Chuyên Đề
7
Chuyên Đề
7
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
HĐBM Toán An Giang Tài liêu thamkhảo Ôn tập TN 2013
NGUYỄN BÁ LÂM
Thpt Nguyễn Bỉnh Khiêm
ℑ 1 TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ VECTƠ
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I. Tọa độ điểm :
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz:
1.
( ; ; )
M M M M M M
M x y z OM x i y j z k
⇔ = + +
uuuur r r r
2. Cho A(x
A
;y
A
;z
A
) và B(x
B
;y
B
;z
B
)

( ; ; )a a a a
=
r
⇔
1 2 3
a a i a j a k
= + +
r r r r
2. Cho
1 2 3
( ; ; )a a a a
=
r
và
1 2 3
( ; ; )b b b b
=
r
ta có

1 1 2 2 3 3
( ; ; )a b a b a b a b
± = ± ± ±
r r

1 2 3
. ( ; ; )k a ka ka ka
=
r


. . . 0a b a b a b⇔ + + =

a
r
và
b
r
cùng phương
1 1
2 2
3 3
:
a kb
k R a kb a kb
a kb
=


⇔ ∃ ∈ = ⇔ =


=

r r


1 1
2 2
3 3
a b

=
[ , ]. 'AB AD AA
uuur uuur uuur

IV . Phương trình mặt cầu :
1. Mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) , bán kính r :
(S): (x – a )
2
+( y – b)
2
+ ( z – c )
2
= r
2

2. Mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0
Có tâm I (-A; -B; - C ) , bán kính r =
2 2 2
A B C D+ + −
với
2 2 2
0A B C D+ + − >
B. BÀI TẬP ( PHẦN 1 )
Bài 1: Trong không gian Oxyz cho A(0;1;2) ; B( 2;3;1) ; C(2;2;-1)

a) Tâm I(1 ; 0 ; -1), đường kính bằng 8.
b) Đường kính AB với A(-1 ; 2 ; 1), B(0 ; 2 ; 3)
Trang 58
HĐBM Toán An Giang Tài liêu thamkhảo Ôn tập TN 2013
c) Tâm I(2 ;-1 ; 3) và đi qua A(7 ; 2 ; 1).
d) Tâm I(-2 ; 1 ; – 3) và tiếp xúc mp(Oxy).
Bài 6 :Viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:
a) Đi qua ba điểm A(1; 2; -4), B(1; -3 ;1), C(2 ;2 ;3) và có tâm nằm trên
mp(Oxy).
b) Đi qua hai điểm A(3 ; -1 ; 2), B(1 ; 1 ; -2) và có tâm thuộc trục Oz.
c) Đi qua bốn điểm O( 0; 0 ; 0 ) , A(2 ; 2 ; 3), B(1 ; 2 ; – 4), C(1; – 3; – 1 )
Bài 7 : Trong không gian Oxyz cho phương trình mặt cầu
(S): x
2
+ y
2
+ z
2
– 8x + 2y + 1 = 0 và M ( 2; 2 ; – 1)
a/. Xác định tâm và bán kính của nặt cầu (S)
b/. Xét vị trí tương đối của điểm M và mặt cầu (S)
Bài 8:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;3;0) , mặt phẳng
(P ) :
x y 2z 1 0+ + + =
và mặt cầu (S) : x
2
+ y
2
+ z
2

( )
0n ≠
r r
làm vectơ pháp tuyến có dạng : A(x-x
0
)+B(y-y
0
)+C(z-z
0
)=0.
 Nếu (
α
) có cặp vectơ
1 2 3 1 2 3
( ; ; ),b ( ; ; )a a a a b b b= =
r r
không cùng phương và có giá
song song hoặc nằm trên (
α
) thì vectơ pháp tuyến của (
α
) được xác định
,n a b
 
=
 
r r r
 Các trường hợp riêng của phương trình mặt phẳng :
Trang 59
HĐBM Toán An Giang Tài liêu thamkhảo Ôn tập TN 2013

0≠
. Đặt
, ,
D D D
a b c
A B C
= − = − = −
Khi đó
( ): 1
x y z
a b c
α
+ + =
(Các trường hợp khác nhận xét tương tự)
II. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Trong không gian Oxyz cho (
1
α
):
1 1 1 1
0A x B y C z D+ + + =
và (
2
α
):
2 2 2 2
0A x B y C z D+ + + =
 (
α
) // (

’) ⇔
1 1 1 2 2 2
( ; ; ) ( ; ; )A B C k A B C≠
Đặc biệt :
(
α
)
⊥
(
α
’)
1 2 1 2 1 2 1 2
. 0 . . . 0n n A A B B C C⇔ = ⇔ + + =
ur uur
III: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng :
Khoảng cách từ điểm M
o
(x
o
;y
o
;z
o
) đến mặt phẳng (
α
) : Ax + By + Cz + D = 0 2 2 2
( ,( ))

Trang 60
HĐBM Toán An Giang Tài liêu thamkhảo Ôn tập TN 2013
b) Mặt phẳng (P) đi qua B(3,-1,4) và song song với mặt phẳng x-2y+5z-1=0.
c) Mặt phẳng (P) đi qua C(1,-1,0) và song song với mặt phẳng yOz.
d/. Mặt phẳng (P) đi qua D(5,-1,-3)và vuông góc với đthẳng d:
1 3 1
2 1 3
x y z− + −
= =
−
.
Bài 3.
V
iết
ph
ươ
ng
t
r
ì
nh mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau :
a) (P) đi qua M(2 ;3 ;2) và song song với giá hai véctơ
(1;1; 2); ( 3;1;2)u v= − = −
r r
b) (P) đi qua hai điểm M(1 ;-2 ;1), N(-1 ;1 ;3) và song song với trục Oy
c) (P) đi qua điểm M(1 ;-1 ;2) và chứa đường thẳng
2 1 3
( ):
2 1 1
x y z

Ox,Oy,Oz.
c) Tính khoảng cách tử gốc tọa độ O đến mặt phẳng (P)
d) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa độ O và tiếp xúc với mp(Q)
Bài 5:Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2;1;-1) và mặt phẳng (P) : 2x + 2y - z + 2
= 0
a) Tính độ dài đoạn vuông góc kẽ từ M đến mặt phẳng (P).
b) Viết phương trình đường thẳng (d) qua M vuông góc với mặt phẳng (P).
Bài 6: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y – z +5 = 0 và (Q): 2x – z = 0
a) Chứng tỏ hai mặt phẳng đó cắt nhau
b) Lập phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và
(Q) và đi qua A(-1;2;3).
c) Lập phương trình mặt phẳng (
γ
) đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với hai
mặt phẳng (P) và (Q).
Trang 61
HĐBM Toán An Giang Tài liêu thamkhảo Ôn tập TN 2013
Bài 7: Trong không gian Oxyz. Cho mặt phẳng (P):
− + − =2 2 8 0x y z
và A(3; -2; -4).
a) Viết phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc với (P).
b) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng của A qua mặt phẳng (P).
Bài 8: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P):2x+ky +3z –5 =0và(Q):mx-6y
-6z+2=0
Xác định giá trị k và m để hai mặt phẳng (P) và (Q) song song nhau, khi đó hãy
tính khoảng cách giữa mặt phẳng (P) và (Q)
ℑ3. ĐƯỜNG THẲNG
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I. Phương trình đường thẳng:
Định nghĩa :


¡

Nếu a
1
, a
2
, a
3
đều khác không .Phương trình đường thẳng
∆
viết dưới dạng
chính tắc như sau:

0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a
− − −
= =
II Vị Trí tương đối của các đường thẳng và các mặt phẳng:
1)Vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng

' '
1
1
' '
2 2
' '

u
r
đi qua M
o
; d’có vtcp
'u
ur
đi qua M
o
’

u
r
,
'u
ur
cùng phương
 d // d’⇔
0
'
'
u ku
M d

=


∉



'
'
'
o o
o o
o
x a t x a t
y a t y a t
z a t z a t

+ = +

+ = +


+ = +

(I)
 d cắt d’ ⇔ Hệ phương trình (I) có một nghiệm
 d chéo d’⇔ Hệ phương trình (I) vô nghiệm
2)Vị trí tương đốicủa đường thẳng và mặt phẳng:
Trong không gian Oxyz cho (α): Ax+By+Cz+D = 0 và
1
2
0 3
: ,
o
o
x x a t
d y y a t t R

⊥
(
α
)
,a n⇔
r r
cùng phương
 Khoảng cách từ M đến đường thẳng d
Phương pháp :
 Lập phương trình mp(
α
) đi qua M và vuông góc với d
 Tìm tọa độ giao điểm H của mp(
α
) và d
 d(M, d) =MH
 Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau:
d điqua M(x
0
;y
0
;z
0
);cóvtcp
1 2 3
( ; ; )a a a a
=
r
; d’quaM’(x’
0

2 4 3
x y z− + +
= =
e/ Đi qua điểm M (–2; 1; 0) và vuông góc với mặt phẳng (P): x + 2y – 2z = 0
Bài 2: Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng d:
1 2 3
2 3 1
x y z− + −
= =
a/ Trên mpOxy b/ Trên mpOxz c/ Trên mpOyz
Bài 3: Viết phương trình đường thẳng trong các trường hợp sau :
a/. Đi qua điểm M(3; –1; 2) và song song với hai mặt phẳng
(P): x+3y – 2z +2= 0 và (Q):2x – y +z +1=0
b/. Đi qua điểm N(2; –1; 1) và vuông góc với hai đường thẳng
(d
1
):
1 3 2
3 2 1
x y z+ + −
= =
− −
; (d
2
):
2 1 1
2 3 5
x y z− + −
= =
−

a) Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua ba điểm A,B,C.
b) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng (∆)
Bài 6 : a/.Viết phtrình đường thẳng nằm trong mp(P): x + 3y – z + 3 = 0 và vuông góc
với đường thẳng d:
1 2 4
2 1 1
x y z
− − −
= =
−
tại giao điểm của đường thẳng d và
mp(P).
Trang 64
HĐBM Toán An Giang Tài liêu thamkhảo Ôn tập TN 2013
b/.Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(1;2;–1)vuông góc và cắt d’:
1
,
1
x t
y t t
z
= +


= ∈


= −

¡

.Tính d(
1
∆
,
2
∆
)
Bài 8:Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng (∆) và (∆’) lần lượt có phương
trình:
7 3
1 2 5
: ; ': 2 2 ,
2 3 4
1 2
x t
x y z
y t t
z t
= +

− + −

∆ = = ∆ = + ∈

−

= −

¡
.

3
2 2 ,( )
3
x t
y t t
z t
=


= + ∈


= −

¡
, (S) : x
2
+ ( y – 1 )
2
+ (z – 1)
2
= 5
Chứng tỏ đường thẳng (d) và mặt cầu (S) tiếp xúc nhau . Tìm tọa độ điểm tiếp
xúc.
CÁC CÂU TRONG CÁC ĐỀ THI TN.THPT :
Trang 65
HĐBM Toán An Giang Tài liêu thamkhảo Ôn tập TN 2013
Bài 1: ( TN.THPT 2008 - cơ bản ):
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(3 ; – 2 ; – 2 ) và mặt phẳng (P) có
phương trình 2x – 2y + z – 1 = 0 .

−
1/. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng
d
2/. Tình khoảng cách từ A đến đường thẳng d . Viết phương trình mặt cầu tâm A , tiếp
xúc với d
Bài 5: ( TN.THPT 2010 - cơ bản ):
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho 3 điểm A(1; 0; 0) ,B(0;2;0) và
C(0;0;3) .
1/. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC .
2/. Tìm tọa độ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
Trang 66
HĐBM Toán An Giang Tài liêu thamkhảo Ôn tập TN 2013
Bài 6: ( TN.THPT 2010 - nâng cao ):
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng
∆
có phương trình

1 1
2 2 1
x y z
+ −
= =
−
1/. Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng
∆
2/. Viết phương trình mặt phẳng chứa O và đường thẳng
∆
Bài 7: ( TN.THPT 2011 - cơ bản ):
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(3; 1; 0) và mặt phẳng (P) có
phương trình 2x – 2y + z – 1 = 0 .

=
Bài 3: a/.
.AB k AC
≠
uuur uuur
b/. D( 5 ; 1 ;0 )
Bài 4: a/. ( x = 5 ; y = 11 ) b/.
11
(0; ;0)
6
M

Bài 5: a/. (S):
2 2 2
( 1) ( 1) 16x y z
− + + + =
b/.(S):
2 2 2
1 5
( ) ( 2) ( 2)
2 4
x y z
+ + − + − =

c/ .(S):
2 2 2
( 2) ( 1) ( 3) 38x y z
− + + + − =
d/ (S):
2 2 2

+ y
2
+ z
2
=
16
9
Bài 5: a/. 3 b/. ( x=2+2t , y = 1 + 2t , z= – 1 – t )
Bài 6: a/. b/. 11x +5y – 8z +25 = 0 c/. x + y + 2z = 0
Bài 7: a/.
2 2 2
( 3) ( 2) ( 4) 9x y z
− + + + + =
b/. A’ ( 5; – 6 ; 0 )
Bài 8: a/. m = – 4 ; k = 3 ;
4
29
d
=

III . HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ :( BÀI TẬP PHẦN 3)
Bài 1: a/. ( x=2+2t , y =– 2t , z= – 3 + 5t ) b/. ( x=– 2 , y = 6 + t , z= – 3 )
c/. ( x=1+2t , y =– t , z= – 3 + 3t ) d/. ( x=– 2+2t , y = 3 +4t , z= 1 +3t )
e/. ( x=– 2+t , y = 1 +2t , z= – 2t )
Bài 2: a/. ( x=1+2t , y =– 2 + 3t , z= 0 ) b/. ( x=1+2t , y = 0 , z= 3 + t )
c/. ( x= 0 , y =– 2 + 3t , z= 3 + t )
Bài 3: a/. ( x=3+t , y =–1 – 5t , z= 2 –7t ) b/. ( x=2+t , y =–1+ t , z= 1 + t )
c/. ( x=1–2t , y =1–5t , z= –2+3t )
Bài 4: a/. ( x=2+2t , y =– 1 , z= 1 – t ) , H ( 0 ;– 1 ; 2)
Bài 5: a/. x +2y +3z – 5 = 0 b/.