BÀI TOÁN 1: TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I. Tọa độ của véctơ
Cho hệ tọa độ Oxyz và
u
r
. Khi đó có duy nhất một bộ ba số thực
(x, y, z) sao cho
. . .u x i y j z k= + +
r r r r
. Ta gọi bộ ba số (x, y, z) là tọa độ
của
u
r
và kí hiệu là :
( ; ; )u x y z=
r
hoặc
( ; ; )u x y z
r
Vậy :
( ; ; )u x y z=
r
. . .u x i y j z k⇔ = + +
r r r r
Từ định nghĩa trên ta suy ra :

(1;0;0), (0;1;0), (0;0;1), 0 (0;0;0)i j k= = = =
r r r r
II. Tọa độ của điểm
Cho hệ tọa độ Oxyz và điểm M. Ta gọi tọa độ của

 Gọi
1 2 3
; ;M M M
lần lượt là hình chiếu vuông góc của M(x; y; z) lên 3 mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Oxz).
Khi đó
1 2 3
( ; ;0), (0; ; ), ( ;0; )M x y M y z M x z
.
 Cho
( ; ; ), ( ; ; )
A A A B B B
A x y z B x y z
. Khi đó
( ; ; )
B A B A B A
AB x x y y z z= − − −
uuur
III. Các công thức
• Cho hai véctơ
1 1 1 2 2 2
( ; ; ), ( ; ; )a x y z b x y z= =
r r
. Khi đó :
1.
1 2 1 2 1 2
( ; ; )a b x x y y z z± = ± ± ±
r r
2.
1 1 1
. ( ; ; ) m a mx my mz m R= ∀ ∈

a b
x y z x y z
+ +
= ≠
+ + + +
r r
r r r r r
r r
6.
1 2
1 2
1 2
x x
a b y y
z z
=


= ⇔ =


=

r r
7.
a
r
cùng phương với
b
r

= = =
= = =
r r r
rr r r rr
• Gọi I là trung điểm AB
2
2
2
A B
I
A B
I
A B
I
x x
x
y y
y
z z
z
+

=


+

⇒ =




+ +

=


• Nếu điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (
1k
≠
), nghĩa là
.MA k MB=
uuur uuur
thì
.
1
.
1
.
1
A B
M
A B
M
A B
M
x k x
x
k
y k y
y

e. Tính góc A của tam giác ABC.
Bài 2 : Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết
(1;1;3), ( 2;3;0), (0;4;1), '(2;4; 1)A B D C− −
. Tìm
tọa độ tất cả các đỉnh còn lại của hình hộp.
Bài 3 : Trong không gian Oxyz cho
0u ≠
r r
. Chứng minh rằng :
2 2 2
cos ( ; ) cos ( ; ) cos ( ; ) 1u i u j u k+ + =
r r r r r r
.
Bai 4 : Tìm
OxM
∈
cách đều 2 điểm
(1; 3;1) ; B(0;1;-2)A −
.
Bài 5 : Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với
(2;0; 3), (1;2; 2), (0;2;1)A B C− −
. Tìm tọa độ chân đường phân
giác trong và chân đường phân giác ngoài góc A của tam giác ABC.
Bài 6 : Cho
(4; 1;2) ; B(7;3;2)A −
. Tìm M trên mặt phẳng (Oyz) sao cho tam giác ABM vuông cân tại A.
Bài 7 : Trong không gian Oxyz, cho
(2; 1;4), ( 4;3;2)A B− −
. Tìm điểm M trên mặt phẳng (Oxy) sao cho :
a.

r
và
b
r
là một véctơ, kí hiệu là
;a b
 
 
r r
,
và được xác định như sau :

2 3 3 1
1 2
2 3 3 1 1 2; ; ;
b b b
a a a a
a a
a b
b b b
 
 
=
 ÷
 
 
r r

r r
α
3.
; ;b a a b
   
= −
   
r r r r
4.
; . .sin( ; )a b a b a b
 
=
 
r r r r r r
III. Các ứng dụng
1. Xét sự đồng phẳng của ba véctơ
• Ba véctơ
; ; a b c
r r r
đồng phẳng
; . 0a b c
 
⇔ =
 
r r r
• 4 điểm A, B, C, D tạo thành tứ diện
; . 0AB AC AD
 
⇔ ≠
 

uuur uuur uuur
B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Bài 1 : Trong không gian Oxyz cho

(1;2;3), (3; 1;2), (2;3;1)
(9; 3;7), (1;8;8), w (5; 5;1)
a b c
u v
= = − =
= − = = −
r r r
r r uur
1. Chứng minh ba véctơ
; ; a b c
r r r
không đồng phẳng.
2. Chứng minh ba véctơ
; ; wu v
r r uur
đồng phẳng.
Bài 2 : Ba điểm A, B, C nào sau đây thẳng hàng :
1.
(1;1;1) ; B(-4;3;1) ; C(-9;5;1)A
2.
(1;3;1) ; B(0;1;2) ; C(0;0;1)A
Bài 3 : Cho 4 điểm
(1;1;2) ; B(0;3;-2) ; C(3;4;1); D(2;0;-3)A
1. Chứng minh 4 điểm A, B, C, D tạo thành một tứ diện. Tính thể tích tứ diện ABCD.
2. Tính độ dài đường cao của tứ diện xuất phát từ đỉnh A.
Bài 4 : Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD biết

• Nếu hai véctơ
a
r
và
b
r
không cùng phương và giá của chúng song song
hoặc nằm trên mp
( )
α
(ta còn gọi hai véctơ
a
r
và
b
r
là cặp véctơ chỉ phương
của mp
( )
α
) thì mp
( )
α
nhận
;n a b
 
=
 
r r r
làm véctơ pháp tuyến.

tại
( ;0;0)A a
, cắt Oy tại
(0; ;0)B b
, cắt Oz tại
(0;0; )C c
có phương trình là :
( ) : 1
x y z
a b c
α
+ + =
.
4. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng
1 1 1 1 1
( ): A x 0B y C z D
α
+ + + =
và
2 2 2 2 2
( ) : A x 0B y C z D
α
+ + + =
.
•
1
( )
α
cắt

A B C D
A B C D
⇔ = = =
5. Chùm mặt phẳng
 Tập hợp tất cả các mặt phẳng qua giao tuyến của
hai mặt phẳng
( )
α
và
( )
β
được gọi là một chùm mặt phẳng
 Gọi (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng
1 1 1 1
( ) : A x 0B y C z D
α
+ + + =
và
2 2 2 2
( ) : A x 0B y C z D
β
+ + + =
.
Khi đó nếu (P) là mặt phẳng chứa (d) thì phương trình mặt phẳng (P) có dạng :

2 2
1 1 1 1 2 2 2 2
( ) : .(A x ) .(A x ) 0, 0P m B y C z D n B y C z D m n+ + + + + + + = + ≠
B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Bài 1 : Viết phương trình mặt phẳng

α
qua
(3; 4;1)N −
và vuông góc với trục Ox.
5.
( )
α
là mặt phẳng trung trực của cạnh AB với
(4; 3; 1), (0;1;5)A B− −
.
6.
( )
α
qua
(1; 3;2)I −
và chứa trục Oz.
7.
( )
α
chứa AB và song song với CD biết
(1;1;2) ; B(0;3;-2) ; C(3;4;1); D(2;0;-3)A
8.
( )
α
qua
(2; 1;2)M −
, song song với trục Oy và vuông góc với mp
( ) : 2 3 4 0x y z
β
− + + =

và cắt 3 trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho G là
trọng tâm của tam giác ABC.
Bài 4 : Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
qua
(1;2;4)M
và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho
OA OB OC= =
.
Bài 5 : Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
qua
( 2;5;1)A −
và cách
(0;2; 1)B −
một khoảng lớn nhất.
Bài 6 : Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
qua
(3;1; 4)H −
và cắt 3 trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho H là
trực tâm của tam giác ABC.
Bài 7 : Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
qua
(1;1;1)M

β
+ − − =
và đi qua điểm
( 1;4;3)M −
2. (P) đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng,
( ) : 2 4 0, ( ) : 3 0y z x y z
α β
+ − = + − − =
và song song với mặt
phẳng
( ) : 1 0Q x y z+ + − =
.
3. (P) đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng,
( ) :3 2 0, ( ) : 4 5 0x y z x y
α β
− + − = + − =
và vuông góc với mặt
phẳng
( ) : 2 2 0Q x z− + =
.
Bài 9 : Trong không gian Oxyz, cho
( 1;3;2), (4;1;1), (0;2; 1), (2;2;3)A B C D− −
.
1. Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Chứng tỏ ABCD là một tứ diện.
2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và song song với mặt phẳng (BCD).
3. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, B và chia tứ diện ra làm 2 phần có thể tích bằng nhau.
Bài 10 : Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau :
1.
2 3 4 0x y z+ − + =
và

,
( ) :3 7 3 0Q x y z+ + − =
,
( ) : 9 2 5 0R x y z− − + =
.
BÀI TOÁN 4 : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I. Véctơ chỉ phương của đường thẳng
Véctơ
0u ≠
r r
được gọi là VTCP của đường thẳng d nếu giá của
u
r
song
song hoặc trùng với d.
Nhận xét :
• Một đường thẳng có vô số véctơ chỉ phương, các véctơ này cùng phương với nhau.
• Nếu
u
r
là một VTCP của đường thẳng d thì
. ( )k u k R∈
r
cũng là một VTCP của đường thẳng d .
• Hai véctơ
a
r
và
b

.
x x a t
y y b t
z z c t
= +


= + ∈


= +

• Nếu
. . 0a b c
≠
thì phương trình chính tắc của d là :
0 0 0
x x y y z z
a b c
− − −
= =
B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Bài 1 : Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d trong các trường hợp sau
1. d qua
(2; 1;5)M −
và có VTCP là
(4;3;2)u =
r
.
2. d qua hai điểm