Chuyên đề:

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Giáo viên biên soạn: HUỲNH CHÍ HÀO. Sáng lập chihao.info
Đơn vị: THPT Thành phố Cao Lãnh Tỉnh Đồng Tháp - Ngày soạn 28/04/2009.
Phương pháp 1:
SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI

Kỹ thuật 1 : Tách, ghép và phân nhóm

Bài 1
:

Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện
abc3++=

Chứng minh rằng:

()
()
()()
()
()
333
abc3
(1)
abac bcba cacb 4
++≥
++ ++ ++



()
()
()
()
33
3
a a abac 3a
3
abac abac 8 88
a
4
bac
8
⎛⎞
⎛⎞
++
⎛⎞
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
⎜
⎟
++≥ =
⎜
⎟
⎟
⎟⎜

⎛⎞
⎛⎞⎛⎞
++ ++
⎟
⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎟
++≥ =
⎜
⎟⎟
⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎜
⎝⎠⎝⎠
⎟
⎜
++ ++
⎝⎠
⎛⎞
⎛⎞
++ ++
⎛⎞
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜

++
++≥=
++ ++ ++
(đpcm)
Đẳng thức xảy ra
abc1⇔===Bài tập tương tự:
Bài 1:
Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện
abc 1=

Chứng minh rằng:

()
()()()()
()
333
abc3

1b1c 1c1a 1a1b 4
++ ≥
++ ++ ++

Bài 2:
Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện
ab bc ca abc++=

Chứng minh rằng:

+ Sử dụng kỹ thuật tách ghép và phân nhóm.
Bổ sung thêm một số số hạng để sau khi sử dụng bđt Cô-si ta khử được mẫu số của biểu thức phân thức.
Bài giải
:
Sử dụng giả thiết
abc3++=
để đưa bđt về bđt đồng bậc 1 ở hai vế

()
()()
333
abcabc
(1)
b2c a c2a b a2b c 3
++
⇔++≥
++ +

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

()
()
()
()
()
33
3
aa
33b2ca9a
b2c a b

()
33
3
33
3
99
9
bb
3c 2a b 3 3c 2a b 9b
c2ab c2ab
cc
3a 2b c 3 3a 2b c 9c
a2b c a2b c
9
⎛⎞
⎟
⎜
⎟
++ +≥ +=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
++
⎝⎠
⎛⎞
⎟
⎜
⎟

++
⇒++≥=
++ +

Đẳng thức xảy ra
abc1⇔===Bài 3
:

Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện
222
abc1++=

Chứng minh rằng:

333
abc1

b2c c2a a2b 3
++ ≥
++ +Bài giải
:
Sử dụng giả thiết
222
abc1++=


()
() ()
()
()
()
()
33
2
33
2
9
9
b9b
bc 2a 2 .bc 2a 6b
c2a c2a
c9c
ca 2b 2 .ca 2ab 6c
a2b a2b
++≥ +=
++
++≥ + =
++

Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt:

()
()
()
()

⎟
⎟
⎜
++ +
⎝⎠
++
⇒++≥ =
++ +

Đẳng thức xảy ra
3
abc
3
⇔===

Bài tập tương tự
Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện
222
abc1++=

Chứng minh rằng:

333
abc1

ab bc ca 2
++≥
+++
aa aa1aa
.
abac 2abac
1a ab ca bca
⎛⎞
⎟
⎜
==≤+
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
++ + +
++++

Chứng minh tương tự ta cũng được:

2
2
b1b b
2b c b a
1b
c1c c
2c a a b
1c
⎛⎞
⎟
⎜
≤+

⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
+++
+++

Đẳng thức xảy ra
3
abc
3
⇔===Bài 5
:

Cho ba số dương a, b,c thỏa mãn
abc2++=

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

ab bc ac
S
2c ab 2a bc 2b ac
=++
+++
⎪
⎟
⎜
⎪
==≤+
⎟
⎜
⎪
⎟
⎜
⎝⎠
+++
⎪
+++
⎪
⎪
⎪
⎛⎞
⎪
⎪
⎟
⎜
==≤+
⎨
⎟
⎜
⎟
⎜
⎪
⎝⎠

aab abc
1
2c b 2
+++
==
+

Đẳng thức xảy ra
⇔
2
abc
3
===

Vậy
Max S1=
.

Bài tập tương tự

Cho ba số dương a, b,c thỏa mãn
abc2++=

Chứng minh rằng:

ab bc ac 1
cab abc bac 2
++≤
+++


x, y, y 0∀>
ta luôn có:

()
111
xyx 9
xyy
⎛⎞
⎟
⎜
++ + + ≥
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝⎠

Đẳng thức xảy ra
⇔
xyz==Dạng 2:
1)
x, y 0
∀>
ta luôn có:

11 4

Bài giải
Biến đổi và áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số ta được:

()
()
ab 1 1 1 1
ab. ab.
ab2c 4ac acbcbc
⎛⎞
⎟
⎜
=≤+
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
++ + ++++

Tương tự ta cũng được:

()
()
()()
bc 1 1 1 1
bc. bc.
bc2a ba ca 4ba ca

⎟
⎜
++≤++=
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
++ ++ ++ + + +

Dấu đẳng thức xảy ra
abc0⇔==>Bài 2:
Cho a,b,c là các số dương.Chứng minh rằng:

ab bc ca a b c
a3b2c b3c2a c3a2b 6
++
++≤
++ ++ ++
Bài giải
Biến đổi và áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số ta được: