Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc THCS
A. PHN M U
I. Lý do chn ti:
Mụn Toỏn cng nh nhng mụn hc khỏc, cú vai trũ quan trng trong vic
gúp phn thc hin mc tiờu o to nhng con ngi, lm ch tri thc khoa hc v
cụng ngh hin i, cú t duy sỏng tao, cú k nng thc hnh giic bit cỏc
kin thc v phng phỏp toỏn hc l cụng c thit yu giỳp hc sinh hc tp tt
cỏc mụn hc khỏc, giỳp hc sinh hot ng cú hiu qu trong mi lnh vc.
t c mc tiờu trờn mi ngi tham gia cụng tỏc giỏo dc phi lm gỡ
trong s nghip trng ngi? Mi gi lờn lp ca ngi giỏo viờn phi lm c
nhng gỡ? Chun mc no cho phộp ta ỏnh giỏ hot ụng dy v hc c xem l
cú hiu qu? Ngoi vic mi tit dy trờn lp ca giỏo viờn tht hp dn, lụi cun
c hc sinh tham gia phỏt biu xõy dng bi thỡ iu quan trng hn c l giỏo
viờn phi giỳp hc sinh ch ng tip thu kin thc, bit tỡm ra cho mỡnh phng
phỏp hc tp, bin tri thc ca nhõn loi thnh tri thc cho bn thõn. Chớnh vỡ vy
trong quỏ trỡnh dy hc ngi giỏo viờn phi giỳp hc sinh phỏt trin t duy logic,
tng hp kin thc, hinh thnh cỏc phng phỏp lm cỏc dng bi tp khỏc nhau
cho c ba phõn mụn: S hc, i s v hỡnh hc. Trong ú hai phõn mụn s hc v
i s thng cú cỏc thut toỏn c th nờn cỏc em sm phõn dng v tỡm ra phng
phỏp gii cho mi dng bi tp. Ngc li phõn mụn hỡnh hc cỏc em vn dng cỏc
khỏi nim, nh lớ, tớnh cht vo lm bi tp nhng ớt em phõn c dng bi tp v
phng phỏp gii cỏc dng bi tp ú. Hn th na hc sinh cũn khụng bit vn
dng kin thc liờn phõn mụn vo gii cỏc dng bi tp khỏc nhau, nh vn dng
kin thc phõn mụn hỡnh hc vo lm bi tp i s hoc ngc li, vn dng kin
thc phõn mụn i s vo gii cỏc bi tp hỡnh hc. Do ú giỏo viờn phi l ngi
dn ng cho hc sinh nhỡn thy c kin thc hỡnh hc v i s khụng phi l
tng phn kin thc riờng bit m chỳng cú s b tr cho nhau, cỏc em thy
c iu lớ thỳ khi hc mụn Toỏn, t ú cỏc em lnh hi kin thc mụn Toỏn ngy
cng tt hn. C th, trong bi vit ny tụi xin nờu ra: Mt s phng phỏp chng
minh bt ng thc hỡnh hc bc THCS trong ú cú mt s phng phỏp cú s
dng kin thc i s vo gii bi tp hỡnh hc.

chng minh bt ng thc hỡnh hc v rốn luyn k nng lm cỏc dng bi tp ú.
V. Phng phỏp nghiờn cu:
. Nghiờn cu qua sỏch giỏo khoa v ti liu tham kho khỏc.
. Nghiờn cu qua tỡnh hỡnh thc t trong quỏ trỡnh ging dy.
. T rỳt ra t kinh nghim ging dy v úng gúp ca ng nghip.
VI. úng gúp v mt khoa hc:
. Hỡnh thnh cho ngi hc cỏc phng phỏp gii bi tp: Chng minh bt
ng thc hỡnh hc v k nng gii cỏc bi tp dng ny.
. Vn dng kin thc liờn phõn mụn gia i s v hỡnh hc trong gii bi tp
toỏn.
. Giỏo viờn cú c nhng kinh nghim cú giỏ tr thit thc trong cụng tỏc
ging dy.
. Ni dung ti ny cũn l c s, nn tng xõy dng cho hc sinh cỏc
phng phỏp gii bi toỏn cc tr hỡnh hc.
B. PHN NI DUNG.
I. C s khoa hc:
1. C s lớ lun:
lm cỏc bi tp dng chng minh bt ng thc hỡnh hc, trc ht mi
giỏo viờn chỳng ta cn cho hc sinh nm vng cỏc kin thc c bn sau:
. Vi ba im bt kỡ A, B, C ta cú: AB

AC + CB. Du = xy ra khi v
ch khi im C nm gia hai im A v B.
.Trong mt tam giỏc gúc i din vi cnh ln hn l gúc ln hn. Cnh i
din vi gúc ln hn l cnh ln hn
. Trong tam giỏc vuụng, cnh huyn ln hn mi cnh gúc vuụng
. Trong mt tam giỏc, gúc i din vi cnh nh nht l gúc nhn.
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014
2
Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc THCS

2


0, vi mi
x

D.
T ú suy ra:
A(x) = [f(x)]
2
+ m

m nu tn ti x = x
0


D sao cho
[f(x)]
2
+ m = m tc l [f(x
0
)]
2
= 0 thỡ m l giỏ tr nh nht ca A(x) v kớ hiu
minA(x) = m x = x
0
.
B(x) = M [f(x)]
2


1
, b
2
bt kỡ ta cú: (a
1
.b
1
+ a
2
.b
2
)
2


(a
1
2
+a
2
2
)(b
1
2
+b
2
2
)
Du = xy ra
1 2

Nhc im: Ngoi tr hc sinh khỏ, gii cũn li s hc sinh cú hc lc t
trung bỡnh tr xung ch thuc bt ng thc tam giỏc, nhng khụng vn dng ỳng
bt ng thc tam giỏc khi gii bi toỏn chng minh bt ng thc hỡnh hc. Hn
th na, phn ln cỏc em c ngh rng bt ng thc tam giỏc ỏp dng gii c
cho tt c cỏc bi tp thuc dng toỏn nờu trờn, m cỏc em khụng tỡm c nhng
phng phỏp no na gii cỏc bi tp khỏc nhau ca dng ú.
Nguyờn nhõn: Trong chng trỡnh hỡnh hc THCS ch cú duy nht mt bi
sỏch giỏo khoa toỏn 7 cú dựng thut ng: Bt ng thc ú l bi: Quan h
gia ba cnh trong mt tam giỏc. Bt ng thc tam giỏc. Mt khỏc cỏc em khụng
nm vng kin thc c bn(ó nờu phn c s lớ lun) v cỏc em khụng c th
húa c lng kin thc ni dung chng trỡnh sỏch giỏo khoa THCS cp di
dng ngụn ng hỡnh hc khỏc nhau, nhng lng kin thc ú ỏp dng rt tt trong
vic gii bi tp chng minh bt ng thc hỡnh hc.
Qua kt qu kho sỏt trờn ta thy rng, s lng hc sinh t im gii v
khỏ rt thp, s cỏc em t im t trung bỡnh tr ch t trong khong 32% n
37%, cũn s cỏc em t im kộm rt nhiu.
Vỡ vy trong quỏ trỡnh ging dy, tụi ó hỡnh thnh cho cỏc em hc sinh lp
7, 8, 9 nhiu phng phỏp gii dng bi tp: Chng minh bt ng thc hỡnh
hc, giỳp cỏc em thỏo g nhng khú khn ca mỡnh. Tuy nhiờn trong bi vit
ny tụi xin i sõu vo mt s phng phỏp hay s dng gii dng bi tp nờu
trờn. c bit l cú ba phng phỏp s dng kin thc phõn mụn i s giỳp cỏc
em hc sinh khỏ, gii vn dng gii nhng bi tp khú ca dng toỏn trờn.
III. Mt s phng phỏp chng minh bt ng thc hỡnh hc bc THCS:
1.Phng phỏp th nht:
Vn dng quan h gia ng xiờn v ng vuụng gúc: Trong cỏc
ng xiờn v ng vuụng gúc k t mt im ngoi mt ng thngn
ng thng ú, ng vuụng gúc l ng ngn nht.
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014
4
Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc THCS

S
DOA

1
2

OD.OA. Du = xy ra khi
D O A

= 90
0
=> S
ABCD

1
2

(OA.OB + OB.OC + OC.OD + OD.OA) =
1
2
AC.BD
=> S
ABCD

1
2

.AC.BD
Du = xy ra khi v ch khi AC


AOB
+ S
BOC
+ S
COD
+ S
DOA
Ta cú AH

OA (quan h gia ng xiờn v ng
vuụng gúc) nờn:
S
AOB
=
1
2
OB.AH
1
2

OB.OA
Du = xy ra khi
AO B

= 90
0
Tng t ta cú: S
BOC

1

AB < BM (h gia ng xiờn v ng vuụng gúc) v vỡ BM = BF FM nờn
AB < BF FM (4)
Cng v theo v(3), (4) , ta c 2AB < BE + BF( vỡ EM = FM) AB<
1
2
(BE +
BF).
Nhn xột: Bi tp vớ d 2 tt c cỏc i tng hc sinh cỏc lp 7 u
tham gia gii c, õy l bi tp khụng khú, s dng kin thc lp 7 gii bi
toỏn.
Vớ d 3: Cho ng trũn (O; R), AB l dõy cung(AB

2R). C l im chớnh gia
ca cung AB, M l im trờn cung AB. ng thng OC ct dõy AB K. V MH

AB, H

AB.Chng minh rng MH

CK.
Gii:
Do C l im chớnh gia
AB

nờn OC

AB.
Gi I l giao im ca OM v AB.
Ta cú MH


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014
6
I
K
H
C
M
B
O
A
Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc THCS
Vớ d 4:Cho
ABC

cú tự. Gi M l trung im ca AC. Gi E, F th t l chõn
ng vuụng gúc k t A v C n ng thng BM.
Chng minh rng AB <
1
2
( BE + BF)
Gii
Xột hai tam giỏc vuụng EAM v FCM, ta cú:
AM = CM(vỡ M l trung im AC).
1 2
M M

=
( i nh)
Do ú
EAM FCM =

nờn BC < BD (quan h gia gúc v cnh i din
trong mt tam giỏc )
Nhn xột: Bi tp vớ d 5 c ỏp dng cho tt c cỏc i tng hc sinh lp
7, vỡ ú l mt bi tp d, vn dng kin thc lp 7 gii.
3. Phng phỏp th ba:
Vn dng bt ng thc tam giỏc: Trong mt tam giỏc, mi cnh nh hn
tng hai cnh kia v ln hn hiu hai cnh ú.
Vớ d 6: Chng minh rng trong t giỏc li ABCD ta cú bt ng thc:
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014
7
A
D
C
B
O
B
A
C
D
F
2
1
E
M
C
B
A
Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc THCS
AB + CD < AC + BD
Gii:

ABC

v M l im nm gia B v C.
a. Chng minh rng MA nh hn na chu vi tam giỏc ABC
b. Trong trng hp M l trung im BC. Chng minh rng: MA <
1
2
(AB + AC).
Gii:
a. Ta ln lt xột:
. Trong
MAB
, ta cú:
MA < AB + BM (bt ng thc tam giỏc) (7)
. Trong
MAC

, ta cú:
MA < AC + CM. (bt ng thc tam giỏc) (8)
Cng v theo v ( 7), (8) ta c:
2MA < AB + AC + BM + CM
MA <
1
2
(AB + AC + BC) ( pcm).
b. Trờn tia AM ly im K sao cho AM = KM.
Xột hai tam giỏc
AMC

v

AKB

, ta cú : AK < AB + BK (bt ng thc tam giỏc)
2MA < AB + AC MA <
1
2
(AB + AC).
Vớ d 9: Cho
ABC
cú AB = c, AC = b, BC = a, trung tuyn AM = m
a
.
Chng minh rng
2 2
a
b c a b c
m
+ +
< <
Gii:
Xột
ABM
cú: AM > AB BM(bt ng thc tam giỏc) (9)
Xột
ACM
cú: AM > AC MC (bt ng thc tam giỏc) (10)
Cng v theo v (9) v (10), ta cú: 2AM > AB + AC BC
=> AM >
2
b c a+

Nhn xột: C 4 vớ d 6, 7, 8,9 u vn dng kin thc lp 7 gii. Trong
ú, vớ d 8 v 9 ch yu dnh cho i tng hc sinh cú hc lc t khỏ tr lờn.
4. Phng phỏp th t:
Vn dng kin thc: Trong hai dõy ca mt ng trũn, dõy no ln hn
thỡ dõy ú gn tõm hn, dõy no gn tõm hn thỡ dõy ú ln hn.
Vớ d10: Cho ng trũn (O) v dõy AB khụng i qua tõm. Gi M l trung im
ca AB. Qua M v dõy CD(khụng trựng vi AB). Chng minh rng: AB < CD.
Gii: Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014
9
A
B
C
D
M
O
H
M
D
C
B
A
Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc THCS
Do M l trung im ca AB nờn OM

AB
V OH


>
^
C
nờn BC > AC > AB do ú OE < OF < OD
(trong hai dõy ca mt ng trũn, dõy no ln hn thỡ dõy ú gn tõm hn, dõy
no gn tõm hn thỡ dõy ú ln hn)
Vớ d12: Cho ng trũn (O), hai dõy AB, CD ct nhau ti im M nm bờn trong
ng trũn. Gi H v K theo th t l trung im ca AB, CD. Cho bit AB > CD,
chng minh rng MH > MK.
Gii:

Do H, K ln lt l trung im ca AB, CD nờn

MOH v

MOK l cỏc tam giỏc
vuụng cú chung cnh huyn OM nờn ta cú:
MH
2
+ OH
2
= MK
2
+ OK
2
(= OM
2
) (11)
Ta cú AB > CD nờn OH < OK (trong hai dõy ca mt ng trũn, dõy no ln
hn thỡ dõy ú gn tõm hn, dõy no gn tõm hn thỡ dõy ú ln hn)

cho tt c cỏc em hc sinh lp 9
5. Phng phỏp th nm:
Vn dng nh lớ: Trong cỏc dõy ca ng trũn thỡ ng kớnh l dõy ln nht
Vớ d13: Cho tam giỏc ABC cú BD v CE l hai ng cao. Chng minh rng:
DE < BC.(Bi tp 10.SGK.Toỏn 9.Tp 1)
Gii:
Gi M l trung im ca cnh BC. Ta cú tam giỏc BEC vuụng ti E cú EM l
ng trung tuyn nờn ME = MB = MC
Tng t MD = MB = MC
=>MD = MB = MC = ME hay bn im B, E, D, C cựng nm trờn mt ng trũn
ng kớnh BC.
Ta cú DE l mt dõy khỏc ng kớnh ca ng trũn ng kớnh BC nờn
DE < BC( ng kớnh l dõy ln nht ca ng trũn).
Vớ d14: Cho tam giỏc ABC u ni tip ng trũn (O; R), M l mt im di
ng trờn trờn cung nh BC. Chng minh rng MA + MB + MC

4R.
Gii:
Trờn tia MA t MD = MB

MBD cõn cú B
^
M
D = A
0
^
60=BC
nờn

MBD u, do ú BD = BM (13)

CBM ( c.g.c)
=>DA = CM
Vy MB + MC = MD + DA = MA
Vi AM l mt ng kớnh ca ng trũn ta cú:
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014
11
D
M
E
C
B
A
O
D
M'
M
C
B
A
Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc THCS
MA + MB + MC = 2MA

2AM = 2.2R = 4R (trong cỏc dõy ca ng trũn thỡ
ng kớnh l dõy ln nht)
Vy MA + MB + MC

4R(pcm).
Du = xy ra M trựng vi M, trong ú M l im chớnh gia cung BC nh
Vớ d 15: Cho ng trũn (O) ng kớnh AB, cỏc dõy AC, AD. im E bt kỡ
nm trờn (O), v EF vuụng gúc vi AC( F

Nhn xột: Cỏc vớ d trong phng phỏp 5 ỏp dng cho i tng hc sinh
lp 9, trong ú vớ d 14 dnh cho cỏc em cú hc lc t khỏ tr lờn.
6.Phng phỏp th sỏu::
. Cho A(x), B(x), f(x) cú min xỏc nh D

R. Ta cú: [f(x)]
2


0, vi mi
x

D.
T ú suy ra:
A(x) = [f(x)]
2
+ m

m nu tn ti x = x
0


D sao cho
[f(x)]
2
+ m = m tc l [f(x
0
)]
2
= 0 thỡ m l giỏ tr nh nht ca A(x) v kớ hiu




4
S
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014
12
O
G
D
C
F
E
B
A
F
E
D
C
B
A
Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc THCS
Gii:
Hai tam giỏc ACD v ACB cú ỏy AD = k.AB, cũn chiu cao ng vi cỏc ỏy AD,
AB bng nhau, suy ra:
S
ACD
= k.S
ACB
= k.S

+ S
CEF
)

= S 3k(1-k)S = (1-3k+3k
2
)S
Do 1-3k+3k
2
= 3( k-
2
1
)
2
+
4
1



4
1
nờn S
DEF



4
S
Du = xy ra k =


46.
M S
EFGH
= S
ABCD
S = 12.8 46 2(x-5)
2
= 50 -2(x-5)
2


50.
Vy S
EFGH


50(cm
2
). Du = xy ra x = 5 hay khi AE = AH = CG = CF =5cm
7. Phng phỏp th by:
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014
13
x
x
8-x
12-x
x
x
H

BC
.
Gii: Xột
AKB
v
CKH

cú:
0
90A K B C K H

= =

B A K H C K

=
(hai gúc nhn cnh tng ng vuụng gúc)
=>
AKB
CKH
( g.g)
=>
KA KC
KB KH
=
=> KA.KH = KB.KC (18)
p dng bt dng thc Cụ- si ta cú:
.
2
KB KC

,
S
2
= S
COD
, S = S
ABCD
. Chng minh rng:
1 2
S S S+
Gii:
Ta cú:
AOB
COB
S
OA
OC S
=
v
AOD
COD
S
OA
OC S
=

=>
AOB AOD
COB COD
S S

+ S
COB
+ S
AOD

1 2 1 2
2 S .S S S + +
=
( )
2
1 2
S S+
=>
1 2
S S S +
(pcm).
Du = xy ra S
COB
= S
AOD
AB//CD AB// CD
Vớ d 20: Cho t giỏc ABCD. Chng minh rng : S
ABCD

( )
2
1
8
AC BD +
. Du =



ữ

=>S
ABCD

1
2

2
AC+BD
2

ữ

=
1
8
( )
2
AC BD+
=>S
ABCD

( )
2
1
8
AC BD +


OB.OA; S
BOC

1
2

OB.OC; S
COD

1
2

OC.OD; S
DOA

1
2

OD.OA.
=>2S
AOB


OA.OB; 2S
BOC


OB.OC; 2S
COD

2S
COD


OC.OD


2 2
2
OC OD+
. (22)
2S
DOA


OD.OA


2 2
2
OD OA+
. (23)
Cng v theo v ca (20), (21), (22), (23) ta cú : 2S

OA
2
+ OB
2
+ OC
2

(a
1
2
+a
2
2
)(b
1
2
+b
2
2
)
Du = xy ra


1 2
1 2
a a
b b
=
Vớ d 22:
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014
15
O
B
A
C
D
A


90
0
Gi s :
DOA
^

90
0
, khi ú
BOA
^

90
0
Xột
AOB
vỡ
BOA
^


90
0
nờn ta cú: AB
2


OA
2

2
+ OC
2
+ OD
2
(***)
p dng bt dng thc Bunhia-cụpxki ta cú:
(1
2
+ 1
2
)( OA
2
+ OC
2
)

(OA+OC)
2
= AC
2
OA
2
+ OC
2


1
2
AC

2
) (****)
T (***) v (****) suy ra: AB
2
+ CD
2



1
2
(AC
2
+ BD
2
) = 2(a
2
+ b
2
)
=>Hoc AB
2


a
2
+ b
2
, hoc CD
2

+ +
Gii:

Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014
16
O
B
A
C
D
O
A
B
C
P
Q
R
Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc THCS
t S
BOC
= x
2
, S
COA
= y
2
, S
AOB
= z
2

+
=
( 29)

2 2
x y
OC
OR z
+
=
(30)
T (28), (29), (30) suy ra:
OA
OP
+
OB
OQ
+
OC
OR
=
2 2
y z
x
+
+
2 2
x z
y
+

2
x y+
+
Do ú:
2 2
x y
z
+
. 2
x y
z
+

(32)
Chng minh tng t ta cú:
2 2
y z
x
+
. 2
y z
x
+

(33)

2 2
x z
y
+

. 2
y z
x
+

+
. 2
x z
y
+
+
. 2
x y
z
+
(35)
Mt khỏc ta cú:
. 2
y z
x
+
+
. 2
x z
y
+
+
. 2
x y
z

ng cao tng ng.
Bi 2: Cho hỡnh vuụng ABCD cú di ng chộo AC = 1. Trờn mi cnh
AB, BC, CD, DA ln lt ly cỏc im M, N, P, Q bt kỡ to thnh t giỏc
MNPQ li. Chng minh rng: Chu vi t giỏc MNPQ khụng nh hn 2.
Bi 3: Cho tam giỏc ABC u. Trờn cỏc cnh BC, CA, AB ly ba im bt
kỡ I, J, Ksao cho K khỏc A, B v I
^
K
J = 60
0
Chng minh: AJ.BI
2
4
AB

. Du = xy ra khi no?
Bi 4:Cho t giỏc ABCD. Chng minh rng: AB.CD + AD.BC

AC.BD.
Du = xy ra khi v ch khi t giỏc ABCD ni nip c trong ng trũn.
Bi 5: Xột mt hỡnh vuụng v mt tam giỏc. Nu hai hỡnh cú din tớch bng
nhau thỡ hỡnh no cú chu vi ln hn.
Bi 6: Cho hỡnh vuụng ABCD ni tip ng trũn (O;R), M l mt im
bt kỡ trờn ng trũn. Chng minh rng: MA.MB.MC.MD < 6R
4

10.Kt qu thc thi:
Vi ti trờn, trong quỏ trỡnh ging dy, tụi ó hỡnh thnh cho cỏc em nhiu
phng phỏp gii dng bi tp: Chng minh bt ng thc hỡnh hc, tụi ó giỳp
cỏc em bit c th húa kin thc, xõu chui kin thc, vn dng phõn mụn i s

sinh nm c mt s phng phỏp chng minh bt ng thc hỡnh hc bc
THCS cỏc em thỏo g nhng khú khn khi gp dng toỏn ny, c bit l i
tng hc sinh cú hc lc t khỏ tr lờn thỡ rt hiu qu. Bờn cnh ú cũn giỳp cỏc
em hiu c rng, trong quỏ trỡnh hc cú th vn dng kin thc liờn phõn mụn
gia i s v hỡnh hc gii bi tp toỏn. Thụng qua ú cỏc em phỏt trin t duy
logic, bit xõu chui v tng hp kin thc t ú nõng cao c cht lng dy
v hc mụn toỏn.
Quỏ trỡnh nghiờn cu v thc hin ti ny ca tụi l nh vo kinh nghim
ging dy, ngoi ra tụi cũn s dng thờm cỏc ti liu tham kho khỏc. Tuy vy, tụi
tin rng cũn cú cỏc phng phỏp khỏc s vn dng Chng minh bt ng thc
hỡnh hc cng mang li hiu qu rt thit thc nh nhng phng phỏp tụi cp
n trong ti ny. Rt mong c s cng tỏc ca cỏc bn ng nghip cựng tụi
ni dung ti c hon thin hn.
II. Kin ngh:
Kt qu thc thi ti ca tụi minh chng rng, ti ny ó mang li hiu
qu rt thit thc, phc v cho cụng tỏc dy v hc. Do vy tụi mong mun t
chuyờn mụn, nh trng tụi cụng tỏc trin khai ỏp dng ti ny ti tt c cỏc
giỏo viờn ging dy mụn Toỏn. Hn th na, tụi cũn mong mun b phn chuyờn
mụn cỏc cp(Phũng GD-T, S GD-T) cn t chc hi tho, trao i tin
hnh trin khai, ỏp dng rng rói ni dung ti ny cho tt c cỏc n v THCS
trờn a bn tnh ta nhm nõng cao cht lng, hiu qu dy v hc mụn Toỏn. ú
l mt hot ng tớch cc trong vic i mi phng phỏp dy hc hin nay./.
Tụi xin chõn thnh cm n!
Ngày 25 tháng 3 năm 2014
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014
19
Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc THCS
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014
20
Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc THCS