DIEM10.COM Diễn Đàn Học Hành | Kênh tài liệu online

ℑ1.
TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ VECTƠ
TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ VECTƠ
A/. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I/. Tọa độ điểm : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz
1).
( )
M M M M M M
M x ;y ;z OM x i y j z k
⇔ = + +
uuuur r r r
2). Cho
( )
A A A
A x ; y ;z
và
( )
B B B
B x ; y ;z
ta có:
B A B A B A
AB (x x ;y y ;z z )
= − − −
uuur
2 2 2
B A B A B A
AB (x x ) (y y ) (z z )
= − + − + −
3). Nếu M chia đoạn AB theo tỉ số k

a (a ;a ;a )
=
r
và
1 2 3
b (b ;b ;b )
=
r
ta có :
•
1 1
2 2
3 3
a b
a b a b
a b
=


= ⇔ =


=

r r
•
1 1 2 2 3 3
a b (a b ;a b ;a b )
± = ± ± ±
r r

thì
2 3 3 1
1 2
2 3 3 1 1 2
a a a a
a a
a,b ; ;
b b b b b b
 
 
=
 ÷
 
 ÷
 
r r
2). Vectơ tích có hướng
c a,b
 
=
 
r r r
vuông góc vơi hai vectơ
a
r
và
b
r
.
3).

r
và
b
r
cùng phương
1 1
2 2
3 3
a kb
a,b 0 k R : a kb a kb
a kb
=


 
⇔ = ⇔ ∃ ∈ = ⇔ =

 

=

r r r r r

2).
a
r
và
b
r
vuông góc

b
r

⇔ ∃k,l ∈R sao cho
c ka lb= +
r r r
6). G là trọng tâm của tam giác ABC
A B C
G
A B C
G
A B C
G
x x x
x
3
y y y
y
3
z z z
z
3
+ +

=


+ +

⇔ =

e) Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A.
Bài 3: Cho
a (0;1;2); b (1;2;3); c (1;3;0); d (2;5;8)= = = =
r r r r
a)Chứng tỏ rằng bộ ba vectơ
a, b, c
r r r
không đồng phẳng.
b)Chứng tỏ rằng bộ ba vectơ
a, b, d
r r r
đồng phẳng, hãy phân tích vectơ
d
r
theo hai
vectơ
a, b
r r
.
c)Phân tích vectơ
( )
u 2;4;11
=
r
theo ba vectơ
a, b, c
r r r
.
Bài 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’biết A(0,0,0), B(1;0;0), D(0;2;0),
A’(0;0;3), C’(1;2;3).

3
.
b)Chứng minh rằng N
1
N
2
⊥ AN
3
.
c) Gọi P,Q là các điểm chia đoạn N
1
N
2
, OA theo tỷ số k xác định k để PQ//M
1
N
1
.
ℑ2. MẶT PHẲNG
A/. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
DIEM10.COM Diễn Đàn Học Hành | Kênh tài liệu online
I/. Phương trình mặt phẳng :
1). Trong không gian Oxyz phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0 với
A
2
+B
2
+C
2
≠0 là phương trình tổng quát của mặt phẳng, trong đó

;z
0
) và nhận
1 2 3
a (a ;a ;a )
=
r
và
1 2 3
b (b ;b ;b )
=
r
làm
cặp vectơ chỉ phương thì mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến :

2 3 3 1
1 2
2 3 3 1 1 2
a a a a
a a
n a,b ; ;
b b b b b b
 
 
= =
 ÷
 
 ÷
 
r r r

+ + +
α =
+ +
IV/. Góc gữa hai mặt phẳng
Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng : (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x
+ B’y + C’z + D’= 0.
Ta có :
P Q
P Q
2 2 2 2 2 2
P Q
n .n
A.A' B.B' C.C'
cos cos(n , n )
n . n
A B C . A ' B' C'
+ +
ϕ= = =
+ + + +
uur uur
uur uur
uur uur
(0
0
≤φ≤90
0
)
•
0
P Q

– z = 0 .
a) Chứng tỏ hai mặt phẳng cắt nhau,tính góc giữa chúng.
b) Lập phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và
(Q) đi qua A(-1;2;3).
c) Lập phương trình mặt phẳng (β) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và
(Q) và song song với Oy.
d) Lập phương trình mặt phẳng (χ) đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với hai
mặt phẳng (P)và (Q).
Bài 5: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x + 2y – z + 2 = 0 và điểm
M(2;1;-1).
a) Tính độ dài đoạn vuông góc kẽ từ M đến mặt phẳng (P).
b) Viết phương trình đường thẳng (d) qua M vuông góc với mặt phẳng (P).
c) Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M song song Ox và hợp với
mặt phẳng (P) một góc 45
0
.
Bài 6: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x + ky + 3z – 5 = 0 và (Q):
mx – 6y – 6 z + 2 = 0.
DIEM10.COM Diễn Đàn Học Hành | Kênh tài liệu online
a) Xác định giá trị k và m để hai mặt phẳng (P) và (Q) song song nhau,lúc đó
hãy tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng.
b) Trong trường hợp k = m = 0 gọi (d) là giao tuyến của (P) và (Q) hãy tính
khoảng cách từ A(1;1;1) đến đường thẳng (d).
ℑ3. ĐƯỜNG THẲNG
A/. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I/. Phương trình đường thẳng :
DIEM10.COM Diễn Đàn Học Hành | Kênh tài liệu online
1). Phương trình tổng quát của đường thẳng :
Ax By Cz D 0
A'x B'y C'z D' 0

1 2 3
a (a ;a ;a )
=
r
là vectơ chỉ
phương của đường thẳng.
3). Phương trình chính tắc của đuờng thẳng :
0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a
− − −
= =
Trong đó M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) là điểm thuộc đường thẳng và
1 2 3
a (a ;a ;a )
=
r
là vectơ chỉ
phương của đường thẳng.
II/. Vị Trí tương đối của các đường thẳng và các mặt phẳng:
1). Vị trí tương đối của hai đường thẳng :


∉∆


r ur r
• (∆) ≡ (∆’) ⇔
[a,a ']=0
M '



∈∆


r ur r
2). Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:
Cho đường thẳng (∆) đi qua M(x
0
;y
0
;z
0
) có VTCP
1 2 3
a (a ;a ;a )
=
r
và mặt phẳng
(α): Ax + By + Cz + D = 0 có VTPT
n (A;B;C)=

có VTCP
a
r
.
DIEM10.COM Diễn Đàn Học Hành | Kênh tài liệu online

∆ = =
Y
uuuuur r
r
0
[M M,a]
S
d(M, )
c.ñaùy
a
2). Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau :
(∆) đi qua M(x
0
;y
0
;z
0
) có VTCP
a
r
, (∆’) đi qua M’(x’
0
;y’
0

(∆’) đi qua M’(x’
0
;y’
0
;z’
0
) có VTCP
1 2 3
a (a ' ;a ' ;a ' )
=
r
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
a.a '
a .a ' a .a' a .a'
cos cos(a,a ')
a . a '
a a a . a ' a ' a '
+ +
ϕ= = =
+ + + +
r ur
r ur
r ur
2). Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng :
(∆) đi qua M
0
có VTCP
1 2 3



− + + =

Bài 2 : Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(0;1;1), B(-1;0;2), C(3;1;0) và một
đường thẳng (∆) có phương trình
4 2 1 0
3 5 0
x y z
x z
+ − + =


− + =

a) Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua ba điểm A,B,C.
DIEM10.COM Diễn Đàn Học Hành | Kênh tài liệu online
b) Viết phương trình tham số chính tắc tổng quát đường thẳng BC.Tính
d(BC,∆).
c) Chứng tỏ rằng mọi điểm M của đường thẳng (∆) đều thỏa mãn AM ⊥ BC,
BM ⊥ AC, CM ⊥ AB.
Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật có các đỉnh A(3;0;0),
B(0;4;0), C(0;0;5), O(0;0;0) và D là đỉnh đối diện với O.
a) Xác định tọa độ đỉnh D.Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (A,B,D).
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua D và vuông góc với mặt phẳng
(A,B,D).
c) Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (A,B,D). (TNPT năm 1999)
Bài 4: Cho hai đường thẳng:
x 2 t
x 2z 2 0

c) Viết phương trình đường thẳng (d) qua D vuông góc với mặt phẳng (ABC).
d) Tìm tọa độ điểm D’ đối xứng D qua mặt phẳng (ABC).
e) Tìm tọa độ điểm C’ đối xứng C qua đường thẳng AB.
Bài 7: Cho đường thẳng
2x y z 5 0
( ):
2x z 3 0
− + + =

∆

− + =

và mp (P) : x + y + z – 7 = 0
a) Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
b) Tìm tọa độ giao điểm của (∆) và (P).
c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của (∆) trên mp(P).
DIEM10.COM Diễn Đàn Học Hành | Kênh tài liệu online
Bài 8: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng (∆) và (∆’) lần lượt có phương
trình:
2x y 1 0 3x y z 3 0
;
x y z 1 0 2x y 1 0
+ + = + − + =
 
 
− + − = − + =
 
.
a) Chứng minh rằng hai đường thẳng đó cắt nhau tìm tọa độ giao điểm.

(x – a)
2
+ (y – b)
2
+ (z – c)
2
= R
2
.
2). Phương trình x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với A
2
+B
2
+C
2
–D>0 là
phương trình mặt cầu tâm I(-A;-B;-C), bán kính
2 2 2
R A B C D= + + −
.
II/. Vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng:
Cho mặt cầu (S) : (x – a)
2
+ (y – b)

2
+ y
2
+ z
2
– 2x – 4y – 6z = 0 và hai
điểm M(1;1;1) N(2;-1;5).
a) Xác định tọa độ tâm I và bán kính của mặt cầu (S).
b) Viết phương trình đường thẳng MN.
c) Tìm k để mặt phẳng (P): x + y – z + k = 0 tiếp xúc mặt cầu(S).
d) Tìm tọa độ giao điểm của mặt cầu (S) và đường thẳng MN. Viết phương
trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại các giao điểm.
Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho A(6;-2;3), B(0;1;6), C(2;0;-1), D(4;1;0)
a) Chứng minh rằng A,B,C,D là bốn đỉnh của tứ diện.
b) Tính thể tích tứ diện ABCD.
c) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A,B,C.
d) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Xác định tọa độ tâm
và bán kính.
e) Viết phương trình đường tròn qua ba điểm A,B,C. Hãy tìm tâm và bán kính
của đường tròn đó.
Bài 3: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x – 3y + 4z – 5 = 0 và mặt cầu
(S): x
2
+ y
2
+ z
2
+ 3x + 4y – 5z + 6 = 0.
DIEM10.COM Diễn Đàn Học Hành | Kênh tài liệu online
a) Xác định tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).

b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của
đường thẳng AB lên mặt phẳng(P).
Bài 7: Trong không gian Oxyz cho mp(P): x + y + z – 1 = 0. mp(P) cắt các trục tọa
độ tại A, B, C.
a) Tìm tọa độ A, B, C. Viết phương trình giao tuyến của (P) với các mặt tọa
độ. Tìm tọa độ giao điểm D của (d):
2 0
2 1 0
x y
x y z
+ − =


− + − =

với mp(Oxy). Tính thể tích tứ diện
ABCD.
b) Lập phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp ABCD. Lập phương trình đường
tròn ngoại tiếp ACD. Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó.
(TN THPT 2001-2002)
Bài 8: Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A, B, C, D có tọa độ xác định bởi :
A (2;4; 1), OB i 4j k, C (2;4;3), OD 2i 2j k
= − = + − = = + −
uuur r r r uuur r r r
.
DIEM10.COM Diễn Đàn Học Hành | Kênh tài liệu online
a) Chứng minh AB⊥AC, AC⊥AD, AD⊥AB. Tính thể tích khối tứ diện
ABCD.
b) Viết phương trình tham số của đường (d) vuông góc chung của hai đường
thẳng AB và CD. Tính góc giữa (d) và mặt phẳng (ABD).

DIEM10.COM Diễn Đàn Học Hành | Kênh tài liệu online
Để giải bài toán bằng phương pháp tọa độ trong không gian ta có thể chọn cho nó
một hệ trục tọa độ phù hợp rồi chuyển về hình học giải tích để giải.
Các bước chung để giải như sau:
B1: Chọn hệ trục tọa độ thích hợp.
B2: Chuyển các giả thiết của bài toán về HH giải tích.
B3: Giải bằng HH giải tích.
B4 : Kết luận các tính chất, định tính, định lượng của bài toán đặt ra.
B/. CÁC BÀI TẬP
Bài 1:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a
a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và B’D.
b) Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm BB’, CD, A’D’.Tính góc giữa hai đường
thẳng MP và C’N.
Bài 2:
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh bên và cạnh đáy bằng a .Tính góc hợp bởi
cạnh bên và mặt bên đối diện.
Bài 3:
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) đáy ABC là tam
giác vuông tại C. Cho SA = AC = CB = a
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB.
b) Tính góc giữa đường thẳng SA và mp(SBC).
Bài 4:
Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C. SA⊥(ABC), AC =
a, BC = b, SA = h. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và SB.
a) Tính độ dài MN.
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, h để MN là đường vuông góc chung của các
đường thẳng AC và SB.
Bài 5:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.Tính số đo của góc nhị diện [B,A’C,D].

2 2 2
x y z 1+ + =
tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của
F 2x 2y z 3= + − −
.

Bài 10*: Giải hệ phương trình:
2 2 2
6 2 2 2 0
2 2 6 0
x y z x y z
x y z

+ + − + − + =

+ + + =

.

Bài 11*: Giải hệ phương trình:
2 2 2
2 4 6 0
3 2 2 8 0
3 3 4 12 0
x y z x y z
x y z
x y z

+ + − − − =

Bài 14 Tìm a để hệ sau có nghiệm
2 2
4 3 2 0
x y a
x y

+ =

− + ≤

(ĐS:a≥4/25)
Bài 15 Cho hệ
2 2
( 1) ( 1) 2
0
x y
x y m

− + − ≤

− + =

xác định m để nghiệm đúng với mọi x∈[0;2]
(ĐSm=0)
Bài 16: Cho hệ phương trình
2 2
0
0
x y x
x ay a


+ =


Bài 18:

1 1 2 2
2 2
2 2
1 2 1 2
Giả sử (x ; ) ( ; ) là hai nghiệm của hệ phương trình
x 0
0
Chứng minh rằng (x -x ) + (y -y ) 1
y va ø x y
y x
x ay a

+ − =

+ − =

≤