Một số chuyên đề toán THCS
Phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
i/ dùng định nghĩa và tính chất
1/ Định nghĩa:
Khi hai biểu thức A và B nối với nhau bởi một trong các quan hệ >;

;
<;

thì ta bảo có một bất đẳng thức:
A>B,
BA
, A<B,
BA
Khi đó ta viết:
A>B

A-B >0 (đọc là A lớn hơn B) A và B là hai vế của bất
đẳng thức.

0 BABA
(đọc là A lớn hơn hay bằng B)
Ghi nhớ:Một BĐT có thể đúng, có thể sai nhng khi phải cm một BĐT mà
không rõ gì hơn, thì ta hiểu rằng đó là một BĐT đúng.
2/ Các tính chất của bất đẳng thức:
1 Tính phản xạ:
aaRa :
2 Tính bắc cầu:
baRcba :,,
và
cacb

baRba





<
>

+
0;
0;
:,
m
m
b
m
a
m
m
b
m
a
Rba
5 Nếu a>b>0 hay 0>a>b
ba
ba
11

(a và b cùng dấu)

nn
3/ Ví dụ áp dụng:
Cho x,y,z là 3 số tùy ý. Chứng minh rằng
( ) ( ) ( )
xyzxzzyyxa 6111/
222222
+++++
( ) ( )
zxyzxyzyxb ++++ 3/
2
Giải:
a/ Ta luôn có:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
320
220
120
222
2
222
2
222
2
xyzyxzxyz
xyzxzyzxy
xyzzyxyzx
+
+
+

Do đó:
( ) ( )
zxyzxyzxyzxyzyx +++++++ 2
2
Vậy:
( ) ( )
zxyzxyzyx ++++ 3
2
4/ Bài tập tự giải:
Bài 1: Cho hai số x và y mà x+y=1. Chứng minh rằng:
2
1
,
22
+ yxa
8
1
,
44
+ yxb
Bài 2: Cho x+y=2. Chứng minh rằng
2
44
+ yx
Bài 3: Chứng minh rằng nếu x+y+z=1 thì
3
1
222
++ zyx
Bài 4: Cho ba số x,y,z tùy ý. Chứng minh rằng:

.
Chứng minh rằng:
xyzzyx
1111
<+
Phạm Văn Tung-Trờng THCS Chu Văn An- Đăk Hà - Kon Tum
3
Một số chuyên đề toán THCS
ii/ dùng phép biến đổi tơng đơng:
1/ Đ ờng lối chung:
Để chứng minh đẳng thức
BA
là đúng bằng phơng pháp biến đổi tơng đ-
ơng ta biến đổi:
BA
(1)
11
BA

BnAn
(2)
Theo giả thiết hay theo tính chất cơ bản đã biết ta có (2) cuối cùng hiển
nhiên đúng. Do đó kết luận (1) luôn đúng.
2/ Ví dụ áp dụng:
Cho hai số x, y sao cho
0xy
. Chứng minh rằng:
( )
( ) ( )
1

Do
0xy
nên bất đẳng thức (2) hiển nhiên đúng. Vậy (1) luôn đúng.
3/ Các bài tập tự giải:
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi x,y ta có bất đẳng thức:
yxxyyxa ++++ 1/
22
yxxyyxb
3344
/ +
Bài 2: Cho hai số dơng x,y.
Chứng minh rằng:
3
33
22






+

+ yxyx
Bài 3: Cho bốn số a,b,c,d, bất kỳ.
Chứng minh rằng:
( )( )
2222
dcbabdac ++
Bài 4: Cho ba số a,b,c sao cho

+
+
1
2
1
1
1
1
22
Phạm Văn Tung-Trờng THCS Chu Văn An- Đăk Hà - Kon Tum
4
Một số chuyên đề toán THCS
Iii/ dùng BĐT trung gian:
1/ Ph ơng pháp chung: Dùng BĐT Côsi với hai số không âm:
Cho hai số
0,0 yx
ta có BĐT Côsi sau:
xy
yx

+
2
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=y.
Ta có thể cm nh sau:
Vì
0,0 yx
nên:
( )
xy
yx

,
2
Do đó cộng vế theo vế ba BĐT cùng chiều cho ta
zxyzxy
xzzyyx
++
+
+
+
+
+
222
Vậy:
zxyzxyzyx ++++
3/ Các bài tập tự giải:
Bài 1: Cho bốn số a,b,c,d không âm. Chứng minh rằng:
( )( )( )( )
abcdaddccbba 16++++
Bài 2: Với
0,0 yx
. Chứng minh đẳng thức:
( )
( )
xyyxyx ++ 22
2
Bài 3:Cho
,1x
và
1y
. Chứng minh rằng:

6
5
4
bacbac
acbacb
cbacba
<+<
<+<
<+<
2/ Ví dụ áp dụng:
Chứng minh rằng nếu a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác thì ta có:
( )
cabcabcba ++<++ 2
222
Giải:
áp dụng BĐT về ba cạnh a,b,c của một tam giác cho ta:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
3
2
1
2
2
2
2
2
2
bacbac
acbacb

6