VẤN ĐỀ 1: HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Cho
( ) ( )
1 2 3 1 2 3
; ; , ; ;a a a a b b b b= =
r
r
. Khi đó ta có:

( )
1 1 2 2 3 3
; ;a b a b a b a b+ = + + +
r
r( )
1 1 2 2 3 3
; ;a b a b a b a b− = − − −
r
r

( )
1 2 3
; ;ka ka ka ka=
r

1 1
2 2
3 3

a b a b a b
c
a a a b b b
+ +
=
+ + + +
r
r

,a b
r
r
cùng phương
( )
3
1 2
1 2 3
1 2 3
0⇔ = ⇔ = = ≠
r
r
a
a a
a kb b b b
b b b

1 1 2 2 3 3
0a b a b a b a b⊥ ⇔ + + =
r
r

I A B
x x x
y y y
z z z

= +



= +



= +


Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì
( )
( )
( )
1
3
1
3
1
3
G A B C
G A B C
G A B C
x x x x


= + + +



= + + +



= + + +


3.Tích có hướng của hai vectơ
( ) ( )
1 2 3 1 2 3
; ; , ; ;a a a a b b b b= =
r
r
( )
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
a,b a b a b ;a b a b ;a b a b
 
= − − −
 
r
r
*
( )
, sin ,a b a b a b
 

,
ABCD
S AB AD
 
=
 
uuur uuur
- Nếu ABC là 1 tam giác thì
1
,
2
ABC
S AB AC
 
=
 
uuur uuur
* Nếu ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp thì
. ' ' ' '
, . '
ABCD A B C D
V AB AD AA
 
=
 
uuur uuur uuur
- Nếu ABCD là tứ diện thì
1
, .
6

a b+
r
r
d. Tính
( )
,a b
r
r
e. Tìm m để
8c a=
r r
f. Tìm m để
c a
⊥
r r
Bài 2: Trong không gian cho hình bình hành ABCD. Biết
( ) ( ) ( )
1;1;1 , 3;0;2 , 4; 2;0A B C− −
Tìm toạ độ đỉnh D
Bài 3: Trong không gian cho 3 điểm
( ) ( ) ( )
2;1;5 , 3;0; 2 , 4;7;6A B C−
a. Chứng minh rằng A,B, C lập thành tam giác. Tính tọa độ trọng tâm G
b. Tìm toạ độ của K , biết B là trung điểm của AK
c. Tìm toạ độ của N , biết C là trọng tâm của tam giác ABN.
Bài 4: Trong không gian cho 3 điểm
( ) ( )
( )
2
1;1;1 , 3;2;5 , 2 3; ;4A B C m m m− + −

. Tính độ dài đường phân
giác trong của góc B.
Bài 10: Cho
( ) ( ) ( )
a 2;3;1 ,b 5;7;0 ,c 3; 2;4= = = −
r
r r
. Chứng minh rằng
a,b,c
r
r r
không đồng phẳng.
Hãy biểu diễn
( )
d 4;12; 3= −
r
theo 3 vectơ
a,b,c
r
r r
Bài 11: Cho
( ) ( ) ( ) ( )
A 1;0;1 ,B 1;1;2 ,C 1;1;0 ,D 2; 1; 2− − − −
. Chứng minh rằng ABCD là 1 tứ
diện. Tính độ dài đường cao của ABCD hạ từ đỉnh D. Tính
ABCD
V
, từ đó suy ra độ dài
đường cao AH của tứ diện
Bài 12: Cho

VẤN ĐỀ 2: GÓC (Bổ sung)
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Góc giữa hai đường thẳng :
Đường thẳng
1
d
có VTCP
( )
1 1 1
; ;u x y z=
r
và đường thẳng
2
d
có VTCP
( )
2 2 3
; ;v x y z=
r
Gọi
β
là góc giữa hai đường thẳng
1
d
và
2
d
. Khi đó
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2

a a bb c c
c
a b c a b c
α
+ +
+ + + +
3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng :
Cho đường thẳng
d
có VTCP
( )
; ;u a b c=
r
và mặt phẳng
( )
: 0Ax By Cz D
α
+ + + =
Gọi
β
là góc giữa
d
và
( )
α
. Khi đó
2 2 2 2 2 2
Aa + Bb + Cc
sin
A B C a b c


và
( )
2
2
: 2 3
4 5
x t
d y t
z t
=


= −


= +

Bài 3 : Tính góc giữa đường thẳng
( )
3 2
: 3
7
x t
d y t
z t
= −


=

By Cz D
d M
A B C
α
+ + +
=
+ +
2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song :
Cho
( ) ( )
//
α β
và
( )
M
α
∈
. Khi đó
( ) ( )
( )
( )
( )
, ,d d M
α β β
=
3.Khoảng cách h từ điểm M đến đường thẳng
∆
đi qua
0
M

r
r
4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song :
Cho
// 'd d
và
M d∈
. Khi đó
( ) ( )
, ' , 'd d d d M d=
5. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song:
Cho
( )
//
α
∆
và
M ∈∆
. Khi đó
( )
( )
( )
( )
, ,d d M
α α
∆ =
6. Khoảng cách h giữa hai đường thẳng chéo nhau
1
d
và

d

và
( )
2
// d
α
- Lấy
2
M d∈
và tính
( )
( )
,d M
α
- Suy ra
( ) ( )
( )
1 2
, ,d d d d M
α
=
[ ]
[ ]
1 2 1 2
1 2
, .
,
u u M M
h

α
. Khi đó
3 3
2 1 1 2
2 3 3 1 1 2
, ,
a a
a a a a
n
b b b b b b
 
=
 ÷
 ÷
 
r
là 1 vectơ pháp tuyến của
( )
α
,
n
r
được gọi
là
tích có hướng của
a
r
và
b
r

2 2 2
Ax + By + Cz + D = 0 (A 0)B C+ + ≠
được gọi là phương
trình tổng quát của mặt phẳng.
3. Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng : (Chương trình nâng cao)
Nếu
( ) ( ) ( )
;0;0 , 0; ;0 , 0;0;A a B b C c
với
0abc ≠
thì phương trình mặt phẳng
( )
ABC
là
1
x y z
a b c
+ + =
( )
*
.
( )
*
được gọi là phương trình đoạn chắn của mặt phẳng
4. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng:
Cho
( ) ( )
1 1 1 1 2 2 2 2
: 0; : 0A x B y C z D A x B y C z D
α β


⇔

≠


( ) ( )
1 1 1 1
2 2 2 2
//
A B C D
A B C D
α β
⇔ = = ≠
( ) ( )
( ) ( )
1 1 1 2 2 2
1 2
; ; ; ;A B C k A B C
D kD
α β

=

≡ ⇔

=


( ) ( )

( )
α
và
( )
β
gọi là một chùm mặt phẳng. Mỗi mặt phẳng của chùm đều
có phương trình:
( ) ( )
' ' ' ' 0a Ax By Cz D b A x B y C z D+ + + + + + + =
trong đó
2 2
0a b+ ≠
6. Vị trí tương đối của điểm và mặt phẳng (bổ sung)
Cho mặt phẳng
( )
: Ax + By + Cz + D = 0α
và 2 điểm
( ) ( )
1 1 1 1 2 2 2 2
M x ;y ;z , M x ;y ;z
. Khi đó ta
có:
- Nếu
( ) ( )
1 1 1 2 2 2
Ax By Cz D Ax By Cz D 0+ + + + + + >
thì
1 2
M ,M
nằm cùng phía đối với

2;3;5 , 2;3;1A B−
. Lập phương trình tổng quát của
mặt phảng trung trực đoạn AB
Bài 4: Lập phương trình của mặt phẳng chứa trục Ox và điểm
( )
2; 3;5P −
Bài 5: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm
( ) ( ) ( )
1;1;1 , 4;3;2 , 5;2;1A B C
a. Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
b. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng
( )
ABC
Bài 6: Lập phương trình của mặt phẳng
( )
α
đi qua A và song song với mặt phẳng
( )
: 2 3 5 0x y z
β
+ − − =
Bài 7: Lập phương trình của mặt phẳng đi qua hai điểm
( ) ( )
1;1;1 , 3;2; 1A B −
và vuông góc
với mặt phẳng
( )
: 2 3 5 7 0x y z
α
− + + + =

: 5 2 1 0Q x y z+ − + =
Bài 13: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm
( )
1;2;3M
và cắt 3 tia Ox, Oy, Oz ở 3
điểm cách đều gốc toạ độ.
HD:
Gọi mặt phẳng cần tìm là
( )
α
⇒
phương trình của mặt phẳng của
( )
α
có dạng:
1
x y z
a b c
+ + =
Vì
( )
M
α
∈
nên ta có :
1 2 3
1
a b c
+ + =
( )

vuông góc với mặt phẳng
( )
: x 2y z 5 0β − + + =
Bài 15 : Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
chứa Oz và lập với mặt phẳng
( )
: 2x y 5z 0β + − =
một
góc 60
0
HD :
Pt của
( )
α
có dạng
( )
2 2
mx ny 0 m n 0+ = + >
Bài 16 : Viết phương trình của mặt phẳng
( )
α
qua
( ) ( )
M 0;0;1 , N 3;0;0
và tạo với Oxy một
góc 60
0
Bài 17 : Lập phương trình của mặt phẳng

α
đi qua 2 điểm
( ) ( )
A 2; 1;0 ,B 5;1;1−
và
khoảng cách từ
1
M 0;0;
2
 
 ÷
 
đến
( )
α
bằng
6 3
Bài 20 : Lập phương trình mặt phẳng
( )
α
thuộc chùm tạo bởi hai mặt phẳng
( )
P : x 3y 7z 36 0− + + =
và
( )
Q :2x y z 15 0+ − − =
, biết rằng khoảng cách từ O đến
( )
α
bằng 3.

M 1;1;1
. Viết phương trình mặt phẳng
( )
β
sao cho
( ) ( )
( )
d , 4α β =
đồng thời M và
( )
β
nằm cùng phía đối với
( )
α
Bài 24 : Cho mặt phẳng
( )
: 2x 2y z 1 0α + + + =
và
( )
M 1;2;1−
. Viết phương trình mặt phẳng
( )
β
sao cho
( ) ( )
( )
d , 2α β =
đồng thời M và
( )
β

α
− − + − =
và
( )
2 2 10 10m x y mz+ − + − =
Tìm m để
a. Hai mặt phẳng song song
b. Hai mặt phẳng trùng nhau.
c. Hai mặt phẳng cắt nhau.
Dạng 3 : BÀI TẬP VỀ CHÙM MẶT PHẲNG
Bài 1 : Viết phương trình mặt phẳng đi qua
( )
1;2;3M
và chứa đường thẳng giao tuyến
của hai mặt phẳng
3 0x y z− + − =
và
3 2 5 0x y z+ + − =
Bài 2 : Viết phương trình mặt phẳng đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng
3 1 0x z
− + =
và
2 3 5 0y z+ − =
và vuông góc với mặt phẳng
2 1 0x y− − =
Bài 3 : Xác định m, n để ba mặt phẳng sau đây cùng đi qua 1 đường thẳng
2 0; 3 2 2 0; 4 4 0x y z x y z mx ny z− + = − − + = − + + =
Dạng 4 : HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA 1 ĐIỂM TRÊN MỘT MẶT PHẲNG
Phương pháp giải:
Cho điểm M và mặt phẳng

2;1;1M −
và mặt phẳng
( )
: 5 1 0x y z
α
+ − + =
. Tìm toạ độ điểm M’, biết
M’ đối xứng với M qua
( )
α
Bài 3: Cho hai điểm
( ) ( )
3;1;1 , 7;3;9A B
và mặt phẳng
( )
: 3 0x y z
α
+ + + =
. Tìm
( )
M
α
∈
sao
cho

MA MB+
uuur uuur
đạt giá trị nhỏ nhất
HD :

( )
α
Bài 5:
Cho 4 điểm
( ) ( ) ( ) ( )
5;2;0 , 8; 1; 1 , 1;1; 5 , 3; 2;2A B C D− − − − − − −
và mặt phẳng
( )
: 4 2 8 0x y z
α
− − − =
a. Chứng minh rằng ABCD là 1 tứ diện.
b. Tìm
( )
M
α
∈
để
MA MB MC MD+ + +
uuur uuur uuuur uuuur
nhỏ nhất
HD :
Câu a :
- Chứng minh
, ,AB AC AD
uuur uuur uuur
không đồng phẳng
Câu b:
- Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD
- Ta có

Câu a :
- Tìm toạ độ điểm I là giao điểm của AB và
( )
α
- Suy ra
M I≡
Câu b :
- Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua
( )
α
-
' 'MA MB MA MB A B− = − ≤
- Đẳng thức xảy ra khi M nằm trên đường thẳng A’B (không nằm trên đoạn A’B)
- Gọi
( )
'J A B
α
= ∩
. Suy ra
M J≡
Bài 7: Cho mặt phẳng
( )
: 3 19 0x y z
α
+ − − =
và hai điểm
( ) ( )
2;0;1 , 7; 5;3A B− − −
.
Tìm

( )
I AB
α
= ∩
- Suy ra
M I≡
VẤN ĐỀ 5: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Phương trình tham số của đường thẳng :

Đường thẳng d đi qua
( )
0 0 0
; ;M x y z
và nhận
( )
; ;u a b c=
r
làm VTCP có phương trình tham
số là :

0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
= +



0 0 0
*
x x y y z z
a b c
− − −
⇒ = =
(phương trình chính tắc)
Chú ý : Nếu
0abc
=
thì không có phương trình chính tắc
3. Phương trình tổng quát của đường thẳng :
Phương trình tổng quát của đường thẳng d có dạng
( )
( )
1 1 1 1
2 2 2 2
0
0
A x B y C z D
A x B y C z D
α
β

+ + + =


+ + + =



( )
0 0 0 0
; ;M x y z
và có VTCP
( )
1 2 3
; ;u a a a=
r
, đường thẳng d’ đi
qua
( )
0 0 0 0
' '; '; 'M x y z
và có VTCP
( )
1 2 3
' '; '; 'u a a a=
r
Chương trình chuẩn Chương trình nâng cao
d và d’ cắt nhau
⇔
hệ phương trình ẩn t, t’
sau
0 1 0 1
0 2 0 2
0 3 0 3
' ' '
' ' '
' ' '
x a t x a t

r
r r
uuuuuuur
r r
// 'd d
0
'
'
u ku
M d
=

⇔

∉

r r
// 'd d
⇔
[ ]
0 0
, ' 0
, ' 0
u u
u M M

=


 


=


 
=

 

r
r r
uuuuuuur
r
r
d chéo d’
⇔

u
r
không cùng phương với
'u
r

và hệ phương trình
0 1 0 1
0 2 0 2
0 3 0 3
' ' '
' ' '
' ' '

r
là VTCP của d,
n
r
là VTPT của
( )
α
( ) { }
d M
α
∩ = ⇔
hệ có nghiệm duy nhất
( ) { }
. 0d M n u
α
∩ = ⇔ ≠
r r
( )
//d
α
⇔
hệ vô nghiệm
( )
( )
. 0
//
n u
d
M
α

r r
( )
d
α
⊥ ⇔

n
r
cùng phương với
u
r

[ ]
, 0n u⇔ =
r
r r
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Dạng 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Bài 1 : Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua
( )
1;1;1A
và
( )
3;0; 2B −
Bài 2 : Lập phương trình tham số của đường thẳng
2 3 0
1 0
x y z
x y z
+ − + =


= +


= − −

;
( )
2
1 4 1
:
1 2 4
x y z
d
+ + +
= =
−
. Lập phương trình đường thẳng
∆
nằm trong
( )
α
và cắt cả
1 2
,d d
HD : Tìm toạ độ giao điểm A của
1
d
và
( )

- Tìm toạ độ giao điểm A của
∆
và
( )
α
- Gọi
n
r
là VTPT của
( )
α
và
u
r
là VTCP của
∆

- Suy ra
[ ]
,n u
r r
là VTCP của d
Bài 6 : Cho mặt phẳng
( )
: 3 4 2 0P x y z− − − =
và đường thẳng
( )
2 3
: 7
3 4

uuuuuur
- Vì
( )
// P∆
nên
0 0
. 0 1n M M n M M t⊥ ⇔ = ⇔ =
uuuuuur uuuuuur
r r
- Vậy
∆
có VTCP
( )
0
2;2; 1M M = −
uuuuuur
và đi qua
( )
0
1;4;0M −
Bài 7: Lập phương trình đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng
( )
2 2
: 3 3
4 5
x t
d y t
z t
= +


( )
1 3 ';4 2 ';4 ' 'J t t t d− + − − ∈
- IJ là đường vuông góc chung của d và d’
( )
( )
0;0;1
. 0 ' 1
1
2;2;3
. 0
I
IJ u IJ u t
t
J
IJ v IJ v
 
⊥ = =

  
⇔ ⇔ ⇔ ⇒
   
= −
⊥ =

 

 

uur uur
r r


= −

HD :
- Gọi
∆
là đường thẳng cần viết phương trình.
- Giả sử
∆
cắt
1
d
tại
( )
1 3 ; 3 2 ;2A t t t− + − − −
và cắt
2
d
tại
( )
2 2 '; 1 3 ';1 5 'B t t t+ − + −
- Ta có
( )
2 ' 3 3;3 ' 2 2; 5 ' 1AB t t t t t t= − + + + − + −
uuur
và
( )
3 3 ; 2 2 ;1AM t t t= − − − + +
uuuur
- Yêu cầu bài toán

= =
−
và
( )
2
1 3
: 2
2
x t
d y t
z t
= −


=


= − +

.
Chứng minh rằng
1
d
và
2
d
cắt nhau. Viết phương trình của mặt phẳng chứa
1
d
và

HD :
Câu b :
- d đi qua
( )
1; 5;3A − −
và có VTCP
( )
5;7;3u =
r
,
'd
đi qua
( )
3; 4;1B − −
và có VTCP
( )
1; 2;4v = −
r
- Gọi
( )
α
là mặt phẳng cần viết phương trình. Suy ra
( )
α
đi qua trung điểm I của AB và
nhận
[ ]
,u v
r r
làm VTPT.

−
a. Tìm a để d cắt d’
b. Tìm a để
'd d
⊥
Bài 4: Cho hai đường thẳng
( )
1 3 2
:
3 2 2
x y z
d
+ − −
= =
− −
và
( )
2
7 2
' : 1 3
x m t
d y m t
z m t

= − +

= − −


= −



= − − +


= − +

Tìm m để
// 'd d
. Khi đó hãy viết phương trình của mặt phẳng
( )
, 'd d
Dạng 3: HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA 1 ĐIỂM TRÊN 1 ĐƯỜNG THẲNG
Phương pháp giải:
Cho điểm M và đường thẳng
∆
có VTCP
u
r
. Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc
của M trên
∆
- Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên
∆
- Lấy
( )
?;?;?H ∈∆
(toạ độ của H chính là phương trình tham số của
∆
- Tìm toạ độ của

= −


= − +

- Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BC
( ) ( )
4 ; ; 3 7 5; 3;7 5H t t t AH t t t⇒ + − − + ⇒ = + − − −
uuur
-
27 231 27 36
. 0 ; ;
51 51 51 51
AH BC AH BC t H
−
 
⊥ ⇔ = ⇔ = ⇒
 ÷
 
uuur uuur uuur uuur
Bài 2: Tìm toạ độ điểm M’ đối xứng với
( )
2; 1; 5M − −
qua đường thẳng
( )
2 3 1
:
2 1 1
x y z− + +
∆ = =

- Ta có
2MA MB MI+ =
uuur uuur
- MI nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I trên d.
Bài 4: Cho 3 điểm
( ) ( ) ( )
4;1; 28 , 4; 9;2 , 10;2; 10A B C− − −
và đường thẳng
( )
9 2
:
4 3
x t
d y t
z t
= +


= −


= − +

Tìm
M d∈
sao cho
MA MB MC+ +
uuur uuur uuuur
đạt giá trị nhỏ nhất.
HD:

( )
α
. Tìm phương trình hình chiếu vuông góc
của d trên
( )
α
- Tìm giao điểm A của d và
( )
α
- Lấy
B d∈
rồi tìm toạ độ của H là hình chiếu vuông góc của B trên
( )
α
- Viết phương trình của đường thẳng AH đi qua A và H.
Chú ý : Nếu
( )
//d
α
thì làm như sau :
- Lấy
A d∈
rồi tìm toạ độ của H là hình chiếu vuông góc của A trên
( )
α
- Gọi d’ là hình chiếu vuông góc của d trên d. Suy ra d’ song song với d và d’ đi qua H
Bài 1: Tìm hình chiếu vuông góc của đường thẳng
( )
2 2 1
:

: 2 3
3
x t
d y t
z t
= +


= − +


= +

trên mỗi
mặt phẳng
toạ độ
Bài 4: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng
( )
7
3
2
: 2
2
x t
d y t
z t

= +




( )
2
1 5
: 2
3
x t
d y t
z t
= − +


= +


= −

. Viết phương trình hình chiếu theo phương
2
d
của đường thẳng
1
d
trên
mặt phẳng
( )
α
VẤN ĐỀ 6: MẶT CẦU
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Phương trình mặt cầu:

được gọi là tiếp diện của
mặt cầu
( )
S
và M được gọi là tiếp điểm
d. Nếu đường thẳng
∆
tiếp xúc với mặt cầu
( )
S
tại M thì
∆
được gọi là tiếp tuyến của
( )
S
và M được gọi là tiếp điểm.
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Dạng 1 : VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU- XÁC ĐỊNH TÂM VÀ BÁN KÍNH
Bài 1: Lập phương trình của mặt cầu, biết rằng mặt cầu đó đi qua
( )
5;3;2A
và có tâm
( )
1;1;1I
Bài 2: Lập phương trình mặt cầu đường kính AB, biết
( ) ( )
2; 1;5 , 3;5;7A B−
Bài 3: Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau:
a.
2 2 2

( )
S
có tâm
( )
I 1;4; 7−
và tiếp xúc với
( )
: 6x 6y 7z 42 0α + − + =
Bài 7 : Cho
x 2t
d : y 1 t
z 1 2t
=


= +


= − +

và hai mặt phẳng
( )
P : x y 2z 5 0+ − + =
;
( )
Q :2x y z 2 0− + + =
Viết phương trình mặt cầu
( )
S
có tâm thuộc d và tiếp xúc với


= − +


=

và mặt phẳng
( )
P : 2x y 2z 0+ − =
a. Lập phương trình mặt cầu
( )
S
có tâm nằm trên đường thẳng d ; tiếp xúc với
( )
P
và có
bán kính
bằng 1
b. Gọi
( )
M d P= ∩
, T là tiếp điểm . Tính MT.
HD :
Vì
I d∈
nên ta có
( )
I 1 3t; 2 t; t+ − +
( )
( )

( )
α
không có điểm chung.
- Nếu
( )
( )
,d I r
α
=
thì
( )
,S I r
tiếp xúc với
( )
α
- Nếu
( )
( )
,d I r
α
<
thì
( ) ( ) ( )
, ,S I r O R
α
∩ =
với
( )
( )
2 2

Bài 3: Chứng minh rằng mặt cầu
( )
2 2 2
: 2 4 20 0S x y z y z+ + − − − =
cắt mặt phẳng

( )
: 2 8 0x y z
α
+ − + =
theo 1 đường tròn
( )
C
. Xác định tâm và bán kính của
( )
C
Bài 4: Cho mặt cầu
( )
2 2 2
: 2 5 4 1 0S x y z x y z+ + − + − − =
a. Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu
( )
S
.
b. Tìm m để họ mặt phẳng
( )
: 2 0
m
x y z m
α

+ − =
và
( )
1;2;3I
a. Lập phương trình mặt cầu
( )
S
có tâm I và tiếp xúc với
( )
α
b. Tìm toạ độ tiếp điểm A.
Bài 7: Lập phương trình mặt phẳng
( )
α
tiếp xúc với mặt cầu
( )
2 2 2
S : x y z 10x 2y 26z 113 0+ + − + + − =
và song song với hai đường thẳng
1
x 5 2t
d : y 1 3t
z 2 2t
= − +


= −


= − +

tìm D
Dạng 3 : QUAN HỆ GIỮA MẶT CẦU VÀ ĐƯỜNG THẲNG
Phương pháp giải :
Cho mặt cầu
( )
,S I r
và đường thẳng
∆
- Nếu
( )
,d I r∆ >
thì
( )
S∆ ∩ = ∅
- Nếu
( )
,d I r∆ =
thì
( ) { }
S M∆∩ =
(tiếp xúc)
- Nếu
( )
,d I r∆ <
thì
( ) { }
,S M N∆ ∩ =
(mặt cầu cắt đường thẳng tại hai điểm)
Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho mặt cầu

x y z
− + + =


− + − =

tại hai điểm A, B sao cho
6AB =
Bài 3: Lập phương trình mặt cầu có tâm I thuộc đường thẳng
( )
2 4 7 0
:
4 5 14 0
x y z
d
x y z
+ − − =


+ + − =

và
tiếp xúc với
hai mặt phẳng
( )
: 2 2 2 0x y z
α
+ − − =
và
( )