Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti
2009
1
Chƣơng 6 PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
I. Khái niệm
Dạng tổng quát:
, ,
, ,
= 0
Với x là biến số, = () là hàm số phải tìm,
,
, ,
()
là các đạo hàm các
cấp của = ().
Nghiệm của phương trình vi phân là mọi hàm số thỏa mãn phương trình đó.
Ví dụ :
+ = 0
Là phương trình vi phân cấp 2 có nghiệm là = sin() hoặc = . sin()
Phương trình vi phân tuyến tính cấp n:
, ,
, () là những hàm cho trước.
II. Phƣơng trình vi phân cấp 1
1. Khái niệm
a. Dạng:
, ,
= 0 (1) hoặc
=
,
(2)
Nếu từ (1) ta tìm được hàm số = (, ) với là hằng số tùy ý thì = (, )
gọi là nghiệm tổng quát của (1).
Đôi khi ta không tìm được nghiệm tổng quát của (1) mà tìm được một hệ thức
dạng:
, ,
2
2
là nghiệm tổng quát của phương trình, =
2
2
là nghiệm
riêng.
Nếu ta biểu diễn nghiệm tổng quát dưới dạng hệ thức
2
2
= 0 thì ta được
tích phân tổng quát, cho = 1 thì ta có +
2
2
= 0 là tích phân riêng.
b. Bài toán Cauchy
Tìm nghiệm = () của phương trình
= (, ) thỏa mãn điều kiện ban đầu:
0
=
0
a. Dạng 1:
=
.
(2.1)
Phƣơng pháp giải
Nếu
0 thì ta có
()
=
Suy ra tích phân tổng quát :
()
=
1 +
2
= +
=
2
2
+
b. Dạng 2 :
+
= 0 (2.2)
Phƣơng pháp giải
Ta có tích phân tổng quát :
+
1
()+
2
2
()= 0 (2.3)
Phƣơng pháp giải
Nếu
2
1
0 chia 2 vế cho
2
1
1
2
+
2
1
()
=
Nếu từ
1
= 0 ta có nghiệm = thì đây là nghiệm riêng của phương trình
Nếu từ
2
2
= 0
Tích phân tổng quát :
1 +
2
+
1 +
2
=
1
2
1 +
2
+
1
2
1 +
2
=
d. Dạng 4 :
= (+ )
2
1
Đặt = +
= 1 +
= 1 +
2
1
Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti
2009
5
=
2
Nếu 0 chia 2 vế cho
2
ta có :
2
=
1
= + , thay vao ta có:
=
Nếu
0, ta có :
=
Suy ra tích phân tổng quát :
2009
6
ta có thể kiểm tra
,
=
,
, thì cho =
1
ta có
,
=
,
=
1,
= (
=
Tích phân 2 vế ta có :
=
=
+
Chú ý 2:
Phương trình
= (
1
+
1
+
1
2
+
2
+
+
2
= 0
, khi đó :
=
=
Thay vào ta có :
Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti
2009
7
= (
1
+
2
+
2
Ta có :
=
2
+
2
(
+
1
+
2
)
Đây là phương trình biến số phân ly.
Ví dụ : Giải phương trình vi phân
+ 2
+ 4
= 0
Giải
Nếu + 4 0 phương trình đã cho tương đương với :
ta có = và
=
+ =
1 +
1
=
2
+ 1
1
1
1 +
2
=
Lấy tích phân 2 vế
Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti
2009
ta có
=
2
+
2
Thay = 3 và = + 1 ta được tích phân tổng quát
3
+1
=
(3)
2
+ (+ 1)
2
4. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 1
a. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất
=
4.2
Với p
x
, q(x) là các hàm cho trước.
Phƣơng pháp giải
Có nghiệm tổng quát là
y =
(+
=
1
+
2
Với
1
là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất
tương ứng và
2
là nghiệm riêng của phương trình vi phân tuyến tính cấp 1
không thuần nhất tìm được bằng phương pháp biến thiên hằng số đối vơi
1
.
Ví dụ :Giải phương trình
=
5.1
Phƣơng pháp giải
Nếu = 0 hoặc = 1 thì đây là phương trình tuyến tính
Nếu 0 và 1 bằng cách chia cả 2 vế cho
và đặt =
1
ta có :
+
1
=
2
Đặt =
3
ta có
= 3
4
, thay vào phương trình ta có :
Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti
2009
10
3
= 3
2
Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 theo nên có nghiệm tổng quát :
=
3
(3
= 0 (6.1)
Với
,
, (, ) là các hàm liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong
miền D và thỏa mãn điều kiện :
(, )
=
(, )
(6.2)
Phƣơng pháp giải
Khi đó tích phân tổng quát có dạng :
,
0
+
0
,
Ví dụ: Giải phương trình:
4
2
+
+
4
2
+
= 0
Giải
= 4
2
+ , = 4
2
+
Do
Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti
2009
11
(, )
=
(, )
,
+
,
= 0 không phải là
vi phân toàn phần. Khi đó ta có thể tìm được hàm (, ) sao cho phương trình
,
,
+
,
,
= 0 (6.3)
Là phương trình vi phân toàn phần. Khi đó nghiệm tổng quát của (6.1) và (6.3) là
như nhau.
Hàm số (, ) gọi là thừa số tích phân được tìm dựa vào đẳng thức
()
Trường hợp 2: Nếu
(, )
(, )
(, )
= ()
Thì thừa số tích phân
,
=
=
Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti
2009
(, )
=
2
Nên ta tìm
,
=
=
2
=
1
2
Phương trình đã cho có cùng nghiệm tổng quát với phương trình
2
4+
=
+
(7.1)
Trong đó là một hàm khả vi
Phƣơng pháp giải
Đặt
= ta có = + (). Lấy đạo hàm 2 vế đối với biến ta có :
= +
+
=
Hay
+
+ ()
Ví dụ: Giải phương trình
=
1
4
()
2
Giải
Đây là phương trình Clairaut với
=
1
4
(
)
2
. Thực hiện như trên ta có nghiệm
tổng quát là
(8.1)
Trong đó , là các hàm khả vi.
Phƣơng pháp giải
Đặt = ta có=
+ (), lấy đạo hàm 2 vế theo ta có:
=
+
+
=
+ ()
Ví dụ: Giải phương trình
=
2
+
2
Giải
Đặt = ta có =
2
+
2
, lấy đạo hàm 2 vế ta có :
=
2
+ 2
+ 2
=
Hay
2
1
2
1
)
=
(1)
2
Suy ra nghiệm tổng quát dưới dạng tham số :
=
(1)
2
=
(1)
2
2
+
2
Nên =
+
Vậy nghiệm tổng quát tìm được dưới dạng tham số
=
=
+
Ví dụ: Giải phương trình:
=
+
Giải
Đặt = ta có = + nên =
+ 1
+
b. Dạng =
(9.2)
Phƣơng pháp giải
Đặt = ta có = () nên =
. Mặt khác
=
=
=
(
)
2
Giải
Đặt = ta có =
2
suy ra =
2
2
Nên =
=
2
III. Phƣơng trình vi phân cấp 2
1. Khái niệm
Dạng:
, ,
,
= 0 (3) hoặc =
, ,
(4)
Nếu từ (3) ta tìm được hàm số = (,
1
,
2
) với
1
,
2
là hằng số tùy ý thì
= (,
1
,
2
2. Các phƣơng trình vi phân cấp 2 giải đƣợc bằng phƣơng pháp hạ cấp
a. Dạng:
=
(2.1)
Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti
2009
17
Phƣơng pháp giải
Lấy tích phân 2 lần liên tiếp ta có nghiệm tổng quát
=
+
1
+
Ví dụ: Giải phương trình:
=
2
+
(2.2)
Phƣơng pháp giải
Đặt = , phương trình đã cho được đưa về dạng:
= (, )
Đây là phương trình vi phân cấp 1, giải phương trình này ta tìm được rồi từ đó
tìm được .
Ví dụ: Giải phương trình:
=
Giải
Đặt = ta có:
=
+
Do đó :
=
2
3
+
1
Nên :
= (
2
3
+
1
)+
2
=
3
9
+
1
=
. = (, )
Suy ra :
=
,
Đây là phương trình vi phân cấp 1, giải đươc ra rồi từ đó tìm được
Ví dụ : Giải phương trình :
2
= 0
Giải
Đặt
= suy ra
=
=
1
Ta có
=
1
=
1
Lấy tích phân ta có:
=
1
+
2
=
2
Đặt
= với là hàm của , ta có :
=
+
=
2
+
= (
2
+
)
Thay vào ta có :
(,, ,
2
+
)
Đặt
= với là hàm của , ta có :
=
+
=
2
+
= (
2
+
)
Thay vào ta có :
3
2
2
= 4
2
(
2
+
+ 1)
1
)
= (
1
)+
2
= 4
1
+
2
=
2
4
1
3. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 2
1
+
0
= 0 (6)
Là phương trình vi phân cấp 2 thuần nhất, ngược lại gọi là phương trình vi phân
tuyến tính cấp 2 không thuần nhất.
Nếu
0
(),
1
() là các hằng số thì gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 2
với hệ số hằng.
Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti
2009
21
b. Các định lý về cấu trúc nghiệm
Định lý 1 :
Nếu
1
/
2
() ) thì
1
1
+
2
2
là nghiệm tổng quát của (6).
Định lý 2 :
Nếu đã biêt một nghiêm riêng
1
() 0 của (6) thì nghiệm riêng
2
() khác của
(6) tìm được bằng cách đặt
2
(5) bằng nghiệm tổng quát của phương trình (6) cộng với nghiệm riêng của (5).
Định lý 4 (nguyên lý chồng chất nghiệm)
Nếu
là nghiệm riêng của phương trình
+
1
+
0
=
thì
=
1
+
+
2
+ +
Định lý 5 (Phƣơng pháp biến thiên hàng số Lagrange)
Nếu
1
,
2
() là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của (6) thì phương trình (4)
nghiệm riêng dạng =
1
1
+
2
= 0
1
1
+
2
2
= ()
Ví dụ : Tìm nghiệm tổng quát của phương trình
=
2
2
+1
2
=
2
+ 1
2
=
1
=
2
1
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
=
1
+
2
(
2
1)
1
(1)
2
1
+
= 0
1
+ 1
2
= 0,
1
= 0
1
2
= 0
= 1
)
2
=
1
1
+
1
2
=
Vậy nghiệm tổng quát là
=
1
2
Ví dụ : Giải phương trình :
=
Giải
+
2
2
Bây giờ ta tìm nghiệm riêng của phương trình
=
Bằng cách đặt =
1
() +
2
()
2
Trong đó
1
,
2
thỏa mãn hệ :
1
2
=
1
2
1
=
1
6
3
2
=
1
2
c. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng
Dạng tổng quát:
+
1
+
0
=
(3.1)
Với
1
,
0
là các hằng số.
Phƣơng pháp giải
Bƣớc 1: ta tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng
+
1
+
+
2
2
Có nghiệm kép
0
thì nghiệm tổng quát của (3.2) là:
=
1
0
+
2
0
Có nghiệm phức: ± thì nghiệm tổng quát của (3.2) là:
=
(
1
+
2
2
Ví dụ: Giải phương trình:
2
+ = 0
Giải
Phương trình đã cho là phương trình tuyến tính cấp 2 thuần nhất với hệ số hằng
nên có phương trình đặc trưng:
2
2+ 1 = 0 = 1
Vậy phương trình đặc trưng có nghiệm tổng quát là:
=
1
+
2
Ví dụ: Giải phương trình:
Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti
2
)
Tìm nghiệm riêng của phƣơng trình tuyến tính không thuần nhất (3.1)
- Phương pháp chung là dựa vào nghiệm tổng quát của phương trình thuần
nhất tương ứng rồi sử dung phương pháp biến thiên hằng số Lagrange để tìm
nghiệm riêng, tuy nhiên trong vài trường hợp đặc biệt của hàm () (ở vế phải) ta có
thể tìm nghiệm riêng một cách đơn giản hơn
Trƣờng hợp
=
(), với () là đa thức bậc n.
Nếu không là nghiệm của đa thức đặc trưng (3.3) thì ta tìm nghiệm riêng
của (3.1) dưới dạng:
=
()
Với () là đa thức bậc n chưa biết, để tìm () ta thay vào phương trình (3.1) rồi
đồng nhất hệ số sẽ tìm được các hệ số của ().
Nếu là nghiệm đơn của đa thức đặc trưng (3.3) thì ta tìm nghiệm riêng
của (3.1) dưới dạng:
=
()
Nếu là nghiệm kép của đa thức đặc trưng (3.3) thì ta tìm nghiệm riêng
Copyright: Tài liệu đại học ©