WWW.VNMATH.COM
Chương 13
Phương pháp không gian toạ độ trong không gian
13.1 Hệ toạ độ trong không gian
Vấn đề 1 : Tìm tọa độ của một vectơ và các yếu tố liên quan đến vectơ thỏa mãn một số điều kiện cho trước

Sử dụng các định nghĩa có tính liên quan đến vectơ : tọa độ của vectơ, độ dài của vectơ, tổng (hiệu) của hai vectơ, tọa độ trung điểm,
tọa độ trọng tâm, . ..
Bài 13.1 : Viết toạ độ của các vectơ sau đây :
−→
a = 4
−→
j ;
−→
b = −
−→
i + 2
−→
j ;
−→
c = 3
−→
i + 2
−→
j −
−→
k .
Bài 13.2 : Cho các vectơ
−→
a = (−3; 1; 2),
−→

◦
. Tìm |
−→
a +
−→
b| và |
−→
a −
−→
b| biết |
−→
a| = 3, |
−→
b| = 5.
Bài 13.4 : Cho vectơ
−→
a = (1;−3; 4).
1. Tìm y
0
và z
0
để cho vectơ
−→
b = (2; y
0
; z
0
) cùng phương với
−→
a .

′
, cạnh đáy bằng a, cạnh bên AA
′
= 2a, A(0; 0; 0), B(a; 0; 0),
D(0; a; 0), A
′
(0; 0; 2a).
1. Xác định toạ độ các đỉnh còn lại.
2. Xác định toạ độ
−−−→
DB
′
.
3. Xác định toạ độ trung điểm M của đoạn BA
′
.
4. Xác định toạ độ trọng tâm tam giác B
′
CD.
Vấn đề 2 : Ứng dụng của tích vô hướng và tích có hướng

1. Sử dụng các công thức
249
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
• S
∆ABC
=
1
2

−−→
AA
′
¬
¬
¬
;
• V
ABCD
=
1
6
¬
¬
¬
[
−−→
AB,
−−→
AC].
−−→
AD
¬
¬
¬
;
• d(AB,CD) =
¬
¬
¬

AB|
=
|[
−−→
MA,
−−→
AB]|
|
−−→
AB|
;
• cos(
−→
u ,
−→
v ) =
−→
u .
−→
v
|
−→
u|.|
−→
v|
;
• sin(
−→
u ,
−→

¬
¬
¬
.
2. Hai vectơ
−→
u và
−→
v cùng phương khi và chỉ khi [
−→
u ,
−→
v ] =
−→
0 (tương đương với tọa độ tương ứng tỉ lệ).
3. Ba điểm A, B,C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ
−−→
AB và
−−→
AC cùng phương.
4.
−→
u⊥
−→
v khi và chỉ khi
−→
u .
−→
v = 0.
5. Bốn điểm A, B,C, D đồng phẳng khi và chỉ khi [

b ,
−→
b .
−→
c ,
−→
c .
−→
a .
3. Tìm toạ độ của vectơ
−→
v sao cho
−→
v⊥
−→
a ,
−→
v⊥
−→
b và |
−→
v| = |
−→
c|.
Bài 13.8 : Cho ba điểm A(2; 3; 1), B(1; 1; 3),C(−2; 4; 1).
1. Chứng minh rằng ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác. Tìm toạ độ trọng tâm của tam giác ABC.
2. Tìm toạ độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
3. Tìm điểm E trên mặt phẳng (Oxy) sao cho ABCE là hình thang với hai đáy là AB và CE.
Bài 13.9 : Cho tam giác ABC với A(1; 2;−1), B(2;−1; 3),C(−4; 7; 5).
1. Tìm điểm D sao cho tam giác ABD nhận C làm trọng tâm.

Bài 13.15 : Trong không gian cho 4 điểm A(4; 2;−2), B(1; 2;−5).C(0;1;−1), D(2; 0;−3). Chứng minh rằng :
1. Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
2. Tứ diện ABCD có các cạnh đối diện vuông góc với nhau.
Bài 13.16 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A
1
B
1
C
1
biết :
A(−2; 4; 1), B(1;−1; 2), A
1
(5;−1; 0), C
1
(−2; 0; 1).
1. Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của lăng trụ.
2. Một mặt phẳng (P) qua A, trung điểm M của BC và trung điểm N của A
1
B
1
. Tìm toạ độ giao điểm của (P) với B
1
C
1
.
Bài 13.17 : Cho hình hộp ABCD.A
1
B
1
C

Bài 13.19 : Tính tích có hướng của các cặp vectơ sau đây :
1.
−→
a = (1; 1; 2),
−→
b = (3; 3; 6)
2.
−→
a = (−2; 1; 3),
−→
b = (1; 3;−4)
3.
−→
a = (−1; 1;−2),
−→
b = (2; 3;−7)
4.
−→
a = (1; 1; 0),
−→
b = (0; 0; 1)
Bài 13.20 : Xét sự đồng phẳng của bộ ba vectơ
−→
a ,
−→
b ,
−→
c sau đây :
1.
−→

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 13.25 : Cho tam giác ABC có A(0; 0; 2), B(0; 1; 0),C(1; 2; 3).
1. Tìm toạ đọ điểm S trên Oy để tứ diện S ABC có thể tích bằng 8.
2. Tìm toạ độ hình chiếu H của O trên mặt phẳng (ABC).
Bài 13.26 : Cho hai điểm A(−3;−2; 1), B(1; 3;−4). Tìm điểm C trên mặt phẳng (Oyz) sao cho các điều kiện sau được thoả mãn :
OC = 1 và các vectơ
−−→
OA,
−−→
OB,
−−→
OC đồng phẳng.
Bài 13.27 : Cho ba điểm A(−2; 1; 3), B(1; 1; 1),C(−4;−3; 2).
1. Chứng minh A, B, C không thẳng hàng. Tính diện tích tam giác ABC.
2. Tìm điểm D trên trục Oy sao cho tứ diện ABCD có thể tích bằng
1
2
.
Vấn đề 3 : Lập phương trình của mặt cầu

1. Muốn viết được phương trình mặt cầu cần biết tâm I(a; b; c) và bán kính R của mặt cầu đó. Khi đó, phương trình mặt cầu là
(S ) : (x − a)
2
+ (y − b)
2
+ (z − c)
2
= R
2
.

+ z
2
M
, d(M,Oz) =

x
2
M
+ y
2
M
.
(c) Hình chiếu vuông góc của M trên trục Ox có tọa độ (x
M
; 0; 0).
(d) Hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (Oxy) có tọa độ (x
M
; y
M
; 0).
Bài 13.28 : Lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau đây :
1. Nhận I(2; 0; 3) là tâm và bán kính R = 4.
2. Nhận AB làm đường kính với A(−2; 3; 5), B(0; 1;−1).
3. Nhận I(3; 4;−1) làm tâm và tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz).
4. Nhận I(6; 3;−4) làm tâm và tiếp xúc với trục Oz.
Bài 13.29 : Lập phương trình mặt cầu trong mỗi trường hợp sau đây :
1. Có tâm trên trục hoành và đi qua hai điểm A(−2; 4; 1), B(1; 4;−5).
2. Có tâm nằm trên mặt phẳng (Oyz) và đi qua ba điểm A(2; −1; 5), B(2; 1; 1),C(−3;0; 2).
3. Đi qua bốn điểm A(−1; 3; 4), B(3; 1; 5),C(−2; 1;−2), D(0; 2; 3).
Bài 13.30 : Cho mặt cầu (S ) : x

= 0.
1. Chứng minh rằng mặt cầu (S ) tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz). Tìm toạ độ tiếp điểm A.
2. Chứng minh rằng mặt cầu (S ) tiếp xúc với Ox tại B. Tìm toạ độ điểm B.
Bài 13.33 : Cho S (−2; 2;−3), A(−2; 2; 1), B(2; 4; 1),C(4; 0; 1), D(0;−2; 1).
1. Chứng minh rằng ABCD là hình vuông và S A là đường cao của hình chóp S.ABCD. Tính thể tích hình chóp đó.
2. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Bài 13.34 : Cho mặt cầu (S
m
) : x
2
+ y
2
+ z
2
− 4mx + 4y + 2mz + m
2
+ 4m = 0. Tìm m để (S
m
) là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất.
Bài 13.35 : Cho mặt cầu (S
m
) : x
2
+ y
2
+ z
2
− 2mx + 2my− 4mz + 5m
2
+ 2m + 3 = 0. Xác định tham số m để (S

′
. Chứng minh rằng B
′
,G, D thẳng hàng.
Bài 13.37 : Cho hình lập phương ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BB
1
,CD, A
1
D
1
. Tính góc và khoảng cách
giữa C
1
N và MP.
Bài 13.38 : Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, S A vuông góc với đáy, M thuộc cạnh CD sao cho DM =
a
2
và
N thuộc cạnh BC sao cho BN =
3a
4
. Chứng minh rằng MN⊥(S AN) từ đó suy ra mặt phẳng (S AN)⊥(S MN).

www.VNMATH.com www.VNMATH.com
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
13.2 Phương trình mặt phẳng
Vấn đề 1 : Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có một vectơ pháp tuyến cho trước

1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
(a) Vectơ
−→
n 
−→
0 được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (α).
Một mặt phẳng có vô số vectơ pháp tuyến, các vectơ pháp tuyến luôn cùng phương.
1
(b) Nếu hai vectơ
−→
u ,
−→
v không cùng phương và có giá của chúng song song (hoặc nằm trên) (α) thì vectơ
−→
n = [
−→
u ,
−→
v ] là một
vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α).
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Ax + By + Cz + D = 0 với A
2
+ B

+
x
c
= 1.
4. Phương trình các mặt phẳng tọa độ
(Oxy) : z = 0; (Oyz) : x = 0; (Ozx) : y = 0.
Bài 13.41 : Cho hai điểm A(2; 3;−4), B(4;−1; 0). Viết phương trình của mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Bài 13.42 : Cho tam giác ABC có : A(−1; 2; 3), B(2;−4; 3),C(4; 5;6).
1. Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng BC.
2. Viết phương trình mặt phẳng qua A, B,C.
Bài 13.43 : Trong không gian Oxyz cho điểm M(30; 15; 6).
1. Hãy viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua các hình chiếu vuông góc của M trên các trục tọa độ.
2. Tìm tọa độ hình chiếu H của O trên mặt phẳng (α).
Bài 13.44 : Cho điểm A(2;−3; 4). Viết phương trình mặt phẳng (α) qua các hình chiếu của điểm A trên các trục toạ độ.
Bài 13.45 : Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm G(1; 2; 3) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm của
tam giác ABC.
Bài 13.46 : Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau đây
1. Cắt các trục tọa độ tại các điểm A(3; 0;0), B(0;−2; 0), C(0; 0; 5).
2. Qua điểm H(2; 3; 1) và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại ba điểm A, B,C sao cho H là trực tâm tam giác ABC.
3. Qua điểm M(2; 3; 1) và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại ba điểm A, B,C sao cho tam giác ABC là tam giác đều.
1
Nếu
−→
n = (a; b; c) có a  0 là một vectơ pháp tuyến thì ta luôn có thể chọn a = 1 hay một giá trị khác 0 bất kì
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 254
www.VNMATH.com www.VNMATH.com
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
4. Qua điểm G(2; 3; 1) và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại ba điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC.
5. Qua điểm N(1; 1; 1) và cắt ba tia Ox, Oy, Oz tại ba điểm A, B, C sao cho OA + OB + OC là nhỏ nhất.

) thì
1. (α) và (α
′
) cắt nhau khi và chỉ khi
−→
n
α
và
−→
n
α
′
không cùng phương.
2. (α) và (α
′
) song song khi và chỉ khi
−→
n
α
và
−→
n
α
′
cùng phương và có điểm M ∈ (α) thì M  (α
′
).
3. (α) và (α
′
) trùng nhau khi và chỉ khi

′
) khi đó
−→
n
α
′
sẽ có giá song song với (hoặc nằm trên) mặt phẳng (α).
Bài 13.49 : Xét vị trí tương đối của mỗi cặp mặt phẳng cho bởi mỗi phương trình
1. x + 2y − z + 5 = 0 và 2x + 3y − 7z + 10 = 0;
2. 3x + 2y − z + 5 = 0 và 6x + 4y − 2z + 10 = 0;
3. x + 2y − z + 5 = 0 và −x − 2y + z + 10 = 0;
Bài 13.50 : Cho hai mặt phẳng
(α) : 2x − my + 3z − 6 + m = 0 và (α
′
) : (m + 3)x − 2y + (5m + 1)z − 10 = 0.
Với giá trị nào của m, hai mặt phẳng đó
1. Song song với nhau. 2. Trùng nhau. 3. Cắt nhau. 4. Vuông góc với nhau.
Bài 13.51 : Vẫn hỏi như bài tập 13.50 với hai mặt phẳng
(α) : 2x − my + 10z + m + 1 = 0 và (α
′
) : x − 2y + (3m + 1)z − 10 = 0.
Bài 13.52 : Tìm m để hai mặt phẳng
(α) : (m + 2)x + (2m + 1)y + 3z + 2 = 0 và (α
′
) : (m + 1)x + 2y + (m + 1)z − 1 = 0.
1. song song. 2. vuông góc. 3. cắt nhau.
Bài 13.53 : Cho đường thẳng A(1;−1; 2) và mặt phẳng (α) : 2x − y + z − 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và song song
với (α).
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 255
www.VNMATH.com www.VNMATH.com

Bài 13.60 : Lập phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M(3; 4; 1) và giao tuyến của hai mặt phẳng
(P) : 19x − 6y− 4z + 27 = 0 và (Q) : 42x − 8y + 3z + 11 = 0.
Bài 13.61 : Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa giao tuyến của hai mặt phẳng
(β) : x + y − z + 1 = 0 và (γ) : y + z = 0
đồng thời
1. vuông góc với mặt phẳng (P) : 2x + 3y − z = 0. 2. tạo với trục Oy một góc 45
◦
.
Vấn đề 3 : Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Khoảng cách từ điểm M(x
0
; y
0
; z
0
) đến mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = 0 là
d(M,(α)) =
|Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
+ D|
√
A
2
+ B
2

′
) : x − y + z − 5 = 0.
2. Cách đều điểm A(1; 2; 3) và mặt phẳng (α) : x + y − z + 3 = 0.
Bài 13.66 : Lập phương trình mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A(2;−1; 0), B(5; 1; 1) và khoảng cách từ điểm M

0; 0;
1
2

đến mặt
phẳng (α) bằng
7
6
√
3
.
Bài 13.67 : Lập phương trình của mặt phẳng (α) đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng
(P) : x − 3y + 7z + 36 = 0 và (Q) : 2x + y − z − 15 = 0
đồng thời (α) cách gốc tọa độ một khoảng bằng 3.
Bài 13.68 : Cho hai mặt phẳng (P) : 3x + 2y − 2 = 0 và (Q) : 2x + y − 2z − 2 = 0.
1. Tìm trên giao tuyến của (P) và mặt phẳng (Oxy) một điểm M cách đều (Q) và (Oxz).
2. Tìm tập hợp những điểm cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q).
Bài 13.69 : Cho hai mặt phẳng (P) : −3x + y + z − 1 = 0, (Q) : 4x + 3y − z − 5 = 0 và hai điểm A(1; 2;4), B(−3; 2; 2).
1. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến ∆. Tìm tọa độ giao điểm của ∆ với ba mặt phẳng tọa độ.
2. Tìm điểm M trên ∆ sao cho M cách đều A và B.
3. Tìm điểm N trên ∆ sao cho tứ diện OABN có thể tích bằng
1
3
.
Bài 13.70 : Cho mặt phẳng (P) : −2x + 3y − z + 3 = 0 và điểm A(1; 1; 1).

α
′
= (A
′
; B
′
;C
′
) thì góc ϕ giữa hai mặt phẳng (α) và (α
′
) được tính theo công thức
cos ϕ =
¬
¬
cos(
−→
n
α
,
−→
n
α
′
)
¬
¬
=
¬
¬
−→

Bài 13.72 : Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa trục Oz và tạo với mặt phẳng (P) : x + 2y −
√
5z = 0 một góc bằng 60
◦
.
Bài 13.73 : Viết phương trình mặt phẳng (α) qua A(2; 0; 0), B(0; 2; 0) và tạo với mặt phẳng (Oyz) một góc 60
◦
.
Bài 13.74 : Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm A(1; 2;−1) và :
1. vuông góc với các mặt phẳng
(β) : 2x − y + 3z − 1 = 0 và (γ) : x + y + z − 2 = 0.
2. vuông góc với (P) : x − y + 2z = 0 và song song với đường thẳng d :
x − 1
2
=
y + 1
1
=
z
2
.
3. qua điểm B(2; 0; 1) và vuông góc với mặt phẳng (Q) : x + 2y − z + 1 = 0.
4. qua điểm C(2; 1; 0) và tạo với (Oxy) một góc 60
◦
.
Bài 13.75 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho
(α) : mx + 2y + mz − 12 = 0 và (β) : x + my + z + 7 = 0.
Tìm tham số m để góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β) bằng 45
◦
.

Cho mặt phẳng (P) : Ax + By + Cz + D = 0 và mặt cầu (S ) tâm I(a; b; c), bán kính R.
1. Nếu d(I, (P)) > R thì mặt cầu (S ) và mặt phẳng (P) không có điểm chung.
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 258
www.VNMATH.com www.VNMATH.com
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
2. Nếu d(I, (P)) = R thì mặt cầu (S ) và mặt phẳng (P) có một điểm A chung. Khi đó (P) được gọi là mặt phẳng tiếp diện và A được
gọi là tiếp điểm, đồng thời IA⊥(P).
3. Nếu d(I, (P)) < R thì mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn. Khi đó tâm J của đường tròn là
hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (P), và bán kính r của đường tròn được tính theo công thức
r
2
= R
2
− d
2
(I, (P)).
Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo một đường tròn có bán kính lớn nhất khi và chỉ khi (P) đi qua tâm I.
Bài 13.79 : Cho bốn điểm A(3; 6;−2), B(6; 0; 1), C(−1; 2; 0), D(0; 4; 1).
1. Viết phương trình mặt cầu (S ) đi qua bốn điểm A, B,C, D.
2. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S ) tại điểm A.
Bài 13.80 : 1. Viết phương trình mặt cầu có tâm I(−2; 1; 1) và tiếp xúc với mặt phẳng (α) : x + 2y − 2z + 5 = 0.
2. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S ) : x
2
+ y
2
+ z
2
− 6x − 2y + 4z + 5 = 0 tại điểm M(4; 3; 0).
Bài 13.81 : Cho mặt cầu (S ) : x

+ z
2
− 2x − 2z − m
2
= 0 và mặt phẳng (P) : 3x + 6y − 2z − 22 = 0.
Xác định tham số m để (P) cắt (S ) theo giao tuyến là đường tròn (C) có diện tích bằng 2π.
Bài 13.86 : Cho mặt cầu (S ) : (x + 1)
2
+ (y + 2)
2
+ (z + 3)
2
= 14 và điểm M(−1;−3;−2). Lập phương trình mặt phẳng (α) đi qua M
và cắt (S ) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất.
Bài 13.87 : Cho mặt cầu (S ) : (x − 3)
2
+ (y + 2)
2
+ (z − 1)
2
= 9 và mặt phẳng (P) : x + 2y + 2z + 11 = 0.
Tìm điểm M trên mặt cầu (S ) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là ngắn nhất.
Bài 13.88 : Xác định tâm và bán kính đường tròn là giao tuyến của mặt cầu (S ) và mặt phẳng (P), với
(S ) : x
2
+ y
2
+ z
2
− 2(x + y + z) − 22 = 0 và (P) : 3x − 2y + 6z + 14 = 0.

2
− 2x − 4y− 6z− 2 = 0 và song song với mặt phẳng
(P) : 4x + 3y − 12z + 1 = 0.
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 259
www.VNMATH.com www.VNMATH.com
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
13.3 Phương trình đường thẳng
Trong chương trình toán 12, chúng ta không xét dạng tổng quát của đường thẳng, tuy nhiên trong tài liệu này khi chúng ta viết :
Cho đường thẳng ∆ :



Ax + By + Cz + D = 0
A
′
x + B
′
y + C
′
z + D
′
= 0
thì chúng ta hiểu rằng đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng
(P) : Ax + By + Cz + D = 0 và (Q) : A
′
x + B
′
y + C
′

n
2
cùng vuông góc với d thì vectơ
−→
u = [
−→
n
1
,
−→
n
2
] 
−→
0 là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d.
2. Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d lần lượt có dạng
d :







x = x
0
+ at
y = y
0
+ bt

z + 3
1
; 2. d : x =
y − 1
2
=
z
3
. 3. d :
x − 2
−3
=
y + 1
2
= −z + 1.
Bài 13.94 : Viết phương trình chính tắc của các đường thẳng sau, tìm một điểm mà đường thẳng đi qua và tìm một vectơ chỉ phương
của đường thẳng đó, biết :
1. d :







x = 1 + 2t
y = −3 + t
z = 5 − 3t.
2. d :






x = x
0
+ at
y = y
0
+ bt
z = z
0
+ ct.
2. Điểm M nằm trên đường thẳng nên M(x
0
+ at; y
0
+ bt; z
0
+ ct).
3. Chuyển các đặc trưng hình học của M sang điều kiện về vectơ.
Bài 13.95 : Cho đường thẳng d có phương trình







x = 2t

y = −1 − 3t
z = −1 + t
và mặt phẳng (P) : 3x − y − z = 0.
1. Tìm điểm A trên d, điểm B trên d
′
sao cho AB vuông góc với mặt phẳng (P).
2. Tìm điểm C trên d, điểm D trên d
′
sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P) và trọng tâm tam giác OCD nằm trên
mặt phẳng (Oxz).
Bài 13.97 : Cho đường thẳng d :
x − 1
2
=
y
3
= z và mặt phẳng (P) : 2x − 3y − 2z − 6 = 0. Xác định các điểm A, B, C, D sao cho A, B
nằm trên d; S nằm trên (P) và S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nhận gốc tọa độ O làm tâm của đáy có thể tích bằng
196
√
10
3
.
Vấn đề 3 : Vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆ và ∆
′
trong không gian

Giả sử ∆ đi qua M
0
và có một vectơ chỉ phương

M
0
M
′
0
] =
−→
0 ⇔ M
0
∈ ∆ thì M
0
cũng thuộc ∆
′
.
2. ∆ và ∆
′
song song khi và chỉ khi



[
−→
u ,
−→
u
′
] =
−→
0
[

−→
0
[
−→
u ,
−→
u
′
].
−−−−−→
M
0
M
′
0
= 0.
4. ∆ và ∆
′
chéo nhau khi và chỉ khi [
−→
u ,
−→
u
′
].
−−−−−→
M
0
M
′

x − 1
2
=
y − 2
−2
=
z
1
; d
′
:
x
−2
=
y + 8
3
=
z − 4
1
;
3. d :
x − 2
4
=
y
−6
=
z + 1
−8
; d

2
;
5. d :







x = 9t
y = 5t
z = −3 + t
; d
′
là giao tuyến của hai mặt phẳng :
(α) : 2x − 3y − 3z − 9 = 0 và (α
′
) : x − 2y + z + 3 = 0.
Bài 13.99 : Với các đường thẳng cho trong bài tập 13.98, trong trường hợp d và d
′
chéo nhau hãy viết phương trình mặt phẳng (Q)
chứa d và (Q) song song với d
′
và viết phương trình mặt phẳng (R) qua A(−1; 2; 3) đồng thời (R) song song với cả d và d
′
.
Bài 13.100 : Xét vị trí tương đối của cặp đường thẳng cho bởi các phương trình sau :
d
1


x = 1 + 2t
y = −1 + t
z = −t
và ∆
′
:







x = 3 − t
′
y = 2t
′
z = −1 + t
′
.
1. Xác định vị trí tương đối giữa ∆ và ∆
′
. 2. Tìm giao điểm (nếu có) của ∆ và ∆.
Vấn đề 4 : Vị trí tương đối giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P)

Giả sử ∆ đi qua M
0
và có một vectơ chỉ phương
−→

không thuộc (P).
3. ∆ và (P) cắt nhau khi và chỉ khi
−→
u .
−→
n  0.
Bài 13.102 : Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α), tìm giao điểm của chúng nếu có, biết :
1. d :
x − 12
4
=
y − 9
3
=
z − 1
1
, (α) : 3x + 5y − z − 2 = 0;
2. d :
x + 1
2
=
y − 3
4
=
z
3
, (α) : 3x − 3y + 2z − 5 = 0;
3. d :
x − 9
8




x = 12 + 4t
y = 9 + 3t
z = 1 + t
và (P) : 3x + 5y − z − 2 = 0.
2. d là giao tuyến hai mặt phẳng : x + y + z − 2 = 0; x + 2y − z − 1 = 0 và (P) : x + y + 2z − 1 = 0.
Bài 13.104 : Cho đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng
(α) : 2kx + y − z + 1 = 0 và (α
′
) : x − ky + z − 1 = 0.
Với giá trị nào của k thì đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (Oyz).
Bài 13.105 : Xét vị trí tương đối của đường thẳng d :
x − 12
4
=
y − 9
3
=
z − 1
1
và mặt phẳng (α) : 3x + 5y − z − 2 = 0.
Vấn đề 5 : Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng

Giả sử ∆ đi qua M
0
và có một vectơ chỉ phương
−→
u . Khoảng cách từ điểm M(x

u = (a; b; c) 
−→
0 là một vectơ chỉ phương của đường thẳng.
• Từ các dữ kiện bài toán ta tìm được 2 phương trình chứa a, b, c.
• Xét hai trường hợp
– Nếu a = 0, thay vào các điều kiện ta tìm được b, c.
– Nếu a  0, chọn a = 1 (hoặc một giá trị khác 0 bất kì), thay vào các điều kiện ta tìm được b, c.
Chú ý : Với hai đường thẳng ∆, ∆
′
và mặt phẳng (P), ta có :
1. Nếu ∆ cắt ∆
′
thì khoảng cách giữa chúng bằng 0.
2. Nếu ∆ song song với ∆
′
thì khoảng cách giữa chúng bằng khoảng cách từ một điểm M ∈ ∆
′
đến ∆.
3. Nếu ∆ và ∆
′
chéo nhau thì khoảng h cách giữa chúng tính theo công thức
h =
¬
¬
¬
[
−→
u ,
−→
u