BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Thanh Phong MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ POSET TÔPÔ
TRÊN MỘT TẬP CỐ ĐỊNH

Chuyên ngành: Hình học và Tôpô
Mã số: 60 46 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN HÀ THANH

Trỗi Tỉnh Tây Ninh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học cao học.
Xin chân thành cảm ơn những người thân trong gia đình luôn động viên và tạo mọi
điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn này.
Sau cùng chân thành cám ơn các bạn cùng lớp với những trao đổi góp ý và động viên
tác giả trong suốt quá trình thực hiện luận văn.

TP. HCM tháng 8 năm 2010
Tác giả
Trần Thanh Phong
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Vào năm 1936, Garnett Birkhoff đưa ra ý kiến cho rằng việc nghiên cứu tôpô là so sánh
hai tôpô khác nhau trên cùng một tập. Trong công trình của mình: “G. Birkhoff, On the
combination of topologies, Fund. Math. 26 (1936) 156-166”, Birkhoff mô tả rõ ràng sự so
sánh này bằng cách sắp xếp họ tất cả các tôpô trên một tập hợp cho trước và nhìn vào kết quả
được hình thành được gọi là dàn. Về bản chất, đây là sự so sánh hai tôpô, nghĩa là nếu

và


là hai tôpô trên cùng một tập hợp cho trước thì

thô hơn hoặc bằng với


nếu




. Dàn này có phần tử lớn nhất là tôpô rời
rạc và phần tử nhỏ nhất là tôpô thô (tôpô chí có tập rỗng và chính tập hợp đang xét). Dàn của
tất cả các tôpô trên một tập được gọi là dàn đầy đủ, tức là có một tôpô lớn nhất được chứa
trong mỗi phần tử của một họ các tôpô và có một tôpô nhỏ nhất chứa mỗi phần tử của họ các
tôpô.
Các bài toán về dàn các tôpô được nhiều nhà Toán học quan tâm vào những năm 60 của
thế kỉ trước. Chẳng hạn như công trình của N.Smythe và C.A. Wilkins về các không gian
Hausdorff cực tiểu và compact cực đại (1963); công trình của Anne K. Stiener về phần bù
trong các dàn tôpô
1
T
, cấu trúc và phần bù trên dàn các tôpô (1966); công trình của A. R.
Padmanabhan và B.V. Rao về Idean trên dàn các tôpô (1969)…Đặc biệt là vào năm 1967,
Garnett Birkhoff đã cho xuất bản quyển sách “lý thuyết dàn”. Đến năm 1975, Roland E.
Larson và Suan J. Andima đã khảo sát và tổng hợp đầy đủ về dàn của các tôpô. Do đó, công
trình này được nhiều nhà toán học quan tâm, nó dùng làm tài liệu tra cứu rất hữu ích trong
quá trình nghiên cứu dàn của các tôpô.
Trong quá trình nghiên cứu về dàn các tôpô, ta thấy có khái niệm về poset (partially
ordered set) của các tôpô. Và gần đây đã có nhiều công trình nghiên cứu về poset của các
tôpô. Ví như D.W. McIntyre và W.S. Watson (2004) quan tâm đến các khoảng vô hạn trong
poset của các tôpô có số chiều 0, các tôpô Tychonoff, các tôpô chính quy; Offlia T. Alas và
Richard G.Wilson (2004) quan tâm về tôpô dưới và tôpô trên trong dàn của các tôpô
1
T
.
Nathan Carlson (2007) quan tâm về tôpô dưới và tôpô trên của poset của các tôpô
2
T

Phần mở đầu: Giới thiệu khái quát về đề tài.
Chương 1: Nêu khái niệm poset, dàn và nhắc lại một số kiến thức về tôpô đại cương.
Chương 2: Nêu dàn của các tôpô
1
T
, nêu poset của các tôpô
2
T
, trình bày mở đầu về
tôpô dưới và tôpô trên trong
2
( )
X

.
Chương 3: Trình bày kiến thức: một tôpô không cực tiểu trong
2
( )
X

thuộc CH
không phải là tôpô trên và cho các ví dụ về tôpô trên.
Phần kết luận: Đưa ra những nhận xét và các vấn đề mở cần tiếp tục nghiên cứu sau
đề tài.
Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, luận văn trình bày lại các kiến thức tôpô đại cương có liên quan đến
các chương sau và mở đầu về khái niệm dàn trên tập hợp. Ở đây, các định lí, các hệ quả, các
bổ đề và các kết quả chỉ phát biểu chứ không chứng minh. Chúng được dùng làm cơ sở lý

Cho poset


,
X

, phần tử
a X

được gọi là phần tử cực tiểu nếu trong
X
không có
phần tử
x
nào sao cho
x a

. Phần tử
b X

được gọi là phần tử cực đại nếu trong
X
không
có phần tử
x
nào sao cho
b x

.
Một poset có thể không có, có thể có một hoặc có nhiều phần tử cực tiểu hay cực đại.


với
x A
 
.
Nếu
A
có cận dưới thì
A
được gọi là bị chặn dưới. Nếu
A
có cận trên thì
A
được gọi
là bị chặn trên. Nếu
A
bị chặn dưới và bị chặn trên thì
A
được gọi là bị chặn.
1.1.1.4. Phần tử bé nhất, lớn nhất
Cho


,
X

là một poset và

A X
.

,
X

, giả sử
A
là tập hợp con của
X
và
A
có cận dưới. Nếu tập hợp các
cận dưới của
A
có phần tử lớn nhất

thì

được gọi là cận dưới lớn nhất và kí hiệu là
inf
A


. Nếu
A
có cận trên và tập hợp các cận trên của
A
có phần tử bé nhất

thì



i I
A

là một họ không rỗng các tập hợp không rỗng. Lúc đó tồn tại một ánh xạ
f
từ
I
vào
i I i
A


sao cho
( )
i
f i A

.
1.1.2.2. Định lí ( Zermelo)
Mọi tập hợp đều có thể được sắp tốt.
1.1.2.3. Định lí (Zorn)
Giả sử
( , )
X

là poset không rỗng sao cho mỗi tập hợp con được sắp tuyến tính của
X

đều có cận trên (cận dưới) trong
X

là lực lượng của tập X.
Hiển nhiên
X Y

thì

X Y
.
1.1.4. Tập đếm được
Một tập X là tập đếm được nếu

X

.
Như vậy, X là tập đếm được nếu có một đơn ánh
:


f X
hoặc có một toàn ánh
:


g Y

Mọi tập hữu hạn là đếm được. Ta kí hiệu

X n
nếu


Những tập hợp điểm không đếm được quan trọng trên đường thẳng, trong đó có bản
thân đường thẳng đều là những tập hợp có lực lượng continuum. Một vấn đề tự nhiên được
đặt ra là: trên đường thẳng tồn tại hay không những tập hợp không đếm được là tập hợp có
lực lượng continuum, nói cách khác tồn tại hay không một tập hợp
A
sao cho
A
 
 

Quá trình tìm câu trả lời cho câu hỏi đã dẫn đến giả thiết sau đây thường được gọi là giả
thiết continuum:
Không tồn tại một tập hợp
A
sao cho:
A
 
 

Định lí Cantor: Giả sử
X
là một tập hợp bất kì. Lúc đó
( )
X P X


1.1.7. Mở đầu về dàn (Lattice) trên tập hợp
1.1.7.1. Dàn
Một poset được gọi là dàn nếu hai phần tử bất kì trong tập hợp có một cận trên nhỏ nhất
và có một cận dưới lớn nhất. Trong đó:

Xét poset
( , )


; ở đó

là số tự nhiên và

là quan hệ nhỏ hơn hoặc bằng. Cho
,
a b


, ta có:
Cận trên nhỏ nhất của


, ( , )
a b a b Max a b
  
và
Cận dưới lớn nhất là


, ( , )
a b a b Min a b
  

Do đó:
( , )

được gọi là con đầy đủ của dàn
( , )
L

cái hợp và cái giao bất kỳ được
bảo toàn.
Cách nói “ a phủ b” trong dàn
( , )
L

hàm ý rằng
b a

và
b c a
 
thì
b c

hoặc
c a

.
Phần tử hay tập hợp nhỏ nhất của dàn được ký hiệu là O và phần tử hay tập hợp lớn
nhất được ký hiệu là I.
Một nguyên tử là một phần tử phủ phần tử nhỏ nhất. Dàn được gọi là nguyên tử nếu mọi
phần tử ngoài O đều có thể được biểu diễn dưới dạng cái hợp của các nguyên tử.
Phản nguyên tử là một phần tử được phủ trong I. Dàn được gọi là phản nguyên tử nếu
mọi phần tử khác I đều có thể được biểu diễn dưới dạng cái giao của các phần tử phản
nguyên tử.


trong
L
sao cho
a
và
b
đều phủ
c
thì
a b

phủ cả hai phần tử
a
và
b
. Một dàn được gọi
là nữa modular dưới khi và chỉ khi với hai phần tử phân biệt
a
và
b
trong
L
sao cho
a
và
b
đều được phủ trong
c
thì



Một ánh xạ từ dàn
L
vào dàn
K
được gọi là đồng cấu dàn nếu nó bảo toàn hữu hạn cái
giao và cái hợp. Ánh xạ nói trên được gọi là đồng cấu đầy đủ nếu nó bảo toàn cái hợp và cái
giao bất kì. Một đẳng cấu dàn là một đồng cấu dàn 1-1.
Một dàn
( , )
L

được gọi là tự đối ngẫu nếu nó đẳng cấu dàn với
( , )
L

.
1.2. Không gian mêtric
1.2.1. Không gian mêtric
Cho X là một tập. Một hàm
2
:
d X


là một mêtric trên X nếu thỏa mãn các điều kiện
sau:
(i)


,
X d
là một tập X cùng với một mêtric
d
trên X.
Nếu


,
X d
là một không gian mêtric thì mỗi
x X

gọi là một điểm và với mọi
,
x y X

ta gọi


,
d x y
là khoảng cách từ x đến y.
1.2.2. Khoảng cách
Cho A, B là hai tập con khác rỗng của không gian mêtric X.
Đặt
,
( , ) inf ( , )
x A y B
d A B d x y













1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
, , , , , , , , ,
X Y
d x y x y d x x d y y x x y y X Y
    

Khi đó d là một mêtric trên
X Y

.
Không gian mêtric


,
X Y d

được gọi là không gian mêtric tích của hai không gian
mêtric X và Y.

,
X

là một tôpô trên X, gọi là tôpô tầm thường hay tôpô phi rời
rạc. Tập X với tôpô tầm thường gọi là không gian tầm thường.
3. Với mọi không gian mêtric (X,d), họ các tập mở theo mêtric
d
là một tôpô trên X.
Tôpô này gọi là tôpô sinh bởi mêtric d. Không gian mêtric X luôn được coi là không gian
tôpô với tôpô sinh bởi mêtric.
Tôpô sinh bởi mêtric thông thường trên

gọi là tôpô thông thường.
4. Với mọi tập vô hạn X, họ bao gồm tập

và tất cả các tập con G của X có X \ G đếm
được, là một tôpô trên X. Tôpô này gọi là tôpô Zariski.
5. Với mọi tập không đếm được X, họ bao gồm tập

và tất cả các tập con G của X có
\
X G
đếm được, là một tôpô trên X.
1.3.2. Cơ sở
1.3.2.1. Cơ sở
Cho

là một tôpô trên X. Một họ

của

Không gian tôpô gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai nếu tôpô của nó có một cơ
sở đếm được.
1.3.2.2. Ví dụ
1. Tôpô thông thường trên

có cơ sở là họ tất cả các khoảng


,
a b
với a, b là số hữu
tỉ, a < b. Như vậy

với tôpô thông thường thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai.
2. Trong không gian mêtric, họ tất cả các hình cầu mở
1
,
B x
n
 
 
 
,
,
x X n
 

là một cơ
sở.
1.3.3. Lân cận, cơ sở lân cận

a b a b

là lân cận của một điểm tùy ý của


,
a b
trên đường thẳng thực.
2. Họ tất cả các tập mở chứa x là một cơ sở lân cận của x.
3. Trong không gian mêtric, tại mỗi điểm x, họ các hình cầu mở tâm x, bán kính
1
,
n N
n

là cơ sở lân cận của x. Như vậy mọi không gian mêtric đều thỏa mãn tiên đề đếm
được thứ nhất.
4. Trong không gian rời rạc, tập một điểm


x
là cơ sở lân cận của điểm x.
1.3.4 Phần trong và bao đóng
Cho X là một không gian tôpô và A là tập con của X.
Ta gọi phần trong của A là hợp của tất cả các tập mở được chứa trong A, kí hiệu là
Int
A
.
Từ định nghĩa ta có:
Int

Cl

A A
.
Tập con D gọi là trù mật trong X nếu
Cl

D X
. Không gian X gọi là khả li nếu nó có
một tập con đếm được trù mật.
Tập con A của X gọi là không đâu trù mật nếu
IntCl
 
A
.
1.3.5. Ánh xạ liên tục
1.3.5.1. Định nghĩa
Cho
X
và
Y
là các không gian tôpô. Ánh xạ
:
f X Y

được gọi là liên tục tại
x X


nếu mọi lân cận


liên tục.
1.3.5.3. Định lí
Với mọi ánh xạ
: ,
f X Y

các điều kiện sau đây là tương đương.
)
a
f
liên tục;
)
b


1
f G

mở trong
X
với mọi tập
G
mở trong
;
Y

)
c




Cl Cl ( )

f A f A
với mọi tập con
A
của
.
X

1.3.6. So sánh hai tôpô
1.3.6.1. Định nghĩa
Cho hai tôpô
1

và
2

trên cùng một tập hợp
,
X
ta bảo
1

là mịn hơn
2

(hay
2

là chặt chẽ mịn hơn
2

(và
2

là chặt chẽ thô hơn
1

).
Ta kí hiệu
1 2
,
X X


1 2
X X

và
1 2
X X

để chỉ rằng tôpô trên
2
X
là trùng với tôpô trên
1
,
X


mịn hơn
2
;


b) Với mọi
,
x X

mọi lân cận của
x
trong
2

là một lân cận của
x
trong
1
;


c) Mọi tập con mở của
X
trong
2

là mở trong
1
.

f G
mở trong
.
Y

Ánh xạ
:
f X Y

được gọi là đóng (hay ánh xạ đóng) nếu mọi tập F đóng trong
X

thì


f F
đóng trong
.
Y

Nếu
:
f X Y

là một đơn ánh và


:
f X f X
 là một phép đồng phôi thì

các các tập con
của
X
sao cho
F
1
. Mọi tập con của
X
chứa một tập thuộc

cũng thuộc

.
F
2
. Giao của mỗi họ hữu hạn các tập thuộc

cũng thuộc

.
F
3
. Mọi tập thuộc

đều không rỗng.
1.4.1.2. Cơ sở
Giả sử

là một lọc trên
X


.
1.4.3. Siêu lọc
Họ các lọc trên một tập không rỗng
X
có phần tử cực đại theo quan hệ bao hàm. Lọc
cực đại này được gọi là một siêu lọc. Như vậy, mỗi lọc

trên một tập
X
đều tồn tại một
siêu lọc trên
X
chứa

.
1.4.4. Điểm giới hạn, hội tụ
Giả sử
( , )
X

là không gian tôpô,

là một lọc trên
X
. Điểm
x X

được gọi là điểm
giới hạn của lọc

1.4.5. Điểm dính, bao dính
Cho
X
là một không gian tôpô,

là một lọc trên
X
. Một điểm
x
được gọi là điểm
dính của lọc

nếu
x
là điểm dính của mọi tập thuộc

. Bao dính của

, kí hiệu là
Adh

, là tập hợp tất cả các điểm dính của

, do đó
Adh Cl
A
A




Không gian tôpô X gọi là T
2
- không gian (hay không gian Hausdorff ) nếu hai điểm x, y
khác nhau bất kỳ thuộc X, tồn tại lân cận U của x và lân cận V của y sao cho
U V
  
.
Không gian tôpô X gọi là T
3
- không gian (hay không gian chính qui) nếu X là T
1
- không
gian và với mọi tập con đóng F của X không chứa x, tồn tại các tập con mở U và V sao cho
,
x U F V
 
và
U V
  
.
Không gian tôpô X gọi là
1
3
2
T
- không gian (hay không gian hoàn toàn chính qui) nếu X
là T
1
- không gian và với mọi
x X

, T
2
, T
3
,
1
3
2
T
, T
4
là các tiên đề tách.
Nhận xét.
j
T
- không gian 
i
T
- không gian với
.
j i


1.6. Không gian compact
1.6.1. Định nghĩa phủ, phủ mở, phủ hữu hạn:
Cho X là không gian tôpô, tập A  X. Một họ {V

}
I
các tập con của X được gọi là một

I
được gọi là một phủ hữu hạn của A.
1.6.2. Định nghĩa phủ con, phủ con hữu hạn:
Cho X là không gian tôpô, tập A  X và {V

}

I
là một phủ của A. Nếu J  I mà
{V

}

J
cũng là một phủ của A thì {V

}

J
được gọi là một phủ con của {V

}

I
. Nếu tập J
hữu hạn thì {V

}

J

1.6.4. Định lý:
a) Tập con đóng của không gian compact là tập compact.
b) Tập con compact của không gian compact là tập đóng.
c) Không gian compact, Hausdorff là không gian chuẩn tắc.
d) Cho ánh xạ f : X  Y liên tục và A là tập con compact trong X. Thì f(A) là tập con
compact trong Y.
e) Nếu f : X  Y là song ánh liên tục, X là compact và Y là Hausodrff thì f là phép đồng
phôi.
1.6.5. Không gian compact địa phương
1.6.5.1. Định nghĩa
Không gian tôpô X được gọi là compact địa phương nếu điểm
x X

có một lân cận
compact.
1.6.5.2. Ví dụ
1. Không gian compact tùy ý.
2. Không gian rời rạc tùy ý.
3.
n


Chú ý : Nếu X là không gian compact địa phương và
A X

thì không nhất thiết không gian
con A là compact địa phương. Chẳng hạn,

là compact địa phương và


chứa
K
, tồn tại một tập mở
V
sao
cho
K V V U
  
và
V
là tập compact.
1.6.5.2. Định lý 2
Không gian Hausdorff compact địa phương là hoàn toàn chính quy.
1.6.6. Compact hóa
Các không gian compact là những không gian tôpô quan trọng nhất. Vì vậy một vấn đề
lý thuyết được đặt ra là: cho một không gian không compact X, có hay không một không
gian compact Y sao cho X là một không gian con trù mật khắp nơi trong Y?
1.6.6.1. Định nghĩa:
Cho không gian X không compact. Không gian compact Y cùng với ánh xạ h : X  Y
sao cho h là phép đồng phôi từ X lên h(X) và h(X) trù mật khắp nơi trong Y được gọi là một
compact hóa của không gian X.
Chú thích:
Ánh xạ h : X  Y (với X, Y là các không gian) được gọi là phép nhúng X vào Y nếu h : X
 h(X) là phép đồng phôi.
1.6.6.2. Compact hóa Alexanderov:
Compact hóa Alexanderov là compact hóa đơn giản nhất một không gian không
compact X bằng một điểm. Ta xây dựng như sau:
i) Thêm vào X một điểm tùy ý không thuộc X mà ta ký hiệu là .
ii) Xác định trên Y := X  {} một họ


1.7.1.1. Hình cầu, mặt cầu
Cho không gian mêtric


,
X d
, điểm
0
x X

và số thực
0
r

.
Hình cầu mở tâm x
0
bán kính r là tập
 


0 0
, ( , )
B x r x X d x x r
   

Hình cầu đóng tâm x
0
bán kính r là tập
 

Cho không gian mêtric (X, d). Ta xác định trong


,
X d
một tập hợp

các tập con của X
như sau:
 = {U  X  xU, r > 0 sao cho B(x, r)  U}.
Thì

là một tôpô trên X. Tôpô

xác định như trên gọi là tôpô sinh ra bởi mêtric d trên
X, các phần tử thuộc

được gọi là các tập mở trong


,
X d
.
1.7.2. Không gian mêtric hóa
1.7.2.1. Định nghĩa
Không gian tôpô X gọi là không gian mêtric hóa nếu trên X có một mêtric d sao cho
tôpô sinh bởi mêtric d trùng với tôpô xuất phát trên X.
1.7.2.2. Ví dụ
Mọi không gian rời rạc đều là không gian mêtric hóa (bởi mêtric rời rạc)
1.7.3. Khái niệm hữu hạn địa phương, rời rạc

2
( )
X

tng ng l dn ca cỏc tụpụ, dn ca cỏc tụpụ T
1
, poset
ca cỏc tụpụ T
2
trờn tp hp
X
. Trong chng ny, chỳng tụi s gii thiu dn ca cỏc tụpụ,
dn ca cỏc tụpụ T
1
v poset ca cỏc tụpụ T
2
. i vi Ê(X), Ê
1
(X), chỳng tụi phỏt biu li
trong [13] v khụng chng minh. Mc ớch ca chỳng tụi s nghiờn cu tụpụ di v tụpụ
trờn trong
2
( )
X

. T ú, a ra bi toỏn m v nú s c gii ỏp chng sau. C th
nh sau: 2.1. Dn ca cỏc tụpụ



, ,
G X

, trong ú
G X


. Nu
X n

thỡ Ê(X) cha
2 2
n

nguyờn t. Nu
X
l vụ hn thỡ Ê(X) cha
2
X
nguyờn t.
Nu
l mt siờu lc trờn
X
v
x X

sao cho
x

2
£( ) 2
X
X 
.
Nếu
1,2,3,4,5,6
X 
hoặc 7 thì
£( ) 1, 4, 29, 355, 6.942, 209.527
X
hoặc 9.535.241.
Nếu
1
X n
 
thì
( 1)
2 £( ) 2
n n n
X

 

2.1.4. Cấu trúc dàn bất thường
Nếu
2
X

thì

có các đồng cấu dàn bình thường. Nói cách khác, bất kì đồng cấu
dàn nào của
£( )
X
vào một dàn L có thể là đẳng cấu dàn hoặc L chỉ chứa một phần tử.
Nếu
X
chỉ chứa một hoặc hai phần tử hoặc
X
là vô hạn thì nhóm tự đẳng cấu dàn của
£( )
X
là đẳng cấu với nhóm đối xứng trên X . Nếu
X
là hữu hạn hoặc chứa nhiều hơn hai
phần tử thì nhóm tự đẳng cấu dàn của
£( )
X
là đẳng cấu với tích trực tiếp của nhóm đối xứng
trên
X
với nhóm hai phần tử.
Nếu

là một phản nguyên tử trong
£( )
X
thì

là T

X
sao cho hai phần
tử bất kì của tập con đó là phụ bù của nhau.
2.2. Dàn của các tôpô T
1
trên tập X (£
1
(X))
Nghiên cứu sâu chuyên sâu về
1
£ ( )
X
chỉ ra rằng dàn này có cấu trúc khác với
£( )
X
.
2.2.1 Dàn của các tôpô T
1

Cho
1
£ ( )
X
là tập hợp tất cả các tôpô T
1
trên X và cho






.

là một phản nguyên tử trong
1
£ ( )
X
khi và chỉ khi
{

 
G x G
hay
}
G


, ở đó
x X

và

là một siêu lọc không chính tắc trên
X
.
1
£ ( )
X
là một dàn phản nguyên tử.
2.2.3. Lực lượng của £

không có tính modular và do đó không có tính phân phân phối.
1
£ ( )
X
vừa là nửa modular trên và vừa là nửa modular dưới.
Bất kì khoảng không tầm thường trong
1
£ ( )
X
đều chứa một quan hệ phủ.
2.2.6. Phép nhúng trong £
1
(X)
Nếu L là dàn phân phối hữu hạn bất kì thì tồn tại tập
X
và các tôpô

và


trong
1
£ ( )
X
sao cho L đẳng cấu với khoảng giữa

và


.

( )
X

nhưng trước hết
tìm hiểu
2
( )
X

là gì? Và các kiến thức có liên quan. Cụ thể như sau:
2.3.1.
2
( )

X
và nhận xét
2.3.1.1.
2
( )

X
là poset của tất cả các tôpô Hausdorff trên tập hợp
X
.
2.3.1.2. Nhận xét:
2
( )

X
không phải là dàn vì cận dưới đúng không tồn tại. Rõ ràng tôpô rời rạc bao hàm

( )
X


sao cho
  
 
thì
 

hay
 

. Chúng tôi gọi

là tôpô dưới và

là tôpô trên.
Tôpô dưới và tôpô trên trong
1
£ ( )
X
được định nghĩa tương tự và được quan tâm bởi hai nhà
toán học: Offlia T. Alat và Richard G. Wilson. Hai nhà toán học này đưa ra một đặc điểm
mạnh của tôpô dưới bằng cách sử dụng điểm cực đại. Một điểm p điểm cực đại của một
không gian với tôpô

nếu p không bị cô lập và khi
U


tôpô nửa chính quy trên
Y
, kí hiệu là
S
Y
. Chúng tôi gọi
S
Y
là nửa chính quy hóa của


,
Y


2.3.2.4.Mệnh đề
(a) Một không gian là H-đóng và chính quy khi và chỉ khi nó là compact và Hausdorff.
(b) Một không gian là H-đóng, Urysohn, nửa chính quy khi và chỉ khi nó là compact và
Hausdorff.
(c) Nếu
( , )
X

là H-đóng và
U


thì
cl
X

hay
 

. Khi đó,

là tôpô dưới và

là tôpô trên. Ta gọi
 


và
 


.
2.3.2.7. Định nghĩa
Một điểm
p
gọi là điểm cực đại của một không gian với tôpô

nếu p không bị cô lập
và khi
U


và
Cl
p U


gọi là điểm cực đại trong một tập mở
U
của không gian


,
X

thì
p
là điểm
cực đại của


,
X

.
Chứng minh