháp toạ độ:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1.
a) Chứng minh (AB’D’)//(BC’D)
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên
Sử dụng khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để giải các bài toán liên quan:
AD1: Viết phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với một mặt phẳng cho trước


Mặt cầu có tâm I và tiếp xúc mặt phẳng (P) thì có bán kính bằng khoảng cách từ tâm I đến mp(P)
15.Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(3; -2; -2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1), D(-1; 1; 2). Viết phương trình mặt cầu tâm A
và tiếp xúc mặt phẳng (BCD)
16.Trong không gian Oxyz, cho A(-2; 2; 4) , B(-2; 2; 0), C(-5; 2; 0), D(-2; 1; 0).Viết phương trình mặt cầu tâm D và tiếp
xúc mp (ABC).
17. ( TN năm 06 – 07) Trong không gian Oxyz, cho mp(α): x + 2y – 2z +6 = 0.Viết phương trình mặt cầu tâm là gốc toạ
độ và tiếp xúc với mp(α).
18. (Khối B – năm 2005)Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ đứngABC.A’B’C’ với A(0; -3; 0), B(4; 0; 0), C(0; 3;
0), B’(4; 0; 4). Tìm toạ độ điểm A’, C’. Viết phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc mặt phẳng (BCC’B’)

2 2 2
3 2 1 100x y z− + + + − =
và mặt phẳng
( )
α
2x – 2y – z + 9 = 0. Chứng tỏ mặt phẳng
( )
α
cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C). Hãy tính bán kính của đường tròn (C).
WRITTEN BY LÊ VĂN CHƯƠNG TRƯỜNG THPT DT NỘI TRÚ YÊN BÁI
9