Một số chuyên đề toán THCS
Phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
i/ dùng định nghĩa và tính chất
1/ Định nghĩa:
Khi hai biểu thức A và B nối với nhau bởi một trong các quan hệ >;

;
<;

thì ta bảo có một bất đẳng thức:
A>B,
BA

, A<B,
BA

Khi đó ta viết:
A>B

A-B >0 (đọc là A lớn hơn B) A và B là hai vế của bất
đẳng thức.

0

BABA
(đọc là A lớn hơn hay bằng B)
Ghi nhớ:Một BĐT có thể đúng, có thể sai nhng khi phải cm một BĐT mà
không rõ gì hơn, thì ta hiểu rằng đó là một BĐT đúng.
2/ Các tính chất của bất đẳng thức:
1 Tính phản xạ:
aaRa




<
>

0;
0;
:,
mbmam
mbmam
baRba





<
>

+
0;
0;
:,
m
m
b
m
a
m

;0






>
n
ba
ba
ba
nn
nn
3/ Ví dụ áp dụng:
Cho x,y,z là 3 số tùy ý. Chứng minh rằng
( ) ( ) ( )
xyzxzzyyxa 6111/
222222
+++++
( ) ( )
zxyzxyzyxb
++++
3/
2
Giải:
a/ Ta luôn có:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )

xyyxyx
20
20
20
22
2
22
2
22
2
+
+
+
Cộng vế theo vế và rút gọn cho ta:
( )
zxyzxyzyx
++++
222
Do đó:
( ) ( )
zxyzxyzxyzxyzyx
+++++++
2
2
Vậy:
( ) ( )
zxyzxyzyx
++++
3
2






++

++
zyxzyx
Bài 5: Cho ba số dơng x,y,z và x+y+z=4. Chứng minh rằng:
xyzyx
+
Bài 6: Cho hai số dơng x,y và
yxyx
=+
33
.
Chứng minh rằng:
1
22
<+
yx
Nguyễn Thị Tuyết Thanh -Trờng THCS Nguyễn Khắc Viện- Hơng Sơn-Hà Tĩnh
2
Một số chuyên đề toán THCS
Bài 7: Cho ba số dơng x,y,z thỏa mãn điều kiện
3
5
222
=++

Cho hai số x, y sao cho
0

xy
. Chứng minh rằng:
( )
( ) ( )
1
4
2
22
yxyx

Giải:
Dùng phép biến đổi tơng đơng để chứng minh, ta lần lợt có:
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
001
4224
2
22
+
yxyxyxyxyx
( ) ( ) ( )
[ ]
0
222
+
yxyxyx

33
22






+

+
yxyx
Bài 3: Cho bốn số a,b,c,d, bất kỳ.
Chứng minh rằng:
( )( )
2222
dcbabdac
++
Bài 4: Cho ba số a,b,c sao cho
0
++
cba
Chứng minh rằng:
abccba 3
333
++
Bài 5: Chứng minh rằng với năm số c,b.c,d,e bất kỳ, bao giờ ta cũng có:
( )
edcbaedcba
+++++++

Iii/ dùng BĐT trung gian:
1/ Ph ơng pháp chung: Dùng BĐT Côsi với hai số không âm:
Cho hai số
0,0

yx
ta có BĐT Côsi sau:
xy
yx

+
2
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=y.
Nguyễn Thị Tuyết Thanh -Trờng THCS Nguyễn Khắc Viện- Hơng Sơn-Hà Tĩnh
4
Một số chuyên đề toán THCS
Ta có thể cm nh sau:
Vì
0,0

yx
nên:
( )
xy
yx
xyyxyx

+
++
2

2
,
2
Do đó cộng vế theo vế ba BĐT cùng chiều cho ta
zxyzxy
xzzyyx
++
+
+
+
+
+
222
Vậy:
zxyzxyzyx
++++
3/ Các bài tập tự giải:
Bài 1: Cho bốn số a,b,c,d không âm. Chứng minh rằng:
( )( )( )( )
abcdaddccbba 16
++++
Bài 2: Với
0,0

yx
. Chứng minh đẳng thức:
( )
( )
xyyxyx
++

2
1
bac
acb
cba
Nguyễn Thị Tuyết Thanh -Trờng THCS Nguyễn Khắc Viện- Hơng Sơn-Hà Tĩnh
5