Dƣơng Văn Sơn – Giáo viên trƣờng THPT Hà Huy Tập, Vinh – Nghệ An.
MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG
THỨC CÓ CHỨA BIỂU THỨC XYZ

Bài toán: “Chứng minh bất đẳng thức (BĐT) có chứa biểu thức
xyz

trong đó
zyx ,,
là các số thực không âm, có vai trò bình đẳng và BĐT tương
đương với
),,()( zyxPxyz
n
với
*
Nn
;
),,( zyxP
là đa thức” thường gây rất
nhiều khó khăn cho học sinh vì việc đánh giá
),,()( zyxPxyz
n
là “không
thuận lợi”.
Trong bài viết này, tác giả xin giới thiệu một số kĩ năng để giải bài toán
dạng này.
1. Sử dụng BĐT: “Với x, y, z là các số thực không âm tùy ý, ta có


27
7
2xyzzxyzxy
.
Ngoài ra, từ giả thiết suy ra
1,,0 zyx
.
Do đó
0)1()1(2 zxxyzzxyxyzzxyzxy
.
2. Sử dụng tính chất: “Trong ba số
zyx ,,
luôn tồn tại ít nhất hai số sao
cho chúng cùng không lớn hơn
a
hoặc cùng không nhỏ hơn
a
, với
a
là số
thực tùy ý” (4).
Thí dụ 2. Cho
zyx ,,
là các số thực không âm thoả mãn
4xyzzxyzxy

(*). Chứng minh rằng:
zxyzxyzyx
. Đẳng thức xảy ra khi nào.
(Đề thi học sinh giỏi Quốc gia năm 1996)


Nếu
0yx
(*) trở thành 0 =4 vô lí. Do đó
0xyyx
và từ (*) ta có:
z =
xyyx
xy4

Vì thế :
4)
4
1)(()7(
xyyx
xy
yx)(4)4)(( xyyxyxyx
(Vì
0xyyx
)

0)(
2
yx
, đúng.
Từ (5) và (6) suy ra điều phải chứng minh.
Trong trường hợp này đẳng thức xảy ra khi

1
22
.
22222
zyxyx
yxxy
nên
11 xy
.
Do đó đặt
xyt
, ta có
)()22)(1()22)(1(
222
tftttxyyxxy
, với
11 t
.
Dễ dàng chứng minh được
.2)(max
]1;1[
tf

Suy ra
2)22)(1(
22
xyyxxy
(9)
Từ (8) và (9) suy ra
4)(

03
9
35
3
9
8
3
9
10
3
2
2
2
2
PSPSQP
S
Q
(12)
www.VIETMATHS.com
See on VIETMATHS.comWeb page VIETMATHS.com
Dƣơng Văn Sơn – Giáo viên trƣờng THPT Hà Huy Tập, Vinh – Nghệ An. Dễ dàng chứng minh được
PSSQP 3,3
22
suy ra (12) đúng.
Vậy ta có điều phải chứng minh.

Suy ra
)(363 zxyzxyxyz

Vậy ta có điều phải chứng minh.
Lời giải 2. Theo tính chất (4) và vai trò
zyx ,,
trong bài toán bình đẳng nên
không mất tính tổng quát ta có thể giả sử
1
1
y
x
hoặc
1
1
y
x
.
Khi đó, ta có
10)1)(1( xyyxyx

Suy ra
zxyxyzzxyzxyzxyyxz )(
(13)
Mặt khác, ta có
3
11
1.1.;
3

33 zzyx
(Vì
0,, zyx
)
101
3
zz
;
)()1( xyzzxyxyzzxyzxy
.
Mà
.
3
11
1.1.;
3
11
1.1.;
3
1
1
3
3
3
3
3
3
33
3
33

(15)
Đặt
3
43
)(
3
zz
zf
, với
10 z

www.VIETMATHS.com
See on VIETMATHS.comWeb page VIETMATHS.com
Dƣơng Văn Sơn – Giáo viên trƣờng THPT Hà Huy Tập, Vinh – Nghệ An. Dễ dàng chứng minh được
2)(max
]1;0[
zf
.
Suy ra :
với
10 z
ta có
2)(zf
(16)
Từ (15) và (16) suy ra điều phải chứng minh.
Lời giải 4. Ta có
))((3

3
3
6
333
zyx
S
(19)
Từ (18) và (19) suy ra

)3(333
2
PSQ
(Vì
PS 3
2
)

12
2
PSQP
(20)
Mặt khác, ta có
3
33
3
33
3
332222
1 1 1 2 zzyyxxzyxPS


3
222
zyx
.
Chứng minh rằng
2xyzzxyzxy
.
3. Cho ba số thực
cba ,,
bất kì. Chứng minh rằng
)1)(1)(1(32
222
cbaabccba
.
(Marian Tetiva, Mircea Lascu, Gabriel Dospinescu)
4. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng
4
1
3
9
2
333
abccba
.
(Bài T
5 / 353
Tạp chí Toán học và tuổi trẻ tháng 3 năm 2007)
5. Chứng minh rằng nếu
zyx ,,
là các số thực không âm thoả mãn điều kiện:

(Tạp chí Toán học và tuổi trẻ)
8. Cho ba số thực
zyx ,,
thỏa mãn
1xyz
.
Chứng minh rằng
)(23
222222
zyxxzzyyx
.
www.VIETMATHS.com
See on VIETMATHS.comWeb page VIETMATHS.com