www.VNMATH.com
1

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.
Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục toạ độ vuông góc Oxyz
trong không gian z

k
i
O

j
y
x

 O ( 0;0;0) gọi là góc toạ độ .
 Các trục tọa độ:
 Ox : trục hoành.
 Oy : trục tung.
 Oz : trục cao.
 Các mặt phẳng toạ độ:
 (Oxy), (Oyz), (Oxz) đôi một
vuông góc với nhau.


 
,
j k

 
,
k i

 
.

. 0
i j

 
,
. 0
j k

 
,
. 0
k i

 
.

,
i j k

 M

Oz

M(0;0;z)
 M

(Oxy)

M(x;y;0)
 M

(Oyz)

M(0;y;z)
 M

(Oxz)

M(x;0;z)
 Tọa độ của điểm:
. . . ( ; ; )
   
   
OM xi y j zk M x y z

 Tọa độ của vectở:
1 2 3 1 2 3
. . . ( ; ; )
    

; ;    
 
a b x x y y z z

3. Tích của vectơ với một số thực là một vectơ.





1 1 1 1 1 1
. . ; ; ; ; 

k a k x y z kx ky kz

4. Độ dài vectơ. Bằng
     
2 2 2
hoaønh tung cao
 


2 2 2
1 1 1
  

a x y z
.
5. Vectơ không có tọa độ là:
www.VNMATH.com

. . . .
  
 
a b x x y y z z

. 0
  
   
a b a b

8. Góc giữa hai vectơ: Bằng tích vô hướng chia tích độ dài.

 
.
os a,
.

 
 
 
a b
c b
a b
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
. . .
.
x x y y z z
x y z x y z

2) Độ dài đoạn thẳng AB bằng đồ dài

AB
:
     
2 2 2
      

B A B A B A
AB AB x x y y z z
.
Chú ý: Độ dài đoạn thẳng AB hay còn gọi là khoảng cách giữa hai điểm A và B.
3) Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là:
A B
I
A B
I
A B
I
x x
x
2
y y
y
2
z z
z
2



),B( x
B
, y
B
, z
B
), C( x
C
, y
C
, z
C
).
Khi đó toạ độ trọng tâm G của

ABC là:
 
3
; ;
3
3
 




 

 


. Khi đó:
www.VNMATH.com
3


1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
, ; ;
 
 

 
 
 
 
y z z x x y
a b
y z z x x y

 Hai vectơ

a
,

b
cùng phương
, 0
 
 
 

, ,c
  
a b
không đồng phẳng
, .c 0
 
 
 
  
a b
.
6) Chứng minh hai vectơ cùng phương.
 Cách 1:


a
và

b
cùng phương
.
 
 
a k b
.


a
và



1 1 1
x ,y ,z 0


 Cách 3:


a
và

b
cùng phương
a,b 0
 
 
 
  
.
CÁC DẠNG BÀI TẬP CHỨNG MINH
Vấn đề1: Chứng minh ba điểm thẳng hàng. Ba điểm không thẳng hàng.
Dạng 1: Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng:
Cần nhớ Phương pháp
C
BABa điểm A, B, C thẳng hàng

hai vectơ

, 0;0;0 0
 
 
 
  
AB AC
.
Bước 3: Kết luận hai vectơ
,
 
AB AC
cùng
phương, nên ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Dạng 2: Chứng minh ba điểm A, B, C KHÔNG thẳng hàng:
Cần nhớ Phương pháp
C
B
A

Để chứng minh ba điểm A,B,C KHÔNG thẳng
hàng ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tính


 
; ;
; ;




 
 
 
  
AB AC

phương, nên ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

Chú ý: Ba điểm không thẳng hàng chính là ba
đỉnh của một tam giác. Vấn đề 2: Chứng minh bốn điểm đồng phẳng, bốn điểm không đồng phẳng.
Dạng 1: Chứng minh bốn điểm A, B, C, D KHÔNG đồng phẳng.
Cần nhớ Phương pháp
D
C
B
A

Bốn điểm A, B, C, D không đồng
phẳng


, ,
  
AB AC AD
đồng phẳng

, . 0

, ; ;
, . 0
 

 
 
 
 
 
  
AB AC
AB AC AD
.
Bước 3: Vậy ba vectơ
, ,
  
AB AC AD
không đồng
phẳng, nên bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

Chú ý:
 A, B, C, D không đồng phẳng khi đó A, B, C, D là bốn đỉnh của 1 tứ diện ABCD.
 Vậy để chứng minh bốn điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện ta đi chứng
minh bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng
Dạng 3: Chứng minh bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng.
Cần nhớ Phương pháp
D
C
B
A





AB
AC
AD
.
Bước 2: Tính
 
, ; ;
, . 0
 

 
 

 
 
  
AB AC
AB AC AD
.
www.VNMATH.com
5

phẳng là bốn điểm thuộc một mp.
Bước 3: Vậy ba vectơ
, ,
  

0
) trên trục Oy là: M(0;y
0
;0)
 Hình chiếu vuông góc của điểm
M(x
0
;y
0
;z
0
) trên trục Oz là: M(0;0;z
0
)
2. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của
điểm M(x
0
;y
0
;z
0
) trên các phẳng tọa độ.
Phương pháp
 Hình chiếu vuông góc của điểm
M(x
0
;y
0
;z
0

Cần nhớ Phương pháp

Thể tích của khối tứ diện ABCD
A
 
 
  
1
V = AB, AC .AD
6 D
B

C Bước 1: Tính


 
 
; ;
; ;
; ;






Vấn đề 5: Diện tích tam giác.
Diện tích tam giác ABC 
 
 
ABC
1
S = AB, AC
2
 

A
B C
Chú ý: Diện tích không âm.
Bước 1: Tính


 
; ;
; ;






MẶT CẦU
Vấn đề 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu.
Dạng 1 Dạng 2
MC (S):






     
2 2 2
2
x a y b z c R

Mặt cầu (S):
2 2 2
x y z 2ax-2by-2cz+d=0
  

www.VNMATH.com
6

Có tâm I(a;b;c) và bán kính R
Có tâm I(a;b;c) với
he ä soá x
a
-2
he ä soá y



     
2 2 2
2
x a y b z c R

Loại 1: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và bán kính R=m (với m là số thực).
Phương pháp:
 Pt mặt cầu (S):






     
2 2 2
2
x a y b z c R
(*).
 Mặt cầu có tâm I(a;b;c), bán kính R=m.
 Thế tâm I và bán kính R vào pt (*).
Loại 2: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và đường kính bằng n (với n là số thực).
Phương pháp:
 Pt mặt cầu (S):






.
 Thế tâm I và bán kính R vào pt (*).
Chú ý: Điểm A thuộc mặt cầu nên khoảng cách từ A đến tâm bằng với bán kính R hay độ dài
đoạn thẳng IA bằng với bán kính R.
Loại 4: Mặt cầu có đường kính AB.
Phương pháp:
 Pt mặt cầu (S):






     
2 2 2
2
x a y b z c R
(*).
 Gọi I trung điểm AB


I ; ;


 Mặt cầu có tâm I(a;b;c)
 Bán kính R=
IA IA



x a y b z c R
(*).
Mt cu cú tõm I(a;b;c).
Do mt cu tip xỳc mp(P) nờn:

0 0 0
2 2 2
Ax By Cz D
R d I,(P)
A B C

Th tõm I v bỏn kớnh R vo pt (*). Dng 2: Lp phng trỡnh mt cu dng:
2 2 2
x y z 2ax-2by-2cz+d=0

.
Loi 1: Lp phng trỡnh mt cu qua bn im A, B, C, D.
Phng phỏp.
Pt mt cu (S) cú dng:
2 2 2
x y z 2ax-2by-2cz+d=0

(*)
Vỡ A, B, C, D thuc (S):






Vỡ tõm I(a;b;c) thuc (P) nờn th ta a;b;c vo pt ca (P) ta c phng trỡnh th
t. Ta gii h bn pt, ta tỡm c a,b,c,d.
VN 3: PHNG TRèNH MT PHNG
Dng 1: Vit pt mp bit im thuc mp v vect phỏp tuyn.
Loi 1: Mt phng (P) qua im


0 0 0
M x ;y ;z
v cú
vect phỏp tuyn


n A;B;C


.
Phng phỏp:

M

n


P)

0 0 0
M x ;y ;z
và song
song hoặc chứa giá của hai vectơ
a , b
 
.
Phương pháp:
 Mặt phẳng (P) qua điểm


0 0 0
M x ;y ;z
.
 Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là




a= , b

 

 Mặt phẳng (P) có VTPT
n a,b
 

 
  
.





0 0 0
A x x B y y C z z 0
     
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B,
C.
Phương pháp:
 Mặt phẳng (P) đi qua A.
 Mặt phẳng (P) có VTPT:
n AB,AC
 

 
  
.
 Pt(P):






0 0 0
A x x B y y C z z 0



0 0 0
A x x B y y C z z 0
     
.
 Chú ý: Hai mp song song cùng vectơ pháp
tuyến.

a


b


,
n a b
 

 
  

P)
Q)
M


Q
n


)

Q
)


A
www.VNMATH.com
9

 Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P)
là:
Q
AB n
 
 
.
 Nên mp(P) có VTPT:
Q
n AB,n
 

 
  
.
 Ptmp(P):










0 0 0
A x x B y y C z z 0
     

Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A và đường thẳng d.
Phương pháp:
 Chọn điểm M thuộc đt d.
 Mặt phẳng (P) qua điểm A.
 Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là:
d
AM a
 
 
.
 Nên mp(P) có VTPT:
d
n AM,a
 

 
  
.






0 0 0
A x x B y y C z z 0
     
. Dạng 9: Viết phương trình mp (P) đi qua điểm M và vuông góc với hai mp (Q) và (R).
Phương pháp:
 Mặt phẳng (P) qua điểm M.
 Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là:
Q R
n ,n
 
 
.
 Nên mp(P) có VTPT:
Q R
n n ,n
 

 
  
.
 Ptmp(P):



 
.
 Ptmp(P):






0 0 0
A x x B y y C z z 0
     Dạng 2: Viết pt mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến


n m;n;p


và tiếp xúc mặt cầu (S).
Phương pháp:
 Trước tiên: Ta xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu.
 Ptmp(P) có dạng: Ax+By+Cz+D=0.
Vì mp(P) có VTPT


n m;n;p


 Điều kiện tiếp xúc:
Đường thẳng d tiếp xúc mặt cầu (S)

( , )
d I d R
 Vấn đề 5: Khoảng cách:Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
Khoảng cách từ điểm M(x
0
;y
0
;z
0
) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 là

0 0 0
2 2 2
A
( ,( ))
x By Cz D
d M P
A B C
  

 

 Đường thẳng d có VTCP:
d d'
a a

 
.
 Pt tham số:
0
0
0
 


 


 

x x at
y y bt
z z ct
.
Chú ý: Hai đường thẳng song song cùng vectơ chỉ phương.
r = d(I,(P))

I
P)
www.VNMATH.com
11


 


 


 

x x at
y y bt
z z ct
và mp(P): Ax+By+Cz+D=0.
Phương pháp:
 Gọi H là giao điểm của d và (P).
 Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ pt:
0
0
0
Ax+By+Cz+D=0
x x at
y y bt
z z ct
 


 


 
Cần nhớ: Hình chiếu vuông góc của M lên (P) chính là giao điểm của đường thẳng d đi qua M
và vuông góc với (P).
VẤN ĐỀ 9: TÌM ĐIỂM M’ ĐỐI XỨNG VỚI M QUA MP(P).
Phương pháp:
 Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và
vuông góc với mp(P).
 Tìm giao điểm H của d và (P).
 Do M và M’ đối xứng qua (P) nên H là trung điểm của
đoạn thẳng MM”.


M

H
)
P

d


M


H

)

 




    
 
 
 
 




M
M
H
H M
M
M
M
H H M
M
H M
M
M
M
H
x x
x

www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com

VẤN ĐỀ 11: TÌM ĐIỂM M’ ĐỐI XỨNG VỚI M QUA đường thẳng d.
Phương pháp:
 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và
vuông góc với đường thẳng d.
 Tìm giao điểm H của d và (P).
 Do M và M’ đối xứng qua d nên H là trung điểm
của đoạn thẳng MM’.
/
/
/
/
/
/
2
2
2
2
2
2





 


y y y y
z z z
z z
z

M’=

Cần nhớ: Hai điểm M và M’ đối xứng nhau qua d khi đó H là trung điểm của đoạn thẳng MM’.
VẤN ĐỀ 12: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG.
Phương pháp:


M



H

P)
(d)


M


M


H
P)

cùng phương khi đó d song song với d hoặc d trùng với d’.
o Nếu M thuộc d mà không thuộc d’ thì d song song d’.
o Nếu M thuộc d và cũng thuộc d’ thì d trùng với d’.
 Nếu
a,a' 0
 

 
  
thì
a,a'
 
không cùng phương khi đó d cắt d’ hoặc d và d’ chéo nhau.
o Nếu
a,a' .MM' 0
 

 
  
thì d và d’ cắt nhau.
o Nếu
a,a' .MM' 0
 

 
  
thì d và d’ chéo nhau.

A +B +C +D=0
  x at y bt z ct
(*).Giải pt tìm t.
o Pt(*) có một nghiệm t

d cắt mp(P) tại một điểm.
o Pt (*) vô nghiệm

d song song với (P).
o Pt(*) có vô số nghiệm t

d nằm trong (P).

Chú ý:

0t 1 voâ nghieäm.
0t =-2 voâ nghieäm.


0t 0 voâ soá nghieäm


VẤN ĐỀ 14: CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH.
1/ Chứng tam giác ABC là tam giác vuông tại
A.
Cần nhớ: Tam giác ABC vuông tại A
AB AC AB AC AB.AC 0
     
   



 Nếu tam giác ABC vuông tại C
C CB CA CB CA.CB 0
      
   

2/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’
VUÔNG GÓC với nhau.
Cần nhớ:
d d' d d'
d d' a a a .a 0
    
   

Phương pháp:
 Đường thẳng d có VTCP:
a

=
 Đường thẳng d’ có VTCP:
a'

=
 Tính
a.a H.H T.T C.C 0
   
 

 Suy ra:
a a

 Ta chứng minh
a,a' 0
 

 
  
.
Bước 2: Chọn điểm M thuộc d rồi chứng minh M không thuộc d’. Rồi kết luận.
Cách 2:
Bước 1: Lập tỉ số: Tức là


 
1 2 3
1 2 3
a a ;a ;a
a' a' ;a' ;a'




cùng phương
3
1 2
1 2 3
a
a a
a' a' a'
  
.

  
, lập pt hoặc hệ pt để tìm m.

6/ Tìm giao điểm của hai đường thẳng:
d:
0
0
0
 


 


 

x x at
y y bt
z z ct
và d’:
0
0
0
' ' '
' ' '
' ' '
 


 

z ct z c t
(*)
Bước 2: Để giải hệ (*) ta đi giải hệ gồm pt (1) và (2), rồi thế t và t’ vào pt(3) thử lại.
 Giải hệ pt
0 0
0 0
' ' ' (1)
' '
' ' ' (2) ' '
  
 



 
    


x at x a t
at a t m
y bt y b t bt b t n
. Tìm t và t’.
 Thế t và t’ vào pt (3) nếu thỏa thì t và t’ là nghiệm của hệ (*), nếu không thỏa thì hệ
(*) vô nghiệm.
 Thế t và t’ vào pt của d hoặc của d’ để tìm tọa độ giao điểm I. 7/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ CẮT nhau.
Cách 1:
 Chỉ ra một điểm M thuộc d và một vectơ chỉ phương

www.VNMATH.com
16

Ch ra mt im M thuc d v mt vect ch phng
a'

ca d.
Chng minh:
a,a' .MM' 0




.
VN 15: KHONG CCH GIA HAI MT PHNG SONG SONG.
Cỏch tớnh:
tớnh khong cỏch gia hai mp song song (P) v (Q) ta lm nh sau:
Chn im M thuc (P).


0 0 0
2 2 2
Ax By Cz D
d P , Q d M, Q
A B C



Nu chn im M thuc d thỡ im M cú ta l:


0 0 0
M x at;y bt;z ct

.
VN 18: GểC.
1/ Gúc gia hai ng thng l gúc gia hai vect ch phng. a.a'
cos = cos a,a'
a . a'

Chỳ ý:
0 0
0 90

.
2/ Gúc gia hai mt phng l gúc gia hai vect phỏp tuyn. n.n'
cos = cos n,n'
n . n'



d d I, P

.
o TH1:
d r (P) (S)= .

(hay (P) v (S) khụng cú im chung).
o TH2:
d r (P) tieỏp xuực cụựi maởt cau (S).www.VNMATH.com
17

o TH3:
d r (P) cắt (S) theo thiết diện là mộ
t đường tròn (C).
 
P d
Điểm đi qua M(x ;y ;z )
VTPT n a







 

Cần nhớ: MP vng góc đường thẳng nhận VTCP của đt làm VTPT.
Bài 1: Viết phương trình mp(P) qua điểm A(2;2;-1) và vng góc với đt d:
x 1 2t
y 3t
z 2
 


 





 Cách xác định tâm và bán kính đường tròn(C).
- Gọi H là tâm của (C).
Khi đó H chính là giao điểm của đường thẳng d đi
qua tâm I và vng góc mp(P).


đgl vectơ pháp tuyến của
mp(P) nếu giá của
n

vng góc với (P), viết tắt là
n (P)


.
- Nếu hai vectơ
a, b
 
khơng cùng phương có giá song song hoặc nằm trên mp(P)
thì mp(P) có một vectơ pháp tuyến là:
P
n a,b
 

 
  
.
- Phương trình tổng qt của mp có dạng: Ax+By+Cz+D=0 với
2 2 2
A B C 0
  

- Phương trình mặt phẳng (P) qua điểm
0 0 0
M(x ;y ;z )


www.VNMATH.com
18

Bài giải
HD
P d
Ñieåm ñi qua A(2;2-1)
VTPT n a







 

- Mặt phẳng (P) qua điểm A(2;2;-1).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là


P d
n a 2; 3;0
  
 
.

làm vectơ pháp tuyến.
Bài 2: Viết phương trình mp(P) qua điểm A(2;2;-1) và vuông góc với đường thẳng
d:
x 1 y 2 z
1 2 2
 
 


Bài giải
HD
P d
Ñieåm ñi qua A(2;2-1)
VTPT n a







 

- Mặt phẳng (P) qua điểm A(2;2;-1).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là


P d
n a 1;2; 2
  


làm vectơ pháp tuyến.
Bài 3: Cho ba điểm A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;2).
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua B vuông góc với AC.
Bài giải
HD
P
Ñieåm ñi qua B(0;2;0)
VTPT n AC







 

- Mặt phẳng (P) qua điểm B(0;2;0).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là


P
n AC 2;0;2
  
 
.
-




Bài giải
HD
P
Ñieåm ñi qua B(0;2;0)
VTPT n BC







 

- Mặt phẳng (P) qua điểm B(0;2;0).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là


P
n BC 0; 2;2
  
 
.
-













 

- Gọi (P) là mp trung trực của đoạn thẳng AB.
- Gọi I là trung điểm của AB


I 2;2;2


- Mặt phẳng (P) qua điểm I(2;2;2).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là


P
n AB 2;2;2
 
 
.
-






.
- Trục Oy có VTCP là


j 0;1;0


.
- Trục Oz có VTCP là


k 0;0;1


.
- Mp (Oxy) có VTPT:


n i, j k 0;0;1
 
  
 
   
.
- Mp (Oyz) có VTPT:


n j,k i 1;0;0
 


- Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).
www.VNMATH.com
20

- Mặt phẳng (P) có VTPT là


P
n i 1;0;0
 
 
.
-






0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0
     





P
n j 0;1;0
 
 
.
-






0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0
     





       

x 1 1 y 2 0 z 3 0
y-2=0

Cần nhớ: Mp(P) vuông góc trục Oy nhận vectơ
j





0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0
     





       
  
x 1 0 y 2 1 z 3 0
z =0

Cần nhớ: Mp(P) vuông góc trục Oz nhận vectơ
k

làm vectơ pháp tuyến.
Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua ba điểm A, B, C

0 0 0
HD
P
Ñieåm ñi qua A(x ;y ;z )

- Mặt phẳng (P) qua điểm A(1;0;0).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là
P
n AB,AC
 

 
  

Với


 
AB 1;1;0
AC 1;0;1
 
 



www.VNMATH.com
21

P
n AB,AC 1;1;1
 
  

HD
P
Ñieåm ñi qua O, VTPT n OM,ON
 
 
 
  

- Mặt phẳng (P) qua điểm O(0;0;0).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là
P
n OM,ON
 

 
  

Với


 
OM 1;1;1
ON 1; 1;1

 




Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua một điểm
0 0 0
M(x ;y ;z )
và song
song với mp(Q)
0 0 0
HD
P Q
Ñieåm ñi qua M(x ;y ;z )
VTPT n n







 

Bài 1: Viết phương trình mp(P) qua điểm A(1;2;3) và song song với
mp(Q): 2x+2y+z=0.
Bài giải
HD
P Q
Ñieåm ñi qua A(1;2;3)
VTPT n n







       
       
     
x 1 2 y 2 1 z 3 0
x 2 2y 4 z 3 0
x 2y z 3 0

Cần nhớ: Hai mp song song cùng VTPT.
Bài 2: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Viết phương trình mp(P) qua điểm
M(1;2;3) và song song với mp(ABC)
Bài giải
HD
P ABC
Ñieåm ñi qua M
VTPT n n AB,AC




 
 

 

   

- Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).


-






0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0
     





      
      
    
x 1 1 y 2 1 z 3 0
x 1 y 2 z 3 0
x y z 6 0

Cần nhớ: Mp(ABC) có VTPT là
ABC
n AB,AC
 

 
   
.
-






0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0
     





       

x 1 0 y 2 1 z 3 0
z-3=0

Bài 4: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oxz).
Bài giải
 




0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0
     





       

x 1 1 y 2 0 z 3 0
y-2=0

Bài 5: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oyz).
Bài giải
 
HD
P
Ñieåm ñi qua M(1;2;3)
VTPT n j,k i 1;0;0




 






      

x 1 0 y 2 0 z 3 0
x-1=0

www.VNMATH.com
23

Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua hai điểm A, B và vuông góc
với mp(Q)
HD
P Q
Ñieåm ñi qua A
VTPT n AB,n




 


 

  




- Mặt phẳng (P) có VTPT là


P Q
: n AB,n 1;13;5
 
  
 
  

-






0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0
     






  




- Mặt phẳng (P) có VTPT là
P
n AB,k
 

 
  
=(-2;1;0)
-






0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0
     





i 1;0;0





www.VNMATH.com
24

- Mt phng (P) cú VTPT l
P
n OA,i




=(0;1;-1)
-






0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0


Dng 1: Vit phng trỡnh ng thng qua hai im A, B.

HD
AB
ẹieồm ủi qua A
VTPT a AB






Cn nh: ng thng AB cú vect ch phng l vect
AB

.
Bi 1: Vit phng trỡnh ng thng qua hai im A(1;2;3), B(2;1;4).
Bi gii
HD
AB
ẹieồm ủi qua A
VTPT a AB






z 3 t
z z ct
.
Bi 2: Cho ba im A(1;1;1), B(2;2;2), C(3;6;9). Gi G l trng tõm tam giỏc ABC. Vit
phng trỡnh ng thng OG.
Kin thc cn nh:
- Vect ch phng ca ng thng l vect cú giỏ song song vi ng thng hoc
trựng vi ng thng.
- ng thng d qua im
0 0 0
M(x ;y ;z )
cú vect ch phng


d
a a;b;c


:
Cú pt tham s:
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct






Bài giải
HD
OG
Ñieåm ñi qua O
VTPT a OG







 

- Ta có G(2;3;4)
- Đường thẳng OG qua điểm O(0;0;0).
- Đường thẳng OG có vectơ chỉ phương là:
OG
a OG

 
=(2;3;4).
- Pt tham số của OG là:
 
  

 
  
      




 

Bài 1: Viết pt đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) và vuông góc với mp(P): x-2y-z-1=0.
Bài giải
HD
d P
Ñieåm ñi qua M
VTPT a n







 

- Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3).
- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là:
d P
a n

 
=(1;-2;-1).
- Pt tham số của d là:
 
 


 
 

 

   

- Đường thẳng d qua điểm O(0;0;0).
- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là:
d ABC
a n AB,AC
 
 
 
   
=(1;1;1).
- Pt tham số của d là:
 



 
   
 
 

 

