
01688559752
Tài liệu tham khảo - 50 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
Phn V.
Phn V. Phn V.
Phn V. PHNG PHÁP TO+ Đ-
PHNG PHÁP TO+ Đ-PHNG PHÁP TO+ Đ-
PHNG PHÁP TO+ Đ-

TRONG KHÔNG GIAN
TRONG KHÔNG GIANTRONG KHÔNG GIAN
TRONG KHÔNG GIAN
1. Hệ toạ độ Oxyz
Gồm 3 trục Ox,Oy,Oz đôi một vuông góc nhau
có véctơ đơn vị lần lượt là:
, ,i j k

 

2. Toạ độ của điểm
a) Định nghĩa
( ; ; ) . . .
M M M M M M
M x y z OM x i y j z k⇔ = + +


 



+


=




+

=





3
3
3
A B C
G
A B C
G
A B C
G
x x x
x
y y y
y

M M M
M x y z
lên:

Trục Ox :
1
( ;0;0)
M
M x


mp
( )Oxy
:
12
( ; ;0)
M M
M x y


Trục Oy :
2
(0; ;0)
M
M y


mp
( )Oxz
:


Nếu
( ; ; ), ( ; ; )
A A A B B B
A x y z B x y z
thì
( ; ; )
B A B A B A
AB x x y y z z= − − −



Nếu
1 2 3
( ; ; )a a a a=

,
1 2 3
( ; ; )b b b b=

thì


1 1 2 2 3 3
( ; ; )a b a b a b a b+ = + + +






b


⇔
tồn tại số thực t sao cho
.a t b=




1 1
2 2
3 3
a b
a b a b
a b


=



= ⇔ =



=






b) Ứng dụng: 
2 2 2
1 2 3
a a a a= + +



AB AB=

.
cos( , )
.
a b
a b
a b
=








. 0a b a b⊥ ⇔ =

( ; ; )
a a a a
b b b b


=




=





. Khi đó, véctơ
[ ]
2 3 1 3 1 2
2 3 1 3 1 2
, ; ;
a a a a a a
a b
b b b b b b
 




= −


  
 
)
c) Ứng dụng 1: Cho ba véctơ khác
0

lần lượt là
, ,a b c

 
. Khi đó,

a

và
b

cùng phương với nhau
[ , ] 0a b⇔ =





,a b


và
c

[ , ]AB AC=
 e) Ứng dụng 3: (tính thể tích)
 Thể tích khối hình hộp
.ABCD A B C D
′ ′ ′ ′

[ , ].
hh
V AB AD AA
′
=
  

 Thể tích khối tứ diện ABCD:
ABCD
V =
1
6
[ , ].AB AC AD
  

www.VNMATH.com

01688559752
Tài liệu tham khảo - 52 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
VÍ DỤ MINH HOẠ
Bài 1 : Trong hệ toạ độ


Bài giải
Từ giả thiết ta có
(2;1; 3), (4; 3; 2), (6; 4; 1), (4;1; 7)A B C A
′
− − − − −

Câu a:
(2;2;1)
. 8 10 2 0
(4; 5;2)
AB
AB AC AB AC
AC


=


⇒ = − + = ⇒ ⊥


= −




 




( )
AA AB
AA ABC
AA AC

′

⊥

′
⇒ ⇒ ⊥

′

⊥




Câu c:
2 2 2
2 2 2
2 2 1 3
4 ( 5) 2 3 5
AB
AC


= + + =

′
= = = =B.

Câu d: ABCD là hình bình hành
AD BC⇔ =
 

2 2 4
1 7 6. (4; 6; 2)
3 1 2
D D
D D
D D
x x
y y D
z z
 
 
− = =
 
 
 
⇔ − = − ⇔ = − − −
 
 
 
+ = = −
 
 
 


a) Chứng minh rằng ABC là tam giác đều.
b) Cho điểm
(4; 0; 3)A
′
−
. Xác định toạ độ các điểm
B
′
và
C
′
để
.ABC A B C
′ ′ ′
là một hình lăng trụ.
c) Chứng minh rằng
.ABC A B C
′ ′ ′
là một lăng trụ đều.
Bài 4
: Trong hệ toạ độ
( , , , )O i j k

 
cho
3 2 3OM i j k= − +


 


 
cho tứ diện ABCD sao cho
(2; 4; 1), 4 , (2; 4; 3), (0; 2; 0)A OB i j k C AD− = + − = −
 

 

a) Chứng minh rằng AB, AC và AD đôi một vuông góc với nhau.
b) Tính diện tích tam giác ABC và thể tích tứ diện ABCD.
Bài 8
: Trong hệ toạ độ Oxyz

cho
(2;1; 3), (4; 3; 2), (6; 4; 1)A B C− − − −

a) Chứng minh rằng A,B,C là ba đỉnh của một tam giác vuông.
b) Tìm toạ độ điểm D để A,B,C,D là 4 đỉnh của một hình chữ nhật
Bài 9
: Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp
.ABCD A B C D
′ ′ ′ ′
biết
rằng
(2; 4; 1), (1;4; 1), (2;4; 3), (2;2; 1)A B C OA
′
− − = −


Bài 10

thì
2 2 2
– 2 – 2 – 2 0x y z ax by cz d+ + + =

là phương trình mặt cầu  Tâm I(a;b;c)
 Bán kính
2 2 2
R a b c d= + + −

c) Lưu ý: mặt cầu
( , )S I R
tiếp xúc với mặt phẳng
( )
α
( , )d I R
α⇔ =
7. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
a) Công thức: Nếu mặt phẳng
( )P
đi qua điểm
0 0 0 0
( ; ; )M x y z
và có véctơ
pháp tuyến
( ; ; ) 0n A B C= ≠


thì
( )P
có phương trình tổng quát là:

( ) : 0Q Ax By Cz D+ + + =
. Nếu
( )€( )P Q
thì
( )P
có
phương trình dạng
0Ax By Cz D
′
+ + + =
(với
D D
′
≠
) ☺ Mặt phẳng
( ) : 0P Ax By Cz D+ + + =
có vtpt
( ; ; )n A B C=


c) Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn
Mặt phẳng
( )P
đi qua ba điểm phân biệt
( ; 0;0)A a
,
(0; ; 0), (0; 0; )B b C c



a) Phương trình tham số của d:

0
0
0
( )
x x at
y y bt t
z z ct


= +



= + ∈



= +



ℝ

b) Phương trình chính tắc của d:
0 0 0
x x y y z z

P
n

. Nếu d ⊥(P) thì d có vtcp
P
u n=
 

☺ Cho hai véctơ không cùng phương
a

và
b

. Nếu d vuông góc với giá
của 2 véctơ
a

và
b

thì d có vtcp
[ , ]u a b=

 
☺ Cho đường thẳng
∆

n

và
Q
n

.
Nếu d là giao tuyến của
( )
P và
( )
Q thì d có vtcp [ ],
P Q
u n n=
  

☺ Cho hai đường thẳng
1
d và
2
d lần lượt có vtcp
1
u

và
2
u

không
cùng phương. Nếu d vuông góc với cả hai đường thẳng

1
R AB=

 Ta có
2 2 2
(1; 2;1) 1 ( 2) 1 6AB AB= − ⇒ = + − + =



1
( )S
có phương trình
2 2 2
( 2) ( 1) ( 2) 6x y z− + − + − =

Câu b: Gọi
2
( )S
là mặt cầu đường kính BC thì
2
( )S
có tâm
(1 2)
3
2
; ;I −
là
trung điểm của đoạn thẳng BC và bán kính
2
BC


có bán kính
3
( ,( ))R d C P=
2 2 2
0 2.2 2( 6) 1
15
3
1 ( 2) 2
5
− + − +
+ − +
= = =


3
( )S
có phương trình:
2 2 2
( 2) ( 6) 25x y z+ − + + =

Câu d:  Giả sử
2 2 2
4
( ) : 2 2 2 0S x y z ax by cx d+ + − − − + =
là mặt cầu
đi qua O(0;0;0),A(1;3;1),B(2;1;2),C(0;2; –6) thì d = 0 và
9
2
13

− + = − =
= −

 

 
 


Mà
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
9 13 29
2 10 10
0a b c d+ + − = + + − >
nên phương trình của
mặt cầu
4
( )S
cần tìm là
2 2 2
9x y z x+ + − −
13 29
5 5
0y x+ =

www.VNMATH.com