Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức
A: ĐẶT VẤN ĐỀ

 !"#
#$ %% &'% () *+
%% &%",-',./%)
0% &#)- *+#*/##% &1
2#*/## (% &#)3 450
6%78!9#*/###5+#1:6%% &
(#!9 *+#*/##);%#)#<
+##*/##+#.1
=% & *+>!9!"%
)%,>#*/%#*/,#*/ 4%,?
@A0%(111 *+78!9>#
"111B>C7DE#)- *+'E/%)%
&1
E)!"CF*GH2I74#3)
%% &%% &
*G)JK#*/## ?7
L ? *+*@)%1:4>07H2I
"E)3*!C*<! 7$$
%E>!9E)!"%>#1
!0 L *+>#@,7<#*/##C
*+78!9% &*M!5 ?N%E O*/
*/!5% & P%E#*/###)1111117<%>#
>!9Q$#7%@$$4#%C
>!9% &$#7( ?*@ *+#*/##
$/% &%1
R (một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng củabất
đẳng thức )<$#77<#*/##
% & S! TCA

c
Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức
%.dM[%%[][[
.`M[%Z][Y[%Y
H,)M[%Z][e[%e
Y[%Z][[%e
!.fM[%[!][Y[%Y!
[%Z!][e[%e!
K.bM[%[a][[%!
[%Za][Z%!
g.VM[%[ah[![a][[%!
.cM[%[a][

[%

[%Z][

[%

@i1
.jM[%h%[a][
3, Một số bất đẳng thức thông dụngM
= &27M
B@d7<!*/%M 
ab
ba
≥
+
d


j
Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức
eWEM^(n[=L_,ne=one=[
a1
ep*SMn
d

≥
a@nh!qq]qqL)Cn]a1
eB.!9M
Bài 1.1 :
B@7<MLCrQML
d
YC
d
Yr
d
Y`
≥
dlLYCYrm
Giải :
L_,MH]L
d
YC
d
Yr
d
Y`edlLYCYrm
]L
d


≥
a@r
 ][H
≥
a@LCr
HCL
d
YC
d
Yr
d
Y`
≥
dlLYCYrm@LCr1
k%QL)CZ][L]C]r]\1
Bài 1.2M
2%!K7<M
2QM
d
Y%
d
Y
d
Y!
d
YK
d

≥

−
d
m
d
Yl
e
a
−
d
m
d
kl
b
a
−
d
m
d

≥
a@%
kl
c
a
−
d
m
d

≥

d
dd
dd






+
≥
+ baba
Giải :
s_,MH]
d
dd
dd






+
−
+ baba
]
f
mdlmld
dddd

]n
d
Y=
d
Y2
d
Ydn=Ydn2Yd=2
lnY=m
`
]n
`
Y`n
d
=Y`n=
d
Y=
`
lne=m
`
]n
`
e`n
d
=Y`n=
d
e=
`
uuuuuuuuuuu1
B.!9M
Bài 2. 1M2%7<!*/O%Q\12QM

2QMlY%ml%YmlYm
≥

`
%
`

`

Giải:
\a
Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức
 vMlY%m
d

≥
f%lY%Ym
d
]
[ ]
cbacba mlfml
d
+≥++
][\V
≥
flY%m][\VlY%m
≥
flY%m
d



+
≥
+ baba
h [ah%[a
Giải :
k5#_#%E O*/ */MB@[ah%[a][Y%[a

`
``
dd






+
≥
+ baba








+
≥+−


d
d






+ ba
f
d
ef%Yf%
d

≥

d
Yd%Y%
d

`
d
eV%Y`%
d

≥
`l
d
ed%Y%

Y%
`
Y%
≥

d
\
Z][
`
Y%
`
Y%e
d
\

≥
a
Z][lY%ml
d
e%Y%
d
mY%e
d
\

≥
a
Z][
d
Y%

= &<5 $1B>C
`
Y%
`
Y%
≥

d
\
\\
Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức
kqq]qqL)C]%]
d
\
Bài 2.5 :2% &M
`
``
dd






+
≥
+ baba

 M[a%[a1
Giải :





+
≥+−






+ baba
baba
ba
Z][
d
dd
d






+
≥+−
ba
baba
Z][f



+
≥
+ baba
kqq]qqL)C]%1
Bài 2.6MB@[a%[a12% &M

a
b
a
−

≥

a
b
b −
Giải :
k5#_#%E O*/ */M

a
b
a
−

≥

a
b

Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức
eWEMk5% &K*M27=#L%
&!?C, < (%E O
:7<,)v% &ML
d
YC
d

≥
dLC
B@%[a
d≥+
a
b
b
a
2.!9M
Bài 3.1Mx)78%7<!*/QM

d>
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a

≥
+
d
k%Q0%=^( oGL)C M
]%Y%]Y]Y%Y%Y]al@)E% 7<
!*/m1
v 7CM
d>
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a
Bài 3.2:
2LCd7<)PM

L
d
YC
d
]
dd
\\ xyyx −+−
 2QM`LYfC
≤

][L
d
YC
d

≤
\
"Ml`LYfCm
d

≤
l`
d
Yf
d
mlL
d
YC
d
m
≤
db
][`LYfC
≤
b
\`
Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức
^&L)C



d
b
d
`
≤≤ x
Bài 3. 3:2%
≥
ahY%Y]\12QM

V≤+++++ accbba
%
b`\\\ <+++++ cba
Giải
y#!9%!&=#L@d%`7<M
( )
( )
( ) ( ) ( )






+++++++≤+++++
ddd
\\\\1\1\1 accbbaaccbba
][
( )
Vmdd1l`
d


b``
d
\\\ =+
++
≤+++++
cba
cba
k &L)C]%]]a@)EMY%Y] \
B>CM
b`\\\ <+++++ cba
Bài 3.4M27<!*/%)PMY%Y]\1
2QM
t
\\\
≥++
cba
Giải :
M
a>+
a
b
b
a
%[a
M
=++
cba
\\\
m

a
a
c
b
c
c
b
a
b
b
a
`YdYdYd]t
][
t
\\\
≥++
cba
kqq]qqL)CM]%]]
`
\
Bài 3.5
2LC[a12QM
yxyx +
≥+
f\\


Giải
y#!9% &27M
xyyx d≥+

2QML
f
YC
f

≥
d
Giải
K.%-DMlL
d
eC
d
m
≥
aL
f
YC
f

≥
dL
d
C
d
dlL
f
YC
f
m
≥

m
≥
fBMLYC]d
L
d
YC
d

≥
dldm
vl\mldmML
f
YC
f

≥
d
kqq]qqL)CL]C]\1
Bài 4.2:
2aZ%!Z\12QM
\b
Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức
l\eml\e%ml\eml\e!m[\ee%ee!1
Giải :
Ml\eml\e%m]\ee%Y%
k%[a%[a][l\eml\e%m[\ee%1
kZ\\e[a][l\eml\e%ml\em[l\ee%ml\em
l\eml\e%ml\em[\ee%eYY%1
k%![a\e![ahY%[ah!Y%!Y![a
][l\eml\e%ml\em[\ee%e

d
%[
d
Y%
][\Y
d
%[
`
Y%
`
C
`
Y%
`
Z\Y
d
%1
*/M%
`
Y
`
Z\Y%
d
h
`
Y
`
Z\Y
d
1

^(% &% &7E
[%[a7<[
m m n n
m m n n
a b a b
a b a b
− −
>
+ +
l\m
>>C!5#_#%E O*/ */ (
l\m
⇔
d d
m m m n n n
m m n n
a b b a b b
a b a b
+ − + −
>
+ +

⇔
\e
d d d d
\
m n m n
m m n n m m n n
b b b b
a b a b a b a b

⇔ + > +
\V
Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức
l m l m
m n
m n
m n
a a a a
b b b b
⇔ > ⇔ >
ldm
= &ldm $[%[a
\
a
b
>
[>C% &l\m
$
y#!9% &
m m n n
m m n n
a b a b
a b a b
− −
>
+ +
<[%[a[]\ttV
]\ttb% &#)z $
\ttV \ttV
\ttV \ttV

2QM

d
\\\
≥
−
+
−
+
− cpbpap
m
\\\
l
cba
++
x)M
M#e]
a
d
>
−+ acb
*/M#e%[ah#e[ah
#!9E)%>#l3.5) *+h
cbpapbpap
f
mlml
f\\
=
−+−
≥

][ #)1
\c
Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức
kqq]qqL)CM#e]#e%]#e]%]1
W n=2 1
Bài 6.2M
2% !%"02:wM
lY%eml%YemlYe%m
≤
%
Giải:
= &%"0E

d d d
a l mb c a a b c a− < ⇒ < − − ≤

d d d
a l mc a b b c a b− < ⇒ < − − ≤

d d d
a l ma b c c a b c− < ⇒ < − − ≤
v 
d d d d d d d d d
l m l m l ma b c b c a c a b a b c− − − − − − ≤

⇔
lY%emle%Yml%eYml%YemleY%mlYe%m
d d d
a b c≤
⇔

\j
Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức
Bài 7. 1 :
2aZ%!Z\12Qh.% &77Mdl\
e%m[\
`%l\em[d
jl\e!m[\
`d!l\em[`
Giải:
x)78*+")%< &  $1{Uvh
Md1`1j1`dl\e%m%l\eml\e!m!l\em[d1`
 ][
[ ][ ][ ][ ]
dbV
\
m\lm\lm\lm\l >−−−− ddccbbaa
l\m
:4#!9% &27M

d
\
d
\
m\l =
−+
≤−
aa
aa
][l\em
≤

d
\
<+
b
a
h
d
\
<+
c
b
h
d
\
<+
a
c
Giải
x)78o"`7<!*/%)P)`% &M

d
\
<+
b
a
h
d
\
<+
c

b
b
a
a
l\m
B%[aM
dm
\
l ≥+
a
a
h
dm
\
l ≥+
b
b
h
dm
\
l ≥+
c
c
][
Vm
\
lm
\
lm
\

`
Y`%lY%m[j
][dY`%lY%m[jlBM
`
Y%
`
]dm
][%lY%m[d
][%lY%m[
`
Y%
`
lBM
`
Y%
`
]dm
2)E7<!*/% *+M
%[
d
e%Y%
d
][a[le%m
d
BS
B>CMY%
≤
d
8. Phương pháp 8 : Đổi biến số
eWEM,#*/## O%E7<Q *% P

yxz −+
]
d
zyx −+
W M
B]
ab
c
ac
b
cb
a
+
+
+
+
+
]
z
zyx
y
yxz
x
xzy
ddd
−+
+
−+
+
−+

Bài 8.2M
2Qh@7<LC% &M
 e
f
\
m\lm\l
m\mll
f
\
dddd
dddd
≤
++
−
≤
yx
yxyx
GiảiM
^4M]
m\ml\l
dd
dd
yx
yx
++
−
%]
m\ml\l
\
dd

\






+
−
x
lY%m
d
]
d
d
\
d
\






+
−
y
ICMe
f
\

Yd%]Lh%
d
Yd]Ch
d
Yd%]r
W MLYCYr]
d
Yd%Y%
d
YdY
d
Yd%
]lY%Ym
d

≤
\
=FM2LCr[aLYCYr
≤
\1
d\
Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức
2QM

t
\\\
≥++
zyx
  *+MlLYCYrml
tm

d

[dY\l}m
Giải :
YB@]`Md

]d
`
]jhdY\]d1`Y\]chj[c1B>C &l}m
$@]`1
Yx)78l}m $@]l
∈
{h
≥
`mMd

[dY\
#)Md
Y\
[dlY\mY\
CMd
Y\
[dY`l}}m
Y>>CMd
Y\
]d1d

d

[dY\lK)EC"#m

\
+n
l}ml7<C!*/m
dd
Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức
 GiảiM
YB@]\MB]BX]
d
\
1B>Cl}m $@]\1
Yx)78l}m $@]
≥
\M
d
\
1
f
`
1
V
b
111
k
k
d
\d −
≤

\`
\

1
m\ld
\d
+
+
k
k
! ~DM
\`
\
+
k
m\ld
\d
+
+
k
k

≤

\m\l`
\
++k
!5#_#%E O*/ */M
ldY\m
d
l`Yfm
≤
l`Y\mflY\m

Giải:
x% !% *GCEw%. *G"E#
∆
n=2#)Y%Y[fw
B
∆
n=2U *G"E#Q
n=2ExUn=2UaQF%
xn=xn2x=21x)78Ua
Qxn=anYa=]dwxnYx=[dwxn]
d
`
nn
\
]
d
`

x=]
d
`
==
\
]
d
`
%
{xnYx=[dw
⇒
d

A
M
N
xzE# (0E#CE:{@ *GUa.
E#C
:=]:z{2]{z
v :{]:=Y{2*n:{:{Zn:Yn{
{d:{Zn:Yn{Y=:Y2{]n=Yn2
⇒
:{Z
d
AB AC+
{n:{;"C:{[n::{[n{
⇒
d:{[n:Yn{
B:{]=2Y2{
{`:{[n:Yn{Y=:Y2{! `:{[n=Yn2
⇒
:{[
`
AB AC+
B>C
`
AB AC+
<
:=Y{2Z
d
AB AC+
 11 . Ngoài ra còn có một số phương pháp khác để chứng minh bất đẳng thức
như : Phương pháp làm trội , tam thức bậc hai ta phải căn cứ vào đặc thù của

Y%
`
Y%h2%E%)
PMY%]\1
Giải
=]lY%ml
d
e%Y%
d
mY%
]
d
e%Y%
d
Y%]
d
Y%
d

Mdl
d
Y%
d
m
≥
lY%m
d
]\][
d
Y%

d
YLed
][n]ledmlYdm]
d
ef
≥
ef
k%QL)CM]aL
d
YLed]a
lLedmlLYdm]aL]edhL]\1
][n]efL]edhL]\h
%*/

Bài 3 : ?A0%(1
2]
\d`d −+− xx

%k]
V`
dd
−++++ xxxx

•]
f`d\ −+−+−+− xxxx
Giải :
y#!9=^M
BABA +≥+
db
Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức

Bài 4 :2Z%ZZ!M
:glLm]
ax −
Y
bx −
Y
cx −
Y
dx −
Hướng dẫnM*/MglLm]!Ye%e%
≤
L
≤

Bài 5M2%7<!*/LCr)PM
x+\
\
Y
y+\
\
Y
z+\
\

≥
d
?@0.MX]LCr
GiảiM

x+\

zx
++

z+\
\

≥
d
m\ml\l yx
xy
++
v 7CMX]LCr
≤

j
\
:LX]
j
\
L]C]r]
d
\
Bài 6 : 2`7<!*/%)PMY%Y]\1?A0
%(M€]
ddd
m
\
lm
\
lm

d
Y
d
m
][
d
Y%
d
Y
d

≥

`
\
dV
Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức
*/M
d
m
\\\
l
cba
++

≤
`
m
\\\
l

a
a
c
+
m
≥
`YdYdYd]t
][
cba
\\\
++

≥
t
][
d
m
\\\
l
cba
++

≥
j\
][
m
\\\
l
ddd
cba

`
Mx]
x
x \−
Y
y
y d−
Y
z
z `−
K=^27M
d
\\
\
+−
≤−
x
x
][
x
x \−

d
\
≤
*/M
dd
\
d
≤

\−x
x
@L[\1
%1?@0W]
d
\1 xx −

HDM#!9% &27*/*%bM
2 - Dùng bất đẳng thức để giải phương trình .
dc
Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức
eWEM{G.0% &#*/##
% &%E OElBBXm0#*/7 7C> (
~,0#*/1
 {EB]BX"47<? 0•l)Ps^m
][#*/,1
{EB[BX4BZBX"?0•1
][#*/,1
e2.!9M
Bài 1Mx)#*/M
\`
\−x
Yt
\+x
]\VL
GiảiM
^,ML
≥
\l}m
2\M#!9% &27M\`

=−
d
`
\
d
\
\
x
x
L]
f
b
)Pl}m
X*/l\m,!qq]qqFldmL)C
B>Cl\m,L]
f
b
1

Bài 2M?@0p]
`d −x
Y
xdb −
%1x)#*/M
`d −x
Y
xdb −
eL
d
YfLeV]al}m

d
efLYV
BX]lLedm
d
Yd
≥
d!qq]qqL)CL]d1
dj
Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức
][@L]dl)Ps^mB]BX]d1
][#*/l}m,L]d1
Bài 3 :x)#*/M

x−V
Y
d+x
]L
d
eVLY\`
Giải : s^Med
≤
L
≤
V1
BX]lLe`m
d
Yf
≥
f1kqq]qqL)CL]`1
B

d
+− xx
≥
dh
\`f
d
+− yy
≥
`][B
≥
b1
kqq]qqL)CM



=−
=−
ad
ad
y
x




=
=
d
d
y

ddd
d`
yyxx
yyx
l\m

L
`
]e\edlCe\m
d


L
`

≤
e\L
≤
e\1l}m
ldmL
d

≤

d
\
d
y
y
+

Giải :
y#!9M=^Mn
d
Y=
d

≥
dn=!qq]qqL)Cn]=
ML
f
YC
f

≥
dL
d
C
d
hC
f
Yr
f

≥
dC
d
r
d
hr
f

:-ML
d
C
d
YC
d
r
d

≥
dL
d
Cr
C
d
r
d
Yr
d
L
d

≥
dLC
d
r
L
d
C
d

r
d
Yr
d
L
d

≥
LCr1l}}m
vl}ml}}m][L
f
YC
f
Yr
f

≥
LCr
kqq]qqL)CML]C]rLYCYr]\ML]C]r]
`
\
B>C,#*/,ML]C]r]
`
\

2dM#!9=^27h
 eWEMk5#*/##E
Bài 3Mx),#*/



`Vmd`ml
\d`
l =++++ zyx
zyx
V
ddmldml`ml =+++++
y
z
z
y
x
z
z
x
x
y
y
x
:4MLCr[V
\dml ≥+
x
y
y
x


Vml` ≥+
x
z
z