1 TRƢƠNG TẤN TÀI TÀI LIỆU ÔN THI CẤP ĐẠI HỌC

MÔN HỌC: TOÁN CAO CẤP I


PHƢƠNG PHÁP GIẢI NHANH TOÁN CAO CẤP 1
TẬP 1
Sinh viên thực hiện: TRƢƠNG TẤN TÀI
Gmail: Tp. Hồ Chí Minh, tháng 11 năm 2013

2


1. Đạo hàm cấp cao 12
2. vi phân cấp cao 13
e. Ứng dụng đạo hàm tính gần đúng 13
VII. CÔNG THỨC MACLAURIN 13
VIII. HƢỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP 14
IX. TÀI LIỆU THAM KHẢO 17 3 TRƢƠNG TẤN TÀI I. DÃY TĂNG, DÃY GIẢM, DÃY KHÔNG ĐƠN ĐIỆU, BỊ CHẶN TRÊN, BỊ CHẶN
DƢỚI
Kinh nghiệm: - dãy giảm ví dụ: 0,-1,-2,-3, ,-

.
- dãy tăng ví dụ: 0,1,2,3,…,+

.
- dãy không tăng cũng không giảm thì được gọi là dãy không đơn điệu ví dụ: -1,1,-1,1,-1,1…
- bị chặn dưới là số bé nhất có thể là chúng ta có thể thế ra một số và có khi thế số đó nó sẽ ra là

, không bị chặn dƣới khi dãy cứ dần về -

mà chúng ta không xác định một số nhất định.
- bị chặn trên là số lớn nhất có thể , không bị chặn trên khi dãy cứ tăng mãi về +


n
= (-1)
n
, tính chất có thể có của dãy này là
A. Dãy tăng, bị chặn dƣới bởi -1, bị chặn trên bởi 1.
B. Dãy không đơn điệu, bị chặn dƣới bởi -1, bị chặn trên bởi 1.
C. Dãy không đơn điệu và chỉ bị chặn trên bởi 1.
D. Dãy giảm, bị chặn dƣới bởi -1, bị chặn trên bởi 1.
Câu 3. Cho dãy {x
n
} với x
n
= n
2
, tính chất có thể có của dãy này là
A. Dãy tăng, bị chặn dƣới bởi 0, bị chặn trên bởi +

.
B. Dãy giảm, bị chặn trên bởi 0 , không bị chặn dƣới.
C. Dãy tăng, bị chặn dƣới bởi 0, không bị chặn trên.

4 TRƢƠNG TẤN TÀI D. Dãy không đơn điệu, bị chặn dƣới bởi 0, không bị chặn trên.
II. HÀM SỐ CHẴN, HÀM SỐ LẺ, HÀM SỐ TUẦN HOÀN, HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU, HÀM
SỐ HỢP

)(
2


xxxg
xxf
hàm f(x), g(x) lần lƣợt là hàm
A. Hàm chẵn; Hàm lẻ. B. Hàm lẻ; Hàm không chẵn cũng không lẻ.
C. Hàm lẻ; Hàm chẵn. D. Hàm chẳn; Hàm không chẵn cũng không lẻ.
Câu 6. Cho hai hàm số sau
3)(
)5()(
3
2


xxg
xxxf
, hàm g[f(x)] là
A.
3)5(
3
2
 xx
C.
3
2
)5(32  xx

B.


Kinh nghiệm bấm máy tính: Dùng máy tính thay một giá trí x vào hàm đã đổi biến giải nghiệm
một ẩn y còn lại , sau đó thay x,y vừa tìm đƣợc vào các đáp án , đáp án nào đúng thì đáp án đó
CHÍNH XÁC .
Chú ý với hàm hyperbolic : sinh(x) =
2
xx
ee


, cosh(x) =
2
xx
ee



Bài tập ứng dụng
Câu 7. Cho hàm số y =
 


,),(
2
1
xee
xx
, hàm ngƣợc của hàm này là
A.y =
)1ln(

1
sin
lim
0


x
x
x
2.
1
tan
lim
0


x
x
x
3.
1
arctan
lim
0


x
x
x



7.
1
1
lim
0



x
e
x
x
8.
2
1cos1
lim
2
0



x
x
x
9.
1
)1ln(
lim
0




x
x

13.
1,lim 



a
x
14.
e
x
x
x


)
1
1(lim
15.
x
x
sinlim

không tồn tại
[ Thật ra, phần này chúng ta cũng không cần nhớ máy móc thế này . Đến phần bài tập sẽ có phần


TRƢƠNG TẤN TÀI 6. 1
2
+ 2
2
+ … + n
2
=
6
)12)(1(  nnn

d. Phƣơng pháp giải nhanh trắc nghiệm bằng máy tính Casio 570ES
 Tính lim nhanh trong vài giây
- Trƣớc khi tính vui lòng xóa hết bộ nhớ máy chứ không máy không thể tính nỗi các bài có biến
nhớ nhiều bằng cách bấm: SHIFT 9 3 = =
- Xác định các nút sau trên máy tính ALPHA, CALC, SHIFT, X.
- Phƣơng pháp giải nhanh với bài toán tìm giới hạn:
+ Luôn thực hiện nhập biểu thức bình thƣờng trƣớc vào máy [Cách gõ chữ x, bấm ALPHA X].
Sau đó, ấn phím CALC , màn hình hiện hàng chữ X ?. Vui lòng đến đây dừng và đọc tiếp cách
chọn số với từng dạng đƣợc hƣớng dẫn ở bƣớc sau.
+ Dạng toán 1: khi x


 Nhập từ 8 số 9 đến 12 số 9 sẽ có đƣợc kết quả lim “ tốt nhất thì nên chọn từ 8 đến 9 số 9
bởi vì khoảng này thường đúng 100%”. Thật ra, đối với một số bài toán chỉ cần nhập 3 số
9 hoặc 4,5 số 9 đã có kết quả nhƣng tốt nhất nên nhập một số vô cùng lớn sẽ có kết quả
nhƣ ý hơn.Chú ý với khi x dần về “ – “ vô cùng thì phải dấu “ – “ trƣớc các số 9.

lim



Bƣớc 1. Nhập biểu thức trong lim vào máy tính.
Bƣớc 2. Ấn CALC khi máy hiện ra hàng chữ X ? là ok.

7 TRƢƠNG TẤN TÀI Bƣớc 3. Vì x dần về 0 nên ta nhập môt số vô cùng nhỏ và làm tròn nó sẽ về 0. Nhập 0,0…1 với 9
số 0, ấn “ = “ máy tính cho kết quả
1334,0
5000
667

. Đáp án bài lim này là
15
2
.
+ Dạng 3. Khi x


o
x

 Dạng này nhập giống y nhƣ dạng 2, nhƣng chú ý là nó dần về từ “ – “ hay là dần về từ

- Khi giải các bài lim lƣợng giác phải đƣa về RAD bằng cách bấm SHIFT 4.
- Đối với một số bài cho kết quả một số vô cùng lớn thì đó là

. Nếu có “ – “ phía trƣớc
là -

, ngƣợc lại không có là +

.
- Tính máy tính không chuẩn xác 100% với các bài toán lim quá rờm rà quá khó rất nhiều
biểu thức, nhƣng đối với khi thi giữa kì toán cao cấp 1 thì khả năng bấm đƣợc là 99,99%.
Bài tập ứng dụng
Câu 8[3]. Giới hạn
)
sin
11
(lim
0
xx
x


bằng
A.0 B.1 C.2 D.4
Câu 9[4]. Giới hạn
1sin1
1
lim
2
0










bằng
A.1 B.
3
1
e
C.e
3
D.
3
2
1
e

Câu 11[4]. Giới hạn
1ln
1
lim
1




A.0 B.
4
3
C.

2
3
D.

4
3

Câu 13[1]. Giá trị của a để hàm số 










liên tục tại x
o
= 2 là
A.2 B.4 C.3 D.5
Câu 14[5]. Giới hạn
1
1

bằng
A.
n
m
B.

C.+

D.
m
n

Câu 16[1]. Giới hạn
x
xx
n
m
x



11
lim
0
bằng
A.
nm


B.
A.
nm


B.
nm


C.
mn


D.
mn



Câu 18[1]. Giới hạn









)1(

 Điểm gián đoạn loại 1: giới hạn trái
)(

o
xf
và phải
)(

o
xf
tồn tại và hữu hạn.
+ Nếu
)(

o
xf
=
)(

o
xf

x
o
là điểm khử đƣợc.
+ Nếu
)(

o
xf

kx 
2
, loại 2. C.


kx 
2
,khử đƣợc. D.

x
,điểm nhảy.
V. MIỀN XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ
- Xem lại phần kiến thức cấp 3 tìm TXĐ của hàm số . Ở đây chỉ nêu lại các bƣớc làm:
+ Viết tất cả các điều kiện xác định của hàm số ( ví dụ biểu thức dƣới dấu căn bậc 2 phải
lớn hơn hoặc bằng 0, biểu thức dƣới mẫu phải khác 0,…).
+ Giải các bất phƣơng trình.
+ Trong trƣờng hợp có quá nhiều tập nghiệm của bất phƣơng trình dùng đƣờng thẳng để
tìm ra MXĐ cuối cùng của hàm số.
Kinh nghiệm: Đối với các bài toán TXĐ thì khi làm trắc nghiệm cách làm sẽ nhƣ sau sẽ nhanh
hơn nhiều so với cách giải tự luận.
Bƣớc 1. Nhìn vào đáp án xem thử có đáp án nào có loại tại một điểm x
o
nào không và thay điểm
đó vào hàm số. Nếu tại điểm đó không xác định ta nhận điểm đó.
Bƣớc 2. Nếu nhƣ không có loại điểm x
o
nào thì thế 2 đầu mút vào để xem có thỏa mãn không,
nếu thõa mãn ta nhận. Điều kiện để nhận TXĐ là khoảng đó phải là khoảng chứ nhiều điểm nhất,

10

] D.[1.e]
VI. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
a. Các công thức cần nhớ
1
( )'
nn
x nx



1
[( ( )) ]' ( ( )) . '( )
nn
f x n f x f x



( inx)' cossx

( inf(x))' '( ).coss f x x

1
( )'
2
x
x


'( )
( ( ))'

( . )' ' 'uv u v v u

2
1
(cotx)' = -
sin x

2
'( )
(cotf(x))' = -
sin
fx
x

2
''
( )'
u u v v u
vv



2
11
( )'
vv



2
'
1
1
)cot(
x
xarc




xx cosh))(sinh(
'


xx sinh))(cosh(
'


x
x
2
'
cosh
1
)(tanh 

x
x

x
x
a
a dx C
a



3.
1
ln | |dx x C
x


8.
2
1
cotx
sin
dx C
x
  


4.
sinx osdx c x C  

9.
2
1


      



11
dx ln ax b C (ax b 0, a 0)
ax b a
     

ax b ax b
1
e dx e C (a 0)
a

  


1
cos(ax b)dx sin(ax b) C (a 0)
a
    


1
sin(ax b)dx cos(ax b) C (a 0)
a

''
'
xfxy
yx 

- Đối với đạo hàm của hàm đƣợc cho bởi phƣơng trình tham số:
)('
)(
)(
'
'
tx
ty
xy 

Với dạng bài tập này cũng chỉ cần nhớ công thức và bấm máy tính nhƣ phần 1.
Câu 22. Cho hàm số x = a.cos
3
t, y = b.sin
3
t với t







2
,0

ye
ex
y
yx
yx
sin
.23
'
2
22





B.
ye
ex
y
yx
yx
sin
.23
'
2
22







12 TRƢƠNG TẤN TÀI d. đạo hàm và vi phân cấp cao
1. Đạo hàm cấp cao
- Đạo hàm cấp 2 theo tham số t:
)('
)()]'('[
)("
tx
txy
xy 

- Ứng dụng qui tắc Leibnitz:

)(
0
)()(
)()(
k
n
k

k – n
( n  k )
- Với f
(n)
(x) = e
x
 f
(n)
(x) = e
x

- Với f(x) = sinx 
































- Với f(x) =


















x
e
xx
B.
1
2
5216


x
e
xx
C.
1
2
5216


x
e
xx
D.
1
2
5216


x
e


2. vi phân cấp cao

nnn
xdyyd
dxxydy
)](.[)(
)('
)()(



Câu 27. Đạo hàm bậc 2 tại x = 0 của hàm số y = cos
2
(2x) bằng
A 8 B.8[d(x)]
2
C 8[d(x)]
2
D.8d(x)
e. Ứng dụng đạo hàm tính gần đúng
Công thức cần nhớ:
xxfxfxxf
ooo
 ).(')()(

Câu 28. Giá trị gần đúng nhất của arccos(0,51) là
A.1,03 B.1,04 C.1,05 D.1,06
VII. CÔNG THỨC MACLAURIN
- Giả sử hàm số f có các đạo hàm đến cấp

q
= < q<
+
(phần dƣ dạng lagrange)
Hoặc
( )
( )
( )
( )
n1
n
n1
n
fx
R x 1 x , 0 1
n!
+
+
q
= - q < q<
(phần dƣ dạng Cauchy).
- Công thức Taylor:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )

( )
2 3 n 1
n
n1
x x x 1
2 ln 1 x x 1
23
n1
1x
+
+
+ = - + - + -
+
+q14 TRƢƠNG TẤN TÀI ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
n
n
1 1 n 1
3 1 x 1 x R x
1! 2! n !

= - + - + + - +

Câu 29. Tìm khai triển Maclaurin của
34
81
)(
2


xx
xf
đến cấp 2
A.f(x) = 27 + 36x + 39x
2
+ o(x
2
) B.f(x) = 27 - 36x + 39x
2
+ o(x
2
)
C. f(x) = 27 + 36x + 9x
2
+ o(x
2
) D.Ba câu kia sai
VIII. HƢỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
Câu 1. C
Câu 2. B
Câu 3. C

)
cossin
1cos
(lim
0
xxx
x
x



=
)
sin.coscos
cos
(lim
0
xxxx
x
x



=
0
011
0


. Chú ý dạng bấm máy tính phải chuyển ra RAD mới ra đáp án chính xác. A

xe
x
e
x
x
x
x
x

Vì e
2
1
2
xe
x

vì x
2

0
khi x
0
.A
Câu 10.
3
2
3
52
31
lim)31)(1




.B

15 TRƢƠNG TẤN TÀI Câu 11.
)
0
1
(
1
1
)ln1(
lim
1ln
1
lim
11
1






0
0
(
)1(
1
lim)
1
11
(lim)(lim
00
'
000
'












xxx
x
x
L
xx

a
.D
Câu 13. Ta có
ax
x
x
xx




4)2(lim
2
4
lim
2
2
2
.B
Câu 14. D
Câu 15. A
Câu 16. A
Câu 17. B
Câu 18.










nnn
nn
.A
Câu 19. A. ( Chú ý câu này khi nhập chúng ta chỉ cần nhập vào máy tính ở bƣớc 2 là 0,1 mới cho
đƣợc đáp án đúng ).
Vậy kết luận nhập X là một số 0,…1 trong đó … thuộc đoạn từ 0 đến 12 số 0.
Câu 20.A
Câu 21. Điều kiện xác định của hàm số là 













 

.A
Câu 22. B
Ta có x’(t) = -3a.sint.cos
2

)’ = ( x
3
+ cosy )’

( 2x + y )’.e
2x + y
= 3.x
2
– y’.siny

( 2 + y’ ).e
2x + y
= 3.x
2
– y
’
.siny

ye
ex
y
yx
yx
sin
.23
'
2
22



)(" e
t
t
e
t
te
tx
txy
xy
t
tt







Phương pháp giải trắc nghiệm:
Bƣớc 1: Phải tính đƣợc y’(x) “ Yêu cầu tính bằng tay “
Bƣớc 2: Dùng máy tính để tính nhanh y”(x) =
tx
tx
tx
dx
d
xy
dx
d



= (4 – x
2
).(-1)
8
.e
1 – x
+ 8.(-2x).(-1)
7
.e
1-x
+ 28.(-2).(-1)
6
.e
1-x
= (4 – x
2
+ 16x – 56).e
1-x

=
1
2
5216


x
e
xx



arccos(0,51) = f(0,51) = f(x
0
+ )  f(x
0
) + f’(x
0
). = 1,04.
Phƣơng pháp thi trắc nghiệm:
Ta chỉ cần chọn x
o
và
x
rồi nhập và máy tính bấm ở phần f’(x
o
) tính tƣơng tự nhƣ phƣơng tính
nhanh đạo hàm bằng bấm máy tính phía trên đã giới thiệu.
Câu 29. A Thực hiện đạo hàm 2 lần liên tiếp và áp dụng công thức Maclaurin để suy ra kết quả.
IX. TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] “ Toán học cao cấp – tập 2 “ , Nguyễn Đình Trí ( chủ biên ), Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ
Quỳnh, Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam.
[2] “ Giải tích 1 “ , Học viện bƣu chính viên thông.
[3] “ Đề thi toán cao cấp B
1
“ lớp CNTT , năm 2010-2011.
[4] “ Đề thi toán cao cấp B
1
– khoa khoa học “, Đại học nông lâm TP.HCM, ngày 21-8-2013.
[5] “ Đề thi toán cao cấp A
1