SỞ GD VÀ ĐT HẢI DƯƠNG
CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM
TRƯỜNG THPT ĐOÀN THƯỢNG
GV : NGUYỄN TRƯỜNG SƠN
CHUYÊN ĐỀ
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
- Các phương pháp giải PT vô tỉ 1) Phương pháp lũy thừa.
2) Phương pháp đặt ẩn phụ.
3) Phương pháp biến đổi thành tích.
4) Phương pháp nhân liên hợp
5) Phương pháp đánh giá.
6) Phương pháp hàm số.
- Các phương pháp giải BPT vô tỉ 1) Phương pháp lũy thừa.
2) Phương pháp đặt ẩn phụ
3) Phương pháp nhân liên hợp
4) Phương pháp đánh giá.
Tài liệu được biên soạn bởi : Nguyễn Trường Sơn
Số điện thoại : 0988.503.138
Gmail :
BÀI 1 : MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
I. Phương pháp lũy thừa.
- Nêu các dạng phương trình cơ bản.
Bài 1 Giải các phương trình
a)
2
3 2 1x x x− + = +
b)
2
3 9 1 2x x x− + = −
c)

x
− − = −
−
Bài 2 Giải phương trình
a)
2 2 2
3 2 6 5 2 9 7x x x x x x+ + + + + = + +
b)
2 2 2
3 2 6 5 2 9 7x x x x x x+ + + + + = + +
c)
2 2 2
3 2 4 3 5 4x x x x x x− + + − + = − +
Bài 3 Giải phương trình
a)
3 3 3
5 6 2 11x x x+ + + = +
b)
3 3 3
1 1 5x x x+ + − =
c)
3 3 3
2 1 1 3 1x x x− + − = +

7
6
x =
(Phải thử , loại nghiệm)
Bài 4 Giải phương trình
a)

a)
2
2 4 (3 )(1 ) 2x x x x m− + + − + = −
[ 1;11]m∈ −
b)
2
2 5 4 (3 )(1 2 ) 2x x x x m− + + − + = −
41 56 2
[ 1; ]
8
m
+
∈ −
Bài 3 Giải phương trình :
a)
5 1
5 2 4
2
2
x x
x
x
+ = + +
b)
3 1
3 2 7
2
2
x x
x

2
1 8 7 8x x x x m+ + − = − + + +
[ ]
6 2 9
;3
2
m ∈
−
b)
3 6 (3 )(6 )x x x x m+ + − − + − =
c)
2
3( 1 2 1 ) 2 1 2x x m x x x+ + − = + + + −
3) Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn.
Bài 7 Giải phương trình
a)
2 2 2
3 2 1 2 2x x x x x+ − + = + +
Đặt
2
2t x= +
nghiệm
3;1t x= −
b)
2 2
( 1) 2 3 1x x x x+ − + = +
c)
2 2
1 2 . 2x x x x− = −
Nghiệm

x
= +
0;5t⇒ =
thử lại
4x⇒ =
b)
2 2
3 2 2 2 2x x x x x
+ − + − − =
chia cho
x ⇒
Nghiệm
2x =
c)
2
1 4 1 3x x x x+ + − + =
Chia 2 vế cho
x
và đặt
1 1
4;
4
t x x
x
= + ⇒ =
Bài 9 Giải phương trình
a)
2 3
2( 2) 5 1x x+ = +
b) (Thi thử ninh giang 2013)

3 2 7;
18
+
+
5) Đặt một hoặc nhiều ẩn phụ đưa về phuơng trình đẳng cấp.
• Chú ý : Nêu cách giải phương trình đẳng cấp bậc hai, ba.
Bài 10
a)
2 3
2( 2) 5 1x x+ = +
Đặt
2 2 2
1; 1 2 2 5a x b x x PT a b ab= + = − + ⇔ + =
5 37
2
x
±
⇒ =
b)
2 3
2 5 1 7 1x x x+ − = −
Đặt
2 2 2
1; 1 3 2 7u x v x x PT u v uv= − = + + ⇔ + =
4 6x⇒ = ±
- Phương trình đã cho có dạng
2 2
. . .a u b v c uv+ =
trong đó căn thường
uv=

x x x x x x x
+
⇔ − − + + = + − − ⇔ =
e)
2 2
7 25 19 2 35 7 2x x x x x+ + − − − = +
Nghiệm :
61 11137
3 2 7;
18
+
+
- Chuyển vế, bình phương ta được :
2 2
3( 5 14) 4( 5) 7 ( 5 14)( 5)x x x x x x− − + + = − − +
Bài 11. Giải phương trình :
2 2
2 2 1 3 4 1x x x x x+ + − = + +
- Điều kiện :
1
2
x ≥
. Bình phương 2 vế ta có :
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2 2



- Do
, 0u v ≥
. nên
( )
2
1 5 1 5
2 2 1
2 2
u v x x x
+ +
= ⇔ + = −
( ) ( )
2
2 2 1 5 5 1 0x x⇔ + − + + =
.
-
( ) ( ) ( )
2
'
1 5 2 5 1 4 1 5 0∆ = − − + = − <
.Vậy phương trình đã cho vô nghiệm .
Bài 12. Giải phương trình :
2 2
4 5 1 2 1 9 3x x x x x+ + − − + = −
.
- Đặt
( )
2

-
2 2
2 2
2 2
1
1
4 5 1 4 4 4
3
3
4
4 5 1 2 1 1
4 5 1 1 2 1
9
x
x
x x x x
x x x x
x
x x x x


=

=
+ + = − +

⇔ ⇔ ⇔


+ + + − + =

3
( 2)(3 2 2) 0x x x x− + − + =
- Bài tập tương tự :
3 2 3
3 2 ( 1) 3 0x x x x− + + − =
- Bài tập tương tự :
3 2
(3 4 4) 1 0x x x x+ − − + =
6) Dạng 6 : Đặt một hoặc nhiều ẩn phụ để đưa về hệ phương trình
Bài 14 Giải phương trình
3 2 1 6 4 (2 1)( 4) 7 0x x x x+ − + + + + + =
- Đặt
2 2
2 1
2 7 (1)
4
u x
v u
v x

= +

⇔ − =

= +


- Thay vào phương trình có :
3 6 7 0 (2)u v uv− + + =
- Thay (1) vào (2) và rút gọn được

x
x
+ =
−
Nghiệm
1 3
1;
2
x
− ±
=
f)
3
3
1 2. 2 1x x+ = −
Nghiệm
1 5
1;
2
x
− ±
=
g)
3
3
2 3. 3 2x x+ = −
7) Dạng 7 : Đặt ẩn phụ đặc biệt.
Bài 16 (Các dạng đặt ẩn phụ đặc biệt)
a)
2

a)
2
3 2 1 2 4 3x x x x x x+ + + = + + +
- Phương trình
( 3 2 )( 1 1) 0 0; 1x x x x⇔ + − + − = ⇔ =
b)
4
3 4
3
x
x x
x
+ + =
+
HD
2
( 2 2 ) 0 1x x x⇔ + − = ⇔ =
c)
2 2 2
5 97
2 3 9 4 : (1 3) 9 1;
18
x x x HD x x x
− −
+ = − − ⇔ + + = ⇔ =
Bài 2 Giải phương trình
a)
2
10 21 3 3 2 7 6x x x x+ + = + + + −
b)

để trong căn là bình phương hoặc lập phương.
Bài 1
a) (Khối B 2010) Giải phương trình :
2
3 1 6 3 14 8 0x x x x+ − − + − − =
- PT
3 1
( 5)( 3 1) 0
3 1 4 6 1
x x
x x
⇔ − + + + =
+ + − +
. Nghiệm duy nhất
5x =
b) Giải phương trình :
3
2 3 2 3 6 5 16 0x x− − − + =
Nghiệm duy nhất
2x = −
- PT
2
3 3
6 15
( 2)[ + ]=0 2
( 3 2) 2 3 2 4 6 5 4
x x
x x x
⇔ + ⇔ = −
− − − + − +

⇔ + + + − =
+ −
− − + −
0,25
- TH 1.
3 0 3x x
+ = ⇔ = −
(TMPT)
0,25
- TH 2.
3x ≠ −
- pt
( )
2
3 3
36 16
4 27 0
4 10 2
16 4 9 37 9 37
x
x
x x
⇔ + + − =
+ −
− − + −
-
( )
2
3
36 16

2
x =
b)
2
1 9 1 4x x x+ + = +
c)
2 2
12 5 3 5x x x+ + = + +
. Nghiệm duy nhất
2x =
- Nhận xét
2 2
5
12 5 3 5
3
x x x x⇔ + − + = − ⇔ >
để chứng minh biểu thức còn lại vô nghiệm.
d)
2 2
15 3 2 8x x x+ = − + +
e)
2 2 2 2
3 5 1 2 3 3 3 3 4x x x x x x x− + − − = − − − − +

- Nghiệm
2, ( ) 0x P x= =
vô nghiệm.
Bài 3 Giải phương trình :
a)
2 2

. Từ phương trình
0x⇒ >
-
2 2
2 2
2 1 1
( 2 1 2 ) ( 1 ) 0 ( 1)[ ]=0 1
2 1 2 1
x
x x x x x x x x
x x x x x x
+
+ + − + − + − = ⇔ − + ⇔ =
+ + + − + +
.
Bài 4. Giải phương trình :
2 33
1 2x x x− + = −
- Điều kiện :
3
2x ≥
.
- Nhận thấy x = 3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến đổi phương trình
-
( )
( )
( )
( )
2
2 33

3
3 3
1 1 2
1 2 1 4 1 1 3
x x
x x x
+ +
+ = + <
− + − + − + +
2
3
3 9
2 5
x x
x
+ +
<
− +
- Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.
Bài 7 Giải phương trình
a)
2 2
3 1 ( 3) 1x x x x+ + = + +
.
b)
4 3 10 3 2x x− − = −
c)
2 (2 )(5 ) (2 )(10 )x x x x x− − = + − −
d)
2 2

2 10 12 52x x x x− + − = − +
c)
2
2 5 1 2x x x− + + − =
Nghiệm
1x =
d)
2 2 2
3 6 7 5 10 14 4 2x x x x x x+ + + + + = − −
Nghiệm
1x = −
e)
6
2 1 19 2
2
10 24
x x
x x
− + − =
− + −
Bài 2 Giải PT sau :
a)
3 2 2
2 7 11 25 12 6 1x x x x x− + − = + −
- VT :
2
2 (7 4)( 3) ( ôs )x x x c i= − − + ≤
VP. Nghiệm
1;7x =
b)

x x
− +
= − +
− +
(1)

( )
( )
2
2
4
(1) 1 3 9
3 2
x
x
⇔ + = − +
− +
Mà :
( )
2
4 4
1 1 3
2
3 2x
+ ≤ + =
− +
và
( )
2
3 9 3x − + ≥

VI. Phương pháp hàm số.
1) Cơ sở phương pháp :
- Để giải phương trình :
( )f x m=
ta có thể chứng minh VT luôn đồng biến hoặc nghịch biến.
- Xét hàm số
( )f x
luôn đồng biến hoặc nghịch biến mà có
( ) ( )f a f b a b= ⇒ =
.
2) Bài tập.
Bài 1 Giải các phương trình.
a)
5 7 16 14 9x x x x x+ − + + + + = ⇒ =
.
b)
3
1 4 5x x x− = − − +
. Chuyển vế, nghiệm duy nhất
1x
=
.
c)
2
2 1 3 4x x x− + + = −
. Chuyển vế, nghiệm duy nhất
1x
=
.
Bài 2 (CĐ – 2012) Giải phương trình

, vẽ bảng biến thiên
[4; )m⇒ ∈ +∞
Bài 4 Tìm m để phương trình có nghiệm :
2
4 2x mx m− = − +
- Cô lập tham số,
8
' 0 0;
5
y x= ⇔ =
Bài 5 Tìm m để phương trình có nghiệm :
1 1 5 18 3 2 1x x x x m+ + − − − − − = +
Bài 6 (A – 2007) Tìm m để phương trình có nghiệm :
2
4
3 1 1 2 1x m x x− + + = −
- Cô lập tham số
4
1 1
2 3
1 1
x x
m
x x
− −
= −
+ +
Bài 7 (B – 2004) Tìm m để phương trình có nghiệm :
2 2 4 2 2
( 1 1 2) 2 1 1 1m x x x x x+ − − + = − + + − −

2
( ) 0
( ) 0
( ) ( )
( ) 0
( ) [ ( )]
f x
g x
f x g x
g x
f x g x

≥



<


> ⇔

≥



>



- Dạng 3 :

2
2( 16)
7
3 ( 2004)
3 3
x
x
x A
x x
−
−
+ − > −
− −
Bài 3 Giải bất phương trình :
a)
2
51 2
1
1
x x
x
− −
<
−
b)
2
8 2
1
6 3
x x

2 2
2 5 6 10 15x x x x+ − − > +
c)
2
( 3)(8 ) 11 0x x x x− − + − <
Bài 2 Giải bất phương trình :
a)
5 1
5 2 4
2
2
x x
x
x
+ < + +
b)
1
2 3
1
x x
x x
+
− >
+
Bài 3 (B – 2012) Giải bất phương trình
2
1 4 1 3x x x x+ + − + ≥
- Chia 2 vế cho
x
và đặt

2 2
5 14 9 20 5 1x x x x x+ + − − − ≤ +
- Chuyển vế, bình phương và rút gọn ta được
2 2
2 5 2 5 ( 20)( 1)x x x x x− + ≤ − − +
2 2
2 2
2( 4 5) 3( 4) 5 ( 4)( 4 5)
4 5 4 5 5 61
2 3 5 [ ;8]
4 4 2
x x x x x x
x x x x
x
x x
⇔ − − + + ≤ + − −
− − − − +
⇔ + ≤ ⇔ ∈
+ +
b)
2 2
7 25 19 2 35 7 2x x x x x+ + − − − < +
- Chuyển vế, bình phương ta được :
2 2
3( 5 14) 4( 5) 7 ( 5 14)( 5)x x x x x x− − + + < − − +
- Nghiệm
x ∈
Bài 6 (Thi thử ĐT – 2012) Giải BPT
3 2
(3 4 4) 1 0x x x x+ − − + ≤


3 2
3 4 0
x x
y y
   
+ − ≤
 ÷  ÷
   
. Đặt
x
t
y
=
và giải BPT ta được
1t
≤
0,25
-
2
1 0
0
1 1 1
1 0
x
x
x
t x x
y
x x



⇔ − ≤ ≤



− +

≤ ≤



. Kết hợp
1x
> −
ta được
-
1 5
1
2
x
+
− < ≤
. Vậy tập nghiệm của BPT là S =
1 5
1;
2
 
+
−

x
− −
<
Nghiệm
1 1
[ ;0) (0; )
3
2 2
T
−
= ∪
Bài 2 Giải bất phương trình :
a) Giải phương trình :
2
3 1 6 3 14 8 0x x x x+ − − + − − <
. Nhẩm nghiệm
5x
=
- BPT
3 1
( 5)( 3 1) 0
3 1 4 6 1
x x
x x
⇔ − + + + <
+ + − +
. Trong ngoặc
0
> ⇒
Nghiệm

b)
2
2 10 12 52x x x x≥− + − − +
c)
2
2
2 5 1 1 2x x x x x
− + + − ≤ + −
Nghiệm
1x =
d)
2 2 2
3 6 7 5 10 14 4 2x x x x x x≤+ + + + + − −
Nghiệm
1x = −
e)
6
2 1 19 2
2
10 24
x x
x x
≥− + −
− + −
Bài 2 Giải PT sau :
a)
3 2 2
2 7 11 25 12 6 1x x x x x≥− + − + −
VT :
2

- Dấu bằng khi
3 5
1 ( / 0)
2
x x x t m x
−
− = ⇔ = ≥