Các Chuyên Đề BĐT Thi Đại Học
VD1 với bài này có thể dùng phương pháp vectơ như trên các bạn tự làm nhé
. Cho x,y,z là 3 số dương và. Chứng minh rằng
Ta có
Tương tự tự với y,z ta cộng lại ta được
VD 2;Cho a,b>2 và: a+b=8. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
Vì a>2; b>2 nên có a-2>0 và b-2>0.
Theo BDT Cosi ta có:
Tương tự ta cộng lại suy ra MIN là 320
VD3,cho x,y>0 và
1
=+
yx
tìm min của
Ta có
Cho a là 1 số dương cho trước và x,y dương thỏa mãn x+y=1 tìm min
Bài tập tự luyện
Bài 1 cho a,b,c dương thỏa mãn
Tìm Min của
Bài 2 cho a,b,c dương và
Tìm Min của
Bài 3 Cho a,b,c, là các số dương tìm Min của

Bài 4 cho a,b,c dương và
Tìm Min của
Bài 5 ,cho a,b,c dương và
Tìm Min
Bài 6 ;Cho a,b,c>0. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
b)
c) Cho x,y>0 và x+y=1. Tìm GTNN của biểu thức:

Thay . Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
Để chứng minh (2) ta xét tam thức bậc hai:
Bài 3: Cho 2n số thực bất kì . CMR
Dấu đẳng thức xảy ra khi:
(BĐT BunhiaCopski)
Bg:
Ta có, với mọi số thực x đều có:
Từ đó đa thức:
 Nếu thì hiển nhiên BĐT đã cho đúng.
 Nếu thì f(x) là một tam thức bậc hai của x. Do nên
Vậy BĐT đã cho được CM hoàn toàn.

C Bài tập tự luyện

Bài 1: CMR nếu a, b, c, d là các số thực thoả mãn: a+d=b+c và m là số không âm thoả mãn
thoả mãn với mọi x.
Bài 2: CMR BĐT
Bài 3: Giả sử A, B, C là ba góc của một tam giác không cân tại C. Biết rằng phương trình
Có đúng 1 nghiệm thực. CMR góc B nhở hơn 60
Trả lời bài này
Bài 1 ;Cho a,b,c là các số dương CMR;
Nếu trong a,b,c có 1 số lớn hơn 1 thi BDT luôn đúng
Với a,b,c nhỏ hơn 1 khi đó ta áp dụng BDT becnuli ta được

Suy ra tương tự với (a+c) và (a+b) ta cộng lại sẽ được điều
phải CM
Bài 2; cho a,b,c dương và xyz=1và a>2 CMR
Ta có suy ra
Tương tự vơi y,z sau đó ta cộng lại ta được
Ta phải

Max của
Bài 4 cho à các số dương và
CMR
Bài 5 cho a,b,c dương thỏa mãn Tìm Max
Bài 6: Cho a,b,c>0. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a)

b)

c)
d)
e)
Bài 7 Cho a,b,c>0 và a+b+c=1. Chứng minh các bất đẳng thức sau
a)
b)
Bài 7 Chứng minh rằng trong tam giác nhọn ABC, ta có:
c)
d)
e)
Bài 1. cho a,b,c, là các số dương thỏa mẵn CMR
Ta có suy ra
Ta xét ta có và
Vậy ta được tương tự với b,c sau đó công lại ta được điều phải CM
Bài 2;Cho a,b,c là các số dương chứng minh rằng
BDT
Ta xét hàm số với x>0 suy ra
Suy ra f(x) là hàm lồi với mọi x>0 .ta sử dụng BDT Jensen ta có
suy ra điều phải CM
Bài này có thể tổng quát lên như sau

CMR
5,cho x,y là các số dương
Min

Chuyên đề 5 đồng bậc hoá
Sử dụng giả thiết để biến đổi BĐT về dạng đồng bậc để chứng minh.
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi a,b>0 và a+b=1, ta có:

Phân tích: - BĐT không đồng bậc
- Vai trò a,b giống nhau
- Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b
- Sử dụng giải thiết để đồng bậc hoá
Hướng dẫn: Bài 2: với mọi a,b,c>0 và a+b+c=1. Chứng minh rằng :

Phân tích: - BĐT không đồng bậc
- Vai trò a,b giống nhau
- Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b=c=
- Sử dụng giải thiết để đồng bậc hoá
Hướng dẫn:

Bài tập:
1) Cho a,b,c>0, thoả điều kiện:
[
CMR
2) Cho a,b>0, thoả điều kiện:
a+b=2
Chứng minh rằng :

để làm xuất hiện yếu tố đó.
Ta có : (1) tương đương với.
Để chứng minh (2), ta đặt :

Có thể lấy x, y là hai góc nhọn.
Khi đó :
[/ct] sinx.siny+cosx.cosy<1[/ct]
BĐT cuối đúng, do đó (2) được CM. Suy ra (1) được CM.
Nếu so sánh với cách giải này với cách dùng BĐT cổ điển thì quả thật cách này là khá dài và
hơi phức tạp. Tuy nhiên nó cho ta một hướng mới để nhìn nhận một bài toán.
Bài 1: Chứng minh rằng
Phân tích: - ĐK: -
Công thức lượng giác liên quan
- Lượng giác hoá
- Hướng dẫn:
Đặt: ;
VT=
Bài 2 Cho x,y,z>0; zy+yz+zx=1. Chứng minh rằng :

Phân tích: - Đẳng thức lượng giác liên quan
- Lượng giác hoá
Hướng dẫn:
Đặt: ;
ABC l à tam giác nhọn

Bài 3 ;cho a,b,c là các số dương thỏa nãm
CMR

Hướng dẫn:


Bài 15 cho x,y thỏa mãn
Tìm Max , Min của
Bài 16 CMR
Với a,b thỏa mãn
Bài 17 cho x,y,x thõa mãn
Tìm Max,Min của
Chuyên đề 7: Phương pháp đổi biến

Phương pháp này lạ với 1 số bạn nhưng nó rất có ích trog một số bài toán BDT , nếu ta để ý và sử dụng
khéo néo ta có thể làm bài BDT đó đơn giản rất nhiều .Dưới đây là 1 số dạng có thể dung phương pháp này
mình biết pp này rất rộng và mình cũng chưa biết là còn cách đặt (đổi biến ) nào khác không nhưng nếu các
bạn thấy mình thiếu sót pp nào pos lên cho mình xem với nhé
Dạng 1 là với khi đó ta đặt hoặc
VD 1 cho và a,b,c là các số dương . CMR
Ta quy đồng lên ta được
Đăt khi đó ta được
đến đây sẽ dễ dành CM được
VD2; cho a,b,c dương có tích bằng 1 CMR

khi đó ta được
Ta dùng svac ta được
Ta phải CM
điều này luôn đúng với BDT nunhinha
Các bài tự luyện
Bài 1 cho a,b,c là các số dương và abc=1 CMR
Bài 2, cho a,b,c là các số dương và abc=1.CMR
Dạng 2
với 1 số bài cho a,b,c là các số dương và ab+bc+ac+2abc=1
Ta sẽ đặt
VD1.cho a,b,c là các số dương CMR

Ta viết pt tiếp tuyến của f(x) tai
Ta được
Bây giờ ta CM
Tương tự với a,b,c ta cộng lại suy ra điều phải CM
VD2; cho a,b,c thỏa mãn và a+b+c=1
CMR
Dễ dành nhận thấy dấu bằng sảy ra khi
Ta xét với
Ta viết phương trình tiếp thuyến f(x) tai
Ta được
Ta xét
Tương tự với a,b,c ta công lại suy ra điều phải CM
Bài tập tự luyện
1,cho a,b,c dương và
CMR
2,cho a,b,c là các số dương và
CMR
3, cho a,b,c dương và a+b+c=1
CMR
4,cho a,b,c dương CMR
5,cho a,b,c dương và
CMR
6 cho a,b,c dương
CMR
Chuyên đề 14:xét phần tử cực biên

Theo mình nghĩ thế này được không nhé , mình nhận thấy BDT nhưng năm gần
đây mỗi năm có 1 dạng khác nhau , do vậy mình giởi thiệu cho 1 số bạn chưa biết về
phương pháp nó không khó nắm nhưng thật sự khi gặp lần đầu tiên thi ai cũng phai gán
nhưng bài toán như thế này các bạn xem rồi cho ý kiến với mình nhé!!

CMR
Chuyên đề 12: Phương pháp quy nạp chứng minh bất đẳng thức
A Nội dung.
Cơ sở của phương pháp quy nạp để chứng minh một bất đẳng thức đúng với
mọi số tự nhiên thuộc tập con D của tập số tự nhiên N, mà là phần tử nhỏ nhất
của tập con đó; ta thực hiện ba bước quy nạp như sau:
Chứng minh BĐT đúng với
Giả sử bất đẳng thức đúng với số tự nhiên , từ đó ta chứng minh
được bất đẳng thức cũng đúng với n= k+1
Kết luận: Bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên
B Bài tập ví dụ.
Bài 1: Cho n số thực không âm: thoả mãn: . CMR
Bg:
Với =1, suy ra (1) đúng với n=1.
Giả sử (1) đúng với . Cần chứng minh (1) cũng đúng với .
Cho k+1 số thực không âm thoả mãn ; Xét hai trường hợp:
 Nếu: thì suy ra (1) đúng.
 Nếu có ít nhất một số khác 1. Ví dụ thì ắt phải có 1 số nhỏ hơn 1, giả sử
Xét k số sau:
Ta có tích của k số này bằng 1, nên theo giả thiết quy nạp ta có:
(vì )
Vậy (1) đúng với mọi .

Bài 2 : Cho n số thực không âm : . CMR :