Phần thứ nhất : Đặt vấn đề
1,Lý do chọn giải pháp :
Bất đẳng thức được coi là câu khó nhất trong các đề thi Đại học môn toán và
các đề thi học sinh giỏi . Đa phần giáo viên không chú trọng tới phần tới câu bất
đẳng thức . Điều này dẫn tới một thực trạng là học sinh rất sợ câu bất đẳng thức.
Thực ra với một đề tài hay và khó này , lựa chọn bỏ qua nó đúng là đơn giản .
nhưng đã bao giờ bạn nghĩ tới chuyện dũng cảm đối đầu với khó khăn để có thể
vượt qua chính bản thân mình ?
Nếu thực sự mong muốn như vậy thì tập giải pháp này xin được giành cho bạn
một cách trân trọng nhất , nó là kinh nghiệm đúc kết của bản thân tôi sau nhiều
năm công tác giảng dạy , nghiên cứu về đề tài bất đẳng thức. Những con đường
tư duy, những kỹ năng quan trọng , những thuật toán hiệu quả nhất sẽ được chia
sẻ .
Trên thực tế , không các giáo viên và học sinh dù đã được xây dựng cho mình
nền kiến thức khá chắc chắn , nhưng vẫn khó khăn trước những bài toán bất
đẳng thức cơ bản nhất . Bạn có thể có kiến thức , nhưng việc xâu chuỗi và sử
dụng kiến thức đó nói cách khác là khả năng vận dụng để thu được lời giải lại là
vấn đề khác . Tập giải pháp này sẽ đưa ra các kỹ thuật các phương pháp giải
cho từng dạng Toán .
2, Mục đích nghiên cứu :
Nắm được cách giải toán chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất nhỏ
nhất của hàm số bằng các phương pháp giải
3, Nhiệm vụ nghiên cứu :
Phân loại và đưa ra các phương pháp giải bài toán chứng minh bất đẳng thức và
tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất bằng các phương pháp giải : như sử dụng bất đẳng
Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất"
thức , lượng giác hoá và các phương pháp xét chiều biến thiên hàm số (sử dụng
đạo hàm)
4, Phương pháp nghiên cứu :
+Nghiên cứu lý luận dạy học về bài tập toán để vận dụng vào hoạt động dạyhọc
Nghiên cứu chương trình toán THPTbao gồm : SGK lớp 10,11,12 về phần bất

1.Những cơ sở lý luận của hoạt động giải bài tập Toán phổ thông
1.1 Những cơ sở lý luận của hoạt động giải bài tập Toán phổ thông
1.1.1 Mục đích, ý nghĩa của việc giải bài tập:
- Quá trình giải một bài tập Toán là quá trình tìm hiểu điều kiện của bài
toán, dựa vào kiến thức Toán để tìm ra những cái chưa biết trên cơ sở những cái
đã biết. Thông qua hoạt động giải bài tập, học sinh không những củng cố lý
thuyết và tìm ra lời giải một cách chính xác, mà còn hướng cho học sinh cách
suy nghĩ, lập luận để hiểu rõ bản chất của vấn đề, và có cái nhìn đúng đắn khoa
học. Vì thế, mục đích cơ bản đặt ra khi giải bài tập Toán là làm cho học sinh
hiểu sâu sắc hơn những quy luật Toán , biết phân tích và ứng dụng chúng vào
những vấn đề thực tiễn, vào tính toán kĩ thuật và cuối cùng là phát triển được
năng lực tư duy, năng lực tư giải quyết vấn đề.
- Muốn giải được bài tậpToán , học sinh phải biết vận dụng các thao tác tư
duy, so sánh, phân tích, tổng hợp, khái quát hóa…để xác định được bản chất
Toán. Vận dụng kiến thức Toán để giải quyết các nhiệm vụ học tập và những
vấn đề thực tế của đời sống chính là thước đo mức độ hiểu biết của học sinh. Vì
vậy, việc giải bài tập Toán là phương tiện kiểm tra kiến thức, kĩ năng của học
sinh.
3
Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất"
1.1.2Tác dụng của bài tập Toán trong dạy họcToán:
1.1.2.1Bài tập giúp cho việc ôn tập, đào sâu, mở rộng kiến thức
Trong giai đoạn xây dựng kiến thức, học sinh đã nắm được cái chung, cái
khái quát của các khái niệm, định luật và cũng là cái trừu tượng. Trong bài tập,
học sinh phải vận dụng những kiến thức khái quát, trừu tượng đó vào những
trường hợp cụ thể rất đa dạng, nhờ thế mà học sinh nắm được những biểu hiện
cụ thể của chúng trong thực tế. Ngoài những ứng dụng quan trọng trong kĩ
thuật, bài tập Toán sẽ giúp học sinh thấy được những ứng dụng muôn hình,
muôn vẻ trong thực tiễn của các kiến thức đã học
Bài tập Toán là một phương tiện củng cố, ôn tập kiến thức sinh động. Khi

vững kiến thức của học sinh. Tùy theo cách đặt câu hỏi kiểm tra, ta có thể phân
loại được các mức độ nắm vững kiến thức của học sinh, khiến cho việc đánh
giá chất lượng kiến thức của học sinh được chính xác.
2.Phân loại bài tập Toán :
2.2.Phân loại theo nội dung
Người ta dựa vào nội dung chia các bài tập theo các đề tài của tài liệu
Toán . Sự phân chia như vậy có tính chất quy ước vì bài tập có thể đề cập tới
những kiến thức của những phần khác nhau trong chương trình Toán . Theo nội
dung, người ta phân biệt các bài tập có nội dung trừu tượng, bài tập có nội dung
cụ thể .
- Bài tập có nội dung trừu tượng là trong điều kiện của bài toán, bản chất
được nêu bật lên, những chi tiết không bản chất đã được bỏ bớt.
- Bài tập vui là bài tập có tác dụng làm giảm bớt sự khô khan, mệt mỏi, ức
chế ở học sinh, nó tạo sự hứng thú đồng thời mang lại trí tuệ cao.
5
Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất"
2.3. Phân loại theo yêu cầu rèn luyện kĩ năng, phát triển tư duy học sinh
trong quá trình dạy học: có thể phân biệt thành bài tập luyện tập, bài tập
sáng tạo, bài tập nghiên cứu, bài tập thiết kế
- Bài tập luyện tập: là loại bài tập mà việc giải chúng không đòi hỏi tư duy
sáng tạo của học sinh, chủ yếu chỉ yêu cầu học sinh nắm vững cách giải đối với
một loại bài tập nhất định đã được chỉ dẫn
- Bài tập sáng tạo: trong loại bài tập này, ngoài việc phải vận dụng một số
kiến thức đã học, học sinh bắt buộc phải có những ý kiến độc lập, mới mẻ,
không thể suy ra một cách logic từ những kiến thức đã học
- Bài tập nghiên cứu: là dạng bài tập trả lời những câu hỏi “tại sao”
- Bài tập thiết kế: là dạng bài tập trả lời cho những câu hỏi “phải làm như
thế nào”.
2.4.Phân loại theo cách thể hiện bài tập: người ta phân biệt bài tập thành
- Bài tập bài khoa

bảo đi đến kết quả một cách chính xác là một việc rất cần thiết. Nó không
những giúp học sinh nắm vững kiến thức mà còn rèn luyện kĩ năng suy luận
logic, làm việc một cách khoa học, có kế hoạch.
Quá trình giải một bài tập Toán thực chất là quá trình tìm hiểu điều kiện
của bài tập, xác lập được những mối liên hệ cụ thể dựa trên sự vận dụng kiến
thức Toán vào điều kiện cụ thể của bài tập đã cho. Từ đó tính toán những mối
liên hệ đã xác lập được để dẫn đến lời giải và kết luận chính xác. Sự nắm vững
những mối liên hệ này sẽ giúp cho giáo viên định hướng phương pháp dạy bài
tập một cách hiệu quả.
Bài tập Toán rất đa dạng, cho nên phương pháp giải cũng rất phong phú.
Vì vậy không thể chỉ ra được một phương pháp nào cụ thể mà có thể áp dụng
7
Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất"
để giải được tất cả bài tập. Từ sự phân tích như đã nêu ở trên, có thể vạch ra
một dàn bài chung gồm các bước chính như sau:
3.1. Tìm hiểu đầu bài, tóm tắt các dữ kiện
- Đọc kĩ đề bài, tìm hiểu ý nghĩa của những thuật ngữ quan trọng, xác định
đâu là ẩn số, đâu là dữ kiện.
- Dùng kí hiệu tóm tắt đề bài cho gì? Hỏi gì?.
3.2. Xây dựng lập luận
Thực chất của bước này là tìm quan hệ giữa ẩn số phải tìm với các dữ kiện
đã cho. Đối chiếu các dữ kiện đã cho và cái phải tìm liên hệ với nhau như thế
nào, qua công thức.
3.2.1 Đối với những bài tập tổng hợp phức tạp, có hai phương pháp xây
dựng lập luận để giải:
- Phương pháp phân tích: xuất phát từ ẩn số cần tìm, tìm ra mối liên hệ
giữa ẩn số đó với một đại lượng nào đó theo
- Phương pháp tổng hợp: xuất phát từ dữ kiện đã cho của đầu bài, xây
dựng lập luận hoặc biến đổi công thức diễn đạt mối quan hệ giữa các dữ kiện đã
cho với các đại lượng khác để tiến dần đến công thức cuối cùng có chứa ẩn số

- Bài tập phải đi từ dễ tới khó, từ đơn giản đến phức tạp (phạm vi và số
lượng các kiến thức, kĩ năng cần vận dụng từ một đề tài đến nhiều đề tài, số
lượng các đại lượng cho biết và các đại lượng cần tìm…) giúp học sinh nắm
được phương pháp giải các loại bài tập điển hình.
- Mỗi bài tập phải là một mắt xích trong hệ thống bài tập, đóng góp một
phần nào đó vào việc củng cố, hoàn thiện và mở rộng kiến thức.
- Hệ thống bài tập cần bao gồm nhiều thể loại bài tập: bài tập giả tạo và bài
tập có nội dung thực tế, bài tập luyện tập và bài tập sáng tạo, bài tập cho thừa
9
Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất"
hoặc thiếu dữ kiện, bài tập mang tính chất ngụy biện và nghịch lý, bài tập có
nhiều cách giải khác nhau và bài tập có nhiều lời giải tùy theo điều kiện cụ thể
của bài tập mà giáo viên không nêu lên hoặc chỉ nêu lên một điều kiện nào đó
mà thôi.
 Bài tập giả tạo: là bài tập mà nội dung của nó không sát với thực tế, các
quá trình tự nhiên được đơn giản hóa đi nhiều hoặc ngược lại, cố ý ghép nhiều
yếu tố thành một đối tượng phức tạp để luyện tập, nghiên cứu. Bài tập giả tạo
thường là bài tập định lượng, có tác dụng giúp học sinh sử dụng thành thạo các
công thức để tính đại lượng nào đó khi biết các đại lượng khác có liên quan,
mặc dù trong thực tế ta có thể đo nó trực tiếp được.
6.2. Sử dụng hệ thống bài tập:
- Các bài tập đã lựa chọn có thể sử dụng ở các khâu khác nhau của quá
trình dạy học: nêu vấn đề, hình thành kiến thức mới củng cố hệ thống hóa, kiểm
tra và đánh giá kiến thức kĩ năng của học sinh.
- Cần chú ý cá biệt hóa học sinh trong việc giải bài tập Toán , thộng qua
các biện pháp sau
+ Biến đổi mức độ yêu cầu của bài tập ra cho các loại đối tượng học sinh
khác nhau, thể hiện ở mức độ trừu tượng của đầu bài, loại vấn đề cần giải
quyết, phạm vi và tính phức hợp của các số liệu cần xử lý, loại và số lượng thao
tác tư duy logic và các phép biến đổi toán học cần sử dụng, phạm vi và mức độ

thông dụng nhất để giải bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
được trình bày từ chương 2 đến chương 4
Chương III: Phương pháp bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
của hàm số.
ChươngIV :Phương pháp lượng giác hóa tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
của hàm số.
11
Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất"
ChươngV:Phương pháp chiều biến thiên hàm số tìm giá trị lớn nhất và nhỏ
nhất của hàm số.
ChươngI:
1:Những kĩ năng quan trọng cần nhớ trong chứng minh bất đẳng thức :
1.1-Định luật bảo toàn dấu bằng trong chứng minh bất đẳng thức và tìm giá
trị lớn nhất -giá trị nhỏ nhất :
Nếu như trong vật lí có định luật bảo toàn năng lượng,trong hóa học có định
luật bảo toàn khối lượng thì trong bất đẳng thức toán học ,ta cần biết đến định
luật bảo toàn dấu bằng.Cụ thể là khi gặp một bất đẳng thức,bạn có thể có nhiều
hướng tiếp cận nhưng chung quy lại,khi kết thúc nó bạn luôn luôn phải “bảo
toàn”được dấu bằng trong quá trình đánh giá.Điều này có nghĩa là lời giải của
bạn chỉ tồn tại một đánh giá nào đó không bảo đảm được dấu bằng thì lời giải
đó chắc chắn sai.hãy xét ví dụ đơn giản sau để hiểu hơn
VD: chứng minh rằng với mọi số thực a,b ta luôn có
2 2
4 4a b ab+ ≥
Lời
giải đúng: sử dụng bất đẳng thức Côsi bộ hai số có dạng
2 2
2xx y y+ ≥

Ta có:

Tôi biết nghe có vẻ lạ nhưng thục sự khái niêm mạnh yếu là một vai trò rất quan
trọng trong việc giải toán bất đẳng thức. Nó cho ta biết trong hàng nghìn nbất
đẳng thức nào có thể so sáng với nhau và mối quan heẹ cụ thể giữa
chúng.Ngoài ra, từ đo ta có thể nhận biết được trong một nhóm bất đẳng thức
cùng dạng bất đẳng thức nào sẽ dễ hơn khó hơn. Thông thường,bất đẳng thức
càng mạnh(tức càng chặt) thì càng khó và ngược lại.
Thực ra định nghĩa tổng quát về đọ mạnh yếu của bất đảng thức khá phức tạp
đói với học sinh phổ thông nên vì tính mục đích của giải pháp tôi chỉ nêu một
hệ quả quan trọng suy ra từ định nghĩa:
Hệ quả:
Nếu từ bất đẳng thức 1 suy ra được bất đẳng thức 2 nhưng từ hai ta không thể
suy ngược lại 1 thì ta nói bất đẳng thức 1 mạnh hơn bất đẳng thức 2
Ví dụ 1:Ta có chuỗi bất đẳng thức dạng
A B C≥ ≥
Dựa vào định nghĩa trên ta có kết luận:
-Bất đẳng thức
B C≥
mạnh hơn bất đẳng thức
A C≥

13
Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất"
-
A B≥
và
B C≥
là bất đẳng thức có thể so sánh được với nhau
Ví dụ 2:Chứn minh 3>1
Ta chỉ có thể chứng minh 3>2,2>1.Tuy nhiên nếu ta đánh giá 3>0 thì cần phải
chỉ ra 0>1,tuy nhiên bất đẳng thức này bị ngược dấu

2
2 2
( )
0
( )
a a b
b a b
−
⇔ ≥
+
(luôn đúng với a,b>0
Vậy biến đỏi tương đương là quá trình sử dụng một hoắc nhiều những phép
toán đại số để đưa bất đẳng thúc đã cho vè dạng tương đương giúp việc đánh
giá trở nên thuận lợi hơn.
Những phép toán đại sô thường sử dụng là chuyển vế đổi dấu, quy đòng mẫu
số,thêm bớt Một trong những phương pháp biến đổi tuơng đương là kỹ năng
đồng bậc hoá,
14
Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất"
1.4: Bậc của bất đẳng thức và kĩ năng đồng hóa :
- Trước tiên ta cần năm vưng hai quy ước sau
Bậc của một bất đẳng thức là soó mũ cao nhất của hạng tử trong đó.
Ví dụ:
+)
2
x 2x 3 0+ + >
là một bất đẳng thúc bậc hai vì hạng tử
2
x
có số mũ cao nhất

2. Tồn tại
0
x D∈
,sao cho
0
( )f x M=
. khi đó ta kí hiệu
max ( )
x D
M f x
∈
=
Định nghĩa 2: Xét hàm số f(x) với
x D
∈
. Ta nói rằng m là giá trị nhỏ nhất của
f(x) trên D , nếu như thỏa mãn các điều kiện sau
1.
( )f x
( )f x m x D≥ ∀ ∈
2. Tồn tại
0
x D∈
sao cho
0
( )f x m=
khi đo ta kí hiệu
min ( )
x D
m f x

 ÷  ÷
 ÷
 
   
ta có
1 1
2; 2; 2
x y
x y
x y y x
+ ≥ + ≥ + ≥
từ đó suy ra
8P ≥
vậy minP=8
Cách giả này sai ở chỗ là mới dựa vào phần 1 của định nghĩa giá trị nhỏ nhất.
Ta xem xem phần 2 có thỏa mãn hay không. Để dấu bằng xảy ra thì x=y=1 khi
đó
2 2
2x y+ =
vậy không thể xảy ra dấu bằng trong bất đẳng thức
8P
≥
tức là
phần hai về định nghĩa giá trị nhỏ nhất không thỏa mãn vì thế kết luận minS=8
là sai
Cách giải đúng như sau:
Viết lại S dưới dạng:
1 1
1 1
x y

+ ≥
(3)
mặt khác:
1 1
x
+
1 1 2
x y
xy
+ ≥
(4)
Do
2 2
2x y xy+ ≥
nên từ (4) ta có:
2 2
1 1 2
2 2
2
x y
x y
+ ≥ =
+
(5)
Từ (1) (2) (3) (5) suy ra
3 2 4S ≥ +
(6)
16
Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất"
Dấu bằng trong (6) xảy ra khi đòng thời co dấu bằng trong (2) (3) (5)

ax ( ) ax ( )
x A x B
m f x m f x
∈ ∈
≤
A

min ( ) min ( )
x A x B
f x f x
∈ ∈
≥

Chứng minh: ta chứng minh 1
Giả sử
0 0
ax ( ) ( ),
x D
m f x f x x A
∈
= ∈
.Do
0
x A∈
mà A
B⊆
nên
0
x B∈
.

với
0
x D∈
ta có f(x)
( )g x x D≥ ∀ ∈
0 0
( ) ( )f x g x⇒ ≥
Do
17
Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất"
0 0
ax ( ) ( ) ( ) ax ( )
x D x D
m f x f x g x m g x
∈ ∈
≥ ≥ = ⇒
đpcm
Tính chất 3: Giả sử f(x) xác định trên miền D và
1 2
D D D= ∪
giả thiết tồ tại
ax ( ),min ( ) 1,2
i
i
x D
x D
m f x f x I
∈
∈
∀ =

từ (3) suy ra
{ }
1 2 1
ax ( );max ( ) max ( )
x D x D x D
m f x f x f x
∈ ∈ ∈
≤
(4)
Giả sử
0
ax ( ) ( );
o
x D
m f x f x x D
∈
= ∈
Vì
1 2 0 0 1 2
,D D D x D x D D= ∪ ∈ ⇒ ∈ ∪
.Do vậy
0
x
phải thuộc về ít nhất 1 trong 2
tập.Từ đó có thể cho là
0 1
x D∈
.theo định nghĩa về giá trị lớn nhất ta có
1
0

m f x m m f x m f x
∈ ∈ ∈
= ⇒
Nhờ tính chất 3 nói tren cho phép ta có thể biến bài toán tìm giá trị lớn nhất giá
trị nhỏ nhất của một hàm số trên một miền xác định phức tạp thành một dãy bài
toán trên các miền đơn giản.
18
Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất"
Vì lý do ấy tính chất 3 còn gọi là NGUYÊN LÝ PHÂN RÃ.
Ví dụ minh họa:
Cho
0x ≥
,
0, 6y x y≥ + ≤
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2
(4 ).P x y x y= − −
Đặt
{ }
( )
{ }
1
( ; ): 0; 0; 6
; : 0; 0;4 6
D x y x y x y
D x y x y x y
= ≥ ≥ + ≤
= ≥ ≥ ≤ + ≤

{ }

và khi đó P=0, nên
1
,
max 0
x y D
P
∈
=
(2)
với mọi
2
( ; )x y D∈
thì
4 0,x y− − ≥
nên theo bất đẳng thức Cô si ta có :
4
2
(4 )
2 2
(4 ) 4
4
x x
y x y
P x y x y
 
+ + + − −
 
= − − ≤
 
 

Từ (1) (2) (3) suy ra
{ }
,
ax ax 0;4 4
x y D
m P m
∈
= =
Tính chất 4: giả sử hám số f(x) xác định trên D và tồn tại
ax ( );min ( )
x D
x D
m f x f x
∈
∈
.
Khi đó ta có
ax ( ) min( ( ))
x D
x D
m f x f x
∈
∈
= − −
;
min ( ) ax( ( ))
x D
x D
f x m f x
∈


− = −

Theo định nghĩa gía trị nhỏ nhất
min( ( ))
x D
f x M
∈
⇒ − = −
Như vậy
ax ( ) min( ( ))
x D
x D
m f x f x
∈
∈
= − − ⇒
đpcm
Tính chất 5: Cho hàm số cùng xác định trên miền D.
Đặt
1 2
( ) ( ), ( )
n
f x f x f x+ +
.
Giả sử tồn tại
ax ( ),min ( ) ax ( ),min ( ) ,
i i
x D x D
x D x D

x D
= ∀ =
∈
Dấu bằng trong 2 xảy ra khi và chỉ khi tồn tại
0
x D∈
sao cho
1 0
min
( ) ( ), 1,
i
f x f x i n
x D
= ∀ =
∈
Chứng minh:
Ta chứng minh 1
lấy tùy ý x
D∈
.Theo định nghĩa giá trị lớn nhất ta có:
20
Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất"
ax ( ), 1.
i i
x D
f m f x i n
∈
≤ ∀ =
(3)
Cộng từng vế bất đẳ thức n ta có :

m f x m f x f x f x
∈ ∈
+ + = + +
=
0
( )f x
(6)
Do
0
( ) ax ( )
x D
f x m f x
∈
≤
, nên từ (6) suy ra
1
ax ( ) ax ( ) ax ( )
n
x D x D x D
m f x m f x m f x
∈ ∈ ∈
+ + ≤
(7)
Từ (5)(7) suy ra trường hợp này xảy ra dấu
bằ trong (1)
Ví dụ minh họa:
2 2
2 2
2 2
1 1

f x x c x x
x c x xc x
x
x g x h x
x
−
 
= + + + + = − + +
 ÷
 
−
= − + = + +
với
( )g x = −
2
2
4
1
1 sin 2
1
2
( ) sin 2 ; ( ) 16
2 sin 2
x
g x x h x
x
−
= =
21
Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất"

0
x
mà
( )
o
g x =
0 0
2 2
( ) min ( ); ( ) min ( )
k k
x x
g x g x h x h x
π π
≠ ≠
= =
Vì lẽ đó theo tính chất 5, ta có:
2 2 2
1 25
min ( ) min ( ) min ( ) 5 8 5
2 2
k k k
x x x
f x g x h x
π π π
≠ ≠ ≠
= + + = − + + =
Tính chất 6: Giả sử
1 2
( ), ( ), , ( )
n

x D x D x D x D
f x f x f x f n
∈ ∈ ∈ ∈
    
≤
 ÷ ÷  ÷
    
(1)
1 2
min ( ) min ( ), min ( ), min ( ),
n
x D x D x D x D
f x f x f x f n
∈ ∈ ∈ ∈
    
≤
 ÷ ÷  ÷
    
(2)
Dấu bằng trong (1) xảy ra khi và chỉ khi tồn tại
0
x D∈
sao cho
0
min
( ) ( ), 1,
i i
f x f x i n
x D
= ∀ =

≥ −
(2)
Dấu bằng trong (1) xảy ra khi và chỉ khi tồn tại
0
x D∈
sao cho
0 0
max ( ) ( );min ( ) ( )
x D
x D
f x f x g x g x
∈
∈
= =
Dấu bằng trong (2) xảy ra khi và chỉ khi tồn tại
0
x D∈
sao cho
0 0
min ( ) ( );max ( ) ( )
x D
x D
f x f x g x g x
∈
∈
= =
Chứng minh: Ta chỉ cần chứng minh (1) .
Ta có h(x)=f(x)-g(x)=f(x)+(-g(x))
Theo tính chất 5 ta có
ax a ax

0 0
max ( ) ( );max( ( )) ( ).
x D x D
f x f x g x g x
∈ ∈
= − = −
Nhưng
0
max( ( )) ( )
x D
g x g x
∈
− = −
⇔
0 0
min ( ) ( ) min ( ) ( )
x D x D
g x g x g x g x
∈ ∈
− = − ⇔ = ⇒
đó
là đpcm.
23
Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất"
Tương tự ta có tính chất sau
Giả sử f(x),g(x) là các hàm số xác định và dương khi
x D
∈
.Đặt
( )

g x
∈
∈
∈
≥
(2)
Dấu bằng trong (1) xảy ra khi và chỉ khi tồn tại
0
x D=
sao cho
0 0
max ( ) ( );min ( ) ( )
x D
x D
f x f x g x g x
∈
∈
= =

Dấu bằng trong (1) xảy ra khi và chỉ khi tồn tại
0
x D=
sao cho
0 0
min ( ) ( );max ( ) ( )
x D
x D
f x f x g x g x
∈
∈

x D x D
x D x D
f x f x f x f x
∈ ∈
∈ ∈
= =
.
Chứng minh tính chất này suy trực tiếp từ định nghĩa của giá trị lớn nhất và giá
trị nhỏ nhất của hàm số, cũng như các tính chất về lũy thừa của một bất đẳng
thức.
24
Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất"
Trong thực tế, người ta rất hay sử dụng một trường hợp riêng của tính chất 9
như sau:
Nếu
( ) 0f x x D≥ ∀ ∈
thì
( ) ( )
2 2
max ( ) min ( ) ;max ( ) min ( )
x D x D
x D x D
f x f x f x f x
∈ ∈
∈ ∈
= =
Điều này rất có ích để giải các bài toán thuộc dạng căn bậc hai hoặc có chứa
biểu thức với dấu giá trị tuyệt đối
Xét ví dụ minh họa sau đây:
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: f(x)=

t
t t t t t
−
= + + + + = + + +
, với
2 2t− ≤ ≤
ta có bảng biến thiên:
t
2−
1
2
F(t)
( )
1 2 2 2t− + −
( )
1 2 2 2t− + +
F'(t)
1 2−

2 1+
F'(t)
−
+
F(t)
25