mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc
Phần A: đặt vấn đề
I. lí do:
Mục tiêu giáo dục hiện nay là nâng cao chất lượng, hiệu quả của việc dạy và
học, làm cho kết quả học tập của học sinh ngày một nâng cao. Muốn đáp ứng
được yêu cầu đó thì nhiệm vụ của giáo viên và học sinh là: Phải dạy và học thế
nào để đạt hiệu quả cao nhất.
Cùng với các môn học khác, môn toán là môn học giữ vai trò rất quan trọng.
Thông qua môn toán học sinh nắm vững kiến thức toán học, từ đó có cư sở
thuận lợi để học các môn học khác, cũng như ứng dụng các kiến thức đ• học vào
thực tiễn. Dạy toán tức là dạy phưưng pháp suy luận. Học toán là rèn luyện khả
năng tư duy logic. Giải toán là hoạt động hấp dẫn và bổ ích. Nó giúp các em
nắm vững thêm kiến thức, phát triển từng bước năng lực tư duy, hình thành kĩ
năng kĩ xảo.
Đối với học sinh bậc trung học cư sở hiện nay thì nhiều phần trong môn
đại số là rất khó. Một trong các phần đó là phần bất đẳng thức. Các bài toán về
bất đẳng thức thường khó nhưng lại hay, loại toán này rất đa dạng và phong phú,
có nhiều ứng dụng, đặc biệt rèn luyện tốt tư duy sáng tạo, kĩ năng suy luận. Để
giải tốt loại toán này cần vận dụng rất nhiều kiến thức một cách linh hoạt. Trong
sách giáo khoa không đề cập nhiều đến dạng toán này, tuy nhiên trong các đề thi
học sinh giỏi, thi vào trung học phổ thông thì lại thường xuyên có loại toán này.
Bên cạnh đó nếu học tốt các bất đẳng thức sẽ giúp học sinh học tốt hưn các phần
khác. Qua tìm hiểu thực tế tôi thấy học sinh rất “sợ” dạng bài chứng minh bất
đẳng thức. Trước thực trạng như vậy chúng ta không khỏi băn khoăn, trăn trở
phải làm thế nào để tháo gỡ giúp các em bớt đi khó khăn khi gặp các bài toán về
bất đẳng thức.
Trong phạm vi nhỏ hẹp này tôi xin được trình bày một số ý kiến nhỏ mà qua
thực tế giảng dạy tôi thấy đ• làm giảm bớt khó khăn cho học sinh khi giải các
bài toán về bất đẳng thức, làm cho các em say mê, hứng thú học toán hưn.
II. Cơ sở lí luận và thực tiễn:
Bất đẳng thức là một vấn đề lớn trong chưưng trình toán phổ thông. Vấn đề này


III . i tng, phng phỏp ngnhim v
1. i tng v phng phỏp nghiờn cu
*i tng nghiờn cu : hc sinh THCS
*Phng phỏp nghiờn cu :
+ iu tra, thc nghim, kho sỏt kt qu hc tp ca hc sinh.
+ Thc nghim ging dy bi dng hc sinh gii lp 8, 9.
+ Trao i trong cỏc nhúm chuyờn mụn.
+ iu tra, ỏnh giỏ kt qu ca hc sinh sau khi thc nghim ti.
2. Nhim v ca ti
- a ra nhng kin thc c bn nht v bt ng thc.
- xut mt s phng phỏp chng minh bt ng thc.
- Rốn cho hc sinh k nng phõn tớch tỡm li gii bi toỏn chng minh bt ng
thc.
- Rốn cho hc sinh bit la chn phng phỏp gii hp lớ cho mi bi toỏn.
Mun vy phi rốn kh nng phõn tớch, xem xột bi toỏn di nhiu gúc khỏc
nhau, cng nh tớnh c thự ca mi bi toỏn, t ú m la chn cỏch gii phự
hp. Nú giỳp phỏt huy kh nng t duy sỏng to, linh hot, to c lũng say
mờ, t tin v khụng ngi ngựng khi gp bi ton v bt ng thc.

Trang
2
mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc
IV.nội dung đề tài
I : Các kiến thức cần nắm vững.
II : Một số phưưng pháp thường dùng để chứng minh bất đẳng thức.
III : Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng.
IV :
Phần B: nội dung
i: các kiến thức cần nắm vững

Nếu 0 < a < 1 thì am < an
4.8 a2 0 a ;- a2 0 a dấu “ = “ xảy ra a = 0
4.9 dấu “ = “ xảy ra a = 0
4.10 - dấu “ = “ xảy ra a = 0
4.11 dấu “=”xảy ra ab 0
dấu “=” xảy ra ab 0 và
4.12 a2 +b2 2ab a ,b
4.13

4.16 2(a2+b2) (a+b)2 a,b
4.17 3(a2+b2+c2) (a+b+c)2
4.18 (Bất đẳng thức Côsi) Đối với hai số không âm: Dấu”=” xảy ra
Mở rộng đối với n số không âm :
.
Dấu “=’ xảy ra
4.19 (Bất đẳng thức Bunhiacôpxki) Đối với bốn số bất kì:

Mở rộng đối với 2n số bất kì :

Dấu “=” xảy ra
II: một số phưưng pháp chứng minh bất đẳng thức thường dùng
Trong kinh nghiệm này tôi chỉ đưa ra cách chứng minh bất đẳng thức dạng A >
B, các bất đẳng thức dạng khác cũng chứng minh tưưng tự
1. Dùng định nghĩa.
Để chứng minh A > B ta xét hiệu A- B và chứng minh A- B > 0
*Ví dụ 1: Chứng minh rằng: (a + b)2 4ab với mọi a, b R
Hướng dẫn:
Xét hiệu: (a + b)2- 4ab = a2 + 2ab + b2 - 4ab
= a2 - 2ab + b2
= (a - b)2

(a+b)2 4ab (vì a + b =1)
(a-b)2 0 (2)
Bất đẳng thức (2) đúng, mà các phép biến đổi là tưưng đưưng .
Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh.
*Ví dụ 4: Cho các số a, b > 0 chứng minh rằng:
(1)
Hướng dẫn:
Do a > 0; b > 0 nên ta có thể chia hai vế của bất đẳng thức cho
(1)
( Do )

(2)

Trang
5
mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc
Ta thấy (2) đúng với mọi a, b > 0.
Do đó (1) đúng
Dấu “=” xảy ra a = b
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
*Ví dụ 5: Cho các số a, b > 0.
Chứng minh rằng: (1)
Hướng dẫn:
Vì a > 0; b > 0
Cả hai vế của (1) không âm, bình phưưng hai vế ta được

Ta thấy (2) đúng nên (1) đúng
Chứng tỏ a > 0; b > 0 thì
Dấu “=” xảy ra a = b
3. Dùng các tính chất của bất đẳng thức

Chứng minh rằng: (1- a).(1- b).(1- c).(1- d) >1- a- b- c- d (1)
Hướng dẫn:
Ta có (1- a)(1- b) = 1- a - b + ab
Do a > 0; b > 0 nên ab > 0 từ đó suy ra: (1 - a)(1 - b)>1- a - b (1)
Do c <1 nên 1- c > 0 nhân cả hai vế của (1) với 1- c ta được :
(1- a)(1- b)(1- c) >(1- a- b)(1- c)=1- a - b - c + ac + bc
Do a, b, c > 0 nên ac + bc > 0 vì vậy 1- a- b - c + ac + bc > 1- a- b- c
Do đó (1- a)(1- b)(1- c) > 1- a- b - c (2)
Nhân hai vế của (2) với 1- d > 0 ta được :
(1- a)(1- b)(1- c)(1- d) > (1- a- b - c)(1- d)
Mà 1- a- b- c- d + ad + bd + cd > 1-a-b-c-d
(vì ad + bd + cd > 0)
Vậy (1- a)(1- b)(1- c)(1- d) >1- a - b - c - d
*Ví dụ 9: Chứng minh rằng: a4 + b4 + c4 abc(a + b + c) với mọi a, b, c
Hướng dẫn
áp dụng ví dụ 1

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
*Ví dụ 10: Chứng minh bất đẳng thức:
<1
Hướng dẫn
Ta có:

suy ra
4. Sử dụng một số bất đẳng thứcđ• biết
Xuất phát từ các bất đẳng thức đ• biết như bất đẳng thức Côsi, bất đẳng thức
Bunhiacôpxki, … để chứng minh bất đẳng thức đ• cho.

Trang
7

p – a > 0; p - b > 0; p - c > 0
áp dụng bất đẳng thức ta có:

Trang
8
mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc
Cộng (1), (2), (3) theo từng vế ta có:
Vậy
Đó là điều phải chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
5. Dùng phản chứng:
Muốn chứng minh A > B (1)
Ta giả sử A B, từ đó ta chỉ ra điều mâu thuẫn với giả thiết hoặc một tính chất
đúng nào đó. Do đó điều giả sử trên là sai.
Vậy bất đẳng thức (1) đúng.
*Ví dụ 15: Cho x2 + y2 Ê 2.
Chứng minh rằng: x + y Ê 2
Hướng dẫn:
Giả sử x + y > 2 ị x2 + y2 + 2xy > 4
Mà x2 + y2 ³ 2xy ị 2(x2 + y2) ³ x2 + y2 + 2xy > 4
ị x2 + y2 > 2 (mâu thuẫn với giả thiết).
Vậy giả sử trên là sai.
Do đó nếu x2 + y2 Ê 2 thì x + y Ê 2.
6. Dùng bất đẳng thức trong tam giác.
Tam giác ABC bất kỳ luôn có BC – AC < AB < BC + AC
*Ví dụ 16:
Cho a, b, c là số đo 3 cạnh tam giác. Chứng minh rằng:
a2 (b + c) + b2 (c + a) + c2 (a + b) Ê a3 + b3 + c3 + 3abc.
Hướng dẫn:
Vì a, b, c có vai trò như nhau, không giảm tính tổng quát.
Giả sử: a ³ b ³ c > 0

*Ví dụ 18:
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dưưng n > 1.
Ta đều có:

Hướng dẫn:
Đặt:
Xét n = 2 ta có:
Bất đẳng thức đúng khi n = 2
Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k > 2
Nghĩa là:
Ta đi chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1
Thật vậy với n = k + 1 ta có:

Trang
10
mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc
Do đó Vậy bất đẳng thức đ• được chứng minh.
*Ví dụ 19:
Chứng minh rằng: 2n > n2 (1) ("n ẻ N, n ³ 5)
Hướng dẫn:
+ Với n = 5 bất đẳng thức (1) đúng vì 25 > 52
+ Giả sử bài toán đúng với n = k; k ³ 5
Tức là ta có: 2k > k2
Ta phải đi chứng minh: 2k+1> (k+1)2
Thật vậy: Ta có 2k > k2
ị 2k+1 > 2k2 (2)
Ta đi chứng minh: 2k2 > (k+1)2
Xét hiệu: 2k2 - (k+1)2 = k2 - 2k - 1 = k(k - 2) - 1
Do k ³ 5 ịk - 2 ³ 3 ị k(k - 2) ³ 15 ị k (k - 2) - 1 > 0
ị 2k2 > (k+1)2 (3)

+Ta cng cú bi tỏn tng quỏt
Cho

Nhn xột chung:
Trờn õy l mt s phng phỏp ph bin dựng chng minh bt ng thc
ngoi ta cựng cũn mt s phng phỏp khỏc nhng ớt dựng hn.
hc tt v bt ng thc hc sinh cn nm vng cỏc phng phỏp c bn tu
theo c thự tng bi c th m vn dng linh hot cỏc phng phỏp ú.
Cn lu ý rng mt bi toỏn cú th vn dng nhiu cỏch chng minh.
chng III
mt s bi toỏn chng minh bt ng thc
Trong phn ny tụi trỡnh by theo hng sau:
1. Nờu cỏc bi toỏn c th, hng dn hc sinh phõn tớch, tng hp, suy lun v
i n ỏp dng theo tng dng c c th phn II.
2. Vi tng bi toỏn, la chn cỏc phng phỏp gii ngn gn, hp vi kh nng
ca hc sinh.
3. i vo gii tng dng c th v ỏnh giỏ kt qu.
Bi s 1:
Cho a, b, c > 0 chng minh rng:
+ Cỏch 1: La chn phng phỏp dựng nh ngha:
Hng dn:
Xột hiu

Trang
12
mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc
(Vì: ab > 0; bc > 0; ac > 0) do a, b, c > 0
Từ đó suy ra
Dấu đẳng thức xảy ra khi A = 0
Û a - b = b - c = a - c = 0

Bài số 3:

Trang
13
mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc
Cho hàm số f(x) = (x + 3) (5 - x) với -3 Ê x Ê 5
Xác định x sao cho f(x) đạt giá trị lớn nhất
* Sử dụng bất đẳng thức Côsi
Chú ý:
1. Tổng của hai số không âm mà không đổi thì tích hai số lớn nhất khi hai số
bằng nhau.
2. Tích của hai số không âm là một số không đổi thì tổng đạt giá trị nhỏ nhất khi
hai số bằng nhau.
Hướng dẫn:
Nhận xét: Với - 3 Ê x Ê 5 thì
(x + 3) và (x - 5) đều là hai số không âm.
Vậy áp dụng vào bài toán cụ thể trên ta có tổng hai số (x + 3) + (5 - x) = 8 là
một hằng số thì tích (x + 3)(5 - x) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi.
x + 3 = 5 - x
2x = 2

Vậy với x = 1 thì f(x) = (x - 3)(5 - x) đạt giá trị lớn nhất và giá trị đó là:
fmax = 16.
Bài số 4:
Cho tam giác ABC có chu vi bằng 2.
Gọi S là diện tích của tam giác.
H•y chứng minh a2 + b2 + c2 + 2abc ³
Hướng dẫn:
Bài toán đặt ra là tam giác ABC có chu vi bằng 2 nghĩa là a + b + c = 2. Suy ra:
Max (a; b; c) < 1.

Nhận xét:
- Nhìn vào bài toán học sinh tưởng rằng rất khó và rất phức tạp. Nhưng chỉ cần
nhìn nhận rằng vai trò của x, y, z là đối xứng thì mấu chốt của bài toán đ• được
tháo gỡ.
- Đi đến áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki. Học sinh phải phân tích và tìm
được hai d•y số x - y; y - z và 1; 1 thì mới áp dụng và đi đến kết quả được.
Bài số 6:
Cho 3 số dưưng a, b, c. H•y chứng minh.
Hướng dẫn:

Trang
15
mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc
Nhìn vào bài toán này học sinh có thể áp dụng ngay bất đẳng thức Côsi nhưng sẽ
phức tạp và sẽ không đi đến lời giải được. Vậy ở đây chúng ta giải như sau:
Vì a; b; c > 0 nên:Cộng (1), (2), (3) theo từng vế ta có:
Đó là điều phải chứng minh: Dấu "=" Û a = b = c
Bài số 7:
Chứng minh rằng nếu n ³ 3 , n là số tự nhiên. Thì
Hướng dẫn:
Nhìn vào bài toán học sinh cảm nhận rất khó, chưa biết áp dụng cách giải nào.
Nhưng ở đây ta biến đổi bất đẳng thức đ• cho về dạng đưn giản hưn:
Vì 2 vế đều dưưng luỹ thừa cả hai vế bậc n(n + 1) ta có:
nn + 1 > (n + 1)n Û n > (1 + )n (1)
áp dụng phưưng pháp quy nạp:
- Với n = 3 thì (1) có dạng:
Vậy (1) đúng với n = 3.

ị ẵ3x + 4yẵ Ê 5
Max A = 5 Û x2 + y2 = 1
Max A = 5 Û (x, y) =
Bài số 11:
Chứng minh: Trong một tam giác ABC ta có ha + hb + hc ³ 9r trong đó ha, hb,
hc là 3 chiều cao của tam giác còn r là bán kính đường tròn nội tiếp.
Hướng dẫn:
Trong mọi tam giác ta luôn có (dùng công thức tính diện tích
tam giác).
áp dụng bất đẳng thức:
Ta có:
ị ha + hb + hc ³ 9 r (Điều phải chứng minh)
Dấu "=" xảy ra Û D ABC đều.
Bài số 12:
Cho tam giác ABC vẽ 3 phân giác AA', BB’, CC' gọi a1, b1, c1 tưưng ứng là các
khoảng cách từ A' đến AB, B' đến BC và C' đến AC gọi. ha, bb, hc là 3 chiều
cao của tam giác kẻ từ A, B, C.
Chứng minh rằng:
Hướng dẫn:
Kẻ AH ^ BC, A'K ^ AB
ị AH = ha, A'K = a1
Trong D AA'B có BA'. ha = c.a1 = 2SAA'B
ị
Do AA' là phân giác của ABC nên ta có:

Trang
17
mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc
Tưưng tự:
Như vậy:

1. Hc sinh i tr:
Tng s hc sinh: 40 em
Qua kho sỏt thc t t t l nh sau:
Gii Khỏ TB Yu
Trc khi ỏp dng 5% 15% 40% 40%
Sau khi ỏp dng 15% 20% 50% 15%
2. Bi dng hc sinh gii:
T nm hc 2001 2002 n nay tụi thng ph trỏch vic bi dng hc sinh
gii Toỏn 8, Toỏn 9. Nm no cng cú hc sinh gii cp Huyn, cú nm 2 em i
thi thỡ t c 2 vi s im khỏ cao.
t c kt qu nh vy u tiờn phi cú s n lc ca chớnh bn thõn cỏc
em. Bờn cnh ú thy phi tng cng a ra cỏc bi tp cỏc em tỡm tũi,
khỏm phỏ t ú mi tng hp li cỏc em nm sõu sc vn .
V. phm vi ỏp dng ca ti:
Mt s phng phỏp chng minh bt ng thc c ỏp dng trong cỏc tit dy
bi dng hc sinh gii cỏc khi 8, 9 v ụn tp cho cỏc em lp 9 thi vo THPT.
Phn C: Kt lun
Trờn õy, tụi tng hp li mt s phng phỏp chng minh bt ng thc. ú
l cụng c cn thit chng minh bt ng thc. Mi phng phỏp cú mt u
th riờng ca nú, chn phng phỏp no ũi hi tớnh linh hot v kh nng nhỡn
nhn tng quỏt, kh nng khai thỏc, kh nng phõn tớch c im cỏc yu t
trong bi toỏn ú. õy khụng phi l kh nng t cú ca mi ngi m phi tri
qua quỏ trỡnh ren luyn lõu di cựng vi kin thc c trang b mt cỏch cú h
thng, lụgic.
Qua nghiờn cu ti v thc t ging dy tụi thy hc sinh tip thu bi tt hn,
cú hng thỳ gii cỏc bi toỏn chng minh bt ng thc v mt s dng toỏn cú
liờn quan.
Vỡ dng toỏn ny c ỏnh giỏ l khú do ú khi hng dn hc sinh giỏo viờn
cng cn chỳ ý iu ny hiu qu ca ti cng nh vic ging dy c
cao hn.