GV. Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Phần 1: Hệ toạ độ trong không gian
A. Lý thuyết cần nhớ
Hệ trục tọa độ Oxyz gồm ………………… đôi một vuông góc với nhau với
các……………………tương ứng là
i, j,k
r
uurur

(
)
1ijk
=
==
r
rur
.
B. ;
()
123 1 2 3
aa; a; a aaiajak==⇔++
rurur
ur ur
u
Và M (x;y;z) ⇔
OM x.i
y
.
j
z.k=++

yy
';z z '±= ± ± ±
urur

3.
u(x;
y
;z)
α
ααα
=
ur

(
)
i1;0;0
r

(
)
j0;1;0
r

(
)
k0;0;1
r

O


⎜⎟
⎝⎠
=
urur
7.
8. cùng phương ⇔
[u
u,v
ur ur
,v]= 0
urur
r

9.
()
cos u,v
u.v
u.v
=
uurur
rr
urur
.
D. Tọa độ điểm : cho A (x
A
; y
A
; z
A
), B (x

AB
G
yyy
y
3
C
+
+
=
;
ABC
G
zzz
z
3
++
=

Đặc biệt : M là trung điểm AB:
AB AB AB
MMM
xx yy zz
x; ; z.
222
y
+++
===

5. A,B,C lập tam giác ⇔ A,B,C không thẳng hàng ⇔ không cùng
AB, AC

()

()
u, i
rr
k, v
rr
c/ Tính các tích vô hướng
u.v, u.w, v.w, u.
j
rr ruurruurr
rrruur
r

d/ Tìm tọa độ các vectơ sau : ,
2u 4v 3we =−+ u5v2w
α
=+ −
u
rr r uur
,

31
muv
22
=− + −
uurrrr
w
uu
,

)1;2;0( −=a

bya 32 =+−
c)
bxa −=+ 2
, với
)1;4;5( −=a
;
)3;5;2( −=bSoạn : Cho và
a(5;4;7)=−
r
x
r
x
a/ Tìm vectơ thỏa
y
0+=
rrr
b/ Tìm vectơ
y
r
thỏa
2y a
uur r
3b−=
r
Bài tập 3 : Phân tích vectơ

)
(
)
m 3,2, 8 theoa 1,0, 2 ,b 2,1,3,c 4,3,5= − = − =− =−
uurrrrd/
(
)
(
)
(
)
(
)
q 4, 12, 4 theo a 3, 7, 0 , b 2, 3,1 , c 3, 2, 4=− = − = − =
rrrr

GV. Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
Đt : 0914449230 Email :
3
k
r
Bài tập 4 : Viết dưới dạng
ijxyz++
rr
;
()
a1,0,2=−

−
1; 4) và C(
−
2; 1; 6)
a/ Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
uuu uuu uuu uuu
b/ Tính các vectơ sau :
AB, AC, BC, 2AB 3AC 4BC+−
r r r r uuur uuur
uuur
c/ Tính:
()
2AB AC .BC−
uuur uuur
d/ Tìm tọa độ điểm M sao cho :
MA 2MB
=
−
u
uuur uuur

e/ Tìm tọa độ điểm K sao cho :
KA 2KB 2CB−=
u
uur uuur uuur

f/ Tìm tọa độ điểm P sao cho :
PA 2PB 4PC 0
+
−=

C
D
A'
B'
C'
D'
c/
Trong khôgn gian Oxyz cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Biết A(4;1;-2),
B’(4;5;10). C(-3;-2;17), D’(-7;-2;11). Tìm tọa độ các đỉnh còn lại.
Bài tập 8 : Tìm góc giữa hai vectơ sau:
)3;1;0(=b
)4;5;2(=a
a)
)1;3;4(=a
;
)3;2;1(−=b
b) ;
)3;0;6(=b
c)
)1;1;1( −=a
;
Bài tập 9:
a/ Trên trục Oy, tìm điểm cách đều hai điểm: ;
)0;1;3(A
)1;4;2(
−
B

b/
Trên trục Ox, tìm điểm cách đều hai điểm: ;

−
−
C

GV. Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
(ĐS :
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
0;
3
14
;
3
26
)
Bài 7: Cho A(1;2;-1), B(2;-1;3), C(-1;-2;2).
1/ Chứng minh A, B, C là 3 đỉnh của 1 tam giác.
2/ Tính cosin của 3 góc 3/ Tìm trên Ox điểm cách đều A và B.
ABCΔ
4/ Tìm trên Oz điểm cách đều C và B.
5/ Tìm trên mặt phẳng xOy điểm cách đều A, B, C.
Bài tập 11: cho với
()
AC 3, 2, 5=−
uuur
(

rr
kR∃∈
ak.b=
r
r3
12
123
a
aa
b
bb
⇔==

Ghi chú : ……………………………………………………………………….
(
)
(
)
(
)
a3,1,2,b 9,3,6,c6,2,1=− =− − =−
rr r
Ví dụ 1 :
a/ CMR là hai vectơ ngược hướng
a,b
rr
b/ CMR và là hai vectơ không cùng phương

22
≠
và là hai vectơ không cùng phương
a
r
c
r
Ví dụ 2 : Cho ; ;
)4;1;3(−A
)6;3;2(B
)1;4;3(
−
C
.
a/ CMR A,B,C lập tam giác
b/ Tìm tọa độ điểm sao cho
)6;;( −yxM
AM, BC
u
uuuruuur
cùng hướng
Giải :
uuu
a/
() (
AB 5; 2;2 , AC 6; 5; 3==−
r uuur
)
−
GV. Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

⇔
==>
−−

3
2
1
1
1
13
2
7
x
x
y
y
+
⎧
=
⎪
=−
⎧
⎪
⇔⇔
⎨⎨
−
=−
⎩
⎪
=

C
. Tìm tọa độ hình chiếu H của A trên
BC và tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng BC
Đt : 0914449230
5
Email :
(ĐS : và )
)2;1;1(H
r
)1;3;0('A
Bài tập 15: Cho .
a 3i 2j,b (2;3; 1),c ( 2;4;2)=− = − =−
rrrr
rr
a/ Tìm sao cho ,
x
r
a.x 2=
b
.x 1
=
−
rr
,
cx
⊥
r
r

b/ Tìm tọa độ của: và

⎡⎤
r
=
⎣⎦
rr

a, b .c 0
⎡⎤
=
⎣⎦
r
rr
+ đồng phẳng
a, b, c
rrr
Chú ý : A,B,C,D lập tứ diện ⇔
AB, AC, AD
u
uur uuur uuuur
không đồng phẳng
⇔
AB, AC .AD 0
⎡⎤
≠
⎣⎦
uuur uuur uuur

GV. Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
Đt : 0914449230 Email :
6

(0;1;2)=
r
;
c (4; 2;3)=
r
b/ ;
a(1;2;1)=
r
b
(1; 2; 3)=−
r
;
c(2;6;1)=
r
c/ ;
a2i3k=−
r
rr
b
(1;3;5)=−
r
;
c4i2
j
k=− + +
r
r
rr

Soạn : d/

r
đồng phẳng
b/
CMR 3 vectơ ;
a (1;1; m )=
r
b
(1;1; m 1)
=
+
r
;
c (1; 1; m)=−
r
không đồng phẳng
với mọi m

Bài tập 18:
Xét tính đồng đẳng của 4 điểm sau:
a/ A(1;2;1), B(
–1;2;3), C(2;0; –2), D(0;1; –4)
b/ A(1;1;1), B(
–1;2;4), C(3;0; –2), D(–2;1;0)
Bài tập 19: ;
a (1; 1; 3)=−
r
b
(2;2; 5)=−
r


c) Tính diện tích tứ diện ABCD và tính độ dài đường cao hạ từ đỉnh A.
Bài tập 21: Cho bốn điểm: ;
)1;3;2(A
)2;1;4(
−
B
; ;
)7;3;6(C
)8;4;5( −−D
a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện (Chứng minh A, B, C, D
không đồng phẳng).
b) Tính thể tích tứ diện và tính độ dài đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A.
c) Tìm tọa độ của điểm I cách đều bốn điểm A, B, C, D. GV. Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
Phần 2: Phương trình mặt cầu.
A. Kiến thức cần nhớ
Đt : 0914449230 Email :
7
1. Phương trình mặt cầu tâm , bán kính R:
I(a; b; c)
Dạng chính tắc:
2222
)()()( Rczbyax =−+−+− Dạng khai triển:
222
222xyz axbyczd0


Ta có suy ra mặt cầu có tâm I (3;
– 4;2)
2a 6 a 3
2b 8 b 4
2c 4 c 2
d2 d2
−=− =
⎧⎧
⎪⎪
−= =−
⎪⎪
⇔
⎨⎨
−=− =
⎪⎪
⎪⎪
==
⎩⎩
và bán kính
222
Rabcd916423=++−=++−=3

Bài tập 22: Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau:
a) b)
0128
222
=++−++ yxzyx
04284
222

a/
()
(
)
222 2
x y z 2mx 4m 1y 2m 2z 7m 8 0 (1)++− + + − − + +=
0m4
.Xác định
tham số m để (1) là phương trình của một mặt cầu (S). Khi đó xác định m để mặt
cầu (S) có bán kính lớn nhất (ĐS :
<
<
m2
và
=
)
b/
()
(
)
222 2
xyz2m1x4m1y2mz7m70(1++− + + − + + −= )
.Xác định
tham số m để (1) là phương trình của một mặt cầu có bán kính bằng 3
(ĐS :
m32=− ± 3
)
)
c/ .Xác định tham số m để
222 2
☺ b/ mặt cầu (S) có tâm I(2; 0; 1) và qua điểm A(2; 1; 5)
nên có bán kính
22 2
RIA 0== 1 4 17++=
với
(
)
IA 0;1;4=
u
ur

(S) :
()

(
2
y z1+−
222
)
22
x2 17−+ =

☺ c/ mặt cầu (S) qua 4 điểm A(2; 2; 1), B(3; 2; 2), C(-3; 1; 6), D(3; -8; 0)
R
A
I
gọi pt (S) :
x

⎪
++−−− +=
∈
⎪
−+++−− +=
−∈
−∈
+− + − + + =
⎩
(S)
(S)
(S)
(S)
⎧
⎪
⎪
⇔
⎨⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎩
cd 0
24c d 0
12c d 0
d 0
+=
+=
+=
+=


⎩

a1/2
b
7/2
/2c7
=
⎧
⎪
=−
⎨
⎪
=
⎩
thay vào (4) ta được
d14
=
−
Giải hệ này ta được :
Vậy phương trình (S) :
222
xyzx7y7z140++−+−−=
GV. Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
Bài tập 24: Viết phương trình mặt cầu nếu biết:
a) Tâm I(5;
–3; 7). bán kính R = 2.
b) Tâm I(3;
–2; 1) và qua điểm A(2; 1; –3).
c) Tâm I(4;
–4; –2) và đi qua gốc toạ độ.

3
5
x +
3
5
y +
3
5
z -
3
8
= 0)
f/ Đi qua bốn điểm: A(–1; 2; 0), B(2; –3; –1), C(0; –2; –2), D(–2; 0; 1).
Bài tập 26: Viết phương trình của mặt cầu đường kính AB với A, B có toạ độ:
a) ; . b)
)1,3,1( −−A
)5,1,3(−B
)5,2,6(
−
A
;
)7;0;4(
−
B
.
c) ; . d)
)4,2,1( −A
)2,4,3( −−B
)7,3,4(
−

=
−
+
−
+
− zzCyyBxxA
GV. Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
c) Phương trình mp theo đoạn chắn, đi qua A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)
có dạng:
1=++
c
z
b
y
a
x

Đt : 0914449230 Email :
10
Ghi chú : ………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
z
B b
C

Ox, Oy, Oz
f/ qua điểm A(1; 2; 2) và song song với mp (R) :
2x 3y z 2013 0
−
−+ =

Giải : ☺ a/ (P)qua A(2; 1; 5) và có vectơ pháp tuyến là
()
n 2;3;2=−−
r

Phương trình (P) :
()()
(
)
2 x 2 3 y 1 2 z 5 0 2x 3y 2z 9 0−− −− −=⇔ −−+=

☺b/ (P) cắt 3 trục tọa độ tại 3 điểm A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; -2)
nên (P) chính là mặt phẳng đoạn chắn :
xy z
1x2yz2
21 2
0
+
+=⇔+−−=
−☺c/ qua 3 điểm A(1; -2; 4), B(3; 2; -1), C(-2; 1; -3) không thẳng hàng
nên (P) có cặp vectơ chỉ phương là

)
(
)
(
)
13 x 1 29 y 2 18 z 4 0 13x 29y 18z 1 0−−+ +−−=⇔−+−+=

☺d/ Gọi M là trung điểm của AB thì M(–1;1;6)
Đt : 0914449230 Email :
11
(P) qua M(-1;1;6) và có VTPT là
(
)
AB 8;6;2=−
u
uur

hay cũng là một VTPT của (P)
(
n4;3;=−
r
)
1
vậy phương trình (P) cần tìm là :

()()()
4x 1 3y 1 1z 6 0 4x 3y z 13 0+− −+ − =⇔ − +− =
☺e/ hình chiếu của A(-3; 2; -4) lên các trục Ox, Oy, Oz là
A
B

A 1;2;2 (P):2x 3y z D 0∈−−+=
nên
() ( ) ( )
2. 1 3 2 2 D 0 D 6 2013−−+=⇔=≠
Vậy (P) :
2x 3y z 6 0−−+=
Bài tập 27: Viết phương trình mặt phẳng:
1/ Đi qua điểm M(3; 2; -5) và có vectơ pháp tuyến
)1;4;3(−=n
.
2/ Đi qua M(1;
–3; 7) và có vectơ pháp
)0;2;3(=n
.
3/ Đi qua M(1; 3;
–2) và vuông góc với trục Oy.
4/ Đi qua M(1; 0; 5) và vuông góc với trục Ox.
5/ Đi qua điểm M(1; 3;
–2) và vuông góc với đường thẳng M
1
M
2
với M
1
(0; 2; –3)
và M
2
(1; –4; 1).
6/ Qua A(-1; 1; 2) và vuông góc với BC, trong đó B(3;
–1; 0), C(2; 1; 1)

14/ Qua A(2; -4; 0), B(5; 1; 7), C(-1; -1; -1).
15/ Chứa tam giác ABC với A(1; -1; 2), B(-3; 0; 4), C(1; 1; 0).
16/ Qua A(1; 2; 1), B(0; 1; 2) và vuông góc với mặt phẳng x - 2y + z + 3 = 0.
17/ Qua P(3; 1; -1), Q(2; -1; 4) và vuông góc với mặt phẳng 2x
– y + 3z – 1= 0.
18/ Chứa Oz và qua R(2; 1; 0).
19/ Chứa Ox và qua M(4; 1; 2).
20/ Qua M(2; -1; 2) song song với Oy và vuông góc với mặt phẳng
(R) 2x - y + 3z + 4 = 0.
21/ Qua P(8; -3; 1), Q(4; 7; 2) và vuông góc với mặt phẳng 3x + 5y - 7z - 21 = 0.
22/ Qua I(3; -1; 5) và vuông góc với MN, trong đó M(4; 2; -1), N(1 ; -2, 3).
23/ Qua K(-1; -2; 5) đồng thời vuông góc với 2 mp (P
1
):x + 2y - 3z + 1 = 0 và
(P
2
):2x - 3y + z + 1 = 0.
24/ Qua M(1; 0; -2) và vuông góc với 2mp (P
1
): 2x + y – z – 2 = 0 và
(P
2
): x - y - z - 3 = 0.
25/ Qua A(2; 1; 1), B(3; 2; 2) và vuông góc với mặt phẳng x + 2y - 5z - 3 = 0.
26/ Qua A( 1; 0; 2), song song với
(
)
1;3;2=a
và vuông góc với mặt phẳng
(T) : 2x - y - 5z = 0.

Đt : 0914449230 Email :
13
(P) : đi qua A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)
có dạng:
1=++
c
z
b
y
a
x

Chú ý :
……………….……………… ………………
……………… ……………… ………………

z
x
A
y
C
O
B b
Ví dụ 6 :
lập phương trình mp (P) đi qua M(1;2;3) và cắt Ox, Oy, Oz lần lượt
tại A,B,C có tọa độ dương sao cho thể tích tứ diện O.ABC nhỏ nhất
Giải :
O.ABC
1a.b.c
VOA.OB.OC

abc
V27 b6
c9
123
abc3
abc
⎧
=
⎧
⎪⎪
=
⎨⎨
⎪⎪
++=
⎪
= ⇔ ⇔===⇔
==
=
⎩
xyz
(P): 1
369
++=
Vậy
⎪
⎩
Ví dụ 7 : lập phương trình mp (P) đi qua M(1;2;3) và cắt Ox, Oy, Oz lần lượt
tại các điểm A,B,C có tọa độ là số dương sao cho tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ
diện O.ABC là I(1;1;1)
Giải : từ trung điểm E của AB ta dựng trục d của

xyz
(P): 1 x y z 2 0
222
+ + =⇔++−=

Bài tập 31:
a/ Lập phương trình mp (P) đi qua M(1;2;3) và cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A,B,C
tọa độ dương sao cho OA = 2OB = 3OC
(ĐS :
xyz
(P): 1
14 7 14
+
+=
)
b/ Lập phương trình mp (P) song song với (R) x + y + z + 2 = 0 và (P) cắt Ox, Oy,
Oz lần lượt tại A,B,C khác gốc O sao cho thể tích tứ diện O.ABC bằng 1/6
(ĐS :
(P): x y z 1 0 x y z 1 0
+
++=∨++−=
)
c/ Lập phương trình mp (P) đi qua M(
– 1;2;4) và cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại
A,B,C tọa độ dương sao cho OA = OB = OC
(ĐS :
(P): x y z 5 0
+
+−=
)

zyxM
Đt : 0914449230
14
Email :

.
D
222
000
CBA
CzByAx
MHd(M,(P))
++
+++
==

VD : M
H
GV. Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN 2. Khoảng cách giữa hai mp // là khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng
này đến mặt phẳng kia
Đt : 0914449230 Email :

về cùng một phía của (P):.
- Nếu
0)).((
<
+
+
+
+++ DCzByAxDCzByAx
BBBAAA
thì A và B nằm
về hai phía của (P):.
Bài tập 33: Tính khoảng cách từ một điểm đến mp(P):
a/ A(2; 0; 1), (P):
xyz20
+
+−=
. b/ B(–2; 3; 0), (P):
2x y 3z 1 0++ +=
.
Bài tập 34: Tính khoảng cách từ mp(Q) đến mp(P):
(P): và (Q):
4x 3y 5z 8 0+−−= 4x 3y 5z 12 0
+
−+=
.
Bài tập 35: Cho mặt phẳng
)(

23
2
m17
23 4m
14
m6m90 m3
−
⇔++−=
⇔−+=⇔=

Vậy :
M(0;0;3)
Bài tập 36:
a/ Tìm điểm trên trục Oy cách đều hai mp (P):
xyz10
+
−+=

M
A
và (Q): (ĐS :
xyz50−+−=
(
)
M0; 3;0−
)
GV. Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
b/ Tìm điểm trên trục Ox cách mp (P):
2x y 2z 3 0
+

(
)
dI,P R=

H là

Và (P)
Ví dụ 9 : lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I(-2;1;1) và tiếp xúc với mặt
phẳng (P) :
x2y2z110+−+=
Giải : (P) chính là tiếp diện của (S) và

()
()
()
2
22
22211
RdI,P 3
12 2
−+ − +
==
++−
=
nên (S) :
()()()
222
x2 y1 z1 9
+
+− +− =

H
GV. Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
(P) :
()()()
0x 3 4y 6 1z 2 0 4y z 26 0−+ −− +=⇔ −− =
Đt : 0914449230 Email :
17
Bài tập 39: Viết pt mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu ( )
a) Tiếp xúc với mặt cầu: tại điểm M(– 1; 3; 0).
24)2()1()3(
222
=++−+− zyx
05426
222
=++−−++ zyxzyx
49)2()3()1(
222
=−+++− zyx
222
xyz2x4y6z20
b) Tiếp xúc với mặt cầu: tại M(4; 3; 0).
c) Tiếp xúc với mặt cầu: tại M(7;
– 1; 5).
Bài tập 40: Viết pt mặt phẳng
a) Tiếp xúc với mặt cầu:
022222
222
=−−−−++ zyxzyx
và song song với mp: 3x
– 2y + 6z + 14=0.

QP ≠==⇔

2.
''''
)()(
D
D
C
C
B
B
A
A
QP ===⇔≡

3.
(P) .CC'BB'AA'(Q) 0
=
+
+⇔⊥

4.
''
)()(
B
B
A
A
QP ≠⇔∩
hoặc

a) 2x
– 7y + mz + 2; 3x + y – 2z + 15. b) 4x - 3y - 3z = 0; mx + 2y – 7z – 1 = 0.
GV. Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
c) 3x - 5y + mz - 3 = 0; x + 3y + 2z + 5 = 0.
d) 7x - 2y - z = 0; mx + y - 3z - 1 = 0.
Bài tập 43: Xác định m, n,
λ
để các cặp đường thẳng sau song song với nhau:
a) 3x + my
– 2z – 7 = 0; nx + 7y – 6z + 4 = 0.
b) 5x
– 2y + mz – 11 = 0; 3x + ny + z – 5 = 0.
c) 2x + my + 3z
– 5 = 0; nx – 6y – 6z + 2 = 0.
d) 3x
– y + mz – 9 =0; 2x + ny + 2z – 3 = 0.
Bài tập 44: Viết phương trình mặt phẳng:
a) Qua M(1; 3;
– 2) và song song với mặt phẳng 2x + 2y – 5z + 1 = 0
b) Qua gốc toạ độ và song song với mặt phẳng 6x
– 5y + z – 7 = 0.
c) Qua M(2;
– 3; 1) và song song với mặt phẳng (Oyz).
d) (P) song song với mp (Q) : 2x – 3y – 6z – 14= 0 và khoảng cách từ O
đến (P) bằng 5 e) (P) song song với mp (Q) : 2x – 3y – 5z + 1= 0 và khoảng cách từ M(–1;
3; 1) đến (P) bằng 3



d/ A(1; 2; 1), B(–2; 1; 3), C(2; –1; 1), D(0; 3; 1). Viết pt mp (P) đi qua A,B sao
cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P).
(ĐH Khối B – 2009)

e/ Lập pt mp (P) qua điểm A(5; 2; 0) đồng thời khoảng cách từ B(6; 1; –1) đến
(P) bằng 1 và khoảng cách từ C(0; 5; 4) đến (P) bằng 3.
f/ Viết ptmp (P) qua A(–1; 1; 1) , B(3; 0; 2) và khoảng cách từ C(1; 0; –2) đến
(P) bằng 2. ĐS :
−+=∨++−=

+
Chú ý : Cách nhận biết. …………………………
………………………………………………………………………………………

GV. Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
Phần 4: Phương trình đường thẳng
A. Phương trình đường thẳng
1. Phương trình tổng quát của đường thẳng d :
⎩
⎨
⎧
=+++
=+++
(Q) 0''''
)( 0
DzCyBxA

0
0
0
P
Q
d
là đường thẳng qua và có vectơ chỉ phương
);;(
0000
zyxM
(
)
ua; b; c=
r

3. Phương trình chính tắc:
c
zz
b
yy
a
xx
000
−
=
−
=
−

là đường thẳng qua và có vectơ chỉ phương

⎧
=−++
=+−+
0626
07433
zyx
zyx
⎩
⎨
⎧
=−
=−+
02
01
y
zx
Soạn : a/ b/ c/
⎩
⎨
⎧
=−++
=+−+
01
032
zyx
zyx
⎩
⎨
⎧
=+−

soạn : b/ Qua hai điểm A(1; 2; –7) và B(1; 2; 4).
c/ Qua hai điểm A(
–2; 1; 3) và B(4; 2; –2).
d/ Qua A(2; 1; 0) và B(0; 1; 2).
e/ Qua hai điểm A(1;
–1; 0) và B(0; 1; 2).
d) Qua (3; 4; 1) và song song với đường thẳng (d): x = 1 + 25t, y =
– 4t, z = 5 + 3t.
e) Qua (2; 0;
–5) và song song với đường thẳng (d):
.
3
2
2
5
0
1 −
=
−
+
=
−
zyx

f) Qua M(1; 2; 3) và song song với trục Ox.
g) Qua M(1; 2; 3) và song song với trục Oy.
h) Qua M(1; 2; 3) và song song với trục Oz.
i) Qua A(1; 3;
–1) và song song với vectơ
).1;2;1( −=a

x
t
yt
zt
=− +
⎧
⎪
=−
⎨
⎪
=− +
⎩
.
n) Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(
–1;0;2) và song song với đường
thẳng d’:
32
13
14
x
t
yt
zt
=− −
⎧
⎪
=+
⎨
⎪
=− −

⎨
−
⎪
⎩
x= 7+3t
y1 z13x5
: , d': y= 1+2t
232
z=8
d
.
b/ (
ĐHBK HN 98). Cho đường thẳng d:
x12t
y2t
z3t
=
+
⎧
⎪
=
−
⎨
⎪
=
⎩
và mp(P): 2x – y – 2z +1=0.
Tìm tọa độ các điểm thuộc d sao cho khoảng cách từ mỗi điểm đó đến mặt phẳng
(P) bằng 1.
c/ (

zz ct
. Ghi chú : Cho đường thẳng d có phương trình tham số:
Cần nhớ:
+ Đường thẳng là tập hợp vô số điểm.
(
)
+ Nếu chọn điểm M thuộc d thì điểm M có tọa độ là:
000
Mx at;y bt;z ct++
.
+
d/ (CĐ Kinh Tế - 2007) . Cho đường thẳng d:
x3 y1 z5
212
−
−−
==
và mp (P):
x
+ y – z – 1 = 0. Tìm tọa độ các điểm M thuộc d sao cho khoảng cách từ mỗi điểm
đó đến mặt phẳng (P) bằng
3
.
e/ (
ĐH Khối D – 2007) . Cho đường thẳng d :
x1 y2 z
112
−
+
=

và
mp (P): 2x
– y + 2z –2 = 0. Viết phương trình mặt phẳng chứa d và vuông góc với
(P). Tìm điểm M thuộc d sao cho M cách đều gốc tọa độ O và (P).
h/ Trong hệ trục tọa độ Oxyz tìm điểm M thuộc đường thẳng
(d): x = 1 + t, y =
– t, z = 2 – t và cách mp (Q) : 2x – 2y + z + 1 = 0 một khoảng là 1
k/
(soạn) Tìm điểm A thuộc d:
12
2
3
xt
y
t
zt
=
+
⎧
⎪
=
−
⎨
⎪
=
⎩
sao cho khoảng cách từ A đến
(P): 2x
– y – 2z + 1=0 bằng 1.
l/ Tìm điểm M thuộc

(soạn) Cho M(–2;3;1) và d:
xt
y53t
z42t
=−
⎧
⎪
=
+
⎨
⎪
=
+
⎩
. Tìm N thuộc d sao cho MN=
11
.
B. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Cho mp
)(
α
có vectơ pháp tuyến
(
)
nA; B; C=
r
đường thẳng (d) có vectơ chỉ
phương
()
ua; b; c=

2. Hệ có nghiệm duy nhất
).()(
α
∩
⇔
d

3. Hệ có vô số nghiệm
).()(
α
⊂⇔ d

Bài tập 51 : Xét vị trí tương đối của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P):
Đt : 0914449230 Email :
22
GV. Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
a) (d):
1
1
3
9
4
12 −
=
−
=
− zyx
; (P): 3x + 5y – z – 2 = 0.
b) (d):
34

=
−
=
− zyx
; (P): 3x – y + 2z – 5 = 0.
f) (d): ; (P): 5x
– z – 4 = 0.
⎩
⎨
⎧
=−+−
=+++
062
016753
zyx
zyx
g) (d): ; (P): y + 4z + 17 = 0.
⎩
⎨
⎧
=+++
=−++
05
010632
zyx
zyx
h) (d): x = 2t, y = 1
– t, z = 3 + t; (P): x + y + z – 10 = 0.
Bài tập 52 : Viết phương trình mặt phẳng (α) trong các truờng hợp sau :
a/ Chứa đường thẳng d:

y2t
z3t
=−
⎧
⎪
=+
⎨
⎪
=−
⎩
biết A(1;2;3), B(1;
–2; –3).
c/ Chứa hai đường thẳng d:
x12t
y2t
z3t
=
−
⎧
⎪
=
+
⎨
⎪
=
−
⎩
và d’:
x1t
y

GV. Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ pt:
0
0
0
Ax+By+Cz+D=0
=+
⎧
⎪
=+
⎪
⎨
=+
⎪
⎪
⎩
xx at
yy bt
zz ct
Giải hpt tìm t x, y, z H.
⇒ ⇒
Bài tập 53 : Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng:
1/ d: và mp(P): 2x + y + 2z=0.
1
3
2
xt
y
zt
=+

==
−
và mp(P): 2x + y – z – 5 = 0.
4/ d:
21
23
1
5
x
yz−+
==
−
−
và mp(P): 2x + y + z – 8 = 0.
Đt : 0914449230 Email :
24
Soạn : a/ d:
2
12
2
x
t
yt
zt
=− +
⎧
⎪
=+
⎨
⎪

kx y z 1 0
+−+=
⎧
⎨
−++=
⎩
(ĐS : k = 1)
Bài tập 55 : Các dạng nâng cao
a/ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2;
–1;0), vuông góc và cắt
đường thẳng (d) :
(ĐH Thương Mại – 2000)
5x y z 2 0
xy2z10
+++=
⎧
⎨
−+ +=
⎩
GV. Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
b/
1
x2 y2 z1
(d ):
341
−+
==
−
,
2

−=
⎧
⎨
−+−=
⎩
(ĐS : 11x – 2y – 15z –3 = 0)
d/ Lập phương trình đường thẳng qua M(1; 5; 0) và cắt cả hai đường thẳng
và
(ĐH XDHN – 94)
1
2x z 1 0
(d ):
xy40
−−=
⎧
⎨
+−=
⎩
2
3x y 2 0
(d ):
yz20
+−=
⎧
⎨
−−=
⎩
(ĐS :
x1 y5 z
():

2
−
−
Δ= =
−
−
)
f/ Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d:
24
224
xyz
xyz
0
0
−
+−=
⎧
⎨
+
−+=
⎩
và
d’:
1
2
12
x
t
y
zt

−
+
==
−
,
d’:
. Viết phương trình đường thẳng
x12
y1t
z3
=− +
⎧
⎪
=+
⎨
⎪
=
⎩
t
Δ
vuông góc với mặt phẳng (P) và
cắt cả hai đường thẳng d và d’
k/
(ĐH Khối D – 2006) Cho điểm A(1; 2; 3) và hai đường thẳng d:
Đt : 0914449230 Email :
25