NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
Chuyên đề 4
Chuyên đề 4
HĐBM Toán An Giang- Tài Liệu Tham Khảo Ôn Tập thi TN 2013
NGUYỄN HOÀNG MINH
THPT Nguyễn Trung Trực
1. Nguyên hàm.
a. Định nghĩa.
Hàm số
( )
F x
được gọi là nguyên hàm của hàm số
( )
f x
trên
K
nếu :
( ) ( )
;F x f x x K
′
= ∀ ∈
.
b. Định lý.
Nếu
( )
F x
là nguyên hàm của hàm số
( )
f x
trên
K

( ) ( )
f x dx F x C= +
∫
c. Tính chất.
i. Tính chất 1.
( ) ( ) ( )
0kf x dx k f x dx k= ≠
∫ ∫
ii. Tính chất 2.
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x dx f x dx g x dx± = ± 
 
∫ ∫ ∫
2. Nguyên hàm của những hàm số thường gặp.
( )
, ; 0m n m∈ ≠¡
dx x C= +
∫
kdx kx C= +
∫
( )
1
1
1
x
x dx C
α
α
α
α

ln
dx
mx n C
mx n m
= + +
+
∫
x x
e dx e C= +
∫
1
mx n mx n
e dx e C
m
+ +
= +
∫
ln
x
x
a
a dx C
a
= +
∫
1
ln
mx n
mx n
a

( )
( )
2
1
tan
cos
dx
mx n C
mx n m
= + +
+
∫
2
cot
sin
dx
x C
x
= − +
∫
( )
( )
2
1
cot
sin
dx
mx n C
mx n m
= − + +

cos sinf x xdx
∫
cos cost x t m x n= ∨ = +
( )
1
lnf x dx
x
∫
ln lnt x t m x n= ∨ = +
( )
2
1
tan
cos
f x dx
x
∫
tan tant x t m x n= ∨ = +
( )
2
1
cot
sin
f x dx
x
∫
cot cott x t m x n= ∨ = +
( )
x x
f e e dx

( )p x
là hàm số đa thức,
( )
q x
là hàm số
( )
sin x
α
hoặc
( )
cos x
α
hoặc
( )
x
e
α
)
Trong trường hợp này ta đặt :
( )
( )
u p x
dv q x dx
=


=


Dạng 2.

( )
( )
2
1
x
F x e x= +
là nguyên hàm của hàm số
( ) ( )
2
1
x
f x e x= +
.
Bài 2. Chứng minh rằng hàm số
( )
ln 3F x x x x= − −
là nguyên hàm của hàm số
( )
lnf x x=
.
Bài 3. Tìm nguyên hàm của hàm số
( ) ( )
cos 2 3tanf x x x= −
.
Bài 4. Tìm nguyên hàm
( )
F x
của hàm số
( )
2

 
∫
b.
( )
3 2sin cosx xdx+
∫
c.
2
1
3
x
x
e dx
e
 
−
 ÷
 
∫
b.
2
cos sin 2
cos
x x
dx
x
−
∫
Bài 7. Tính :
a.

∫
f.
( )
2
2
cot 1
sin
x
dx
x
+
∫
g.
3
x
x
e dx
e +
∫
h.
ln
dx
x x
∫
i.
4
ln xdx
x
∫
j.

∫
Bài 8. Tính :
a.
2 cosx xdx
∫
b.
( )
3
x
x e dx+
∫
c.
( )
4 1 sinx xdx+
∫
d.
2
3 lnx xdx
∫
e.
( )
2
3 2 lnx x xdx+
∫
f.
( )
1
x
e xdx+
∫

Tính chất 2.
( ) ( ) ( )
0
b b
a a
kf x dx k f x dx k= ≠
∫ ∫
Tính chất 3.
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx± = ± 
 
∫ ∫ ∫
Tính chất 4.
( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx= +
∫ ∫ ∫
Chú ý. Muốn tính tích phân bằng định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dưới dấu tích
phân thành tổng hoặc hiệu của những hàm số đã biết hoặc có thể tìm được nguyên
hàm.
5.1 Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số.
Dạng tổng quát :
( ) ( )
f u x u x dx
β
α
′

b b
b
a
a a
udv uv vdu= −
∫ ∫
Trang 33
HĐBM Toán An Giang- Tài Liệu Tham Khảo Ôn Tập thi TN 2013
Các dạng tích phân tính bằng phương pháp từng phần thường gặp.
Tương tự như trong phần nguyên hàm.
BÀI TẬP .
Bài 1. Tính các tích phân sau đây :
a.
( )
0
cos2 3sinx x dx
π
−
−
∫
b.
0
2
1
1
x
x
e dx
e
−

+
∫
b.
2
3
6cos 1sinx xdx
π
π
+
∫
c.
( )
2
1
ln 1
e
dx
x x +
∫
d.
4
1
ln
e
xdx
x
∫
e.
1
0

∫
i.
( )
3
0
1 cos sinx xdx
π
−
∫
j.
2
1
1 ln
e
x
dx
x
+
∫
Bài 3. Tính các tích phân sau đây :
a.
( )
2
3
0
4sin cos 1x x dx
π
+
∫
b.

+
−
 ÷
 ÷
 
∫
.
Bài 4. Tính các tích phân sau đây :
a.
(
)
2
2
0
2 1 3x x xdx+ −
∫
b.
3
1
ln
e
x x
dx
x
+
∫
c.
( )
2
2

sin cos
cos 1
x xdx
x
π
+
∫
c.
( )
1
ln
ln 3
e
xdx
x x +
∫
d.
2
0
sin cos
3sin 1
x xdx
dx
x
π
+
∫
e.
2 2
3

∫
d.
3
1
ln
e
x xdx
∫
e.
( )
2
1
2 1 lnx xdx+
∫
f.
( )
2
2
1
3 2 lnx x xdx−
∫
Bài 7. Tính các tích phân sau đây :
a.
( )
0
1
1
x
e xdx
−

f.
( )
0
sin
x
e x xdx
π
−
∫
Bài 8. Tính các tích phân sau đây :
a.
( )
1
1 ln
e
x x dx+
∫
b.
( )
1
0
3
x
xe xdx+
∫
c.
( )
0
2 cosx x xdx
π

x
x
e x dx
e
 
+
 ÷
 
∫
d.
( )
3
0
cos tanx x x dx
π
−
∫
6. Ứng dụng của tích phân.
6.1 Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
: : ; : ; ;C y f x C y g x x a x b= = = =

( )
a b<
(trong đó hai đường
,x a x b= =
có thể thiếu một hoặc cả hai)
Công thức.
( ) ( )

∫ ∫ ∫
L
( ) ( ) ( ) ( )
1
n
x
b
a x
f x g x dx f x g x dx= − + + −   
   
∫ ∫
L
Trang 35
HĐBM Toán An Giang- Tài Liệu Tham Khảo Ôn Tập thi TN 2013
Chú ý : Nếu đề bài không cho a và b thì nghiệm nhỏ nhất là a và nghiệm lớn nhất của
phương trình
( ) ( )
f x g x=
tương ứng là a và b.
Nếu đề bài đã cho đủ cả a và b thì khi giải phương trình
( ) ( )
f x g x=
ta chỉ nhận
những nghiệm thuộc
( )
;a b
(nếu có). Những nghiệm không thuộc
[ ]
;a b
phải loại bỏ.

Nếu đề bài đã cho đầy đủ cả hai đường
&x a x b
= =
thì không cần giải phương
trình
( )
0f x =
.
Nếu đề bài không cho hai đường
&x a x b
= =
thì giải phương trình
( )
0f x =
để
tìm. Phương trình này có thể có nhiều hơn hai nghiệm. Trong trường hợp này nghiệm
nhỏ nhất là a và nghiệm lớn nhất là b, các nghiệm còn lại không cần phải chèn vào
trong quá trình tính tích phân.
6.3 Bài tập.
Bài 1. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây :
a.
( )
: ; ; ; 2
x
C y e Ox Oy x= =
b.
( ) ( )
3
: 3 1; : 3C y x x d y= − + =
c.

j.
( )
: ; ; 4C y x x Ox x= =
Bài 2. Tính thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các
đường sau đây xung quanh trục Ox.
a.
( )
: 1 ; ; 1
x
C y e Ox x= − =
b.
( )
: ; ; 1;
x
C y e Ox x Oy
−
= = −
c.
( )
1
: 1 ; ; 2C y Ox x
x
= − =
d.
( )
: ; ; 1
x x
C y e e Ox x
−
= − =