chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán
Lời nói đầu
Trong bộ môn Toán ở trờng phổ thông thì chuyên đề Bất đẳng thức đợc xem
là một trong những chuyên đề khó, nhiều học sinh khá thậm chí giỏi còn lo ngại
tránh né bởi vì học sinh cha hình thành đợc những phơng pháp giải để học sinh
ứng dụng vào việc chứng minh Bất đẳng thức.
Qua nội dung về Bài tập lớn em xin trình bày chuyên đề: Một số phơng pháp
chứng minh Bất đẳng thức và ứng dụng của nó trong việc chứng minh và giải
quyết các bài toán có liên quan. Các bài tập ở đây với độ khó đợc nâng dần lên
nhằm giúp học sinh bớt lúng túng khi gặp các bài toán về chứng minh bất đẳng
thức, giúp học sinh có thể tự định hớng đợc phơng pháp chứng minh và hứng thú
hơn khi học về bất đẳng thức.
Nội dung của chuyên đề bao gồm:
Phần I - Kiến thức cơ bản cần nắm: Đây là phần tóm tắt một số kiến thức
lý thuyết cơ bản mà học sinh cần nắm để sử dụng trong quá trình chứng
minh Bất đẳng thức.
Phần II - Các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức: Tổng hợp các
phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức thờng dùng cho học sinh THCS.
Với mổi phơng pháp có các kiến thức cần nắm, các ví dụ minh hoạ, bài
tập áp dụng để học sinh tự mình hình thành đợc t duy cảm nhận về
phơng pháp đó.
Phần III - ứng dụng của việc chứng minh bất đẳng thức: Trình bày
những ứng dụng phổ biến của chứng minh Bất đẳng thức.
Phần IV - Hớng dẫn, giải các BT áp dụng: Đây là phần giải chi tiết của
các BT áp dụng cho từng phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức ở trên.
Phần V - Bài tập tổng hợp tự giải: Bao gồm các bài tập tổng hợp cho
tất
cả các dạng phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức.
Cơ sở lý luận Thực tiễn
Các phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức thì rất phong phú nhng để cho
học sinh hình thành đợc phơng pháp chứng minh cũng nh ứng dụng Bất đẳng thức

0>
i
a

dấu bằng xảy ra khi
1 2

n
a a a
= = =
o Bất đẳng thức Bunhiacopski:
( )
( )
( )
2
2211
22
2
2
1
22
2
2
2

nnnn
xaxaxaxxaaa
+++++++++
Dấu đẳng thức xảy ra <=>
1 2


CBA
cba


3
.
33
CBAcbacCbBaA
++++

++
Dấu bằng xảy ra khi



==
==
CBA
cba
II - Một số bất đẳng thức phụ đã đợc chứng minh là đúng.
o
xyyx 2
22
+
o
xyyx
+
22
dấu( = ) khi x = y = 0

+
+ >
>
+
III Các bất đẳng thức trong tam giác
IV Các hàm lợng giác thông dụng
V Các tính chất cơ bản
Tính chất 1: a > b <=> b < a
Tính chất 2: a > b và b > c => a > c
Tính chất 3: a > b <=> a + c > b + c
Hệ quả : a > b <=> a - c > b c
a + c > b <=> a > b c
Tính chất 4 : a > c và b > d => a + c > b + d
a > b và c < d => a - c > b d
Tính chất 5 : a > b và c > 0 => ac > bd
a > b và c < 0 => ac < bd
Tính chất 6 : a > b > 0 ; c > d > 0 => ac > bd
a > b > 0 => a
n
> b
n
a > b <=> a
n
> b
n
với n lẻ .
VI Các hằng đẳng thức đáng nhớ
VII Các kiến thức về toạ độ vec tơ
VIII Các kiến thức về tính chất của tỉ lệ thức:


Dạng 9 Ph ơng pháp dùng tính chất bắc cầu
Dạng 10 - Phơng pháp dùng các bất đẳng thức trong tam giác
Dạng 11 Ph ơng pháp đổi biến số
Dạng 12 Ph ơng pháp làm trội (chứng minh bất đẳng thức có n số hạng)
Ngoài các phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức đã nêu ở trên thì còn rất nhiều
các phơng pháp khác nh: Phơng pháp toạ độ vectơ, bất đẳng thức chứa dấu giá
trị tuyệt đối, sử dụng cực trị, Nhng do các kiến thức lý thuyết các em cha có nên
tôi chỉ xin trình bày một số phơng pháp nh trên.
Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 4
chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán
Dạng 1- Dựa vào định nghĩa và các phép biến đổi tơng tơng đơng
Đây là phơng pháp cơ bản nhất, dựa vào các tính chất cơ bản của bất đẳng
thức đơn giản để biến đổi các bất đẳng thức phức tạp của đề ra thành các bất
đẳng thức đơn giản và đúng hoặc các bất đẳng thức đã đợc chứng minh là đúng.
ở phần này các bạn chú ý đến các hằng đẳng thức:

2 2 2
2 ( ) 0a ab b a b+ + = +

2 2 2 2
2 2 2 ( ) 0a b c ab ac bc a b c+ + + + + = + +
Ph ơng pháp:
Khi biến đổi tơng đơng ta cố gắng làm xuất hiện các điều kiện đã cho trong
giả thiết nhằm áp dụng đợc điều kiện của giả thiết để chứng minh đợc bất
đẳng thức đó là đúng.
Chuyển vế để chứng minh bất đẳng thức đó (
0; 0; 0; 0 ) < >
Chuyển vế các thừa số về dạng hằng đẳng thức để dể chứng minh
Làm xuất hiện các tích các thừa số có chứa các yếu tố của đề bài để ta xét
dấu các thừa số đó

Cho
0 a b c
<
Chứng minh rằng:
a b c b c a
b c a a b c
+ + + +
Giải
a b c b c a
b c a a b c
+ +
2 2 2 2 2 2
1
( )a c b a c b b c c a a b
abc
= + +

2 2 2 2 2 2
1
( ) ( ) ( )a c b c b a a b c b c a
abc

= + +

Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 5
chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán
2 2 2
2
1
( ) ( ) ( )

bc ca ab a b c
+ + +
Giải
1 1 1
2( )
a b c
bc ca ab a b c
+ + +
2 2 2
2 2 2
2( ) ( 0)
2 2 2 0
a b c bc ac ba do abc
a b c bc ac ab
+ + + >
+ + +
2
( ) 0a b c +
Hiển nhiên đúng.
Vậy
1 1 1
2( )
a b c
bc ca ab a b c
+ + +
.
Ví dụ 4: Chứng minh rằng mọi a,b,c,d thì :

2 2 2 2
1 (1)a b c d a b c d+ + + + + + +

4 4 3 3
3 3
(1) 0
( 1) ( 1) 0
a b a b
a a b b
+
+
Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 6
chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán
3 3
3 3
2 2 2 2
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 0
( 1)( 1) ( 1)( 1) 2 0
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 2 0
a a b b a b a b
a a b b a b
a a a b b b a b
+ + +
+ + +
+ + + + + + +
Suy ra điều phải chứng minh.
Vì:

2 2 2
2 2 2
( 1) 0 ( 1) ( 1) 0
( 1) 0 ( 1) ( 1)
2 2 0

(a b )(a b ) (a b )(a b )
+ + + +
Bài 5: Chứng minh bất đẳng thức :
3
33
22






+

+ baba
Trong đó : a > 0 , b > 0
Bài 6: Chứng minh rằng: Với mọi số dơng a, b, c, d ta có:

2
dcba
ad
d
dc
c
cb
b
ba
a
22
3

( )( ) 9
xyz x y z x y z
x y z xy yz zx
+ + + + +
+

+ + + +
Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 7
chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán
Giải

2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
3
2
3
3( ) ( )
3(
3
3
x y z x y z
x y z x y z
x y z xyz
xy yz zx xyz
+ + + +
+ + + +
+ +
+ +
Do đó ta có:

2000 2000 2000
1994 1996 1
(1) ( ) 1 ( ) (1 )
1995 1995 1995
+ < = +
Theo bất đẳng thức Becnuli ta có:

2000 2000
1 2000 1994
(1 ) 1 1 ( )
1995 1995 1995
> + > +
Vì:
2000
2000 1994
1 ( )
1995 1995
> >
Ví dụ 3:
Cho
a b 2+ =
Chứng minh rằng:
4 4
a b 2+
Giải
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 4số 1,1,a,b ta có:

2 2 2 2 2
2 2 2
2 2

1 1 1 9
a b c a b c
+ +
+ +
Giải
Ta có:

1 1 1 a a b b c c
(a b c)( ) 1 1 1
a b c b c a c a b
a b c a b c
3 ( ) ( ) ( ) 9
b a a c c b
+ + + + = + + + + + + + +
= + + + + + +
Vì :
a b
2
b a
+

c a
2
a c
b c
2
c b
+
+
Nên:

Tơng tự:

2 2
2
b d b d ab cd
4
c d a b (a b c d)
+ + +
+
+ + + + +
Cộng vế theo vế ta có:

2 2 2 2
2
a b c d a b c d ad bc ab cd
4
b c c d a d a b (a b c d)
+ + + + + + +
+ + +
+ + + + + + +
Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 9
chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán
Ta chứng minh:

2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
a b c d ad bc ab cd

b c a c a b
+ +
+ + +
Bài 3: Cho x , y là 2 số thực thoả mãn x
2
+ y
2
=
22
11 xyyx +
Chứng minh rằng : 3x + 4y

5
Bài 4: Cho a, b, c

0 ; a + b + c = 1 . Chứng minh rằng:
6+++++ accbba
Bài 5:Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh một tam giác, p là nửa chu vi.
Chứng minh rằng:
3 (1)p p a p b p c p
< + +
Bài 6: Cho a, b,c là 3 số khác 0. Chứng minh rằng:

2 2 2
2 2 2
a b c a b c
b c a b c a
+ + + +
Bài 7 Cho ba số
0,, >cba


3 3 3
3 3 3
a b c a b c
b c a b c a
+ + + +
Giải
Vận dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

+ +
+ +
3 3
3 3
3 3
3 3
a a a
1 3 (1)
b
b b
b b b
1 3 (2)
c
c c

+ +
3 3
3 3
c c c
1 3 (3)
a

Giải
Ta có:
1 1 1 b c
1 1
1 a 1 b 1 c 1 b 1 c
+ = +
+ + + + +
áp dụng bất đẳng thức Côsi:


+ + +

+ + +
1 bc
2
1 a (1 b)(1 c)
1 ac
2
1 a (1 a)(1 c)


+ + +
1 ab
2
1 c (1 a)(1 b)
Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 11
chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán
Nhân lại ta đợc:
1 8abc
(1 a)(1 b)(1 c) (1 a)(1 b)(1 c)

1
1 a 1 a 1 a 1 a

+ + + + + +
+
+ + + +
+ + + +
= +
+ + + + + +
a(1 b) b(1 a) c(1 d) d(1 c)
1
(1 a)(1 b) (1 c)(1 d)
a b 2ab c d 2cd
1 a b ab 1 c d cd
áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

2 ab 2ab 2 cd 2cd 2 ab 2 cd
1
1 2 ab ab 1 2 cd cd 1 ab 1 cd
+ +
+ = +
+ + + + + +

4
4 4
4
2
4
4 4
4

1
+
c
1
) 9 với a,b,c > 0
Bài 2: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác với chu vi 2p
Chứng minh rằng:
Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 12
chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán
a)
abc
(p a)(p b)(p c)
8

b)
1 1 1 1 1 1
2( )
p a p b p c a b c
+ + + +

Bài 3: Cho a, b, c

0 ; a + b + c = 1 . Chứng minh rằng:

5,3111
<+++++
cba
Bài 4:Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh và 2p là chu vi của một tam giác.
Chứng minh rằng:


Ví dụ 1: Cho
a,b,c,d R
và
a b 2cd+ =
Chứng minh rằng ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau đây là đúng

2 2
c a,d b
Giải
Giả sử hai bất đẳng thức trên đều sai, có nghĩa ta đợc :

<
2
c a
và
2
d b<

2
c a 0 <
và
2
d b 0 <

2 2
2 2
2 2
c a d b 0
c d (a b) 0
c d 2cd 0

0 c(2 c) 1


Suy ra:

abc(2 a)(2 b)(2 c) 1
Mâu thuẫn
Vậy có ít nhất một trong các bất đẳng thức đã cho là sai
Ví dụ 3: Cho 6 số tự nhiên khác 0 nhỏ hơn 108. Chứng minh rằng có thể chọn đ-
ợc 3 trong 6 số đó, chẳng hạn a,b,c sao cho a<bc, b<ca, c<ab
Giải
Giả sử 6 số tự nhiên khác 0 là
1 2 6
1 a a a 108
Rõ ràng
2 3
a 2; a 3
Với 3 số x,y,z thoã mãn
1 x y z
Ta luôn có x<yz và y<xz. Nếu trong các số a
1
, a
2
,, a
6
không có 3 số nào thoã
mãn a<b<c và c<ab thì có
4 2 3
a a a 6,
=

a 0 a 0
a 0
abc 0
b>0 b<0
a 0 bc 0
c<0 c>0
>


Xét khả năng
a 0; b>0; c<0 a+c<0
Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 14
chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán
Ta có:

2
2 2 2
(1) : a b c 0 b>-(a+c) (a+c)b<-(a+c)

1 1 1
9
a a a
+ + + =
.
Chứng minh rằng trong 25 số tự nhiên đó, tồn tại hai số bằng nhau.
Dạng 5 Phơng pháp lợng giác
Đây là một trờng hợp đặc biệt của phơng pháp đổi biến số. Đối với học sinh
THCS thì việc sử dụng phơng pháp này là khá mới vì kiến thức cơ bản của phần l-
ợng giác cha đợc nghiên cứu sâu. Cho nên ở phơng pháp này tôi xin trình bày
một số kiến thức lý thuyết và các dạng phơng pháp một cách chi tiết hơn.
Kiến thức cần nhớ:
1. Các hệ thức cơ bản
+
1sincos
22
=+
+ 1 + tg
2
=
)k
2
(
cos
1
2
+




chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán
Nếu thấy x
2
+ y
2
= a
2
(a > 0) thì đặt



=
=
cosay
sinax
với [0, 2]
Nếu thấy |x| 1 thì đặt
[ ]
sin ;
2 2
cos 0;
x khi
x khi


=


2 2
1 1
1+tg2 = 1 ( )
cos cos 2
tg k



= +

Nếu |x| 1 hoặc bài toán có chứa biểu thức
1x
2

thì đặt x =
cos
1
với













2
3
,
2
;0
Sử dụng công thức 1+ tg
2
=

2
cos
1
.
Nếu x R và bài toán chứa (1+x
2
) thì đặt x = tg với








2
,
2
Nếu x R và bài toán chứa (x
2
+m

Ta có:

2 2
2 2
1 d 0 d 1
-1 d 1

-1 c 1
1 c 0 c 1













Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 16
chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán
Do đó ta đặt:
d cosb=
và
c cosa=
với
, 0;


+
Giải
Đặt
sin
x tg
cos
a
a
a
= =
Với
;
2 2
p p
a ữ

Thì

2
2
2
2
2
2
2 2
2 2

x 1<
và n là số nguyên lớn hơn 1 thì ta có bất
đẳng thức:

n n n
(1 x) (1 x) 2+ + <
Giải :
Vì:
x 1<
nên ta đặt
x cost=
với

( )
n n n n
2 n 2 n
n 2 n 2 n n
t ;
(1 x) (1 x) (1 cost) (1 cost)
t t
(2cos ) (2sin )
2 2
t t
2 (cos ) (sin ) 2 (1)
2 2
p p
+ + = + +
= +

+

Ví dụ 4:
Chứng minh rằng:
[ ]
)(a)a()a(a 122221111
2332
+++
Giải:
Từ đk |a| 1 nên
Đặt a=cos với [0,]
=

=+

= sina1;
2
cos2a1;
2
sin2a1
2
(1)
2
cos
2
sin2222
2
sin
2
cos22.
2
cos

2
cos
2
cos
2
sin
22

+







+

+


























+

đúng (đpcm)
Bài tập áp dụng:
Bài 1:
Cho a
2
+ b
2
- 2a - 4b + 4 = 0. Chứng minh rằng:
A =
2334b)324(a)321(2ab32ba
22
++++
Bài 2: Cho a, b thoả mãn :
7 12b 5a ++

1a
Bài 6:
Chứng minh rằng:
c,b,a
)a1)(c1(
|ac|
)c1)(b1(
|cb|
)b1)(a1(
|ba|
222222

++


++

+
++

Bài 7:
Chứng minh rằng:
0d,c,b,a)1()db)(ca(cdab >+++
(1)
Bài 8:
Chứng minh rằng:
2
1
)b1)(a1(
)ab1)(ba(

> + +
Theo gt quy nạp ta có:

k 1
2 (2k 1)2 4k 2 2k 2k 2 2(k 1) 1
+
+ = + = + + > + +
Điều phải chứng minh.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên
n 2

Ta có:

1 1 1 13

n 1 n 2 2n 24
+ + + >
+ +
Giải:
a. Với n=2 ta có:

1 1 13 14 13
3 4 24 24 24
+ > >
đúng
Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 19
( ) ( ) ( )
1 2 1 3 1
( ) ( ) ( )
2 3 2 1


+ + + + + +

+ +

chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán
Giả sử với n=k ta có:
1 1 1 13

k 1 k 2 2k 24
+ + + >
+ +
Ta cần chứng minh:

1 1 1 13

k 2 k 3 2k 2 24
+ + + >
+ + +
Ta có:

1 1 1 1 1 1 1 1
( )
k 2 k 3 2k 2 k 1 2k 2k 1 2k 2 k 1
+ + + = + + + +
+ + + + + + +
Vì :

1 1 13


n
=2 bất đẳng thức đả đợc chứng minh ở 1. (bất đẳng thức Ơclit)
Nếu
1 2 1 2
1 1n n
x x x x

< <
.
, x
1 2
x R
+

Vậy
, x
1 2
x R
+

thì ta luôn có (chuyển một bộ phận sang vế phải, ta
đợc)

1 2 1 2
1 2 1 2 2 1
1 1
( )( ) 0
1 1
.
n n

n x x x x x x x
n n
n n n n n n
x x x x x x x x
n
n
n

+ + + + + +

+ + + + + + + +


Bây giờ theo giả thiết quy nạp, ta thừa nhận rằng đối với
1n
số thực không
âm bất kì , trung bình cộng không nhỏ hơn trung bình nhân của chúng. Thế thì
nói riêng ta có:1 1 1

2 3
n n n
x x x
n

+ + +

( 1)

+ + +


Sử dụng các bất đẳng thức này, ta có thể tăng cờng các bất đẳng thức
( 2 )

( 1)( ) ( 1) )
1 2 1 2
n n n
n x x x n n x x x
n
n
+ + +
Trong hệ thức này đặt
, ,
1 1 2 2
n n n
x a x a x a
n n
= = =
ta đợc

1 2
1 2

.
n
n
n
a a a

<+++

1;
>
nNn
(1)
Bài 2:
Cho
Nn

và a+b > 0. Chứng minh rằng
n
ba






+
2


2
nn
ba +
(1)
Bài 3: Cho a,b là hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông với c là cạnh huyền
Chứng minh rằng:
2 2 2n n n

+ + +
Giải:
Vì:
a
1
a b
<
+
nên:
a a a c
a b c a b a b c
+
< <
+ + + + +
Tơng tự:

b b b a
a b c b c a b c
+
< <
+ + + + +

c c c b
a b c c a a b c
+
< <
+ + + + +
Cộng các bất đẳng thức trên lại ta đợc điều phải chứng minh.
Ví dụ 2: Cho a,b,c,d là các số dơng, chứng minh rằng:


+ + + + + + + +
+ + + +
< <
+ + + + + + + +
+ + + +
< <
+ + + + + + + +
Cộng lại ta đợc 2<A<3. Suy ra A không thể là số nguyên .
Bài tập áp dụng:
Bài 1:
Cho a, b, c, d > 0 . Chứng minh rằng:
1 2
a b c a
a b c b c d c d a d a b
< + + + <
+ + + + + + + +
Bài 2:
Cho a;b;c;d là các số nguyên dơng thỏa mãn : a + b = c + d =1000
tìm giá trị lớn nhất của
d
b
c
a
+
.
Bài 3:
Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 22
chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán
Cho:
b


Rx

Nếu
0
=
thì
( )
0.
>
xfa

a
b
x
Nếu
0
>
thì
( )
0.
>
xfa
với
1
xx
<
hoặc
2
xx

( ) 1 2 1
0
f(x)>0
( ) 0
y R
x,y R
D
D
d
D
d

= +

= +

= =

<




<




2 2 2
i i i i
1 1 1
f(x) ( a )X 2( a b )X ( b )= +

Ta có:
n
2
i i
1
f(X) (a X b ) 0=

Với mọi X nên tam thức (X) có
' 0D
Suy ra:
n n n
2 2 2
i i i i
1 1 1
( a b ) ( a )( b ) 0

Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 23
chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán
Tức là (2) đúng nên (1) đúng.
Ví dụ 3:
,x y R
, chứng mih bất đẳng thức sau:

2 4 2 2 2 3
2( 2) 4 4x y x y xy x xy







Bài tập áp dụng:
Bài 1: Cho a,b,c,d thoã mãn b < c < d.
Chứng minh rằng
2
(a b c d) 8(ac bd) (1)+ + + > +
Bài 2: Cho các số a , b , c , d , p , q sao cho:
2 2 2 2 2 2
p q a b c d 0+ >
Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2 2
(p a b )(q c d ) (pq ac bd) (1)
Dạng 9 Phơng pháp dùng tính chất bắc cầu
Đây là phơng pháp chứng minh bất đẳng thức sử dụng tính chất bắc cầu trong
Toán học.
Chẳng hạn:
a b
>
và



(a-c)(b-d) > cd


ab ad bc + cd > cd


ab > ad + bc điều phải chứng minh.
Ví dụ 2:
Cho a,b,c>0 thỏa mãn
3
5
222
=++
cba
Chứng minh
abccba
1111
<++
Giải
Ta có :( a + b c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2( ab ac bc) > 0

Ví dụ 3:
Cho
0 , , 1a b c< <
. Chứng minh rằng:
accbbacba
222333
3222 +++<++
Giải
Do a < 1


1
2
<
a
và
Ta có
( )
( )
01.1
2
<
ba


1- b -
2
a
+
2

Tơng tự ta có:
3 3
b c+

cb
2
1
+
Và
3 3
c a+

ac
2
1
+
Cộng các bất đẳng thức ta có:
accbbacba
222333
3222
+++++
Ví dụ 4:
Cho
0 , , 1x y z
Chứng minh rằng:
a.
0 1x y z xy yz zx + +
b.
2 2 2 2 2 2
1x y z x y y z z x+ + + + +

Cho
0 , , , 1.a b c d< <
Chứng minh rằng:
(1 )(1 )(1 )(1 ) 1a b c d a b c d >
Bài 2:
Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 25