Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
ĐẠI HỌC QUỐC GIA
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
PHẠM THỊ LAN ANH MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI - 2013
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
ĐẠI HỌC QUỐC GIA
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
2.1.1. Bất đẳng thức Cauchy: 2
2.1.2. Bất đẳng thức Cauchy cơ bản: 2
2.1.3. Các bài toán minh họa. 2
2.1.4. Một số bài tập tương tự. 7
2.2. Phương pháp sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy 8
2.2.1. Bất đẳng thức Cauchy: 8
2.2.2. Các bài toán minh họa 8
2.2.3. Mt s t 16
2.3. Phương pháp thêm bớt hằng số. 17
2.3.1. Phương pháp: 17
2.3.2. Các bài toán minh họa: 17
2.3.3. Một số bài toán tương tự 23
2.4. Phương pháp thêm bớt biểu thức chứa biến 24
2.4.1. Phương pháp: 24
2.4.2. Các bài toán minh họa: 24
2.4.3. Một số bài toán tương tự 38
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
2.5. Phương pháp nhóm các số hạng 40
2.5.1. Phương pháp thứ 1. 40
2.5.1.1. Nội dung phương pháp: 40
2.5.1.2. Các ví dụ minh họa: 40
2.5.2. Phương pháp thứ 2 44
2.5.2.1. Nội dung phương pháp 44
2.5.2.2. Các ví dụ minh họa. 44
2.5.3. Một số bài toán tương tự 50
2.6. Phương pháp sử dụng kĩ thuật Cô-si ngược dấu 50
2.6.1. Phương pháp: 50
2.6.2. Các bài toán minh họa: 50
2.6.3. Các bài tập tương tự: 52
từ đó các phương pháp chứng minh bất đẳng thức cũng được đề cập để giải quyết
các bài toán bất đẳng thức đó. Trong phạm vi luận văn này, chúng tôi chỉ trình bày và
tổng hợp một vài phương pháp chứng minh bất đẳng thức quen thuộc để giải quyết
các bài toán của chương trình phổ thông, phục vụ quá trình dạy và học môn toán.
Trong luận văn này ngoài phần lời nói đầu và kết luận thì bố cục được trình bày
như sau:
- Chương 1: Mở đầu. Ở chương này đưa ra các khái niệm cơ bản về bất
đẳng thức cũng như các tính chất của bất đẳng thức.
- Chương 2: Bất đẳng thức Cauchy. Chương này trình bày một số phương
pháp chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức Cauchy, trong đó đưa ra
các phương pháp như:
Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản.
Phương pháp sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy.
Phương pháp thêm bớt hằng số.
Phương pháp thêm bớt biểu thức chứa biến.
Phương pháp nhóm các số hạng.
Phương pháp sử dụng kĩ thuật Cauchy ngược dấu.
- Chương 3: Phương pháp miền giá trị hàm số. Chương này trình bày
cách từ miền giá trị của biến số để tìm ra miền giá trị của hàm số, từ đó xác định
được điểm cực trị của hàm số trong miền giá trị để chứng minh bất đẳng thức.
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
- Chương 4: Phương pháp lượng giác hóa. Chương này trình bày phương
pháp sử dụng các hệ thức lượng giác hoặc biến đổi bất đẳng thức trở thành các hệ
thức lượng giác quen thuộc để chứng minh bất đẳng thức.
- Chương 5: Phương pháp sử dụng chiều biến thiên hàm số. Chương này
trình bày phương pháp lựa chọn hàm số từ bất đẳng thức để từ đó qua đạo hàm
ta thấy được chiều biến thiên trong một khoảng xác định để chứng minh bất
đẳng thức ban đầu.
- Chương 6: Phương pháp sử dụng hình học. Chương này trình bày
1.2.4. Nu a > ; < > .
1.2.5. Nu a > > 0; > > 0 > .
1.2.6. Nu a > > 0; > > 0
a
d
>
b
c
.
1.2.7. Nu a > > 0 > a
2
> b
2
.
1.2.8. Nu a > a
3
> b
3
.
1.2.9. bt ng thc quan n h s logarit:
Nu a > 1 x
1
> x
2
a
x
1
> a
x
2
A <
.
A
< < < .
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
2
Chƣơng 2: Bất đẳng thức Cauchy
2.1. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản.
2.1.1. Bất đẳng thức Cauchy.
Cho n s : x
1
; x
2
; ; x
n
. Khi :
x
1
+ x
2
+ + x
n
n
x
a + b + c
.
1
a
+
1
b
+
1
c
9 ; a > 0; b > 0, c > 0.
Chú ý : Dạng tương đương của 2 bất đẳng thức trên là:
1
a
+
1
b
4
a + b
. a > 0; b > 0.
1
a
+
1
b
+
i
> 0; i = 1, n
.
1
a
1
+
1
a
2
+ +
1
a
n
>
n
2
a
1
+ a
2
+ + a
1
2x + y + z
+
1
x + 2y + z
+
1
+ + 2
1.
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản cho 4 số x; x; y; z ta được:
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
3
1
2+ +
=
1
+ + ++
1
4
2
1
+
1
+
1
16
1
x
+
2
y
+
1
z
.
Du = xy ra khi x = y = z.
1
x + y + 2z
=
1
x + x + +y + z
1
16
1
x
+
1
y
+
2
x
+
1
y
+
1
z
= 4
1
2x + y + z
+
1
x + 2y + z
+
1
x + y + 2z
1 .
Du = xy ra khi x = y = z =
3
4
.
Bài toán 2.
Cho 3 số dương a, b, c. Chứng minh rằng:
a
b + c
+
b
c + a
+
c
1
9
.
2
a + b + c
1
c + a
+
1
b + c
+
1
a + b
1
9
.
2
1 +
a
b + c
+ 1 +
b
c + a
+ 1 +
y
y + 1
+
z
z + 1
3
4
.
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản cho các số x+1; y+1; z+1 ta được:
1
x + 1
+
1
y + 1
+
1
z + 1
9
x + 1 + y + 1 + z + 1
=
9
x + y + z + 3
=
9
4
.
y + 1
+
z
z + 1
3
4
.
Du = xy ra khi x + 1 = y + 1 = z + 1 x = y = z =
1
3
.
Bài toán 4.
Cho x > 0; y > 0; x + y < 1 .
Chng minh rng:
x
2
1 x
+
y
2
1 y
+
1
x + y
+ x + y
5
2
.
Lời giải:
1 x
+
1 y
+
x + y
1
1 x
+
1
1 y
+
1
x + y
9 .
bt ng thc
.
Du = xy ra khi 1 x = 1 y = x + y x = y =
1
3
.
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
1
4
1
a + c
+
1
2
b + c
1
4
1
4
1
a
+
1
c
+
1
2
a + c = 2
b + c
a = c
b = c
a = b = c = 0 .
thun gi thit a, b, c .
Du = xy ra do ta
1
a + 2b + 3c
<
1
16
1
a
+
1
2b
+
3
2c
.
t ta :
1
b + 2c + 3a
Cộng 2 vế các bất phương trình trên ta có
1
a + 2b + 3c
+
1
2a + 3b + c
+
1
3a + b + 2c
<
1
16
1 +
1
2
+
3
2
1
a
+
1
b
+
1
c
.
.
Cho ABC tam nhn. Chng minh rng:
1
cosA
+
1
cosB
+
1
cosC
1
sin
A
2
+
1
sin
B
2
+
1
sin
C
2
.
Lời giải:
ABC nhn 0 < A, B, C <
2
2
.
Du = xy ra khi cos
A B
2
= 1 A = B.
t ta :
1
cosB
+
1
cosC
2
sin
A
2
. Du = xy ra khi cos
B C
2
= 1 B = C.
1
cosC
+
1
cosA
2
sin
B
sin
C
2
.
1
cosA
+
1
cosB
+
1
cosC
1
sin
A
2
+
1
sin
B
2
+
1
sin
C
2
.
Du = xy ra khi A = B = C hay ABC u.
2S
sinC
sin
C
2
+
2S
sinA
sin
A
2
+
2S
sinB
sin
B
2
.
=
S
cos
C
2
+
S
cos
A
2
+
2
<
2
.
cos
A
2
, cos
B
2
, cos
C
2
> 0.
dng bt ng thc Cauchy bn ta :
1
cos
A
2
+
1
cos
B
2
+
1
cos
C
2
A
2
+
1
cos
B
2
+
1
cos
C
2
9
3
3
2
= 2
3. Vy v 2
3.
Du = xy ra khi cos
A
2
= cos
B
2
= cos
+
y
y + 1
+
z
z + 1
3
2
.
3: Cho s thc x, y, z sao cho xyz = 1.
Chng minh rng:
1
xy + x
+
1
yz + y
+
1
zx + z
3
2
.
4: Cho 3 s x, y, z Chng minh rng:
P =
x
2x + y + z
+
y
)
n
a
1
a
2
a
n
n
.
Du = xy ra khi a
1
= a
2
= = a
n
.
2.2.2. Các bài toán minh họa
Bài toán 1.
Cho 3 số dương x, y, z và xyz=1. Chứng minh rằng:
P =
1 + x
3
+ y
3
xy
+
3
1. x
3
. y
3
3
xy
=
3
xy
.
Du = xy ra khi 1 = x
3
= y
3
x = y = 1 .
t ta
1 + y
3
+ z
3
yz
3
yz
.
yz
+
3
zx
3 . 3
1
xy
.
1
yz
.
1
zx
3
= 3
3 .
P 3
3 .
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
9
Du = xy ra khi
3
x
3
x
+ 4
x
+ 5
x
.
Lời giải:
x
12
5
x
> 0;
15
4
x
> 0;
20
3
x
> 0.
12
5
x
=
15
4
x
x = 0.
t ta :
15
4
x
+
20
3
x
2.5
x
. Du = xy ra khi
15
4
5
x
x = 0.
Cng 2 v bt ng thc ta :
12
5
x
+
15
4
x
+
20
3
x
3
x
+ 4
x
+ 5
x
.
Dấu “=” xảy ra khi x=0.
1 + y
+
z
1 + z
2
yz
y + 1
z + 1
.
Du = xy ra
y
1 + y
=
z
1 + z
y = z.
t ta
1
1 + y
2
zx
x + 1
z + 1
2
z
2
x + 1
2
y + 1
2
z + 1
2
=
8xyz
x + 1
y + 1
z + 1
.
xy
1
8
. Du = xy ra x = y = z.
1
2
.
Lời giải:
t X = x
3
, Y = y
3
, Z = z
3
=> X, Y, Z > 0 .
Khi cho tr :
Cho X, Y, Z 3 s tha
XY +
YZ +
ZX = 1 .
CMR: S =
X
2
X + Y
+
Y
2
Y + Z
+
Z
2
X + Y
4
X = Y x = y.
t ta
Y
2
Y + Z
+
Y + Z
4
Y. Du = xy ra khi Y = Z y = z.
Z
2
Z + X
+
Z + X
4
Z. Du = xy ra khi Z = X z = x .
Cng v ta S +
X + Y + Z
2
X + Y + Z.
S
X + Y + Z
2
.
Du = xy ra khi X = Y = Z .
Ta thy X + Y + Z
2
= 1.
Chng minh rng:
x
y
2
+ x
2
+
y
z
2
+ x
2
+
z
x
2
+ y
2
3
3
2
.
Lời giải:
Ta : x, y, z > 0 x
2
+ y
+
1 x
2
3
2x
2
1 x
2
1 x
2
3
8 27. 2x
2
1 x
2
1 x
2
x
y
1 y
2
3
3
2
y
2
. Du = xy ra y =
3
3
.
z
1 z
2
3
3
2
z
2
. Du = xy ra z =
3
3
.
2
.
Du = xy ra khi x = y = z =
3
3
.
Bài toán 6.
Cho x > 0, y > 0 x + y 4.
Chng minh rng:
3x
2
+ 4
4x
+
2 + y
3
y
2
9
2
.
Lời giải:
Ta thy:
3x
2
+ 4
4x
+
1
x
2
x
4
.
1
x
= 1.
1
y
2
+
y
8
+
y
8
3
1
y
2
.
y
8
.
y
8
13
Do
3x
2
+ 4
4x
+
2 + y
3
y
2
1 +
3
4
+ 2 =
9
2
.
Du = xy ra khi x = y = 2.
Bài toán 7.
Cho 3 s x, y, z xyz = 1. Chng minh rng:
S =
x
3
1 + y
1 + z
+
1 + y
8
+
1 + z
8
3
x
3
1 + y
1 + z
.
1 + y
8
.
1 + z
8
3
=
3
4
x.
Du = xy ra khi
x
3
y
3
1 + z
1 + x
=
1 + z
8
=
1 + x
8
x = z
1 + z = 2y
z
3
1 + x
1 + y
3
4
3
4
x + y + z
.
S
x + y + z
2
3
4
3
xyz
3
2
3
4
=
3
2
3
4
=
3
4
dng bt ng thc Cauchy ta :
x y
+
y + 1
2
+
y + 1
2
+
4
x y
y + 1
2
4
x y
.
y + 1
2
.
y + 1
2
.
=
4
x y
y + 1
2
x = 2
y = 1
.
Bài toán 9.
Cho x > 1, y > 1, z > 1, x + y + z = xyz.
Chng minh rng
y 2
x
2
+
z 2
y
2
+
x 2
z
2
z 2 + y
y
2
+
x 2 + z
z
2
1
x
+
1
y
+
1
z
=
y 1 + x 1
x
2
+
z 1 + y 1
y
2
+
x 1 + z 1
z
+
y 1
.
1
y
2
+
1
x
2
+
z 1
.
1
z
2
+
1
y
2
1
x
2
.
1
z
2
=
2
x 1
xz
.
Du = xy ra
1
x
=
1
z
x = z .
t ta :
y 1
.
1
y
zy
. Du = xy ra khi z = y.
Do cng v bt ng thc ta
y 2
x
2
+
z 2
y
2
+
x 2
z
2
2
x 1
xz
+
2
y 1
yx
+
2
x
+
1
y
+
1
z
2.
Ta
1
x
+
1
y
+
1
z
2
3
1
xy
+
1
yz
+
1
zx
x
2
+
z 2
y
2
+
x 2
z
2
3 2.
Du = xy ra khi
x = y = z =
3
x + y + z = xyz
x = y = z =
3.
Bài toán 10.
Chng minh rng trong mi ABC ta :
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
16
1 + cos A cos B cos C 9 sin
A
2
< 1.
c 2 v ca bt ng thc cn chng minh vi 8. cos
A
2
cos
B
2
cos
C
2
ta c:
8. cos
A
2
cos
B
2
cos
C
2
1 + cos A cos B cos C
8. cos
A
2
cos
B
2
C = 2
1 + cos A cos B cos C
.
Thay bt ng thc ta :
sin A + sin B + sin C
sin
2
A + sin
2
B + sin
2
C
9 sin A sin B sin C.
Trong ABC ta : sin A, sin B, sin C > 0
dng bt ng thc Cauchy ta :
sin A + sin B + sin C 3
sin A sin B sin C
3
.
sin
2
A + sin
2
B + sin
+
2
z
3
x + y
3.
2: Cho 3 s x, y, z xyz = 1.
Chng minh rng
1
xy
+
1
yz
+
1
xz
+
3
x + y + z
4.
3: Cho 2 s x, y xy = 1.
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
17
Chng minh rng x
2
+ 3x + 3y + y
2
1
2
.
5:Chng minh rng trong mi ABC ta :
1
sin
2
A
+
1
sin
2
B
+
1
sin
2
C
1
2 sin
A
2
sin
B
2
sin
C
2
3
=
ab. 1
3
1
3
a + b + 1
. Du = xy ra khi a = b = 1.
t
bc
3
1
3
b + c + 1
. Du = xy ra khi b = c = 1.
ca
3
1
3
ab
3
+
bc
3
+
ca
3
1
2
3
a + b + c
,
Du = xy ra khi a = b = c = 1.
Bài toán 2.
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
18
Cho x 2, y 3, z 1. Chng minh rng:
xy
z 1
+ yz
+ yz
x 2
+ zx
y 3
xyz
=
z 1
z
+
x 2
x
+
y 3
x 2 + 2
2x
2
=
1
2
2
.
Du = xy ra khi x 2 = 2 x = 4.
y 3
y
y 3 + 3
y
3
=
1
2
3
.
Du = xy ra khi y 3 = 3 y = 6.
Cng v ta
= VP.
Du = xy ra khi x = 4, y = 6, z = 2.
Bài toán 3.
Cho 3 s x, y, z x + y + z = 1.
Chng minh rng: x +
xy +
xyz
3
4
3
.
Lời giải:
Ta bin i v : VT = x +
xy +
xyz
3
= x +
x. 4y
2
+
x. 4y. 16z
3
Copyright: Tài liệu đại học ©