TL ôn tập TN THPT – NH 2009-2010------------------------------------------------------------Chuyên đề: Hình học giải tích trong không gian
§ 1. TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Tọa độ điểm và véc tơ : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz:
1.
( ; ; )
M M M M M M
M x y z OM x i y j z k
⇔ = + +
uuuur r r r
2.
1 2 3
( ; ; )a a a a
=
r
⇔
1 2 3
a a i a j a k
= + +
r r r r
2. Bi ểu thức tọa độ các phép toán véc tơ
Trong không gian Oxyz Cho
1 2 3
( ; ; )a a a a
=
r
và
1 2 3
( ; ; )b b b b
=
r


=

r r
;
1 1
2 2
3 3
a b
a b a b
a b
=


= ⇔ =


=

r r
 Cho A(x
A
;y
A
;z
A
), B(x
B
;y
B

1 2 3
( ; ; )b b b b
=
r
là:

1 1 2 2 3 3
. . os(a; )a b a b c b a b a b a b
= = + +
r r r r r r

2 2 2
1 2 3
a a a a= + +
r
;
2 2 2
( ) ( ) ( )
B A B A B A
AB x x y y z z
= − + − + −

1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
. . .
s( , )
.
a b a b a b
co a b

+ y
2
+ z
2
+ 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với A
2
+B
2
+C
2
-D > 0
là phương trình mặt cầu tâm I(-A;-B;-C) , bán kính
2 2 2
r A B C D= + + −
.
B. BÀI TẬP:
Bài 1. Viết tọa độ của các vectơ say đây:
2a i j
→ → →
= − +
+
K3
;
7 8b i k
→ → →
= −
;
9c k
→ →
= −

→
c
b. Chứng tỏ
→
a
⊥

→
b
và
→
b
⊥

→
c
Bài 3. Cho 2 vectơ
→
a
= (1; 2; 3) Tìm tọa độ của vectơ
x
→
, biết rằng:
a)
0a x
→ → →
+ =
b)
4a x a
→ → →

04284
222
=−−++++
zyxzyx
c.
07524
222
=−−++−−−
zyxzyx
d.
03936333
222
=+−+−++
zyxzyx
Bài 7.Viết phương trình mặt cầu:
a. Tâm I(2;1;-1), bán kính R = 4.
b. Đi qua điểm A(2;1;-3) và tâm I(3;-2;-1).
c. Hai đầu đường kính là A(-1;2;3), B(3;2;-7)
d. Đi qua bốn điểm (0; 0; 0), A(2; 2; 3), B(1; 2; -4), C(1; -3; -1)
e. Đi qua điểm A(1;3;0) ,B(1;1;0) và tâm I thuộc 0x.
§ 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng:
•
n
r
≠
0
r
là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (α)

0
) + B(y-y
0
) + C(z-z
0
) = 0.
• Nếu (P) có cặp vectơ
1 2 3 1 2 3
( ; ; ),b ( ; ; )a a a a b b b= =
r r
không cùng phương và có giá song song
hoặc nằm trên (P) thì vectơ pháp tuyến của (P) được xác định

n
=
2 3 3 1
1 2
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
2 3 3 1 1 2
a a a a
a a
, ; ; ( ; ; )
b b b b b b
a b a b a b a b a b a b a b
 
 
= = − − −
 ÷
 
 

( )
α
song song mp (Oxy )
(Các trường hợp còn lại xét tương tự)
 A,B,C,D
0≠
. Đặt
, ,
D D D
a b c
A B C
= − = − = −
Khi đó
( ): 1
x y z
a b c
α
+ + =
3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Trong không gian Oxyz cho (
α
): Ax+By+Cz+D = 0, (
α
’):A’x+B’y+C’z+D’= 0
 (
α
)cắt (
α
’) ⇔ A : B : C ≠ A’: B’: C’
 (

BpH 2 Trường THPT Lấp Vò
2
TL ôn tập TN THPT – NH 2009-2010------------------------------------------------------------Chuyên đề: Hình học giải tích trong không gian
0 0 0
0
2 2 2
Ax By Cz D
d(M , )
A B C
+ + +
α =
+ +
B. BÀI TẬP
Bài 1. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có vtpt
n
r
biết
a. Điểm
( ) ( )
M 3;1;1 , n 1;1;2= −
r
b.
( ) ( )
M 2;7;0 , n 3;0;1− =
r
c,
( ) ( )
M 4; 1; 2 , n 0;1;3− − =
r
d,

b. Song song với các trục 0x, 0z.
c. Song song với các trục 0y, 0z.
Bài 6: Lập phương trình của mặt phẳng đi qua 2 điểm M(1;-1;1) và B(2;1;1) và :
a. Cùng phương với trục 0x.
b. Cùng phương với trục 0y.
c. Cùng phương với trục 0z.
Bài 7: Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) biết :
a. (P) đi qua điểm A(-1;3;-2) và nhận
);4,3,2(n
làm VTPT.
b. (P) đi qua điểm M(-1;3;-2) và song song với (Q): x+2y+z+4=0.
c. (P) đi qua I(2;6;-3) và trục Ox
Bài 8: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y - z - 6 = 0
a. Viết phương trình mp (Q) đi qua gốc tọa độ O và song song với mp (P).
b. Tính khoảng cách giữa (P) và (Q).
Bài 9*:
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y – z +5 = 0 và (Q): 2x – z = 0
a. Chứng tỏ hai mặt phẳng đó cắt nhau
b. Lập phương trình mặt phẳng (α) chứa giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) và đi qua A(-
1;2;3).
c. Lập phương trình mặt phẳng (β) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) và song song với
Oz.
d. Lập phương trình mặt phẳng (
γ
) đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với hai mặt phẳng (P) và
(Q).
Bài 10: Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:
a. Đi qua hai điểm A(0;-1;4) và song song với giá của hai véc-tơ
( )
3;2;1a

c. Chứng minh rằng A’C vuông góc (BB’D’D)
§ 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
2. Phương trình tham số của đường thẳng :
* Phương trình tham số của đường thẳng
∆
đi qua điểm M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) và có vec tơ chỉ phương
1 2 3
( ; ; )a a a a=
r
:
0 1
0 2
0 3
(t R)
x x a t
y y a t
z z a t
= +


= + ∈

3
'
: ': '
'
o
o
o o
o
x x a t
x x a t
d y y a t d y y a t
z z a t
z z a t

= +
= +



= + = +
 
 
= +
= +



d có vtcp
);;(
321





∉
=
'
'
.
dM
aka
⇔





ur
r
uuuuur
'
, cuøng phöông.
' khoâng cuøng phöông.
a a
MM
b. d ≡ d’ ⇔





+ = +

+ = +


+ = +

(I) có một nghiệm duy nhất.

BpH 4 Trường THPT Lấp Vò
2
TL ôn tập TN THPT – NH 2009-2010------------------------------------------------------------Chuyên đề: Hình học giải tích trong không gian

( )



∧


ur
r
ur
r uuuuur
'
'
, khoâng cuøng phöông.
'=0
a a
a a MM

= +

.
Xét hệ phương trình:
1
2
0 3
:
0
o
o
x x a t
y y a t
d
z z a t
Ax By Cz D
= +


= +


= +


+ + + =

(1)
 Hệ Phương trình (1) vô nghiệm thì d // (α)
 Hệ Phương trình (1) có một nghiệm thì d cắt (α). Nghiệm (x; y; z) của hệ (1) là tọa

= + ∈


= +

x t
d y t
z t
Bài 3: Viết phương trình tham số, chính tắc của đường thẳng (d) trong trường hợp sau:
a. Đi qua hai điểm A(1;3;1) và B(4;1;2).
b. Đi qua M(2; -1; 1) vuông góc với mặt phẳng (P): 2x – z + 1= 0. Tìm tọa độ giao điểm của (d) và
(P).
c. (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng
( ) : 2 4 0 , ( ) : 2 2 0P x y z Q x y z
+ − + = − + + =
Bài 4: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:
a. d:





+=
+−=
+−=
tz
ty
tx
46
32