Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng trong phân môn đại số
3) Nhiệm vụ của đề tài:
3.1 Đề tài này đa ra một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức phù hợp với
trình độ nhận thức của học sinh THCS
3.2 Trang bị cho học sinh một số phơng pháp giải toán bất đẳng thức ,áp dụng
để giải bài tập.
3.3 Rút ra một số nhận xét và chú ý cho từng phơng pháp.
3.4 Chọn lọc ,hệ thống một số bài tập hay gặp cho phù hợp với từng phơng
pháp giải.
3.5 Vận dụng giải toán bất đẳng thức vào giải toán cực trị,giải một số phơng
trình không mẫu mực .
4) Phạm vi đề tài.
Phát triển năng lực t duy của học sinh thông qua giải toán bất đẳng thức (phân
môn đại số) đối với học sinh khá, giỏi lớp 8,lớp 9.
5) Đối t ợng nghiên cứu và ph ơng pháp tiến hành.
Đề tài áp dụng với học sinh lớp 8 và lớp 9 . Tiến hành thực hiện đề tài trong
các giờ luyện tập,ôn tập cuối chơng, cuối kỳ và cuối năm đặc biệt là trong các
giờ phụ đạo học sinh giỏi ,ôn thi cấp 3.
6) Dự kiến kết quả của đề tài.
Khi cha thực hiện đề tài này: Học sinh chỉ giải đợc một số bài tập về bất đẳng
thức đơn giản,hay mắc những sai lầm, hay gặp khó khăn,ngại làm bài tập về
bất đẳng thức.
Nếu thực hiện đợc đề tài này thì học sinh có hứng thú khi giải toán bất đẳng
thức,làm bài tập tốt hơn,tự giải quyết đợc các bài tập bất đẳng thức dạng tơng
tự,hạn chế đợc sai lầm khi giải toán bất đẳng thức.
1
Nguyễn Thị Hoàng Hoan Trờng THCS Hồng Tiến 1
Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng trong phân môn đại số
B. Nội dung và phơng pháp giải quyết
Phần I: Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức
1, Định nghĩa

> b
n
với n lẻ .
> a
n
> b
n
với n chẵn
* So sánh hai lũy thừa cùng cơ số
m > n > 0 và a > 1 thì a
m
> a
n
m > n > 0 và 0 < a < 1 thì a
m
< a
n
* Lấy nghịch đảo hai vế bất đẳng thức của hai số cùng dấu thì đổi
chiều bất đẳng thức
a < b và ab > 0 thì >
3, Một số bất đẳng thức cần nhớ :
* a
2
0 với mọi a, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = 0
* 0 với mọi a, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = 0
* - a
* + , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ab 0
* -
* Bất đẳng thức Côsi :
Với 2 số dơng a , b ta có :


II. Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
1.Ph ơng pháp1: Dùng định nghĩa
- Kiến thức : Để chứng minh bất đẳng thức A B , ta cần chỉ ra rằng
A - B 0 .
- Lu ý các hằng đẳng thức:
( a b)
2
= a
2
2ab + b
2
0
( a +b +c )
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2ab + 2bc +2ca 0
- Ví dụ :
Bài 1.1 :
Chứng minh rằngvới mọi x,y ta luôn có :

x
2
+


Ta xét hiệu : B = a
2
+ b
2
+ c
2
+3 - 2( a + b + c)
= a
2
+ b
2
+ c
2
+3 - 2a - 2b - 2c
= (a
2
- 2a + 1) + (b
2
- 2b + 1) + (c
2
- 2c + 1)
= (a - 1)
2
+ (b - 1)
2
+ (c - 1)
2
Do (a - 1)
2


Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Bài 1.3 : Chứng minh rằng với mọi x,y ta luôn có:
x
2
+ y
2
+1

xy + x + y
Giải :
Ta xét hiệu C = x
2
+ y
2
+1 - xy - x -y
= ( 2x
2
+2 y
2
+2 - 2xy - 2x -2y )
=
=
Do (x - y)
2


0 x,y
(x - 1)
2







+

+
baba

b)
c) Hãy tổng quát bài toán.
Giải :
a) Xét hiệu : D =
2
22
22






+

+ baba
=

- Kiến thức : A B và B C thì A C
- Lu ý : + 0 x 1 thì x
2
x (vì x - x
2
= x (1 - x) )
+ (1 - x) (1 - y) (1 - z) = 1 - x - y - z + xy + yz + zx - xyz
Bài tập 2.1:
Cho 0 x, y, z 1 chứng minh rằng:
a) 0 x+ y + z - xy - yz - zx 1
b) x
2
+ y
2
+z
2
1 + x
2
y + y
2
z + z
2
x
Lời giải:
a) Vì 0 x, y, z 1 nên ta có: (1 - x) 0 , (1 - y) 0 , (1 - z) 0
Do đó:

x+ y + z - xy - yz - zx
= x(1 - y) + y(1 - z) + z (1 - x) 0 (1)
Mặt khác ta có: (1 - x) (1 - y) (1 - z) = 1 - x - y - z + xy + yz + zx - xyz 0

2
x = x
2
(1 - y) + y
2
(1 - z ) + z
2
(1 - x)
x(1 - y) + y(1 - z) + z (1 - x) (vì x
2
x, y
2
y, z
2
z )
Do đó : x
2
+ y
2
+ z
2
- x
2
y - y
2
z - z
2
x 1 ( theo câu a)
Vậy x
2

= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2 (ab + ac + bc )
ab + ac + bc = 2 - (2)
Từ (1) và (2) suy ra abc < 2 - - 1
Hay a
2
+ b
2
+ c
2
+2abc < 2 (đpcm
3. Phơng pháp 3 : Dùng phép biến đổi tơng đơng .
- Kiến thức : Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất
đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã đợc chứng minh là đúng .
- Một số hằng đẳng thức thờng dùng :
* (A+B)
2
=A
2
+2AB+B
2
* (A-B)
2
=A
2

Lời giải:
8
Nguyễn Thị Hoàng Hoan Trờng THCS Hồng Tiến 8
Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng trong phân môn đại số
Vì x , y , z là các số nguyên nên:

x
2
+ 2y
2
+ 2z
2
2xy + 2yz + 2z - 2
(x
2
- 2xy + y
2
) + (y
2
- 2yz + z
2
) +( z
2
- 2z + 1) + 1 0
(x- y)
2
+ (y - z)
2
+ (z - 1)
2

Lời giải:
Ta có (x-1)(x-3)(x-4)(x-6) + 10 1
(x
2
- 7x + 6 )(x
2
- 7x + 12) + 9 0
9
Nguyễn Thị Hoàng Hoan Trờng THCS Hồng Tiến 9
Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng trong phân môn đại số
(x
2
- 7x + 9 - 3 )(x
2
- 7x + 9 + 3) + 9 0
(x
2
- 7x + 9 )
2
- 9 + 9 0
(x
2
- 7x + 9 )
2
0
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng nên bất đẳng thức đã cho đợc chứng
minh
Bài 3.4 :
Chứng minh bất đẳng thức :








+
+






+
2
).(
2
22
ba
baba
ba
.
2
2






3a
2
- 6ab + 3b
2


0
3(a + b)
2
0
Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi a , b. Suy ra :
3
33
22






+

+ baba
10
Nguyễn Thị Hoàng Hoan Trờng THCS Hồng Tiến 10
Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng trong phân môn đại số
Bài 3.5:
Cho 2 số a, b thoả mãn a + b = 1 . CMR a
3
+ b

) + ab -
2
1


0
a
2
+ b
2
-
2
1

0 ( Vì a + b = 1)
2a
2
+ 2b
2
- 1

0
2a
2
+ 2(1-a)
2
- 1

0 ( vì b = a -1 )
4a

(1)
Lời giải :
11
Nguyễn Thị Hoàng Hoan Trờng THCS Hồng Tiến 11
Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng trong phân môn đại số
Thật vậy ta dùng phép biến đổi tơng đơng để chứng minh

m m n n
m m n n
a b a b
a b a b

>
+ +


2 2
m m m n n n
m m n n
a b b a b b
a b a b
+ +
>
+ +


1-
2 2 2 2
1
m n m n

<
+ +

1 1
m n
m n
a a
b b
+ > +

( ) ( )
m n
m n
m n
a a a a
b b b b
> >
(2)
Bất đẳng thức (2) luôn đúng vì a>b>0 nên
1
a
b
>
và m>n vậy bất đẳng thức
(1) luôn đúng
Bài tập tự giải:
Bài 3.7 Cho a>b>0 CMR:
12
Nguyễn Thị Hoàng Hoan Trờng THCS Hồng Tiến 12
Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng trong phân môn đại số

* + ( x , y)
Một số hệ quả từ các bất đẳng thức trên :
* x
2
+ y
2


2xy ,
* x
2
+ y
2


4xy

*Với ab > 0 ,
2+
a
b
b
a* Với ab < 0 ,

*
Chứng minh một số bất đẳng thức phụ và hệ quả:
1) Chứng minh bất đẳng thức: x

+ 1 - 2x 0 (x - 1)
2
0 ( luôn đúng)
3) Chứng minh bất đẳng thức: x
2
+ y
2
+ z
2
xy + yz + xz
Ta có: x
2
+ y
2
+ z
2
xy + yz + xz 2 x
2
+2 y
2
+ 2z
2
2xy + 2yz + 2xz
( x
2
- 2xy + y
2
) + ( x
2
- 2yz + z

áp dụng bất đẳng thức phụ : a
2
+ b
2
2ab và giả thiết a
2
+ b
2
2 ta
suy ra 2ab 2 hay ab 1
Lại có : (a + b)
2
= a
2
+ b
2
+ 2ab 2 + 2 = 4
Suy ra 2 do đó - 2 a + b 2 (đpcm)
Bài 4.2: Cho 0 a , b , c , d 1 chứng minh rằng:
( a + b + c + d + 1)
2
4 (a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
)

2
) (đpcm)
Bài 4.3: Cho a, b, c là các số dơng thoả mãn : a + b + c = 4
Chứng minh rằng : (a + b)(b + c)(c + a)

a
3
b
3
c
3

Giải:
Từ : (a + b)
2


4ab , (a + b + c)
2
=
[ ]
cbacba )(4)(
2
+++
16

4(a + b)c 16(a + b)

4(a + b)
2

15
Nguyễn Thị Hoàng Hoan Trờng THCS Hồng Tiến 15
Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng trong phân môn đại số
Vậy ( a + b + c ).( + + ) 9 (đpcm)
b) + +
( + 1) + ( + 1) + ( + 1 )
+ +
(a + b + c ) . ( + + )
2 (a + b + c ) . ( + + ) 9
.( + + ) 9
Đặt x= a + b , y = b + c , z = c + a rồi áp dụng câu a ta có đpcm.
Bài 4.5 : Cho ba số a , b , c thỏa mãn điều kiện: a
2
+ b
2
+ c
2
= 1.
Chứng minh: - ab + bc + ca 1 (1)
Lời giải :
Vì a
2
+ b
2
+ c
2
= 1 nên
- ab + bc + ca 1
- ab + bc + ca a
2

Ta có: + = (1)
và + = (2)
Lấy (1) cộng (2) ta có:
+ + +
Ta chứng minh: 2 (3)
Thật vậy : 4( + )
2 (+ )
- 4ac - 4bd 0
(a - c )
2
+ (b - d)
2
0 (4)
(4) luôn đúng nên ta có (3) tức là có đpcm.
Bài 4.7:
Cho x , y là 2 số thực thoả mãn :

x
2
+ y
2
=
22
11 xyyx +
Chứng minh rằng : 3x + 4y

5
Lời giải :
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có :
(x

)
( x
2
+ y
2
)

2 - (x
2
+ y
2
)
2( x
2
+ y
2
)

2
17
Nguyễn Thị Hoàng Hoan Trờng THCS Hồng Tiến 17
Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng trong phân môn đại số
x
2
+ y
2


1
Ta lại có : (3x + 4y)

1
22
yx
yx
yx






=
=
5
4
5
3
y
x
Điều kiện :
2
5
2
3

x
Bài 4.8:
Cho a, b, c

0 ; a + b + c = 1 . Chứng minh rằng :

18
Nguyễn Thị Hoàng Hoan Trờng THCS Hồng Tiến 18
Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng trong phân môn đại số
b, áp dụng bất đẳng thức Côsi , ta có :

1
22
1)1(
1 +=
++
+
aa
a
Tơng tự :
1
2
1 ++
b
b
;
1
2
1
++
c
c
Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức trên ta đợc :

5,33
2

++
.1 =
)
111
(
cba
++
.(a + b + c)
=
111 ++++++++
b
c
a
c
c
b
a
b
c
a
b
a
=
++++++
)()()(3
c
a
a
c
b

Ta luôn có < (1) (vì c > 0)
Vì < 1 nên theo tính chất trên ta có: < (2)
Từ (1) và (2) ta có < <
Tơng tự ta có: < <
< <
Cộng vế với vế ba bất đẳng thức kép trên ta có:
< + + <
20
Nguyễn Thị Hoàng Hoan Trờng THCS Hồng Tiến 20
Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng trong phân môn đại số
Hay 1 < + + < 2 (đpcm)
Bài tâp tơng tự tự giải:
Bài 5.2:
Cho a , b , c , d > 0 , chứng minh rằng:
a) 1 < + + + < 2
b) 2 < + + + < 3
Bài 5.3: Cho a , b , c là ba cạnh của tam giác , chứng minh rằng:
1 < + + < 2
6. phơng pháp 6: Dùng bất đẳng thức về 3 cạnh của tam giác
a , b, c, là độ dài ba cạnh của tam giác


a <b+c (1)
b < a+c (2)
c < a+b (3)
Từ 3 bất đẳng thức về tổng ba cạnh của tam giác ta suy ra đợc 3 bất đẳng
thức về hiệu hai cạnh
a <b+c (1)
a b c <
(4)

>
+ acb
Tơng tự : p - b > 0 ; p - c > 0 ;
áp dụng bất đẳng thức phụ + ( x , y) ,
ta có :
cbpapbpap
4
)()(
411
=
+


+

Tơng tự :
acpbp
411


+


bcpap
411


+



0 ( )c a b b c a b
< <

2 2 2
0 ( )a b c c a b c < <
Từ đó:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( )a b c b c a c a b a b c



(a+b-c)(a-b+c)(b-c+a)(b+c-a)(c-a+b)(c+a-b)
2 2 2
a b c


(a+b-c)
2
(b+c-a)
2
(c+a-b)
2
2 2 2
a b c



(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)

abc


Với k = n: thì < 2 ()
Do đó: + + + < 2 () <
Suy ra: + + + + < 1 + = (đpcm)
Bài 7.2:
Với mọi số tự nhiên n 1 ,chứng minh rằng:
<
Lời giải:
Ta có : = < =
Với k = 1 ta có : <
Với k = 2 ta có : <

Với k = 1 ta có : <
Nhân các bất đẳng thức trên theo từng vế ta đợc:
< . = (đpcm)
Bài tập tự giải:
24
Nguyễn Thị Hoàng Hoan Trờng THCS Hồng Tiến 24
Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng trong phân môn đại số
Bài 7.3:
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a ) + + + < 1
b) + + + < ( n 1 )
c) + + + > ( n 1 )
8. Phơng pháp 8 : Đổi biến số
- Kiến thức : Thực hiện phơng pháp đổi biến số nhằm đa bài toán đã cho về
dạng đơn giản hơn , gọn hơn , dạng những bài toán đã biết cách giải
Các ví dụ :
Bài 8. 1 :
Chứng minh rằng : Nếu a , b , c > 0 thì :

VT =
ab
c
ac
b
cb
a
+
+
+
+
+
=
z
zyx
y
yxz
x
xzy
222
+
+
+
+
+
25
Nguyễn Thị Hoàng Hoan Trờng THCS Hồng Tiến 25