Một số kiến thức cơ bản về Lượng giác

A. Biến đổi lượng giác
I. Hằng đẳng thức lượng giác
2 2
2
2
2
2
sin cos 1( )
sin
tan ( , )
cos 2
cos
cot ( , )
sin
tan .cot 1( , )
2
1
1 tan ( , )
cos 2
1
1 cot ( , )
sin
R
k k Z
k k Z
k k Z
k k Z
k k Z
  

cot cot
( , )
k
k
k
k
R k Z
  
  
  
  

 
 
 
 
  

2. Giá trị lượng giác
1 sin ,cos 1( )
R
  
    
III. Bảng giá trị lượng giác đặc

1
3
2

2
2

1
2

0
tan

0
1
3

1
3cot
3

1
1
3

 
sin sin
cos cos
tan tan
cot cot
 
 
 
 
  
 
  
  

2. Cung bù nhau:

và
 




 
 
 
sin sin
cos cos
tan tan
cot cot
  


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

4. Cung hơn kém

:

và

+





2
ta n c o t
2
c o t tan
2

 

 

 

 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
  
 
 
 
  
 
 


  
  
  

 


 


2. Công thức nhân đôi, nhân ba
2 2
2
2
2
3
3
sin 2 2sin cos
cos2 cos sin
2cos 1
1 2sin
2tan
tan2
1 tan
sin3 3sin 4sin
cos3 4cos 3cos
  
  



4




 

 








4. Công thức biến đổi tích thành
tổng
   
   
   
1
cos cos cos cos
2
1
sin sin cos cos
2

cos cos
   
 
   
 
   
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 

 

 
6. Công thức hỗn hợp
sin cos 2 cos
4
B. Phương trình lượng giác
I. Phương trình lượng giác cơ bản
1. Phương trình sinx=a
TXĐ: R
+ |a|>1: Pt vô nghiệm
+ |a|

1 pt có dạng
sinx=sin


2
2
x k
x k
 
  
 



  

(k
Z

2
x k
x k
 
 
 



  

(k
Z

)
Đặc biệt
cos 0
2
cos 1 2
cos 1 2
x x k
x x k
x x k



 
   
  
    


x k
 
  
(k
Z

)
II. Phương trình lượng giác
thường gặp
1. Phương trình bậc nhất, bậc hai,
bậc cao đối với một hàm số lượng
giác
Đặt t= hàm số lượng giác
(nếu là sinf(x), cosf(x) thì -1

t

1)
đưa về phương trình đại số rồi quy
về phương trình lượng giác cơ bản.
2. Phương trình bậc nhất đối với
sinx và cosx
*Dạng
asinx+bcosx=c
(a
2
+b
2


2 cos
2 cos
2 cos
a b c bc A
b a c ac B
c a b ab C
  
  
  

2. Định lí hàm số sin
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
  

3. Công thức diện tích tam
giác
1 1 1







 
 
1
2
' 0
' . '
1 1
' . '
1
' . '
2
n n
C
u nu u
u
u u
u u
u



 
 
 
 


sin ' 'cos
cos ' 'sin
'
(tan )'
cos
'
(cot )'
sin
u u u
u u u
u
u
u
u
u
u

 

 



 
 
 
'
' ln
1
ln '

u u
a
e u e
a a u a
u
u
u
u
u
u a





II. Quy tắc tính đạo hàm
Cho u=u(x); v=v(x) ta có
(u

v)’=u’

v’; (ku)’=ku’; (uv)’=u’v+uv’
2
' '
'
u u v uv
v v

 


i
là cỏc
nghiệm của nú.
B3: Tớnh f ”(x
i
)
B4: Dựa vào dấu của f ”
(x
i
) suy ra cực trị
( f ”(x
i
) > 0 thỡ hàm số
cú cực tiểu tại x
i
; ( f
”(x
i
) < 0 thỡ hàm số cú
cực đại tại x
i
)

3. Tiệm cận của đồ thị hàm số
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C)
 y = y
0
là tiệm cận ngang của nếu một trong
hai điệu kiên sau được thoả món:
0 0
Trong đó tại x
0
thỡ f’(x
0
) bằng 0 hoặc không xác
định
 Để tỡm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x)
trờn [a; b]:
B1: Tỡm caực giaự trũ x
i



;
a b
 (i = 1, 2, ,
n) laứm cho ủaùo haứm baống 0 hoaởc
khoõng xaực ủũnh .
B2: Tớnh
1 2
( ), ( ), ( ), , ( ), ( )
n

y'
b
x
0a
x

B. Nguyên hàm
I. Bảng nguyên hàm
1
2
1
2
1
dx x C
x
x dx C
dx
x C
x
dx
C
x x




 

 
  





2
2
sin cos
cos sin
tan
cos
cot
sin
xdx x C
xdx x C
dx
x C
x
dx
x C
x
  
 
 
  




x
x
e dx e C
a
a dx C
a
dx
x C
x
 
 
 




ln
ln
u u
u
u
e du e C
a
a du C
a
du
u C
u
 
 

( )
t a t
t b t
 
 
  
  I=
( ( )) '( )
f t t dt


 
2. Phương pháp đổi biến dạng 2:
Ta cần tính
( )
b
a
f x dx

=
 
( ( )) '
b
a

g t dt




3. Phương pháp tích phân từng phần
B1. Chọn u, dv tính du, v
B2. Lắp công thức
b b
b
a
a a
udv uv vdu
udv uv vdu
 
 
 
 III. ứng dụng nguyên hàm tích phân vào diện tích, thể tích
1. Diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x), trục Ox và
hai đường thẳng x = a, x = b (a < b ) là
( )
b
a
S f x dx






 C. Số phức
1. Số phức: Một biểu thức dạng z = a + bi, trong đó a và b là những số thực và
i thỏa mãn i
2
= -1 được gọi là một số phức.
a được gọi là phần thực, b được gọi là phần ảo
i được gọi là đơn vị ảo.
Tập các số phức được kí hiệu là 
Số phức có phần ảo bằng 0 gọi là số thực nên R

.
Số phức có phần thực bằng 0 gọi là số ảo.
0 = 0 + 0i là số vừa thực vừa ảo.
2. Hai số phức bằng nhau

z a+bi (a,b )
z' a'+b' i (a',b' )
'
z z'

z' a'+b' i (a',b' )
zz' ' ' ( ' ' )
aa bb ab a b i
 
 
   


5. Môđun của số phức, số phức liên hợp
z = a +bi (a, b


) thì môđun của z là
2 2
z = a +b

z = a +bi (a, b


) thì số phức liên hợp của z là
z
= a - bi.
Ta có:

2
2 2
zz' = z z' , zz a b z
z + z' = z + z', zz'=z z', z = z
  


 
 
 
.
7. Biểu diễn hình học của số phức
Số phức z = a + bi (a, b


) được biểu diễn bởi M(a; b) trong mặt phẳng
toạ độ Oxy hay còn gọi là mặt phẳng phức.
Trục Ox biểu diễn các số thực gọi là trục thực, trục Oy biểu diễn các số ảo gọi
là trục ảo
Số phức z = a + bi (a, b


) cũng được biểu diễn bởi vectơ
( ; )
u a b


, do
đó M(a; b) là điểm biểu diễn của số phức z = a + bi (a, b


) cũng có nghĩa
là
OM

biểu diễn số phức đó.
8. Định nghĩa căn bậc hai của số phức





Bình phương 2 vế của (1) và (2) rồi cộng lại ta được
2 2 2 2
x y a b
  

Do vậy ta được hệ:
2 2
2 2 2 2
(1)
(2')
x y a
x y a b

 


  



Giải hệ tìm được
2
x
và
2
y


.
+ Nếu

= 0 thì pt có nghiệm kép:
1 2
2
b
x x
a
   .



1
; ;
3
ˆ
. . ( ; )
`
KC KLT
KHCN day
V Bh V Bh
V a b c B S h Chie u cao

 
  

7. Diện tích thể tích các khối tròn xoay
S
cầu
=
2
4 R

V
cầu
=
3
3
4
R



,
2 2 2
b (x ;y ;z )


, k  R khi đó :
1.
1 2 1 2 1 2
a b (x x ; y y ;z z )
    
 

2.
1 1 1
k.a (kx ;ky ;kz )



3.
1 2 1 2 1 2
a b x x ;y y ;z z
    
 

4.
1 2 1 2 1 2
a.b x .x y .y z .z
  
 

3. Tọa độ của một điểm :
* Tọa độ của vectơ
OM

là tọa độ của điểm M. Như vậy ta có :
OM (x;y;z) M (x ; y ; z)
  


* Cho tứ diện ABCD với : A(x
A
; y
A
; z
A
), B(x
B
; y
B
; z
B
), C(x
C
; y
C
; z
C
) ta cú
:
1.

x x x y y y z z z
x ;y ;z
3 3 3
     
  

5.
G G G
G(x ;y ;z )
là trọng tõm tứ diện ABCD
thỡ
; ;
4 4 4
A B C D A B C D A B C D
G G G
x x x x y y y y z z z z
x y z
        
  

4. Tích có hướng của hai vectơ:
Cho vectơ
1 1 1
a (x ; y ; z )


,
2 2 2
b (x ; y ; z )


Chỳ ý:1. Hai vectơ
a

và
b

cùng phương khi và chỉ khi
 


[a,b] 0

2. Ba vectơ
a

,
b

và
c

đồng phẳng khi và chỉ khi
[a,b].c 0
 



3.
 



2. Thể tớch của hỡnh hộp ABCD.A
/
B
/
C
/
D
/
:
/ / / /
/
ABCD.A B C D
V AB,AD .AA
 

 

 

3. Thể tớch của khối tứ diện ABCD :
ABCD
1
V AB,AC .AD
6
 

 
  


II.PHƯƠNG TRèNH MẶT PHẲNG
1. Ph trỡnh mặt phẳng (

) có vectơ pháp tuyến
n (A ; B ; C)


và đi qua
điểm M(x
0
, y
0
, z
0
)
cú dạng () :
0 0 0
A(x x ) B(y y ) C(z z ) 0
     

2. Phương trỡnh tổng quỏt của mặt phẳng: ():Ax +By+Cz+D= 0(A
2
+B
2
+C
2

>0) với
C)
; B ; (An 

x


(a.b.c≠ 0)
4. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng:
Cho hai mặt phẳng: () : A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0, () : A
2
x + B
2
y + C
2
z
+ D
2
= 0
 () cắt ()  A
1
: B
1
: C
1
 A

1
2
1
D
D
C
C
B
B
A
A

*
1 2 1 2 1 2
( ) ( ) 0
AA BB CC
 
    

5. Khoảng cách từ một điểm M(x
0
; y
0
; z
0
) đến mặt phẳng () : Ax + By + Cz
+ D = 0 là:

 
222

( ) ( )
( ) ( )
| . |
| |.| |
n n
n n
 
 
 
 
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
CBACBA
CCBBAA



.


b) Phương trỡnh chớnh tắc  :
c
zz
b
yy
a
xx
000





(a.b.c
≠ 0)2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
Đường thẳng 
1
đi qua M
1
(x
1
; y
1
; z
1
), vectơ chỉ phương
)c ; b; (

: : : :
u u M M
a b c a b c

 


 




  

b) 
1
// 
2
 a
1
: b
1
: c
1
= a
2
: b
2
: c
2

2
– x
1
) : (y
2
– y
1
) : (z
2
– z
1
)
d) 
1
chộo 
2

1 2 1 2
u ,u M M 0
 
 

 
 


3. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Cho đường thẳng  đi qua M(x
0
; y


n
và có điểm chung 





0DCzByAx
0CcBbAa
000

4.Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng

đi qua M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) có vectơ
chỉ phương c) ; b; (au 

là:
0
,
( ; )
| |

1
; z
1
), vectơ
chỉ phương )c ; b; (
111
1
au 

và 
2
đi qua M
2
(x
2
; y
2
; z
2
), vectơ chỉ phương
)c ; b; (
222
2
au 


Khoảng cách giữa hai đường thẳng 
1
và 
2

có vectơ chỉ phương
2
2 2 2
u (a ; b ; c )

 .
Gọi

là góc giữa hai đường thẳng 
1
và 
2
ta cú
1 2
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
1 2
u .u
aa b b c c
cos
a b c . a b c
u . u
 
 
 
  
   

7. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: